1
00:00:00,000 --> 00:00:05,300
Dnešní přednáška bude věnována

2
00:00:05,300 --> 00:00:09,100
Laplaceově transformaci a jejímu použití

3
00:00:09,100 --> 00:00:12,900
a protože mluvím o Laplaceově transformaci,

4
00:00:12,900 --> 00:00:17,600
tak bych chtěl ubezpečit jednu takovou záležitost zcela vážně.

5
00:00:17,600 --> 00:00:23,700
Tak jako netaháte hřebíky zubama, ale taháte je kleštěma,

6
00:00:23,700 --> 00:00:26,900
tak takto já vnímám Laplaceovu transformaci.

7
00:00:26,900 --> 00:00:32,300
Je to nářadí, je to naprosto slušné nářadí.

8
00:00:32,300 --> 00:00:37,000
Já vás také nebudu učit jak se kalí ocel, kvůli tomu abyste věděli jak se udělají kleště,

9
00:00:37,000 --> 00:00:42,200
ale budu vás učit, jak kleště vypadají a jak se používají.

10
00:00:42,200 --> 00:00:48,200
Jinými slovy, budu vás přesvědčovat o tom, že použití Laplaceovy transformace je schůdná záležitost,

11
00:00:48,200 --> 00:00:53,800
že k tomu aby jste ji zvládali potřebujete tak asi 2 základní věci.

12
00:00:53,800 --> 00:00:56,700
Potřebujete umět počítat s komplexními čísly,

13
00:00:56,700 --> 00:01:00,000
to znamená vědět, že jsou komplexní, jak se sčítají a násobí

14
00:01:00,000 --> 00:01:05,300
a pak také možná vědět jak se integruje exponenciela.

15
00:01:05,300 --> 00:01:11,600
To je asi tak všechno co z hlediska techniky používání Laplaceovy transformace potřebujete.

16
00:01:11,600 --> 00:01:16,600
A pak také potřebujete pochopení, které se budu snažit tady vám vpravit do hlavy.

17
00:01:17,600 --> 00:01:23,200
Takže začneme se dneska bavit o matematickém nářadí

18
00:01:40,200 --> 00:01:47,500
a budeme si tuto záležitost opírat v podstatě o zdůvodnění,

19
00:01:47,500 --> 00:01:51,300
proč takovéto nářadí chceme používat.

20
00:01:51,300 --> 00:01:54,000
První takový důvod,

21
00:01:54,000 --> 00:01:57,000
čili řekneme si nějaké zdůvodnění použití.

22
00:02:07,000 --> 00:02:13,000
Jeden z prvních důvodů, který už možná vám dochází je to,

23
00:02:13,000 --> 00:02:17,300
že když jsme si zavedli lineárně časově invariantní systém

24
00:02:17,300 --> 00:02:21,800
a řekli jsme si, tady je nějaký vstup

25
00:02:22,800 --> 00:02:25,500
a tady je výstup

26
00:02:26,500 --> 00:02:30,900
ve spojité oblasti tedy v oblasti spojitého času,

27
00:02:30,900 --> 00:02:36,900
tak jsme si dospěli k tomu, že získáme něco jako jsou diferenciální rovnice.

28
00:02:44,900 --> 00:02:48,200
Ta diferenciální rovnice velmi často má třeba tvar,

29
00:02:48,200 --> 00:02:54,200
tady třeba napíšu diferenciální rovnici druhého řádu v tomto tvaru.

30
00:03:05,200 --> 00:03:08,100
Je jasné, že ta diferenciální rovnice,

31
00:03:10,100 --> 00:03:13,900
která přísluší lineárně časově invariantnímu systému,

32
00:03:13,900 --> 00:03:16,500
tak má ty vlastnosti, které má mít.

33
00:03:16,500 --> 00:03:19,300
To znamená má konstantní koeficienty,

34
00:03:19,300 --> 00:03:22,500
které naznačují prostě to, že ten systém nestárne.

35
00:03:22,500 --> 00:03:26,000
Má pravou stranu,

36
00:03:26,000 --> 00:03:33,100
to znamená, že z hlediska té diferenciální rovnice je to tak zvaná nehomogenní diferenciální rovnice

37
00:03:34,100 --> 00:03:38,200
a když se vrátíte k základnímu kurzu matematiky,

38
00:03:38,200 --> 00:03:43,000
tak si určitě vzpomenete jak se diferenciální rovnice mají řešit.

39
00:03:43,000 --> 00:03:45,600
No když je máte s pravou stranou,

40
00:03:45,600 --> 00:03:48,900
tak se říkalo ano, nejdřív najdeme co?

41
00:03:50,900 --> 00:03:54,900
… najdeme fundamentální prostě té homogenní rovnice

42
00:03:54,900 --> 00:04:00,700
a potom se snažíme uhádnout partikulární integrál.

43
00:04:00,700 --> 00:04:06,500
Že to hádání partikulárního integrálu občas může být obtížné,

44
00:04:06,500 --> 00:04:08,600
to víte sami moc dobře.

45
00:04:08,600 --> 00:04:12,900
Takže ta Laplaceova transformace,

46
00:04:12,900 --> 00:04:18,800
kterou já mám na mysli, ta odstraňuje to hádání partikulárních integrálů,

47
00:04:29,800 --> 00:04:32,800
tedy ve smyslu matematického uhádnutí, že ….prostě myslím to takto.

48
00:04:44,800 --> 00:04:47,300
To je jeden z prvních důvodů.

49
00:04:49,300 --> 00:04:52,900
Druhý důvod byl ten, že jsme si říkali,

50
00:04:52,900 --> 00:05:00,000
no pro ten náš lineárně časově invariantní systém jsme si dovodili,

51
00:05:00,000 --> 00:05:03,500
že platí vztah pro konvoluci.

52
00:05:03,500 --> 00:05:06,200
Jinými slovy, že jsme si nalezli

53
00:05:14,200 --> 00:05:17,500
takovýto výraz

54
00:05:17,500 --> 00:05:21,000
a říkali jsme, to je konvoluce

55
00:05:25,000 --> 00:05:28,400
a vztahuje podstatě tedy vstup a výstup,

56
00:05:28,400 --> 00:05:32,100
pokud umíme spočítat nebo pokud umíme nalézt impulsní odezvu.

57
00:05:33,100 --> 00:05:36,600
A pokud umím nalézt impulsní odezvu

58
00:05:36,600 --> 00:05:44,300
a respektive vůbec manipulace s takovýmto integrálem je docela komplikovaná záležitost.

59
00:05:44,300 --> 00:05:49,600
Jinými slovy zjednodušuje ta transformace

60
00:06:01,600 --> 00:06:05,600
počítání konvoluce ve smyslu vstup, výstup.

61
00:06:10,600 --> 00:06:13,100
A to jsou dva podstatné důvody

62
00:06:13,100 --> 00:06:17,500
pro které má smysl příslušné nářadí,

63
00:06:17,500 --> 00:06:20,700
které se nazývá Laplaceova transformace zavést.

64
00:06:41,168 --> 00:06:45,300
Teď přistoupíme k tomu zavedení Laplaceovy transformace,

65
00:06:45,300 --> 00:06:50,200
řekneme si o jejich vlastnostech, ukážeme si jak s Laplaceovou transferormací počítáme,

66
00:06:50,200 --> 00:06:53,600
pokud zbude nějaký čas,

67
00:06:53,600 --> 00:06:56,600
tak předvedu nějaký příklad,

68
00:06:56,600 --> 00:06:59,500
pokud nezbude pokračování bude samozřejmě příště.

