1 00:00:00,000 --> 00:00:08,000 Přeji vám dobrý den , zase jsme se tady sešli ve čtvrtek, takže doufám, že to zvládáte . 2 00:00:08,000 --> 00:00:11,600 Odkud jezdíte? Můžu se zeptat ? 3 00:00:11,600 --> 00:00:18,600 Á vy spinkáte ještě po ránu. Dobře , tak já vás nebudu zase tolik trápit. 4 00:00:18,600 --> 00:00:26,600 Dneska si budeme povídat o takzvaném vnějším popisu systému 5 00:00:26,600 --> 00:00:33,500 a na tomhletom popisu systému, který jsem už naznačil minule si ukážeme další takové pojmy, 6 00:00:33,500 --> 00:00:40,500 které jsou velmi významné v našem vlastně matematickém popisu. 7 00:00:40,500 --> 00:00:46,500 Budeme si definovat pojmy 8 00:00:46,500 --> 00:00:50,500 jako je linearita. 9 00:00:59,500 --> 00:01:06,600 Stejně tak si budeme hovořit o časově invariantním systému 10 00:01:17,600 --> 00:01:23,600 a také si něco řekneme jak slovo typu kauzalita 11 00:01:25,600 --> 00:01:30,600 souvisí s tím , co jsme schopni o systému říci. 12 00:01:31,600 --> 00:01:39,600 Čili dnešní přednáška se týká jak ten matematický popis dokážeme zjednodušovat díky tomu, 13 00:01:39,600 --> 00:01:48,500 že jsme o nějakém systému schopni říci , že je lineární, že jsme o nějakém systému schopni říci že je stacionární neboli časově invariantní . 14 00:01:48,500 --> 00:01:56,900 Nebo, že jsme o tom systému schopni říci, že tedy vyjadřuje kauzalitu nebo je-li ten systém kauzální . 15 00:01:56,900 --> 00:02:01,600 Obecně vzato : minule jsme si říkali , 16 00:02:01,600 --> 00:02:08,900 že náš systém je černá skříňka , černá bedýnka . 17 00:02:08,900 --> 00:02:13,600 Tady napíšu tedy, že to je black box 18 00:02:15,600 --> 00:02:28,600 a ten systém jsme si charakterizovali tak, že bude popsán nějakými vstupy a nějakým výstupem . 19 00:02:32,600 --> 00:02:37,900 Jakmile jsme řekli , že tedy nás nezajímá vnitřní struktura toho systému, 20 00:02:37,900 --> 00:02:46,900 ale zajímá nás jak se ozývá na vstupy a výstupy , tak jsme říkali ANO to je takzvaný vnější popis systému. 21 00:02:46,900 --> 00:02:54,900 Říkali jsme si , že tedy ty veličiny vstupu budeme označovat písmenkem u nebo x , 22 00:02:54,900 --> 00:03:01,100 malé písmenko u nebo malé písmenko x a ty výstupy ypsilonem . 23 00:03:01,100 --> 00:03:06,600 Čili jinými slovy : někdy taky uvidíte , že tedy prostě používám písmenko x , 24 00:03:06,600 --> 00:03:12,600 zkrátka a dobře je to otázka v podstatě formalizmu , který potom budeme používat. 25 00:03:13,600 --> 00:03:19,600 Já bych vám chtěl nejprve říci jednu takovou záležitost , která se týká: 26 00:03:20,600 --> 00:03:25,400 vlastně v jakém čase ten systém budeme pozorovat . 27 00:03:25,400 --> 00:03:30,900 Minule jsme si říkali , že prostě můžeme mít spojitý čas nebo diskrétní čas , diskrétní ukazovátko . 28 00:03:30,900 --> 00:03:38,800 Já bych vás rád jaksi ubezpečil , že tedy dnešní povídání bude hlavně o těch diskrétních veličinách . 29 00:03:40,800 --> 00:03:45,800 Z toho prostého důvodu , že ten náš popis bude prostě jednodušší. 30 00:03:45,800 --> 00:03:49,400 Čili budeme se bavit o diskrétním světě, diskrétním popisu 31 00:03:56,400 --> 00:04:08,000 a budeme se ptát na otázku jak všechny tyhlety zvláštní slova nám ovlivní v podstatě popis 32 00:04:08,000 --> 00:04:17,000 tak, abychom dokázali najít na základě znalostí o tom systému, 33 00:04:17,000 --> 00:04:27,000 abychom dokázali najít funkci toho vstupu tak, abychom mohli dohledat výstupní veličinu. 34 00:04:30,000 --> 00:04:37,200 Z hlediska našeho světa samozřejmě spojité veličiny hrají takovou podstatnější roli, 35 00:04:37,200 --> 00:04:46,200 ale nicméně, když se prostě podíváte na ten svět a začnete ho třeba reprezentovat ve svém počítadle, 36 00:04:46,200 --> 00:04:52,200 tak jinými slovy představte si, že si vezmu takhle obyčejnou sinusovku 37 00:04:54,200 --> 00:05:00,200 a že tedy tohleto bude taky nějaká moje funkce x(t) je sinus omega t 38 00:05:01,200 --> 00:05:11,900 a já samozřejmě nemůžu v tom počítači reprezentovat nebo prostě v tom svém zařízení reprezentovat sinusovku jakožto spojitou funkci. 39 00:05:11,900 --> 00:05:17,700 Já velmi často používám takovou, takový proces, kterému říkám vzorkování. 40 00:05:17,700 --> 00:05:24,700 Když se prostě na tu sinusovku dívám v ekvidistantních bodech 41 00:05:26,700 --> 00:05:31,500 a to že říkám dívám, znamená, že tedy mám, 42 00:05:36,500 --> 00:05:39,700 že mám nějakou periodu, 43 00:05:41,700 --> 00:05:48,500 což je tato vzdálenost, která se prostě pravidelně opakuje . 44 00:05:49,500 --> 00:05:57,500 A to vzorkování má také říkáme, má nějaký příslušný charakteristický kmitočet, 45 00:05:57,500 --> 00:06:05,500 nějaké omega nula a ten vztah mezi periodou a kmitočtem je standartní vztah mezi tedy těmito dvěma veličinami. 46 00:06:05,500 --> 00:06:12,500 Jenom aby vám bylo jasný o čem mluvím, koneckonců i ten váš počítač má nějaké takzvané hodiny 47 00:06:12,500 --> 00:06:16,700 a říká se prostě tedy jsou to 2MHz prostě procesory, 48 00:06:16,700 --> 00:06:23,500 tak abyste věděli, to že to je 2MHz procesor, to se týká v podstatě téhleté veličiny. 49 00:06:23,500 --> 00:06:30,100 Jak často se prostě na ty vaše vstupní data dívá tak je to vlastně daný 50 00:06:30,100 --> 00:06:36,700 tímto vztahem T= 2pí : omega 0 . A tomuto procesu se v základech elektrotechniky jste se možná dozvěděli 51 00:06:36,700 --> 00:06:39,100 , že tomu se říká prostě ideální vzorkování 52 00:06:39,100 --> 00:06:42,600 a že to ideální vzorkování znamená 53 00:06:42,600 --> 00:06:45,900 , že si vlastně odečtu hodnotu 54 00:06:45,900 --> 00:06:49,100 té funkce v jednotlivých bodech 55 00:06:55,100 --> 00:07:00,000 a v tom mým celým světě nakonec mi zbyde 56 00:07:00,000 --> 00:07:03,000 jenom 57 00:07:10,000 --> 00:07:14,000 posloupnost příslušných vzorků 58 00:07:14,000 --> 00:07:20,800 , tak jak se to snažím tady umazat 59 00:07:18,800 --> 00:07:24,800 Možná , že by stálo za to když si to namalujete jako druhý obrázek těsně pod tím 60 00:07:24,800 --> 00:07:29,600 Ve vašem sešitě se možná lépe malujou prostě související 61 00:07:29,600 --> 00:07:32,900 hodnoty tak abyste dostali takovýto 62 00:07:32,900 --> 00:07:37,300 , takovýto nějaký srozumitelný 63 00:07:37,300 --> 00:07:44,000 , srozumitelnou posloupnost vzorků, která do jisté míry celkem věrohodně reprezentuje funkci sinus 64 00:07:44,800 --> 00:07:52,100 Ta reprezentace , že je věrohodná ta také souvisí s něčím takovým co jste někdy slyšeli 65 00:07:52,100 --> 00:07:56,900 , takzvaným Shanonův teorém . Slyšeli jste někdy o takové věci ? 