69
00:07:23,500 --> 00:07:26,700
Začneme tak jak ve slušném světě se začíná,

70
00:07:26,700 --> 00:07:30,200
že si nejdříve domluvíme, jaké výrazy používáme,

71
00:07:30,200 --> 00:07:39,200
jaká slova používáme a pak začneme s těmito výrazy, s definičními vztahy pracovat.

72
00:07:40,200 --> 00:07:42,600
Takže vězte,

73
00:07:46,600 --> 00:07:51,000
že Laplaceova transformace funkce f(t),

74
00:07:57,000 --> 00:08:01,800
která se chová, matematici říkají, že je slušně vychovaná.

75
00:08:01,800 --> 00:08:05,400
To že je tedy nanejvýš polynomiálního růstu znamená,

76
00:08:05,400 --> 00:08:08,400
že do toho nekonečna neroste příliš rychle.

77
00:08:10,400 --> 00:08:13,900
Pokud ta funkce má slušné vychování,

78
00:08:17,900 --> 00:08:22,800
to znamená že jsou zde konečné mocniny toho času spojitého,

79
00:08:22,800 --> 00:08:27,200
pak je definována Laplaceova transformace integrálem,

80
00:08:27,200 --> 00:08:29,200
který říká:

81
00:08:32,200 --> 00:08:36,200
vezmi funkci, vynásob ji exponencielou,

82
00:08:36,200 --> 00:08:40,400
kde "p" je prosím  komplexní proměnná,

83
00:08:41,400 --> 00:08:44,000
péčko je komplexní veličina,

84
00:08:44,000 --> 00:08:46,500
"t" je reálná veličina

85
00:08:53,500 --> 00:08:57,900
a obdržíme tak vztah,

86
00:08:57,900 --> 00:09:04,700
který občas označujeme také takovým ozdobným písmenkem " L".

87
00:09:06,700 --> 00:09:11,200
Tedy velmi často rozumíme tomuto vztahu

88
00:09:13,200 --> 00:09:15,600
v následující podobě.

89
00:09:15,600 --> 00:09:19,600
Prosím u značení dodržujte takovou záležitost,

90
00:09:19,600 --> 00:09:21,600
že

91
00:09:23,600 --> 00:09:29,400
tu funkci v čase budeme označovat malými písmenky.

92
00:09:31,400 --> 00:09:37,000
Funkce v proměnné "p" budeme označovat velkými písmenky.

93
00:09:38,000 --> 00:09:41,400
Ta funkce v čase se velmi často nazývá VZOR

94
00:09:45,400 --> 00:09:48,700
a ta funkce v proměnné "p" se nazývá OBRAZ.

95
00:09:50,700 --> 00:09:55,000
Jedná se vlastně o dvě roviny.

96
00:09:56,000 --> 00:10:00,900
Jedna je rovina času,

97
00:10:00,900 --> 00:10:04,600
což je reálná proměnná

98
00:10:10,600 --> 00:10:16,300
a toto je rovina komplexní proměnné

99
00:10:26,300 --> 00:10:30,900
a ta transformace tedy říká, vezmu funkci, která je slušně vychovaná

100
00:10:30,900 --> 00:10:36,100
a ztransformuju jí do té pomocné roviny "p".

101
00:10:36,100 --> 00:10:46,900
V té rovině "p", která má samozřejmě reálnou a imaginární osu.

102
00:10:46,900 --> 00:10:51,000
Tak v této rovině "p" provedu nějaké operace

103
00:10:52,000 --> 00:10:57,300
a pak se snažím hledat cestu zpátky.

104
00:11:03,300 --> 00:11:08,500
Ta cesta zpátky se nazývá inverzní Laplaceova transformace

105
00:11:10,500 --> 00:11:12,500
a má tvar

106
00:11:14,500 --> 00:11:18,900
integrace podél imaginární osy v tomto smyslu.

107
00:11:18,900 --> 00:11:22,500
Tady je nějaká rovnoběžka,

108
00:11:22,500 --> 00:11:27,200
která protíná reálnou osu v bodě C.

109
00:11:28,200 --> 00:11:31,900
To C je kladné číslo třeba

110
00:11:36,900 --> 00:11:44,300
a zde je naznačeno formálně směřování paralelně podél té imaginární osy,

111
00:11:48,300 --> 00:11:50,200
směr integrace.

112
00:11:51,200 --> 00:11:57,000
Toto je vzoreček, který je známý z teorie

113
00:11:57,000 --> 00:12:00,000
funkcí komplexních  proměnných.

114
00:12:00,000 --> 00:12:04,500
Já vás tím nebudu trápit, chci jenom říci, že je slušné abyste věděli,

115
00:12:04,500 --> 00:12:11,300
že existuje jakási definice, která celou tuhletu matematiku vztahuje k celé partii,

116
00:12:11,300 --> 00:12:15,400
která se nazývá funkce komplexní proměnné.

117
00:12:16,240 --> 00:12:22,640
My se naopak naučíme způsob, jak tu inverzní transformaci počítat algoritmicky,

118
00:12:22,640 --> 00:12:28,100
podstatně jednoduššími prostředky, nežli integrací v komplexní rovině.

119
00:12:29,100 --> 00:12:32,600
Čili já vám předvedu způsob,

120
00:12:32,600 --> 00:12:35,600
který je starý už skoro 100 let.

121
00:12:35,600 --> 00:12:45,200
Nicméně je velmi účinný a velmi schopný při práci s inverzní transformací.

122
00:12:45,200 --> 00:12:51,700
Specielně pro naše systémy, pro naše lineární časově invariantní systémy.

123
00:12:55,700 --> 00:12:58,600
Chci dále říci, že ta funkce

124
00:13:13,600 --> 00:13:17,800
že ta funkce f(t)

125
00:13:17,800 --> 00:13:21,200
krát e na mínus pé té

126
00:13:21,200 --> 00:13:24,200
má takovou vlastnost,

127
00:13:24,200 --> 00:13:27,700
myslím ta podintegrální funkce,

128
00:13:27,700 --> 00:13:32,400
že pro reálnou hodnotu p > 0

129
00:13:36,400 --> 00:13:39,600
platí, že limita

130
00:13:42,600 --> 00:13:48,300
téhleté funkce, když "t" jde do nekonečna je nula.

131
00:13:48,300 --> 00:13:57,300
Jinými slovy, ta exponenciela jakoukoliv funkci v tom nekonečnu, zatlumí úplně do nuly.

132
00:13:57,300 --> 00:14:01,900
Má dostatečně velkou reálnou část,

133
00:14:01,900 --> 00:14:06,100
tak aby v podstatě došlo k tomu,

134
00:14:06,100 --> 00:14:13,200
že tedy ten integrál, který tady máme, abychom s ním mohli rozumně manipulovat.

135
00:14:15,200 --> 00:14:18,200
Čili to je důvod

136
00:14:18,200 --> 00:14:24,900
proč říkáme, že ta funkce má nanejvýš polynomiální růst,

137
00:14:24,900 --> 00:14:31,000
protože každý polynom ta exponenciela prostě dostatečně zabije.

138
00:14:33,000 --> 00:14:42,200
Nyní si začneme říkat takové základní vlastnosti Laplaceovy transformace,které budeme potřebovat.

139
00:14:42,200 --> 00:14:46,900
Ta první velmi vážná vlastnost je,

140
00:14:46,900 --> 00:14:51,700
že celá ta transformace je lineární.

141
00:14:54,700 --> 00:14:57,800
Je to úplně přirozený požadavek,

142
00:14:57,800 --> 00:15:00,800
protože my ji používáme na lineární systémy,

143
00:15:00,800 --> 00:15:05,100
tak nechceme, aby nám to ta transformace celé nějakým způsobem poničila.

144
00:15:05,100 --> 00:15:12,100
Takže vlastnost linearity je vám asi jasná, nicméně si představte takovou záležitost,

145
00:15:12,100 --> 00:15:18,400
že prostě chcete udělat transformaci třeba od dvou funkcí,

146
00:15:23,400 --> 00:15:26,400
které takto sčítáte.

147
00:15:27,400 --> 00:15:31,600
Což neznamená nic jiného, než že dělám integrál

148
00:15:31,600 --> 00:15:38,600
od funkce a1f(t) + a2g(t)

149
00:15:39,600 --> 00:15:46,300
toto je v závorce e na mínus pété dété.

150
00:15:47,300 --> 00:15:52,600
A je jasné, že sčítat pod integrálem mohu libovolně

151
00:15:52,600 --> 00:16:01,200
a násobit konstantou také, takže  dostanu, že to je a1 krát integrál od nuly  f(t) e na nínus pété dété

152
00:16:02,200 --> 00:16:11,500
plus a2 integrál od nuly do nekonečna g(t) e na mínus pété dété.

153
00:16:11,500 --> 00:16:18,000
A protože mám nějaké definice, tak je jasné, že tohle je F(p)

154
00:16:22,000 --> 00:16:26,600
a tenhle ten integrál je nějaká G(p)

155
00:16:26,600 --> 00:16:31,400
a ten princip linearity neříká nic jiného, než tuto vlastnost.

156
00:16:31,400 --> 00:16:36,100
Když sčítám na úrovni těch vzorů,

157
00:16:36,100 --> 00:16:39,500
tak stejně tak sčítám na úrovni těch obrazů.

158
00:16:42,500 --> 00:16:47,900
Obecně tu linearitu můžete napsat v takovém to tvaru,

159
00:16:47,900 --> 00:16:54,600
to znamená, že těch funkcí, které sčítáte může být jisté množství

160
00:16:54,600 --> 00:16:58,600
konečné, konečná suma

161
00:17:00,600 --> 00:17:04,600
a tak jako tedy označujeme

162
00:17:05,600 --> 00:17:09,800
písmenkem "L" transformaci dopřednou,

163
00:17:09,800 --> 00:17:17,400
prostě tedy tu původní tak tedy ta zpětná inverzní se označuje "L na mínus 1".

164
00:17:17,400 --> 00:17:20,900
Toto je tedy označení pro inverzní transformaci.

165
00:17:25,900 --> 00:17:30,100
písmenko L na mínus 1 označuje

166
00:17:32,100 --> 00:17:37,900
inverzní transformaci

167
00:17:59,900 --> 00:18:04,200
Důležitá vlastnost, která je pro všechny transformace tohoto typu

168
00:18:04,200 --> 00:18:08,200
Laplaceovu transformaci, Fourierovu transformaci

169
00:18:08,200 --> 00:18:14,800
Z-transformaci - je vlastnost, které se říká: věta o změně měřítka.

170
00:18:43,800 --> 00:18:46,500
Co se tím chce říci?

171
00:18:46,500 --> 00:18:49,500
Jestliže máme

172
00:18:59,500 --> 00:19:03,700
máme vztah mezi obrazem

173
00:19:03,700 --> 00:19:08,800
vztah mezi vzorem a obrazem v tomto smyslu,

174
00:19:08,800 --> 00:19:11,800
tak je otázka co se stane,

175
00:19:11,800 --> 00:19:21,900
když té funkci f(t) prostě změníme měření času.

176
00:19:21,900 --> 00:19:27,100
Prostě třeba z milisekund na sekundy,

177
00:19:27,100 --> 00:19:30,100
čili vynásobíme tisícovkou.

178
00:19:36,100 --> 00:19:40,100
Tak je otázka co se stane, jinými slovy, jak bude vypadat integrál,

179
00:19:42,100 --> 00:19:45,400
jehož podintegrální funkce bude f(at),

180
00:19:49,400 --> 00:19:51,700
jak bude vypadat příslušný obraz?

181
00:19:55,700 --> 00:19:59,500
Tak celá ta záležitost spočívá v tom,

182
00:19:59,500 --> 00:20:03,500
že zavedu substituci typu,

183
00:20:03,500 --> 00:20:07,500
že at se rovná nějaké tau.

184
00:20:11,500 --> 00:20:14,300
A když to udělám,

185
00:20:14,300 --> 00:20:17,300
tak je jasné že tady budu mít f(tau)

186
00:20:19,300 --> 00:20:22,500
tady budu mít e na mínus

187
00:20:22,500 --> 00:20:25,500
teď "t" se rovná "tau" lomeno "a"

188
00:20:25,500 --> 00:20:30,200
čili tedy tady bude "p" lomeno "a" krát "tau"

189
00:20:35,200 --> 00:20:37,400
a tady budu mít

190
00:20:37,400 --> 00:20:40,400
"d tau" lomeno "a"

191
00:20:40,400 --> 00:20:45,100
prootže ten diferenciál bude "a" krát jiný

192
00:20:48,100 --> 00:20:53,200
a protože když "t" bude v nekonečnu

193
00:20:53,200 --> 00:20:56,200
Tak i "tau" bude v nekonečnu

194
00:20:57,200 --> 00:21:02,300
a "t" když bude také v nule tak dostávám takovýto integrál

195
00:21:02,300 --> 00:21:07,900
který velmi snadno přepíšu na 1 lomeno "a"

196
00:21:07,900 --> 00:21:14,000
krát integrál od nuly do nekonečna f(tau)

197
00:21:14,000 --> 00:21:18,700
"e" na nějaké mínus "s" "tau"

198
00:21:18,700 --> 00:21:20,700
"dtau"

199
00:21:22,700 --> 00:21:26,200
a když to porovnám s tou původní definicí

200
00:21:26,200 --> 00:21:30,300
tak je jasné že je to nějaká 1 lomeno "a" krát F(s).

201
00:21:34,300 --> 00:21:37,700
A když za tu "s" dosadím zpátky,

202
00:21:38,700 --> 00:21:43,700
tak dostanu, že to "F"

203
00:21:47,700 --> 00:21:49,900
bude v proměnné "p" lomeno "a"

204
00:21:51,303 --> 00:21:55,303
a to bude prosím Laplaceův obraz

205
00:21:58,303 --> 00:22:01,503
té funkce se změněným měřítkem.

206
00:22:01,503 --> 00:22:03,603
A toto je výsledek.

207
00:22:19,603 --> 00:22:26,903
Protože mohu natahovat také v té rovině "p",

208
00:22:27,903 --> 00:22:32,903
tak platí vzorečky, které jsem uvedl takto dohromady,

209
00:22:32,903 --> 00:22:40,000
takže si je celkem snadno zapíšete,

210
00:22:40,000 --> 00:22:45,000
na nich je podstatná jedna záležitost,

211
00:22:45,000 --> 00:22:54,600
která je třeba známá lidem, kteří se u pana profesora Nováka zabývají analýzou EEG signálu.

212
00:22:54,600 --> 00:23:01,600
Tak prostě moc dobře vědí, že když někde změní měřítko v jejich krátké Fourierovy transformace

213
00:23:01,600 --> 00:23:04,900
tak se jim naopak jiné měřítko zvětší.