66 00:07:56,900 --> 00:08:00,000 O vzorkovacím teorému? Takže jinými slovy : 67 00:08:00,000 --> 00:08:02,300 všechny ty kmitočty , které tam jsou 68 00:08:02,300 --> 00:08:06,100 tyhlety sinusový kmitočty musí být 69 00:08:06,100 --> 00:08:09,900 minimálně dvakrát menší než tenhleten vzorkovací kmitočet . 70 00:08:09,900 --> 00:08:12,000 Prostě musím dost často vzorkovat, 71 00:08:12,000 --> 00:08:15,000 abych prostě měl dostatečnou hustou síť, 72 00:08:15,000 --> 00:08:18,800 abych mohl tu sinusoidu zreprodukovat . 73 00:08:18,800 --> 00:08:21,300 To znamená , abych jí dokázal v podstatě reprodukovat zpátky . 74 00:08:21,300 --> 00:08:24,500 Ale to bychom se dostali někam jinam, tam já se nechci dostat, 75 00:08:24,500 --> 00:08:27,100 já jenom chci říci, že tohleto 76 00:08:27,100 --> 00:08:29,300 vzorné vzorkování 77 00:08:29,300 --> 00:08:34,400 má předpoklad v jedné takové docela srozumitelné funkci, 78 00:08:34,400 --> 00:08:37,600 která se říká jednotkový impuls . 79 00:08:44,600 --> 00:08:48,700 Ten jednotkový impuls má vlastnost, 80 00:08:48,700 --> 00:08:51,800 kterou už jsem vám tady minule se trošku maloval 81 00:08:51,800 --> 00:08:55,500 Jinými slovy je to veličinka, 82 00:08:58,500 --> 00:09:05,500 která je s posloupností právě jedničkou v bodě n se rovná m a 83 00:09:05,500 --> 00:09:09,600 já jí označím tedy delta ( n - m ) . 84 00:09:13,600 --> 00:09:16,400 Tady mám prostě posloupnost jednotlivých bodů . 85 00:09:16,400 --> 00:09:20,200 Chci říci já se přestanu zabývat tím, 86 00:09:20,200 --> 00:09:24,500 že budu psát že nebudu psát n ( t ) ale budu psát jenom n, 87 00:09:24,500 --> 00:09:30,000 ale nicméně koneckonců zatím vždycky musíte vidět tu periodu, jo ? 88 00:09:30,000 --> 00:09:32,400 A já budu jenom ukazovat, 89 00:09:32,400 --> 00:09:36,500 ukazovat na pátý den v týdnu 90 00:09:36,500 --> 00:09:39,700 a nebudu říkat , že jsou to dny , budu říkat pátý . 91 00:09:39,700 --> 00:09:44,900 Jinými slovy : takto je to míněné , takto je míněné celé vzorkování . 92 00:09:44,900 --> 00:09:47,200 A takto je míněný ten matematický zápis. 93 00:09:47,200 --> 00:09:52,100 Čili v nějakém dni , kdy prostě ten argument je 94 00:09:52,100 --> 00:10:02,400 nulový je to akorát jednička a všude jinde je to prostě nula 95 00:10:02,400 --> 00:10:08,200 Jakmile se n nerovná m ,tak délta( n - m ) je prostě rovno nule. 96 00:10:08,200 --> 00:10:14,000 Čili je to takováto funkce velmi idealizovaná , ale velmi užitečná. 97 00:10:14,000 --> 00:10:20,800 Ukážeme si jakým způsobem je užitečná tváří v tvář tomuto ideálnímu vzorkování. 98 00:10:23,800 --> 00:10:27,100 Takže když si to domalujete …. 99 00:10:36,100 --> 00:10:44,300 Já bych ještě zkusil v podstatě znovu překreslit ten zdiskretizovaný sinus 100 00:10:44,300 --> 00:10:47,300 to znamená sinus , který má takovéto nějaké hodnoty , 101 00:11:02,300 --> 00:11:04,800 to by mohlo stačit, 102 00:11:04,800 --> 00:11:13,400 čili tady tedy běhá teď nyní n moje , tady mám funkci , která je diskrétní funkce nebo diskrétní posloupnost, 103 00:11:14,400 --> 00:11:19,000 která odpovídá tomu navzorkovanému světu 104 00:11:19,000 --> 00:11:25,500 a teď bych jako chtěl jenom říci jak se tam projevuje tahleta moje idealizovaná délta. 105 00:11:27,500 --> 00:11:33,200 Představte si , že tadyhle někde je prostě jednička , že jo? 106 00:11:33,200 --> 00:11:37,200 toto je právě jedna. 107 00:11:37,200 --> 00:11:45,000 Když si ve stejných bodech takhle vztyčím tu mojí déltu, 108 00:11:45,000 --> 00:11:51,800 čili tadyhle prostě bude delta ( n ) , tadyhle bude prostě delta ( n - 1 ), 109 00:11:51,800 --> 00:11:57,400 tady bude delta ( n - 2 ) 110 00:11:57,400 --> 00:12:02,800 a tak dále, tak si prostě tady udělám takovouhle síť 111 00:12:05,800 --> 00:12:08,000 nebo takovouhle posloupnost 112 00:12:11,000 --> 00:12:18,600 těch delt a tu můžu charakterizovat takovýmto průběhem 113 00:12:21,600 --> 00:12:25,400 začnu tady a takhle běžím až do nekonečna . 114 00:12:26,900 --> 00:12:29,400 A takhle tam naskládám všechny jedničky. 115 00:12:30,400 --> 00:12:38,200 A pak neudělám nic jiného , než že ty jedničky vynásobím nějakým zcela konkrétním číslem 116 00:12:38,200 --> 00:12:41,200 Tady ho vynásobím nějakým číslem x(0) 117 00:12:43,200 --> 00:12:47,500 a tohleto musím trošku umáznout. 118 00:12:51,343 --> 00:12:58,843 Tady to vynásobím nějakým číslem , které odpovídá téhleté vzdálenosti 119 00:13:00,843 --> 00:13:06,200 a to je nějaké x ( 1 ) , tady to vynásobím nějakou vzdáleností x ( 2 ) , 120 00:13:06,200 --> 00:13:10,300 tady to vynásobím nějakou vzdáleností x ( 3 ) , 121 00:13:10,300 --> 00:13:15,100 tedy vlastně to vynásobím konkrétními hodnotami celé té posloupnosti . 122 00:13:15,100 --> 00:13:25,300 A když to tak udělám, tak jsem neudělal vlastně nic jiného, než že takto reprezentuji celý ten svůj signál. 123 00:13:25,300 --> 00:13:29,400 Když prostě budu chtít jenom ten n-tý vzorek tak to napíšu takto 124 00:13:31,400 --> 00:13:38,400 a mám definici mého vstupního, mé vstupní veličiny 125 00:13:45,400 --> 00:13:47,700 případně naše vstupní data. 126 00:13:49,700 --> 00:13:53,700 Čili já budu charakterizovat můj svět tím, že mám svoje jedničky 127 00:13:53,700 --> 00:14:00,200 pak je zmenším nebo otočím, zkrátka a dobře vynásobím je nějakými hodnotami 128 00:14:00,200 --> 00:14:08,200 a vlastně mám celý ten signál reprezentovaný vlastně jakýmsi takovýmto formálním zápisem 129 00:14:08,200 --> 00:14:12,300 a ten formální zápis budu i nadále používat. 130 00:14:49,300 --> 00:15:02,000 Takže teď se budeme snažit nalézt popis toho celého mého systému tak, 131 00:15:02,000 --> 00:15:09,400 abych používal znalosti o vzorkování, používal zápisy, které prostě jsem si zatím zavedl, 132 00:15:09,400 --> 00:15:14,300 ale na druhé straně abych použil ty slova na tom úplném začátku, 133 00:15:14,300 --> 00:15:20,300 čili začnu tím, že si nadefinujeme, že budeme označovat vstup jakožto tedy posloupnost x(n), 134 00:15:20,300 --> 00:15:28,300 budeme označovat někdy také jako u(n), ale záleží na tom jestli se prostě bavíme o vnějším nebo o vnitřním popisu 135 00:15:28,300 --> 00:15:33,300 a výstup bude samozřejmě malé písmenko ypsilon od argumentu n. 136 00:15:40,300 --> 00:15:45,500 Jestliže budeme mít 137 00:15:53,500 --> 00:15:55,700 tady na tom vstupu 138 00:15:56,700 --> 00:16:00,500 nějakou funkci jednotkového skoku, 139 00:16:00,500 --> 00:16:04,800 respektive posunutého jednotkového skoku, 140 00:16:04,800 --> 00:16:14,100 tak na výstupu toho systému, což je řekl bych tady označené písmenkem T, 141 00:16:15,100 --> 00:16:23,100 což je černá bedna, bude veličina, kterou nazýváme impulsní odezva. 142 00:16:25,100 --> 00:16:28,100 Toto je jednotkový impuls 143 00:16:36,100 --> 00:16:38,300 -je na vstupu 144 00:16:40,300 --> 00:16:43,300 a na výstupu je prostě impulsní odezva. 145 00:16:51,300 --> 00:17:01,000 Ta veličina obecně dává pro každý řádek prostě jinou sloupcovou hodnotu. 146 00:17:01,000 --> 00:17:07,000 Je to prostě matice. h(n,m) je prostě obecně maticová veličina. 147 00:17:07,000 --> 00:17:17,000 My si ukážeme, jak se tahle maticová veličina dokáže změnit jenom třeba takovým pojmem jako je linearita. 148 00:17:37,000 --> 00:17:45,400 Tady mám nějaké geometrické potíže s tím, že tu je podlaha křivě nebo je to celý, celé všechno divně. 149 00:17:45,400 --> 00:17:48,600 No tak si tedy musím s tím trošku vyhrát, ale to já zvládnu. 150 00:17:51,600 --> 00:17:58,700 Čili první pocit, který máme je ten, že tedy pro ten náš systém platí, 151 00:18:01,700 --> 00:18:12,500 že tahleta veličina je v podstatě odezvou toho systému na posunutý jednotkový skok. 152 00:18:12,500 --> 00:18:16,500 Čili je to odezva 153 00:18:18,500 --> 00:18:29,800 a my si tedy řekneme co se stane, když z těhletěch odezev zkonstruujeme celý vstupní signál. 154 00:18:30,483 --> 00:18:35,200 Když zkonstruujeme, to co jsem se tady na té tabuli trošku snažil naznačit. 155 00:18:35,200 --> 00:18:41,200 Řekneme si, že tenhleten náš sinus bude taky mít i tu levou část, 156 00:18:41,200 --> 00:18:45,300 to znamená, že bude od mínus nekonečna do plus nekonečna, ano? 157 00:18:45,300 --> 00:18:51,300 Čili tady nebude sčítání od nuly jak jsem to tam původně měl, že jsem to začal malovat od počátku, 158 00:18:51,300 --> 00:18:55,200 bude to prostě přes celý svět. Není problém. 159 00:18:56,200 --> 00:19:04,500 Jinými slovy:celý ten zápis vzniká z těch jedniček, které prostě zkrátím, prodloužím, zkrátím, prodloužím 160 00:19:04,500 --> 00:19:07,500 podle toho jak ten konkrétní typ toho signálu vypadá 161 00:19:07,500 --> 00:19:10,500 a pak říkám 162 00:19:12,500 --> 00:19:19,500 Co se stane, když ten systém je lineární? 163 00:19:19,500 --> 00:19:28,200 Chci upozornit, že pojem linearita je neskutečně vážnou veličinou vážným pojmem v teorii systémů. 164 00:19:28,200 --> 00:19:35,200 Linearita celou tuhletu záležitost zjednodušuje 165 00:19:35,200 --> 00:19:42,200 v jakémsi srozumitelném rytmu. 166 00:19:42,200 --> 00:19:48,200 Ona totiž říká, že když máte 167 00:20:06,200 --> 00:20:11,400 Když máte na tom vstupu nějaký 168 00:20:13,400 --> 00:20:16,900 řekněme jedno konkrétní kopnutí, 169 00:20:19,554 --> 00:20:27,554 tak dostanete nějakou konkrétní hodnotu té impulsní odezvy. 170 00:20:27,554 --> 00:20:32,554 A já říkám jednu takovou strašně vážnou věc, 171 00:20:32,554 --> 00:20:37,754 že do toho světa, do týhletý mý bedny, můžu kopat 172 00:20:37,754 --> 00:20:42,754 jednou nohou, levou nohou, ozve se i nějak, 173 00:20:42,754 --> 00:20:46,800 druhou nohou-pravou nohou, ozve se mi nějak 174 00:20:46,800 --> 00:20:50,100 a když prostě dokážu kopnout oběma nohama, 175 00:20:50,100 --> 00:20:54,500 což je trošku ekvilibristika, ale ono to asi jde, 176 00:20:54,500 --> 00:20:59,100 tak on se ozve v podstatě jakoby součtem těch dvou veličin. 177 00:21:00,100 --> 00:21:12,600 Platí princip superpozice na tom výstupu co se stane na tom vstupu bude také se podobat ve smyslu vyskládání těch odezev i na tom výstupu 178 00:21:12,600 --> 00:21:17,100 a v tom okamžiku já můžu tuhletu sumu takto zaměnit. 179 00:21:17,100 --> 00:21:25,400 To je zvláštní, já v okamžiku, kdy platí princip superpozice tak to můžu vyskládat z těch jednotlivých čutanců - 180 00:21:25,400 --> 00:21:29,100 - z těch jednotlivých delt 181 00:21:29,100 --> 00:21:35,100 a v tom okamžiku a jenom v tomhle okamžiku prostě toto je princip linearity 182 00:21:35,100 --> 00:21:39,200 a jenom v tomto okamžiku najednou napíšu naprosto náramnou věc. 183 00:21:39,200 --> 00:21:42,000 Vstup a výstup, 184 00:21:44,000 --> 00:21:46,800 vstup a výstup 185 00:21:46,800 --> 00:21:55,800 jsou svázány takovýmto maticovým násobením, měl bych to spíš napsat matice krát vektor, 186 00:21:55,800 --> 00:22:01,800 ale ono je to jedno celkem. Prostě tady mám sčítací index naznačený, takže je to v pořádku 187 00:22:04,800 --> 00:22:14,000 a je to tak, že mě stačí pouze znát impulsní odezvu, to znamená odezvu na tyhlety jednotlivé jedničky 188 00:22:16,000 --> 00:22:23,000 a pak jsem schopen na jakékoliv vstupní data nalézt příslušný výstup. 189 00:22:23,000 --> 00:22:29,300 Linearita říká, že toto je možné 190 00:22:31,300 --> 00:22:39,400 a dokonce naopak. Jestliže máte nelineární systém tak nic takového nenapíšete, v životě nenapíšete. 191 00:22:39,400 --> 00:22:45,800 Chci jenom říci, že nelineárních jevů se kolem nás vyskytuje dostatečné množství. 192 00:22:49,800 --> 00:22:54,100 Například ti co létají letadlem by mohli vědět třeba, že veškeré turbulence, 193 00:22:56,100 --> 00:23:05,100 myslím tím tedy turbulence za křídlem jsou způsobeny nelinearitou proudění vzduchu. 194 00:23:05,100 --> 00:23:08,500 Jinými slovy problémy, 195 00:23:08,500 --> 00:23:14,700 které nás prostě obklopují, se kterými žijeme, se kterými se prostě jaksi potýkáme 196 00:23:14,700 --> 00:23:16,900 nejsou všechny lineární. 