214
00:23:04,900 --> 00:23:07,900
Čili jinými slovy to je typická vlastnost,

215
00:23:08,900 --> 00:23:15,600
která souvisí v podstatě s Heisenbergovým principem neurčitosti.

216
00:23:15,600 --> 00:23:21,400
Pokud jste někdy slyšeli v úvodu do kvantové fyziky tuto záležitost,

217
00:23:21,400 --> 00:23:24,800
Pokud jste někdy slyšeli v úvodu do kvantové fyziky tuto záležitost,

218
00:23:27,800 --> 00:23:33,200
Tedy když v jedné rovině dramaticky změníte měřítko,

219
00:23:33,200 --> 00:23:38,200
tak v té druhé se vám to měřítko naopak zhorší.

220
00:23:38,200 --> 00:23:43,000
Čili jinými slovy rozlišení v jedné rovině je za cenu těžkého rozlišení v rovině druhé.

221
00:23:43,000 --> 00:23:46,000
To je vlastnost Laplaceovy transformace,

222
00:23:46,000 --> 00:23:49,700
všechny ostatní transformace mají naprosto stejnou vlastnost.

223
00:24:05,700 --> 00:24:13,800
Další taková vážná věta je věta o posunutí.

224
00:24:40,800 --> 00:24:44,500
Zase vycházím z toho, že vím, že mám takovýto

225
00:24:46,500 --> 00:24:51,500
vztah mezi originálem,

226
00:24:52,500 --> 00:24:58,900
tím vzorem a obrazem, který je dán prostě Laplaceovou transformací

227
00:24:58,900 --> 00:25:01,900
a ptám se, co se stane

228
00:25:01,900 --> 00:25:08,800
když ta f(t) přejde na nějakou posunutou hodnotu.

229
00:25:08,800 --> 00:25:14,200
Jinými slovy co se stane, když ten počátek posunu do nějakého bodu "tau".

230
00:25:21,200 --> 00:25:25,700
Takže se zeptám, jak tu transformaci provedu.

231
00:25:25,700 --> 00:25:28,700
Takže udělám "t" mínus "tau"

232
00:25:28,700 --> 00:25:33,700
"e" na mínus "pt"  "dt"

233
00:25:36,700 --> 00:25:39,900
a opět zase použiji substituci,

234
00:25:44,900 --> 00:25:51,100
která říká "t" mínus "tau" nechť je nějaké "t" s čárkou .

235
00:25:51,100 --> 00:25:55,700
Prostě jiný čas s jiným počátkem.

236
00:26:01,700 --> 00:26:07,100
Když to udělám, tak tady budu mít f(t´)

237
00:26:11,100 --> 00:26:16,300
v exponenciele budu mít "e" na mínus "p" a teď tam za to "t" musím dosadit

238
00:26:16,300 --> 00:26:19,300
že to je  "t´" plus "tau",

239
00:26:22,652 --> 00:26:25,300
"tau" je konstanta prosím

240
00:26:29,300 --> 00:26:36,200
a vím že se to leskne. Neumím to prostě natočit obecně všemi směry.

241
00:26:36,200 --> 00:26:44,300
A budu přirozeně integrovat přes "dt´",

242
00:26:44,300 --> 00:26:47,100
protože holt toto je konstanta,

243
00:26:48,100 --> 00:26:50,100
takže přírůstek tento i tento jsou stejné.

244
00:26:54,100 --> 00:27:00,800
Co se mezí toho integrálu týká, tak tam ta úvaha je trošku složitější.

245
00:27:00,800 --> 00:27:07,400
Za prvé: Je jasné, že když přičítám odčítám k nekonečnu, tak dostanu nekonečno, tam se nic nestane.

246
00:27:07,400 --> 00:27:12,800
Čili když bylo "t" nekonečno, tak je i "t´" nekonečno.

247
00:27:14,800 --> 00:27:21,000
Když ovšem "t"  byla nula, tak to "t´" je mínus "tau".

248
00:27:28,000 --> 00:27:34,300
Tak a teď si musíme něco říci o tom, jaké ty funkce vlastně používáme v Laplaceově transformaci.

249
00:27:38,300 --> 00:27:45,600
Tak jako s těmi systémy zápolíme, tak stejným způsobem my pracujeme s našimi funkcemi,

250
00:27:45,600 --> 00:27:48,700
to znamená, ty naše funkce jsou takové,

251
00:27:50,700 --> 00:27:54,100
že když tady takto běhá čas,

252
00:27:54,100 --> 00:27:56,500
tady je počátek,

253
00:27:57,400 --> 00:27:59,900
tak ta funkce f(t)

254
00:28:02,900 --> 00:28:10,000
má tu vlastnost, že ona je nulová

255
00:28:13,000 --> 00:28:20,800
a až teprve od nějakého počátku nula se nějak třeba začne chovat.

256
00:28:23,800 --> 00:28:33,000
Prostě je to funkce f(t) je různý od nuly pro "t" větší nebo rovno nule.

257
00:28:37,000 --> 00:28:39,500
A všude jinde je nula.

258
00:28:40,500 --> 00:28:44,500
To jsou takové ty naše funkce, které jsem říkal, existuje začátek,

259
00:28:44,500 --> 00:28:49,700
spustím a pak mě zajímají, zajímá mě polosvět.

260
00:28:50,700 --> 00:28:53,700
Jestliže tomu tak je, tak tenhleten integrál

261
00:28:55,700 --> 00:29:02,700
se rozpadne na dva integrály jeden od mínus "tau" do nuly

262
00:29:03,700 --> 00:29:07,500
a druhý od nuly do nekonečna,

263
00:29:08,500 --> 00:29:11,400
přičemž tady

264
00:29:11,400 --> 00:29:19,100
bude nula krát, v téhle té oblasti ta funkce, prostě jako z definice je prostě nulová.

265
00:29:19,100 --> 00:29:23,400
A tady samozřejmě mi zbude f (t´)

266
00:29:23,400 --> 00:29:30,000
"e" na mínus "p(t´ + tau)"  "dt´"

267
00:29:30,000 --> 00:29:32,500
a už jsem skoro hotov.

268
00:29:32,500 --> 00:29:35,500
Čili z těchto důvodů tento integrál,

269
00:29:35,500 --> 00:29:38,100
tato část vypadne

270
00:29:44,100 --> 00:29:46,400
a skončím

271
00:29:49,400 --> 00:29:56,300
tak, že říkám,že věta o posunutí

272
00:29:59,300 --> 00:30:05,900
dává výsledek  "e" na mínus "p tau"

273
00:30:06,900 --> 00:30:11,000
to je prostě konstanta, kterou můžu před ten integrál vypustit

274
00:30:11,000 --> 00:30:14,000
no a skončí tam že je to F(p), že jo.

275
00:30:17,000 --> 00:30:19,600
Tím jsem hotov.

276
00:30:19,600 --> 00:30:22,600
Věta o posunutí tedy říká,

277
00:30:28,600 --> 00:30:37,900
že posunutá funkce je v obraze násobena právě o to exponencielo, o to posunutí.

278
00:30:44,900 --> 00:30:48,700
Tato vlastnost se dá využívat třeba při počítání

279
00:30:49,700 --> 00:30:56,200
jak uvidíme třeba tabulkových integrálů, zkrátka a dobře jak vznikají tabulky.

280
00:31:11,200 --> 00:31:16,100
Nyní k docela důležitému integrálu,

281
00:31:16,100 --> 00:31:20,400
totiž jak dopadne tzv. konvoluce.