197 00:23:16,900 --> 00:23:22,400 Dokonce kdyby to tak bylo třeba co se týče těch Navierovy-Stokesových rovnic, 198 00:23:22,400 --> 00:23:26,000 kdybychom je uměli třeba řešit, 199 00:23:26,000 --> 00:23:28,800 který popisují právě proudění takovýchto kapalin, 200 00:23:28,800 --> 00:23:32,300 tak v zásadě bychom mohli třeba rozumět tomu proč 201 00:23:32,300 --> 00:23:37,100 takový delfín umí těch padesát pět kilometrů v hodině, 202 00:23:37,100 --> 00:23:45,100 protože on má prostě takový jaksi kožich kolem sebe těch malých vírů, 203 00:23:45,100 --> 00:23:50,200 že prostě úplně zmenšuje viskozitu, že prostě to pálí tou vodou podstatně snáze. 204 00:23:50,200 --> 00:23:56,100 Zkrátka a dobře umět některý nelineární věci řešit znamená v podstatě velký technologický pokrok, 205 00:23:56,100 --> 00:24:00,300 ale prostě chci říci: nelinearita je něco co se nám vymyká z rukou. 206 00:24:00,300 --> 00:24:05,700 Lineární je svět, který prostě najednou dokážeme uchopit. 207 00:24:05,700 --> 00:24:10,100 Strčíme do něj, definovaně do něj strkáme a pak jsme schopni říci 208 00:24:10,100 --> 00:24:15,300 a když do něj strčím cokoliv tak prostě platí princip superpozice a já to umím popsat. 209 00:24:17,300 --> 00:24:21,100 Což vůbec není pravda pro ten nelineární svět prostě. 210 00:24:24,100 --> 00:24:34,700 Ukážeme si jednoduché příklady, protože si myslím, že nejlépe je mluvit o příkladech než mluvit o takových věcech obecně. 211 00:24:40,700 --> 00:24:48,600 Vzpomínáte si, že jsme si minule tady ukazovali diferenční rovnici, která vypadala tak, že tedy je to diferenční rovnice prvního řádu, 212 00:24:50,600 --> 00:24:55,200 má dva posunuté členy jako neznámou veličinu 213 00:24:55,200 --> 00:24:58,700 tedy něco jako výstup a já teda říkám, 214 00:25:00,700 --> 00:25:06,500 já tedy říkám, že systém popsaný takovouto diferenční rovnicí, 215 00:25:06,500 --> 00:25:10,800 takovýmto popisem je systém lineární. 216 00:25:10,800 --> 00:25:14,700 A teď si formálně ukážeme, jak že to je. 217 00:25:15,700 --> 00:25:18,700 No já říkám, 218 00:25:20,700 --> 00:25:23,900 že jestliže tady budu mít nějaký jeden vstup 219 00:25:23,900 --> 00:25:28,600 a jemu bude odpovídat nějaký výstup, 220 00:25:30,600 --> 00:25:34,300 přičemž ten vztah mezi nimi bude dán touto rovnicí 221 00:25:34,300 --> 00:25:36,300 obecně ... 222 00:25:47,300 --> 00:25:53,200 …. a pak mám druhý nějaký jiný signál, 223 00:25:53,200 --> 00:25:56,200 jiná data, 224 00:25:56,200 --> 00:26:05,000 která systémově vlastně odpovídají stejnému systému, tak dostávám v podstatě jakési y2(n). 225 00:26:08,000 --> 00:26:14,200 Princip superpozice respektive linearita, to že tedy tento systém je lineární neříká nic jiného 226 00:26:14,200 --> 00:26:19,000 než že když realizuji na vstupu 227 00:26:23,000 --> 00:26:25,400 jakousi kombinaci 228 00:26:27,400 --> 00:26:32,600 těchto předešlých elementárních vstupních dat, 229 00:26:33,600 --> 00:26:43,200 tak na tom výstupu budu mít odpovídajícím způsobem a1y1(n) plus a2y2(n) 230 00:26:44,200 --> 00:26:51,200 jinými slovy, že součet na vstupu se reprodukuje součtem na výstupu ve smyslu systému. 231 00:26:51,200 --> 00:26:57,000 To znamená tady se prostě objeví výstupní veličiny odpovídajícím způsobem. 232 00:26:58,000 --> 00:27:06,200 Když to chcete úplně dobře namalovat, tak to samozřejmě namalujete v takovémto kontextu, 233 00:27:06,200 --> 00:27:10,400 tak jak to mám tady na slidu (slajdu), že řeknete 234 00:27:10,400 --> 00:27:15,400 že v podstatě ty dvě rovnice vynásobíte a1,a2, 235 00:27:17,400 --> 00:27:23,400 sečtete a v podstatě na levé straně budete mít takovouto veličinu 236 00:27:23,400 --> 00:27:32,800 a v zásadě dostanete že prostě i ten součet splňuje tu příslušnou původní diferenční rovnici. 237 00:27:32,800 --> 00:27:39,800 Jinými slovy ta diferenční rovnice generuje systém, který je lineární. 238 00:27:41,800 --> 00:27:43,900 Aby bylo jasné 239 00:27:45,900 --> 00:27:54,500 existují velmi jednoduché, řekl bych popisy, na nelineární systém, který třeba umíme velmi srozumitelně si nadefinovat. 240 00:27:56,500 --> 00:27:59,500 Čili teď se budeme zabývat opakem 241 00:27:59,500 --> 00:28:02,700 nelinearita. 242 00:28:02,700 --> 00:28:07,200 Určitě to nebude tenhleten systém, který jsme si tady takhle namalovali 243 00:28:10,200 --> 00:28:16,400 a určitě nebude platit tahleta záležitost. 244 00:28:16,400 --> 00:28:22,400 Ukážeme si jak ten nelineární systém v konkrétním případě 245 00:28:22,400 --> 00:28:26,400 a třeba teda si řekneme nelinearita je prostě odmocnina, 246 00:28:31,400 --> 00:28:36,000 tedy systém odmocniny, to znamená část nějaké aritmetické jednotky, 247 00:28:36,000 --> 00:28:42,000 která do které prostě vstupuje hodnota a vystupuje odmocnina. 248 00:28:42,000 --> 00:28:48,700 Čili se budeme bavit o systému odmocnina jakožto o typicky nelineárním systému. 249 00:28:49,700 --> 00:28:55,500 Nejdřív si to ukážeme konkrétně, pak si ukážeme jak takovýto systém popsat nějakou diferenční rovnicí, 250 00:28:55,500 --> 00:28:58,500 která prostě samozřejmě vypadá jinak 251 00:28:58,500 --> 00:29:03,100 a ukážeme si ten velký dramatický rozdíl mezi těma dvěma rovnicemi. 252 00:29:09,100 --> 00:29:14,000 Je jasné že když prostě budeme chytře říkat a budeme si říkat dobře já potřebuju udělat třeba odmocninu z devíti, 253 00:29:14,000 --> 00:29:19,600 čili nějaké x1(n) bude právě devět. 254 00:29:21,600 --> 00:29:25,600 Tak na tom výstupu by samozřejmě mělo být 255 00:29:25,600 --> 00:29:31,000 Tak na tom výstupu by mělo být samozřejmě tři, 256 00:29:31,000 --> 00:29:37,100 protože odmocnina z devíti umíme, víme, že to jsou tři. 257 00:29:37,100 --> 00:29:41,000 Když totéž uděláme s další veličinou, 258 00:29:41,000 --> 00:29:45,400 když řekneme že x2(n) je nějakých zase šikovných šestnáct, 259 00:29:45,400 --> 00:29:48,800 taková veličina, kterou umíme ovládat, 260 00:29:48,800 --> 00:29:51,800 tak ten výstup tady samozřejmě bude čtyři. 261 00:29:53,800 --> 00:29:56,000 A teď si zkusíme trivialitu. 262 00:29:58,000 --> 00:30:01,600 Řekneme, tady na vstupu dáme součet těhletěch dvou veličin 263 00:30:03,600 --> 00:30:05,600 což je dvacetpět. 264 00:30:08,600 --> 00:30:13,200 Odmocnina by samozřejmě měla dávat pět, že? 265 00:30:13,200 --> 00:30:17,300 Jenže to ani náhodou! 266 00:30:19,300 --> 00:30:21,400 No to nepíše dobře, takže to můžu zahodit. 267 00:30:23,400 --> 00:30:27,400 To ani náhodou není rovno čtyři plus tři. 268 00:30:31,400 --> 00:30:34,000 Typická záležitost. 269 00:30:34,000 --> 00:30:39,900 Prostě vstup může samozřejmě se tam chovat něco takového, že sčítám, 270 00:30:39,900 --> 00:30:44,500 ale na tom výstupu ani náhodou nedostanu součet těch výstupních veličin. 271 00:30:47,500 --> 00:30:52,400 Čili toto je prostě klasický úplně jednoduchý příklad na nelineární systém. 272 00:30:52,400 --> 00:30:57,000 V aritmetické jednotce prostě každého komputeru se prostě vyskytuje takovýto algoritmus. 273 00:30:57,000 --> 00:31:00,300 Ukážeme si jak může třeba vypadat takový algoritmus 274 00:31:00,300 --> 00:31:04,800 a ukážeme si jak konec konců vypadá diferenční rovnice pro takovýto algoritmus, 275 00:31:04,800 --> 00:31:09,000 který prostě realizuje úplně triviální a okatou věc, 276 00:31:09,000 --> 00:31:12,000 proč něco nemusí být lineární. 277 00:31:18,000 --> 00:31:21,000 Asi potřebuji víc místa tak teď to zase takhle vytáhnu, 278 00:31:21,000 --> 00:31:23,900 zhasnu na chvíli…. 279 00:31:51,900 --> 00:31:55,100 Ukážeme si na příkladu 280 00:31:59,100 --> 00:32:03,800 odmocniny, tak si ukážeme v podstatě napíšu to slušně odmocniny. 281 00:32:10,800 --> 00:32:13,200 Tak si ukážeme jak budeme hledat třeba odmocninu z desíti. 282 00:32:17,200 --> 00:32:22,400 Čili vstupním x(n) je prostě deset. 283 00:32:28,400 --> 00:32:36,300 No protože umíme počítat, tak velmi často je dobré si říct cože to udělá v té druhé mocnině 284 00:32:36,300 --> 00:32:44,700 a umíme takto namalovat v podstatě klasický mocninný inteager kolem desítky 285 00:32:44,700 --> 00:32:46,700 prostě to není problém. 286 00:32:46,700 --> 00:32:53,500 Jinými slovy: my víme, že tedy nějaký odhad té mocniny je tohoto typu, 287 00:32:55,200 --> 00:32:58,200 čili toto vezmeme jako odhad 288 00:33:04,200 --> 00:33:08,700 a budeme si tady malovat v podstatě tedy ypsilon nula, 289 00:33:08,700 --> 00:33:11,700 že je tedy prostě tři 290 00:33:11,700 --> 00:33:18,500 a tady budeme malovat ypsilona nula na druhou že je tedy devět. To je prostě jasná věc. 291 00:33:18,500 --> 00:33:21,700 A jak teda získáme nějaké ypsilon jedna. 292 00:33:24,700 --> 00:33:27,500 y1 získám tak, že vezmu těch deset, 293 00:33:29,500 --> 00:33:31,500 vydělím třemi 294 00:33:31,500 --> 00:33:35,300 a spočítám to dejme tomu na 295 00:33:38,300 --> 00:33:41,300 dvě desetinná místa. 296 00:33:41,300 --> 00:33:44,700 Čili vezmu v uvozovkách tuto veličinu 297 00:33:44,700 --> 00:33:47,500 a pak vezmu tu původní 298 00:33:50,500 --> 00:33:57,400 a celé to vydělím dvěma. 299 00:33:58,400 --> 00:34:05,400 Aby bylo jasný - vezmu 10 vydělím 3 a dostanu 3,33. 300 00:34:05,400 --> 00:34:15,600 Vezmu dělitel a podíl, sečtu a vydělím dvěma. 301 00:34:15,600 --> 00:34:18,600 Dostanu 3,165. 302 00:34:18,600 --> 00:34:21,600 Takže první odhad, 303 00:34:26,600 --> 00:34:31,800 který jsem získal tak, že jsem vzal y1 je jedna polovina z 304 00:34:35,800 --> 00:34:43,000 x(n) tedy z x(0) v podstatě, protože tohleto v podstatě tedy taky muselo začínat, čili to je pořád jako ta desítka 305 00:34:43,000 --> 00:34:51,000 děleno y(0) plus y(0), že jo? 306 00:34:54,000 --> 00:34:59,300 a dostal jsem, že je to 3,165 307 00:35:00,300 --> 00:35:07,300 a ypsilon jedna na druhou a já tady někde mám 308 00:35:08,300 --> 00:35:15,300 - tak je to 10,01. Já to musím opsat 309 00:35:15,300 --> 00:35:18,900 sedm, dva, dva, pět 310 00:35:22,900 --> 00:35:32,700 a takhle pokračujeme y(2) vezmu tak, že vezmu jako jedna polovina z x(1) děleno y(1) plus y(1), 311 00:35:34,700 --> 00:35:36,700 jinými slovy: 312 00:35:36,700 --> 00:35:46,300 vezmu deset, vydělím to 3,165 a dostanu to na šest desetinných míst 313 00:35:46,300 --> 00:35:49,000 jako zase dvojnásobek, jako jo? 314 00:35:49,000 --> 00:35:54,200 a takhle dělím a dostanu veličinu 3,16 315 00:35:54,200 --> 00:36:02,400 a teď tady musím to zase tady opsat šest, dva, dva, sedm, osm 316 00:36:02,400 --> 00:36:12,500 a z toho tedy ypsilon dva na druhou už je velmi slušné přiblížení, protože to je 10,0000 317 00:36:12,500 --> 00:36:17,500 kolik je tam nul, čtyři, pět a pak tady je to dvojka, 318 00:36:19,500 --> 00:36:20,500 jo? 319 00:36:20,500 --> 00:36:26,900 Velmi rychle to kráčí k té odmocnině z desítky, jednoduchý algoritmus tohohletoho typu. 320 00:36:26,900 --> 00:36:29,300 Já ho tady obecně napíšu. 321 00:36:40,300 --> 00:36:52,000 Říkám, že tedy y(n+1) vygeneruji tak, že je to jedna polovina z y(n) plus toho původního čísla vyděleného y(n). 322 00:36:56,000 --> 00:37:01,000 Když se to pokusíte napsat do rovnice, kterou jsme tady měli v předchozím tvaru, 323 00:37:01,000 --> 00:37:08,300 tak to prostě vynásobíte dvěma, tady budete mít y(n+1) krát y(n), které jste měli ve jmenovateli 324 00:37:09,300 --> 00:37:17,200 budete tady mít napsáno mínus y(n) krát y(n) se rovná x(n). 325 00:37:18,200 --> 00:37:20,200 Toto je 326 00:37:22,200 --> 00:37:26,400 prosím formálně napsaná diferenční rovnice, 327 00:37:28,400 --> 00:37:33,400 kde na levé straně máme neznámé veličiny na pravé straně máme tu známou veličinu 328 00:37:33,400 --> 00:37:41,400 a tahleta diferenční rovnice realizuje v podstatě odmocninu, 329 00:37:41,400 --> 00:37:51,500 realizuje algoritmus, který jak vidíte docela úspěšně pokračuje a velmi rychle k té odmocnině z desíti dokonverguje, 330 00:37:51,500 --> 00:37:54,500 ale co je podstatné? 331 00:37:55,500 --> 00:37:58,500 Na rozdíl od toho lineárního případu. 332 00:38:00,500 --> 00:38:05,100 Já to takhle přikloním, aby se to tolik nelesklo třeba to bude já nevím čitelnější. 