282
00:31:24,400 --> 00:31:27,600
Prosím opište si tento vzoreček a poslouchejte mě, co vám řeknu.

283
00:31:56,600 --> 00:31:59,500
Ta věta o konvoluci říká,

284
00:31:59,500 --> 00:32:07,000
jak se změní integrál, který jsme měli v případě vztahu vstup, výstup,

285
00:32:07,000 --> 00:32:09,800
jak jsem vám tady maloval již na tabuli.

286
00:32:12,800 --> 00:32:16,500
Ta konvoluce se změní na obyčejný součin,

287
00:32:16,500 --> 00:32:20,300
algebraický součin těch funkcí, které v té konvoluci vystupují.

288
00:32:24,300 --> 00:32:30,100
V oblasti spojitého času se důkaz, že k tomu tak dochází

289
00:32:30,100 --> 00:32:35,900
vede přes trojité integrály a zkrátka a dobře není to nic pěkného, když se to maluje na tabuli.

290
00:32:36,900 --> 00:32:44,800
Já vám to ukáži v oblasti diskrétního času, kde je to podstatě srozumitelnější a jednodušší formalismus,

291
00:32:44,800 --> 00:32:47,000
který je potřeba použít.

292
00:32:48,000 --> 00:32:53,200
Napište si poznámku důkaz viz. diskrétní svět nebo diskrétní čas.

293
00:32:55,200 --> 00:33:01,300
A přijde adekvátně později, kdy se budeme bavit o tzv. transformaci Z.

294
00:33:10,300 --> 00:33:13,000
V tomto smyslu,

295
00:33:13,000 --> 00:33:17,000
tedy ve smyslu tedy té věty o konvoluci, jsme si ukázali,

296
00:33:17,000 --> 00:33:23,300
že ten důvod proč používat Laplaceovu transformaci je opravdu vážný.

297
00:33:23,300 --> 00:33:27,800
My prostě místo integrálu a integrace, né příliš úplně srozumitelné integrace

298
00:33:27,800 --> 00:33:31,000
máme docela obyčejné součiny,

299
00:33:31,000 --> 00:33:34,600
jako bychom odstranili ten problém číslo dvě, který jsem říkal,

300
00:33:34,600 --> 00:33:38,000
to je důvod proč používat Laplaceovu transformaci.

301
00:33:38,000 --> 00:33:43,500
Ta druhá záležitost se týká diferenciálních rovnic,

302
00:33:44,500 --> 00:33:52,600
týká se situace, kdy se budu bavit o derivaci nebo o obrazu derivace funkce.

303
00:34:36,600 --> 00:34:39,600
Začneme opět stejným způsobem a budeme říkat tedy,

304
00:34:40,600 --> 00:34:44,100
že takovýto integrál

305
00:34:52,100 --> 00:34:54,700
je vlastně tedy tento první řádek, ano.

306
00:34:55,700 --> 00:34:58,900
A teď se ptáme co se tedy stane, když já se budu ptát,

307
00:35:02,900 --> 00:35:05,700
jak transformuji první derivaci,

308
00:35:10,700 --> 00:35:12,900
jinými slovy, toto je ona otázka.

309
00:35:18,900 --> 00:35:22,900
Tečka je derivace podle času, prostě pak tam budou obecné derivace,

310
00:35:22,900 --> 00:35:29,500
ale nicméně jestli jsme si řekli, že tedy derivujeme podle času, tak tam píšeme tečku.

311
00:35:35,500 --> 00:35:39,400
Jak budeme s takovýmto integrálem zápolit?

312
00:35:42,000 --> 00:35:45,500
Nějaký názor? Co s tím?

313
00:35:52,500 --> 00:35:57,800
No máte tam derivaci a potřebujete to dostrkat k tomu, aby tam ta derivace jako nebyla.

314
00:35:57,800 --> 00:36:03,800
Vzpomínáte si co jste dělávali, no integrovali jste per partes, že jo? Že?

315
00:36:05,600 --> 00:36:10,800
Takže budeme integrovat per partes, tady budeme mít "u´ v" ,

316
00:36:12,800 --> 00:36:15,800
takže budu mít "uv" jako integrál,

317
00:36:17,800 --> 00:36:22,400
což je tedy f(t) "e" na mínus "pt"

318
00:36:22,400 --> 00:36:27,400
a musím tam dosadit dolní a  horní mez

319
00:36:27,400 --> 00:36:36,900
a pak tady musím mít mínus integrál od nuly do nekonečna "u" a "v´", že jo.

320
00:36:41,900 --> 00:36:44,600
Je to tak, ne ?

321
00:36:49,600 --> 00:36:54,500
se rovná "uv" mínus "uv´".

322
00:36:55,500 --> 00:36:57,500
To tak je,

323
00:37:03,000 --> 00:37:05,700
to je otázka derivace součinu.

324
00:37:06,700 --> 00:37:09,900
Tak co dál?

325
00:37:09,900 --> 00:37:14,000
No tady se opět uplatní taková ta vlastnost,

326
00:37:14,000 --> 00:37:21,000
kterou jsem říkal na začátku, to znamená, že ta funkce v nekonečnu, má tu vlastnost,

327
00:37:21,000 --> 00:37:27,500
že reálná část toho "p" dostatečná,

328
00:37:27,500 --> 00:37:32,800
aby celá tahle veličinka šla prostě k nule, ano.

329
00:37:32,800 --> 00:37:38,000
Čili jinými slovy, já tady v nekonečnu budu mít nulu mínus

330
00:37:38,000 --> 00:37:42,900
a pak tam budu mít f(0) "e" na mínus "p" krát nula

331
00:37:46,900 --> 00:37:49,800
to je z toho integrování

332
00:37:50,800 --> 00:37:55,600
a pak tady budu mít mínus derivace exponenciely,

333
00:37:55,600 --> 00:37:58,600
to bychom mohli všichni vědět, to je mínus "p"

334
00:37:58,600 --> 00:38:06,600
tak tadyhle to dopadne jako "p" krát integrál od nuly do nekonečna  f(t) "e" na mínus "pt" "dt".

335
00:38:15,600 --> 00:38:18,800
A jsem skoro hotov, protože toto

336
00:38:21,800 --> 00:38:25,000
je můj začátek, takže tady napíšu že je to "p" krát F(p)

337
00:38:27,000 --> 00:38:32,600
a tady odečtu mínus f(0) krát 1, že jo.

338
00:38:35,600 --> 00:38:45,400
Takže odpověď na tuto otázku je taková, že je to "p" krát F(p) - f(0).

339
00:39:16,400 --> 00:39:20,300
Kdyby jste se ptali na otázku typu a co se stane,

340
00:39:20,300 --> 00:39:23,300
co se stane že

341
00:39:36,300 --> 00:39:39,500
že když tam budu mít druhou derivaci,

342
00:39:48,500 --> 00:39:55,100
tak je to tak jako kdybyste vnořili znovu a znovu stejnou záležitost.

343
00:39:55,100 --> 00:40:03,100
Jinými slovy je to jakýmsi  skoro rekurentním počítáním tohoto integrálu.

344
00:40:03,100 --> 00:40:07,700
Prostě dál a dál ho počítám, až do té doby, než tam mám prostě ten čistý integrál

345
00:40:07,700 --> 00:40:11,800
a ono to skončí, že tady budu mít "p" na druhou F(p)

346
00:40:15,800 --> 00:40:18,200
pak tam bude mínus "p" krát f(0)

347
00:40:20,200 --> 00:40:24,600
a pak tam bude mínus "f" s tečkou v nule.