333 00:38:10,100 --> 00:38:17,300 Na rozdíl od toho předcházejícího případu ta neznámá se v rovnici vyskytuje v součinech 334 00:38:19,300 --> 00:38:23,600 a jakmile ta neznámá je tam v součinu není tam svobodná, sama jediná, 335 00:38:23,600 --> 00:38:28,600 tak v tom okamžiku máte co do činění s nelineárním systémem 336 00:38:30,600 --> 00:38:36,000 a ten nelineární systém je pěkné když se dá takhle explicitně zapsat 337 00:38:36,000 --> 00:38:39,000 mnohdy ani takovouhle rovnici kolem toho nenapíšete, 338 00:38:39,000 --> 00:38:44,500 podstatné je, že ten nelineární systém pro něj neplatí princip superpozice 339 00:38:44,500 --> 00:38:50,500 a vlastně je to jakýsi problém sám o sobě. 340 00:38:50,500 --> 00:38:54,300 Když bych se vrátil zpátky třeba k těm Navier–Stokesovým rovnicím, 341 00:38:54,300 --> 00:38:58,800 tak kolem nich se rozvinula celá numerická matematika, 342 00:38:58,800 --> 00:39:01,800 takzvaný "Finite element method" (fainait element metod) 343 00:39:01,800 --> 00:39:09,100 to znamená metody konečných prvků, které se prostě matematicky řeší prostě velmi složité diferenciální rovnice, 344 00:39:09,100 --> 00:39:16,300 ale bez toho to prosím nejde jo, prostě všechny designy auťáků vlastně se dělají prostě v umělých tunelech, 345 00:39:16,300 --> 00:39:20,000 kde prostě je to otázka proudění a zase se to počítá pomocí podobných rovnic. 346 00:39:20,000 --> 00:39:26,000 Když se prostě dělá letadlo nic jiného nezbývá, než to křídlo takhle otestovat než tam toho pilota posadíte. 347 00:39:26,000 --> 00:39:30,200 Zkrátka a dobře bez toho to nejde, ten život nejde. 348 00:39:30,200 --> 00:39:33,900 Ale já vám chci říct není to to, čím se budeme my zabývat. 349 00:39:33,900 --> 00:39:40,200 Já jenom chci říct, že je to obrovský místo na světě nelineární diferenciální rovnice, 350 00:39:40,200 --> 00:39:44,900 nelineární systémy, ve kterých prostě co kus to jiný výsledek. 351 00:39:44,900 --> 00:39:49,700 Bohužel tak to je a nelineární systémy, my prostě říkáme: ano ať jsou 352 00:39:49,700 --> 00:39:52,400 ale prostě trošku bez nás. 353 00:40:00,400 --> 00:40:06,000 Takže tady bude shrnutí příslušné rovnice , kterou jsem napsal támhle už na tabuli, 354 00:40:06,000 --> 00:40:13,700 ale nicméně jí mám napsanou v posunuté verzi, ale to nic nemění na tom, že je prostě, že je to prostě platné. 355 00:40:15,700 --> 00:40:20,000 Čili numerický výpočet odmocniny je generován takovouto rovnicí 356 00:40:20,000 --> 00:40:24,600 nebo takovýmto algoritmem a ta rovnice v podstatě dává tušit, 357 00:40:24,600 --> 00:40:29,800 že prostě s nelineárními systémy je to podstatně složitější hra nežli s těmi lineárními. 358 00:40:45,800 --> 00:40:50,000 Velmi vážnou veličinou a vážným pojmem se kterým se nyní budeme zabývat 359 00:40:50,000 --> 00:40:58,200 je prosím časová , časová proměnnost nebo časová neproměnnost toho systému. 360 00:41:00,200 --> 00:41:05,200 Co se týká tohoto konceptu 361 00:41:05,200 --> 00:41:14,400 představte si zase zpátky mě jako když kopu do toho systému a dělám to dneska, zítra, pak to udělám za týden, 362 00:41:14,400 --> 00:41:20,200 udělám to za dva roky a dostávám pořád stejný výsledek 363 00:41:20,200 --> 00:41:22,800 ať to dělám kdykoliv. 364 00:41:23,800 --> 00:41:28,000 Jinými slovy ten systém v dlouhém čase nestárne. 365 00:41:28,000 --> 00:41:32,200 Má-li to být třeba systém třeba přehrad na vltavské kaskádě, 366 00:41:32,200 --> 00:41:35,500 tak prostě ty přehrady se neodrolují, jo? 367 00:41:35,500 --> 00:41:44,500 nebo má-li to být systém metra, tak prostě ty vagóny prostě se časem nenafukují nevejde se čím dál tím větší počet pasažérů, 368 00:41:44,500 --> 00:41:50,500 prostě jsou to veličiny, které prostě charakterizují ten systém jako časově neproměnný v tom smyslu, 369 00:41:50,500 --> 00:41:53,500 že prostě se nemění jeho parametry. 370 00:41:55,500 --> 00:42:00,500 Čili stacionarita, čili časová invariance říká, 371 00:42:03,500 --> 00:42:09,400 říká že to co se stalo dneska , včera, prostě je ekvivalentní 372 00:42:09,400 --> 00:42:13,700 je pořád stejná nebo vychází pořád stejná hodnota. 373 00:42:15,700 --> 00:42:18,000 Z toho nakonec vyplyne jedna vážná věc: 374 00:42:20,000 --> 00:42:24,000 ty události, které měříme nebo které pozorujeme 375 00:42:24,000 --> 00:42:32,900 jsou takové, že když se posunou na tom vstupu ze čtvrtka na pondělí, 376 00:42:32,900 --> 00:42:39,200 tak o tyhlety čtyři dny se také změní na tom výstupu. 377 00:42:39,200 --> 00:42:46,200 Jinými slovy celé ty procesy už nejsou takový , že prostě tam musím mít všechny události i mezi tím, 378 00:42:46,200 --> 00:42:51,700 ale stačí mi prostě vzdálenost mezi těmi jednotlivými časovými, časovými body, 379 00:42:51,700 --> 00:42:54,100 čili prostě bavím se o intervalech. 380 00:42:56,100 --> 00:43:01,600 A v tom okamžiku celý ten můj popis najednou dostane docela rozum. 381 00:43:06,600 --> 00:43:10,400 Onen maticový popis, to znamená matice impulsní odezvy 382 00:43:10,400 --> 00:43:14,900 se zjednodušší na vektor, ztratí jednu dimenzi. 383 00:43:14,900 --> 00:43:22,300 Zcela náramná veličina počítat s maticemi , počítat s vektory je přece jenom jednodušší zábava. 384 00:43:25,300 --> 00:43:33,500 Takže ta matice, která původně byla n,m závisí pouze na rozdílu n-m. 385 00:43:33,500 --> 00:43:36,500 To je vážná věc. 386 00:43:36,500 --> 00:43:40,500 Takže mě stačí naměřit to pouze jednou, 387 00:43:40,500 --> 00:43:45,100 nemusím to měřit pozítří a popozítří a pořád vždycky na ten jednoduchý impuls, 388 00:43:45,100 --> 00:43:55,600 ale stačí mi to naměřit jednou a pak pokud ten systém je stacionární to znamená nestárne v průběhu času, 389 00:43:56,600 --> 00:44:01,300 tak vždycky pro něj bude ta konvoluční suma vypadat takovýmto způsobem. 390 00:44:01,300 --> 00:44:06,100 Řekl jsem konvoluční suma , čili odtud vychází …. 391 00:44:06,100 --> 00:44:09,100 Posledním takovým 392 00:44:13,100 --> 00:44:16,400 velkým slovem je kauzalita. 393 00:44:20,400 --> 00:44:24,900 Jak vnímáte vy pojem kauzality? Co je to kauzalita? 394 00:44:28,900 --> 00:44:31,200 Je to příčinnost. Je to prostě následná příčinnost. 395 00:44:31,200 --> 00:44:34,200 Jak jinak tedy prostě vnímat příčinnost? 396 00:44:34,200 --> 00:44:38,700 Představte si, že si usmyslím, že by se tady mělo zhasnout 397 00:44:38,700 --> 00:44:42,400 a než tam dojdu k tomu vypínači, tak se zhasne. 398 00:44:42,400 --> 00:44:47,600 Takže to je asi něco co příčinně není dobře, že jo? 399 00:44:47,600 --> 00:44:53,700 Nejsem schopen v podstatě zhasínat zrovna tady světlo v této místnosti tím, že si jenom na to pomyslím. 400 00:44:53,700 --> 00:44:59,000 Prostě musím k tomu vypínači dojít, až teprve poté co na něj sáhnu, tak se vypne. 401 00:44:59,000 --> 00:45:06,700 Jinými slovy: následnost jevů v tom našem světě je něco co velmi potřebujeme. 