348
00:40:26,600 --> 00:40:31,600
Jo prostě když to opravdu vnoříte a vynásobíte "p" tak ono to je jako viditelné.

349
00:40:35,600 --> 00:40:42,500
Takže tohle "p" krát "p" F(p) mínus f(0) ,

350
00:40:43,500 --> 00:40:46,500
to je vlastně tahle veličina

351
00:40:47,500 --> 00:40:55,500
a tady máte ještě to f s tečkou nula, který je od toho že tohle je dvakrát integrovaný.

352
00:41:02,500 --> 00:41:05,700
Takže obecně vzoreček

353
00:41:07,700 --> 00:41:13,000
je tady v této tabulce, jinými slovy můžete dál a dál pokračovat

354
00:41:13,000 --> 00:41:19,200
a ty další a další derivace dopočítat jaksi stejným způsobem počítání.

355
00:41:23,200 --> 00:41:26,400
Co chci říci vážného?

356
00:41:27,400 --> 00:41:35,100
Ta diferenciální rovnice obsahuje právě takové veličiny jako první derivaci, druhou derivaci,

357
00:41:35,100 --> 00:41:40,000
zkrátka a dobře

358
00:41:40,000 --> 00:41:43,400
použitím Laplaceovy transformace na diferenciální rovnice,

359
00:41:43,400 --> 00:41:46,800
dostanete podstatě něco jako algebraické výrazy.

360
00:41:46,800 --> 00:41:57,400
A co je dál důležité je, že si pokaždé použití Laplaceovy transformace řekne,

361
00:41:57,400 --> 00:42:03,400
dobře napsaná, tedy dobře spočítaná Laplacka si řekne prostě o počáteční podmínky.

362
00:42:03,400 --> 00:42:09,900
V případě diferenciální rovnice prvního řádu je jedna počáteční podmínka.

363
00:42:09,900 --> 00:42:16,500
V případě diferenciální rovnice druhého řádu jsou dvě počáteční podmínky.

364
00:42:16,500 --> 00:42:19,500
Zkrátka a jednoduše chci říci,

365
00:42:19,500 --> 00:42:24,700
že použití Laplaceovy transformace velmi dobře odpovídá tomu,

366
00:42:24,700 --> 00:42:28,400
co se na vás chce, když stojíte před diferenciální rovnicí.

367
00:42:28,400 --> 00:42:31,800
Musíte také vědět něco jako jsou to počáteční podmínky,

368
00:42:31,800 --> 00:42:37,900
počet těch počátečních podmínek je vlastně dán způsobem počítání Laplacky.

369
00:42:39,900 --> 00:42:43,000
Zdá se, že jsme tímto

370
00:42:50,000 --> 00:42:55,600
nalezli i druhé zdůvodnění, proč používat Laplaceovu transformaci.

371
00:42:57,600 --> 00:43:01,900
Diferenciální rovnice, lineární diferenciální rovnice se zalgebraizují

372
00:43:02,900 --> 00:43:08,100
a pokud umím spočítat Laplaceovy transformace různých standardních funkcí,

373
00:43:08,100 --> 00:43:11,100
které můžou být na pravé straně,

374
00:43:11,100 --> 00:43:17,400
tak vlastně umím napočítat celý algebraický výraz, který mám tak k dispozici.

375
00:43:17,400 --> 00:43:23,100
Mám tím namysli tolik, že z té rovnice

376
00:43:33,100 --> 00:43:37,000
ještě potřebuji znát co se stane když budu integrovat,

377
00:43:37,000 --> 00:43:41,800
když prostě pustím teda příslušnou Laplaceovu transformaci na diferenciální rovnici,

378
00:43:41,800 --> 00:43:45,700
tak jsme si zatím řekli co se stane s tímto, co se stane s tímto, co se stane s tímto,

379
00:43:45,700 --> 00:43:49,700
to umíme, no a ještě potřebujeme,

380
00:43:49,700 --> 00:43:55,000
když máme zadanou nějakou pravou stranu, tak jak vlastně s tou pravou stranou zacházet.

381
00:43:55,000 --> 00:44:04,300
Jinými slovy, co se stane, když třeba na pravé straně bude mít zcela podivně napsáno, že tam je třeba delta funkce.

382
00:44:05,300 --> 00:44:09,600
V té časový rovnici prakticky s tím nemůžete počítat, to prostě skoro nejde pořádně.

383
00:44:12,600 --> 00:44:15,800
Nebo prostě když to u(t) bude "1" (t)

384
00:44:19,800 --> 00:44:22,700
…prostě zapnul jsem baterku, prostě skok jednotkový.

385
00:44:23,700 --> 00:44:31,200
Teď si ukážeme, jak Laplaceova transformace

386
00:44:31,200 --> 00:44:38,000
působí na funkce tohoto typu, které všechny mají tu vlastnost, že jsou slušně vychované.

387
00:44:40,000 --> 00:44:43,800
To znamená že jsou nanejvýše polynomiálního růstu

388
00:44:43,800 --> 00:44:47,700
a ukážeme si jak takovéto tabulky vznikají.

389
00:44:51,700 --> 00:44:54,900
Doporučuji abyste si to v sešitech psali takovým způsobem,

390
00:44:54,900 --> 00:45:01,700
že si napíšete na jednu stránku, jednu dvojstránku si napíšete , tvorbu takovýchto  tabulek ,

391
00:45:01,700 --> 00:45:04,700
Tak já tohle chci mít ještě chvíli zakrytý.

392
00:45:06,700 --> 00:45:10,600
takovouhle strukturu tabulek, na druhou stranu si prostě  pište nějaké poznámky,

393
00:45:10,600 --> 00:45:15,000
Protože se budu snažit vám každý ten řádek nějakým způsobem vysvětlit jak to vzniká

394
00:45:15,000 --> 00:45:21,800
Čili organizace sešitu je na vás, ale doporučuju takovouhla nějakou strukturu

395
00:45:24,000 --> 00:45:28,900
Abyste věděli , co ke kterému řádku té tabulky náleží.

396
00:45:43,900 --> 00:45:47,400
Takže začneme u té zmíněné

397
00:45:47,400 --> 00:45:50,400
To nechci, aby to bylo takhle

398
00:45:52,400 --> 00:45:55,100
u té zmíněné delta funkce,

399
00:46:03,100 --> 00:46:06,200
pro kterou připomenu

400
00:46:11,200 --> 00:46:16,000
vlastnosti, které jsme si říkali, to znamená, že integrál přes celý svět je jednička

401
00:46:17,000 --> 00:46:20,500
a že ta funkce má vlastnost, že umí lokalizovat

402
00:46:25,500 --> 00:46:31,200
Takhle to napíšu "t" mínus "tau"  f(tau) "d tau"

403
00:46:32,200 --> 00:46:35,700
že umí lokalizovat jednotlivou funkci.

404
00:46:35,700 --> 00:46:38,700
Protože tohle je rovno právě f(tau).

405
00:46:39,700 --> 00:46:41,900
Ne f(t) pardon.

406
00:46:43,900 --> 00:46:48,900
To znamená, že když vezmete součin a integrujete, tak  prostě vám to dá právě tu jednu hodnotu,

407
00:46:48,900 --> 00:46:54,300
ve kterém tato veličina má prostě nulový argument.