402 00:45:06,700 --> 00:45:16,300 V našem mikro, jaksi makro světě potřebujeme, aby činy respektive, aby měly každá prostě jaksi, akt měl nějakou příčinu 403 00:45:16,300 --> 00:45:23,300 a ta příčinná souvislost a ta příčinná jaksi následnost je strašně vážnou hodnotou. 404 00:45:23,300 --> 00:45:28,500 Nemáme rádi, když se v našem, v našem obyčejném světě dějou prostě jevy, 405 00:45:28,500 --> 00:45:32,800 které prostě vypadávají z tohohletoho kauzálního řetězce. 406 00:45:32,800 --> 00:45:41,400 I když chci říci, že prostě pokud jste slyšeli něco o kvantové fyzice, tak ten mikrosvět samozřejmě je takový, 407 00:45:41,400 --> 00:45:46,300 že tam kauzalita není tak úplně jaksi zachována. 408 00:45:46,300 --> 00:45:57,000 Dokonce jsou tam takové jevy typu, typu že třeba basketbalový míč může prostě se octnout na druhé straně dveří, 409 00:45:57,000 --> 00:46:00,000 ačkoliv teda má k dispozici jenom klíčovou dírku. 410 00:46:00,000 --> 00:46:04,600 Zkrátka a dobře jsou tam jevy, které v normálním makrosvětě prostě nemají své místo, 411 00:46:04,600 --> 00:46:15,900 ale my se teda pohybujeme v našem světě, ve kterém prostě ty následnosti kauzální prostě posloupnosti jsou zachovány. 412 00:46:15,900 --> 00:46:23,800 A říkám-li jsou zachovány, tak také říkám že něco musí platit o těch našich popisech, které tady máme. 413 00:46:24,800 --> 00:46:32,800 Řekli jsme si, řekli jsme si teda , že vztah mezi vstupem a výstupem 414 00:46:40,800 --> 00:46:43,900 je dán takovouto konvoluční sumou. 415 00:46:43,900 --> 00:46:47,400 A já bych vám teď tady ukázal, 416 00:46:57,400 --> 00:47:06,200 když tuto sumu rozdělím na sčítání od mínus nekonečna do mínus jedné 417 00:47:06,200 --> 00:47:11,000 a potom sčítání od nuly do nekonečna, 418 00:47:11,000 --> 00:47:16,400 tak si vezmeme jenom tu takzvanou řekneme tomu tedy levá část té sumy, 419 00:47:18,400 --> 00:47:22,400 kterou tedy označím že sčítám od 420 00:47:24,400 --> 00:47:34,000 k se rovná mínus nekonečno výraz h(k) x(n-k). 421 00:47:37,000 --> 00:47:42,900 A teď si zkusíme rozebrat co to udělá s prvními dejme tomu dvěma nebo třema členy. 422 00:47:42,900 --> 00:47:45,900 Že si to napíšu tak jak to tedy opravdu vidím, 423 00:47:45,900 --> 00:47:52,000 takže řeknu: dobře tady bude h(-1) x(n+1), 424 00:47:53,000 --> 00:48:00,400 pak tady bude h(-2) s plusem x(n+2), 425 00:48:00,400 --> 00:48:06,400 pak tady bude h(-3) x(n+3). 426 00:48:08,400 --> 00:48:10,400 A teď se ptám,.. 427 00:48:13,400 --> 00:48:15,400 plus a tak dále. 428 00:48:15,400 --> 00:48:20,700 A teď se ptám: je na tom něco divného? 429 00:48:26,700 --> 00:48:36,600 Jestliže n označuje výstup dneska, výstup dnes, co znamená x? 430 00:48:38,600 --> 00:48:43,100 No vstup zítra, vstup pozítří. 431 00:48:45,100 --> 00:48:47,100 To je divné né? 432 00:48:48,100 --> 00:48:57,900 Já konstruuji dnešek z událostí zítra, pozítří, popozítří to je špatně,né? 433 00:48:57,900 --> 00:49:02,300 Nebo špatně, to by bylo docela prima takhle umět občas, 434 00:49:02,300 --> 00:49:06,300 ale v tom našem světě to nefunguje,že? 435 00:49:10,300 --> 00:49:17,400 Takže kauzalita, kauzalita nám celkem logicky říká toto ne! 436 00:49:27,400 --> 00:49:39,800 Ještě jednou: ten důvod je, že se na výstupu objeví události, které jsou na vstupu až zítra, pozítří a tak dále. 437 00:49:41,800 --> 00:49:48,400 Objeví se tam cosi jako že byste třeba věděli jaký táhnou teď numera prostě na těch 85 miliónů, jo? 438 00:49:48,400 --> 00:49:54,200 No prostě bylo by to príma, bylo by to báječný, ale to nevede k cíli, tak to nefunguje ten náš život. 439 00:49:56,200 --> 00:50:01,200 Čili z hlediska popisu 440 00:50:02,200 --> 00:50:04,200 mě tam zbývá 441 00:50:06,200 --> 00:50:08,200 prosím jenom tahleta část 442 00:50:11,200 --> 00:50:18,200 a já z toho celého světa sčítání prostě sčítám jenom polosvět. 443 00:50:19,200 --> 00:50:23,400 Sčítám od nuly do nekonečna. 444 00:50:25,400 --> 00:50:32,100 Kauzální systém je popsán vektorem impulsní odezvy 445 00:50:32,100 --> 00:50:39,400 která má nenulové hodnoty pouze pro n je větší nebo rovno nule. 446 00:50:39,400 --> 00:50:45,800 Prostě zkrátka a dobře jenom v té pravé části světa ano? 447 00:50:50,800 --> 00:50:56,900 Tyto hodnoty tam být nemůžou, protože jinak by nám přeorali celý příčinný svět. 448 00:51:05,900 --> 00:51:10,000 A pak ještě jedna taková záležitost. 449 00:51:15,000 --> 00:51:18,200 U těch systémů, které máme k dispozici, 450 00:51:35,200 --> 00:51:38,200 tedy máme tento zápis, 451 00:51:40,200 --> 00:51:42,500 takovouhle konvoluční sumu… 452 00:51:54,500 --> 00:52:03,300 tak velmi často můžeme rozlišit řekl bych ty umělé a přirozené systémy. 453 00:52:04,300 --> 00:52:12,000 U těch umělých tam si prostě ten člověk zahájení toho měření prostě definuje 454 00:52:12,000 --> 00:52:17,600 Vy si spustíte počítadlo, vy začnete měření v nějakém čase konkrétním čase t 455 00:52:18,600 --> 00:52:26,600 a to že začnete takto měřit nakonec znamená, že prostě v umělých systémech 456 00:52:31,600 --> 00:52:34,100 mají definovaný počátek. 457 00:52:46,100 --> 00:52:52,300 Čili co tím chci říci? Chci tím říci, že prostě všechny moje vstupy i výstupy 458 00:52:55,300 --> 00:52:57,700 chci mít takové, 459 00:52:57,700 --> 00:53:03,200 že jsou nula pro všechny n menší než nula. 460 00:53:03,200 --> 00:53:09,400 Jinými slovy řeknu prostě tady je počátek mého světa, 461 00:53:09,400 --> 00:53:12,600 tady před tím není nic a teprve teď to začíná. 462 00:53:12,600 --> 00:53:15,600 Jakmile tohle řeknu, 463 00:53:18,700 --> 00:53:26,800 tak z tuhleté sumy, která je nekonečná se prostě stane konečné sčítání 464 00:53:36,800 --> 00:53:39,500 a jsem úplně přešťastný, 465 00:53:40,500 --> 00:53:45,200 protože konečné sčítání vede ke konečným časům 466 00:53:46,200 --> 00:53:52,000 a algoritmicky je to velmi často to, co vlastně chci od toho mého popisu, 467 00:53:52,000 --> 00:54:02,200 já velmi často potřebuji, abych na základě nějakého měření vstupů dokázal v rozumném čase spočítat jak vypadá ten výstup. 468 00:54:02,200 --> 00:54:08,100 Velmi často tyto definice vedou k tomu, že to může být docela komplikovaná záležitost. 469 00:54:12,100 --> 00:54:18,100 Čili chci říct: všechno co tady říkáme, všechny ty slova 470 00:54:20,100 --> 00:54:25,500 linearita, stacionarita nebo časová invariance, kauzalita 471 00:54:25,500 --> 00:54:30,500 a to že to spouští chlap nebo pardon nechci být shovinista nebo může tam být i baba, že jo? 472 00:54:30,500 --> 00:54:33,500 Prostě, že tam je nějaký tlačítko, 473 00:54:34,500 --> 00:54:40,500 vedou k tomu,že vlastně z toho celého téměř neprůstřelného 474 00:54:40,500 --> 00:54:48,500 a ne úplně jednoznačného popisu skončíme u takovéto srozumitelné konečné sumy docela dobrý, né? 475 00:54:49,500 --> 00:54:57,500 To je výsledek, který říká, že ta slova, která používáme, že ta slova která používáme mají neskutečně vážný význam. 476 00:54:57,500 --> 00:55:01,200 To nejsou slova jenom tak aby odplynula, 477 00:55:01,200 --> 00:55:05,700 to jsou slova, která mají.. reprezentují cosi a zcela vážně reprezentují 478 00:55:07,700 --> 00:55:12,900 a já bych byl rád kdybyste z této dnešní přednášky si právě odnesli tuto záležitost, 479 00:55:12,900 --> 00:55:20,100 abyste vnímali, že celá tahleta jaksi popisná část 480 00:55:21,100 --> 00:55:32,900 používá jakési verbální vyjádření a to verbální vyjádření velmi rychle promítá do toho jaký ten zápis matematický má mít k dispozici. 481 00:55:34,900 --> 00:55:39,400 V tomto smyslu ty počty souvisejí bezprostředně 482 00:55:39,400 --> 00:55:42,400 vůbec s uchopením systému jako takového. 483 00:55:44,400 --> 00:55:50,400 A já bych byl rád kdyby tohleto jste si odnesli jako představu z dnešního povídání. 484 00:55:53,400 --> 00:55:57,800 Jak jsme na tom? Ještě dokážu říct pár slov o spojitých systémech. 485 00:57:03,800 --> 00:57:12,000 Já jsem se vám tadyto ukázat jednoznačně celý tento popis a celý tenhleten příběh na systémech nebo na popisu, 486 00:57:12,000 --> 00:57:17,600 který vyplývá z diskrétního, 487 00:57:22,600 --> 00:57:28,000 ale také jsem vám říkal, že existuje možnost spojitého popisu. 488 00:57:37,000 --> 00:57:48,500 K tomu abych se dobral jednoduchého vyjádření v podstatě našich posloupností 489 00:57:48,500 --> 00:57:52,300 jsem potřeboval používat jednotkový impuls. 490 00:58:01,300 --> 00:58:08,500 Chtěl bych říci, že v tom spojitém světě je tento popis podstatně složitější právě proto, 491 00:58:08,500 --> 00:58:12,500 že zde potřebujete funkci, 492 00:58:14,500 --> 00:58:16,800 která vlastně není funkcí, 493 00:58:18,800 --> 00:58:23,200 kterou nazýváme někdy 494 00:58:24,600 --> 00:58:26,800 nebo t mínus t nula, 495 00:58:26,800 --> 00:58:29,800 Diracovou funkcí 496 00:58:39,800 --> 00:58:43,900 a všichni matematici by zapištěli, protože ona to vlastně není funkce, 497 00:58:43,900 --> 00:58:50,500 ona je to z hlediska matematiky něco takového jako je to funkcionál. 498 00:58:50,500 --> 00:58:53,500 Ona má jisté vlastnosti, 499 00:58:53,500 --> 00:58:57,500 představte si, že máte 500 00:58:57,500 --> 00:59:02,800 v bodě t nula máte jakési drobné okolí, 501 00:59:04,800 --> 00:59:08,200 které je takové, 502 00:59:08,200 --> 00:59:14,900 že tam můžete na tuhleté časové ose vztyčit takovouto veličinku, 503 00:59:14,900 --> 00:59:21,200 která má dejme tomu jedna lomeno epsilon šířku 504 00:59:21,200 --> 00:59:23,700 a nebo takhle: epsilon šířku, 505 00:59:23,700 --> 00:59:27,500 tahleta vzdálenost nechť je epsilon 506 00:59:27,500 --> 00:59:32,500 a výšku má právě jedna lomeno epsilon. 507 00:59:32,500 --> 00:59:36,500 Takovouhle funkci nazvu jakousi délta epsilon 508 00:59:37,500 --> 00:59:39,500 v tomhletom okolí. 509 00:59:41,500 --> 00:59:46,000 Ta má vlastnost, že prostě integrál přes celý svět 510 00:59:48,000 --> 00:59:53,600 je samozřejmě jednička, protože je to dáno plochou téhleté funkce 511 00:59:56,600 --> 01:00:09,400 a ta Diracova funkce je vlastně definována jako limita všech takovýchto podivných funkcí. 512 01:00:09,400 --> 01:00:16,100 Jinými slovy: ta funkce má čím dál tím lepší lokalizaci v bodě, 513 01:00:17,100 --> 01:00:27,100 ale má zase tak vysokou amplitudu, aby dávala prostě ten integrál dostatečně, dostatečně řekl bych jedničkový. 514 01:00:27,100 --> 01:00:33,500 To je základní problém, kterým čelíme v podstatě v těch, v tom spojitém popisu. 515 01:00:33,500 --> 01:00:43,200 Matematici říkají těmhletěm funkcím, které jsou dány limitami posloupností neboli limitami podintegrálních funkcí, 516 01:00:43,200 --> 01:00:47,400 říkají jim zobecněné funkce neboli funkcionály 517 01:00:47,400 --> 01:00:55,400 a prostě je celá teorie funkcionálů, která vede k tomu, že se to co se velmi jednoduše říká v tom diskrétním světě 518 01:00:55,400 --> 01:00:59,200 se dá přetlumočit do světa spojitého. 519 01:01:00,200 --> 01:01:07,000 A právě proto, že se to má jenom tlumočit, tak já vám nebudu říkat velké detaily, já se vám pouze pokusím říci, 520 01:01:07,000 --> 01:01:16,500 že ten svět diskrétní a spojitý má cosi společného a má samozřejmě jakési rozdíly mezi sebou, 521 01:01:17,500 --> 01:01:23,300 ale ta podstata té věci je bohužel velmi zapeklitá v tom, 522 01:01:23,300 --> 01:01:29,000 že tenhleten náš svět tuhletu nejjednodušší věc jako je jednotkový impuls 523 01:01:29,000 --> 01:01:37,000 má né příliš dobře uchopitelnou v tom spojitém světě. 524 01:01:37,000 --> 01:01:40,800 Představte si mé jednoduché kopání. 525 01:01:40,800 --> 01:01:45,200 Jak já mám určit jestli tohleto je dostatečně malý anebo tohle je lepší, jao jo? 526 01:01:45,200 --> 01:01:50,600 Jinými slovy tam je velký problém co je vlastně ta lokalizační veličina. 527 01:01:50,600 --> 01:01:56,900 Čili v tom spojitém světě, on je idealizovaný a v tomto smyslu je idealizovaný 528 01:01:56,900 --> 01:02:04,500 že vlastně všechno je to přes nějaké limity, přes nějaké řekl bych zespojitění něčeho co je vlastně spojité koneckonců ani být nemusí. 529 01:02:06,500 --> 01:02:10,600 Takže já se budu věnovat téhleté záležitosti příští hodinu, 530 01:02:10,600 --> 01:02:15,900 jenom jsem chtěl říci úvod rozdílu mezi spojitým a nespojitým světem 531 01:02:15,900 --> 01:02:21,500 a dneska máte odcházet s tím, že víte, že něco je velmi důležitou veličinou, 532 01:02:21,500 --> 01:02:27,900 že je linearita, velmi důležitou veličinou že je časová invariance a velmi důležitým pojmem že je kauzalita. 533 01:02:27,900 --> 01:02:31,500 Mějte se hezky , přeji vám hezký den a nashledanou.