408
00:46:57,400 --> 00:47:03,600
Když použijete tyto vlastnosti na definici Laplaceovy transformace,

409
00:47:03,600 --> 00:47:07,800
čili budeme odpovídat na otázku co se stane s deltou,

410
00:47:07,800 --> 00:47:14,500
no tak dle definice je to tak, že počítám integrál od nuly do nekonečna z delta (t)

411
00:47:14,500 --> 00:47:19,000
"e" na mínus "pt" delta (t)

412
00:47:19,000 --> 00:47:22,000
a protože platí tahle lokalizační vlastnost,

413
00:47:23,000 --> 00:47:30,000
tak ona jí zlokalizuje právě tu exponencielu do bodu nula.

414
00:47:30,000 --> 00:47:33,500
Jinými slovy bude to "e" na mínus "p" krát nula,

415
00:47:33,500 --> 00:47:36,800
což není nic jiného než jednička.

416
00:47:39,800 --> 00:47:46,100
Takže Laplaceova transformace delty je jedna.

417
00:48:02,100 --> 00:48:08,800
Podobná otázka nastává, když na té pravé straně budu mít ten onen jednotkový skok ,

418
00:48:08,800 --> 00:48:17,400
který se podobá situaci, že připnu stejnosměrné napětí nebo prostě udělám nějaký takovýto krok.

419
00:48:21,400 --> 00:48:23,700
Čili se ptám

420
00:48:23,700 --> 00:48:26,400
na otázku, co se stane,

421
00:48:26,400 --> 00:48:34,100
když na tom vstupu bude jednotkový skok,

422
00:48:34,300 --> 00:48:39,700
tedy funkce, která vypadá tak, že je pořád nula a tady v nule udělá hop

423
00:48:42,700 --> 00:48:46,700
a takhle prostě skočí a je to právě jednička,

424
00:48:51,700 --> 00:48:58,000
takže ten jednotkový skok tam opět napíšu,

425
00:48:58,000 --> 00:49:01,100
napíšu to formálně takto

426
00:49:02,100 --> 00:49:11,100
a je jasné, že když tohle je rovno jedné pro t>0,

427
00:49:14,100 --> 00:49:18,700
tak je srozumitelné, že to můžu napsat i bez té jedničky

428
00:49:23,700 --> 00:49:27,700
a skončím u problému, jak zintegrovat  exponencielu.

429
00:49:27,700 --> 00:49:31,900
Proto jsem říkal, že musíte umět integrovat exponencielu, nic jiného.

430
00:49:34,900 --> 00:49:37,400
Kolik že to je?

431
00:49:39,400 --> 00:49:41,700
No kolik je integrál z exponenciely?

432
00:49:44,700 --> 00:49:48,700
Tedy primitivní funkce z exponenciely.

433
00:49:59,700 --> 00:50:02,100
Nic? Nic?

434
00:50:05,100 --> 00:50:10,500
Když derivuji exponencielu, tak mi upadne z toho exponentu konstanta dolu, nic víc.

435
00:50:11,500 --> 00:50:14,800
Když jí tedy integruji, tak co se tedy musí stát?

436
00:50:14,800 --> 00:50:18,400
No musím toutéž konstantou dělit, né?

437
00:50:19,100 --> 00:50:22,100
Je to tak? Zdá se, že ano.

438
00:50:22,100 --> 00:50:25,200
Takže tady bude mínus jedna lomeno "p"

439
00:50:25,200 --> 00:50:27,900
krát "e" na mínus "pt", že jo.

440
00:50:29,900 --> 00:50:32,200
To je prosím tento integrál.

441
00:50:32,200 --> 00:50:34,200
A jak ten integrál dopadne?

442
00:50:38,200 --> 00:50:43,800
No v nekonečnu, prostě tahleta funkce má tu vlastnost,

443
00:50:43,800 --> 00:50:48,900
že prostě reálnou část má kladnou, tím pádem to celé shnije do nuly

444
00:50:50,900 --> 00:50:57,300
a v nule to skončí tak, že tam bude tedy, že to je 0 mínus

445
00:50:58,300 --> 00:51:03,500
a teď tam bude plus jedna lomeno "p", tu nulu tam nebudu psát.

446
00:51:03,500 --> 00:51:10,600
Protože "e" na "p" krát 0 dává jedničku, že jo?

447
00:51:13,600 --> 00:51:17,400
Čili Laplaceova transformace jednotky,

448
00:51:17,400 --> 00:51:22,900
tedy jednotkového skoku je jedna lomeno "p".

449
00:51:22,900 --> 00:51:28,300
Prosím pamatujte si to, protože všechno co následuje, vychází z toho,

450
00:51:28,300 --> 00:51:33,500
že integrál exponenciely je jedna lomeno exponent

451
00:51:33,500 --> 00:51:38,300
s příslušným znamínkem krát ta exponenciela.

452
00:51:38,300 --> 00:51:41,300
Tak to prostě je.

453
00:51:42,300 --> 00:51:48,300
Tak je definována exponeciela už od pana EULERA, nějakých 300 let.

454
00:51:55,300 --> 00:51:57,500
Takže platí toto,

455
00:52:00,500 --> 00:52:08,600
a protože jsem říkal, že byste si měli pamatovat jak se integruje exponenciela, tak začneme odtud.

456
00:52:10,600 --> 00:52:13,800
Co se stane, když

457
00:52:13,800 --> 00:52:18,500
když se budu ptát na otázku, jak

458
00:52:35,500 --> 00:52:42,400
Jak bude vypadat obraz takovéto exponenciály?

459
00:52:42,400 --> 00:52:47,000
Tam mám možná alfa, budeme tam psát alfa, ale ono to je jedno,

460
00:52:57,000 --> 00:52:59,700
takže opět píšeme definici

461
00:53:14,700 --> 00:53:19,300
a protože si myslím, že to alfa je reálné

462
00:53:20,300 --> 00:53:22,300
a že je větší než nula

463
00:53:26,300 --> 00:53:30,000
tam můžu celkem bez potíží si myslet,

464
00:53:30,000 --> 00:53:35,100
že i ten integrál bude existovat a napíšu ho ve tvaru ...

465
00:53:43,100 --> 00:53:46,000
Který jenom říká, že umím pracovat s exponenciálou,

466
00:53:46,000 --> 00:53:51,500
to znamená, že násobení dvou exponenciál je prostě součet exponentů

467
00:53:51,500 --> 00:53:55,100
nebo je dán jaksi exponencielou se součtem exponentů.

468
00:53:55,100 --> 00:53:59,400
No a pak už je to opakování předešlého,

469
00:54:00,000 --> 00:54:02,700
tedy jaký bude výsledek?

470
00:54:07,700 --> 00:54:11,100
Když tam to alfa nebylo, tak to bylo 1 lomeno "p"

471
00:54:11,100 --> 00:54:14,100
a  když je tam to alfa, tak jak to bude?

472
00:54:15,100 --> 00:54:18,300
Tak správně,

473
00:54:20,300 --> 00:54:22,500
má to prosím tuto logiku.

474
00:54:29,500 --> 00:54:36,300
Kdo nevěří, tak ať si to dopočítá.

475
00:54:41,300 --> 00:54:46,200
Tak a teď nastane

476
00:54:46,200 --> 00:54:54,200
variace na dané téma, to znamená přichází otázka, co s funkcemi,

477
00:54:54,200 --> 00:55:00,600
které se na té pravé straně můžou vyskytnout, jako je třeba nějaké sinus, nějaké harmonické buzení,

478
00:55:01,600 --> 00:55:06,400
zkrátka a dobře, když na té pravé straně prostě bude něco složitějšího.

479
00:55:06,400 --> 00:55:11,500
A to už je docela problém, když byste měli hádat ten partikulární integrál.

480
00:55:11,500 --> 00:55:13,500
To snad jako chápete.

481
00:55:13,500 --> 00:55:19,400
Když už tam na té pravé straně bude sinusovky, kosinusovky a jejich kombinace, tak to už je docela zajímavé.

482
00:55:20,400 --> 00:55:25,300
Takže teď zpátky k tomuto.

483
00:55:27,300 --> 00:55:30,500
Jakže můžeme reprezentovat sinus a kosinus.

484
00:55:32,500 --> 00:55:35,500
Pokud umíme

485
00:55:37,400 --> 00:55:40,000
Pokud umíme takovéto věci,

486
00:55:46,000 --> 00:55:53,300
tak jak musíme udělat sinus a kosinus, tak aby ta integrace exponenciely nám tam hrála nějakou roli.

487
00:56:02,300 --> 00:56:09,000
No to je taky ten pan EULER, taky prostě už skoro 3 století se dokazuje,

488
00:56:12,000 --> 00:56:17,300
že sudé části exponenciely

489
00:56:22,300 --> 00:56:25,500
se vytváří takto

490
00:56:25,500 --> 00:56:32,500
kde "i" je tedy imaginární jednotka této vlastnosti

491
00:56:34,500 --> 00:56:41,400
a když to vydělím dvěma, tak dostanu právě ten kosinus.

492
00:56:43,900 --> 00:56:46,900
To jste nikdy neviděli?

493
00:56:49,900 --> 00:56:52,900
Ale měli byste si to pamatovat kolegové,

494
00:56:52,900 --> 00:56:59,700
protože vlastnost "e" na "ix"= cos x + "i" sin x,

495
00:56:59,700 --> 00:57:04,100
znovu opakuju to už je několik století.

496
00:57:07,100 --> 00:57:11,600
A když prostě  tam dáte záporný znamínko a sečtete, dostanete kosiny

497
00:57:11,600 --> 00:57:18,900
a když tam dáte záporný znamínko a odečtete, tak dostanete až na tu imaginární konstantu sinusovku

498
00:57:18,900 --> 00:57:23,900
a z těchto důvodů

499
00:57:28,900 --> 00:57:32,600
platí následující vztahy.

500
00:57:38,600 --> 00:57:41,800
A protože platí tyhle vztahy

501
00:57:41,800 --> 00:57:47,000
a protože vím jak se integruje exponenciela,

502
00:57:47,000 --> 00:57:50,800
tak také vím jak to udělat s kosinem nebo se sinem.

503
00:57:54,800 --> 00:57:57,300
Je to srozumitelné? Prostě řeknu, že Laplac

504
00:58:01,300 --> 00:58:04,300
kosinus

505
00:58:05,800 --> 00:58:09,900
není nic jiného než 1 polovina a protože to je lineární,

506
00:58:09,900 --> 00:58:12,900
tak to můžu roztrhat

507
00:58:12,900 --> 00:58:17,900
a je to Laplac tadyhle té exponenciely

508
00:58:17,900 --> 00:58:24,500
plus 1 polovina Laplac komplexně sdružené exponenciely.

509
00:58:28,500 --> 00:58:31,500
No a protože umím

510
00:58:31,500 --> 00:58:36,400
tuto, to jsme si řekli, že už umíme integrovat exponencielu.

511
00:58:36,400 --> 00:58:41,600
Tak integruji exponencielu a  napíšu že to je 1 lomeno 2

512
00:58:41,600 --> 00:58:49,000
a tady bude 1 lomeno "p" mínus "i" omega

513
00:58:49,000 --> 00:58:55,200
plus 1 polovina krát 1 lomeno "p" plus "i" omega

514
00:58:58,200 --> 00:59:00,400
Je to vidět?

515
00:59:00,400 --> 00:59:02,900
Je to srozumitelné, co dělám?

516
00:59:02,900 --> 00:59:06,300
Netahám králíčky z klobouku prostě počítám.

517
00:59:14,300 --> 00:59:17,500
A protože tohle umím,

518
00:59:17,500 --> 00:59:21,100
tak teď už zbývá jenom umět počítat s těmi komplexními čísly.

519
00:59:30,100 --> 00:59:33,100
A skončím někde tady,

520
00:59:33,100 --> 00:59:36,100
že říkám, že to je 1 polovina

521
00:59:38,100 --> 00:59:41,300
uvedu na společného jmenovatele.

522
00:59:41,300 --> 00:59:44,700
Uvedení na společného jmenovatele tady znamená

523
00:59:44,700 --> 00:59:48,800
něco jako rozdíl čtverců, že jo (a+b) krát (a-b)

524
00:59:48,800 --> 00:59:51,800
což je "a" na druhou mínus "b" na druhou

525
00:59:52,800 --> 00:59:58,800
a protože to "b" má čistě imaginární část, tak se tam prostě objeví že to je "a" na druhou + "b" na druhou , že jo.

526
00:59:58,800 --> 01:00:04,900
Jinými slovy, tady dostanu že to je "p" na druhou plus omega na druhou

527
01:00:06,900 --> 01:00:09,900
nemusím ani násobit, prostě uvažuji

528
01:00:12,900 --> 01:00:20,100
a pak už je tam jenom, že to dopočítám "p"+"i" omega + "p" - "i" omega,

529
01:00:20,100 --> 01:00:25,400
to je prostě uvedení na společného jmenovatele,

530
01:00:26,400 --> 01:00:30,400
"i" omega se zruší

531
01:00:30,400 --> 01:00:37,400
a nakonec dostanu že to je "p" lomeno "p" na druhou plus omega na druhou.

532
01:00:46,400 --> 01:00:55,200
Tak a teď si pro vlastní jistotu v to co děláme, zkuste ten sinus, sami.

533
01:00:58,200 --> 01:01:01,600
No šup, jedem jedem, tužku a píšu.

534
01:01:02,600 --> 01:01:05,400
Kdo má výsledek?

535
01:01:07,100 --> 01:01:09,900
Ruce vzhůru.

536
01:01:34,900 --> 01:01:37,400
Ano, kolik to bude?

537
01:01:37,400 --> 01:01:43,700
(student)  mně to vyšlo omega lomeno  "p" na druhou + omega na druhou
 ….. perfektní.

538
01:01:43,700 --> 01:01:51,700
A teď si ukážeme, všichni ostatní prostě, správně to je

539
01:01:51,700 --> 01:01:58,300
….. se přesvědčí jak to vlastně vzniklo tento výsledek.

540
01:01:58,300 --> 01:02:01,900
Já tady umažu to co zatím není pravda,

541
01:02:01,900 --> 01:02:05,200
je jasné že tadyhle byl mínus

542
01:02:05,200 --> 01:02:10,200
a takhle byl rozdíl a bylo tady 1 lomeno 2"i", že jo.

543
01:02:11,200 --> 01:02:16,100
Čili ten sinus je 1 lomeno 2"i" s rozdílem.

544
01:02:20,100 --> 01:02:25,800
Tady je 2"i" a tady je prostě takto rozdíl.

545
01:02:27,800 --> 01:02:33,400
A když to uvedete na společného jmenovatele, dostanete rozdíl těchto  dvou veličin

546
01:02:34,400 --> 01:02:36,400
a v tom čitateli zbude 2 krát "i" omega dělěno 2"i",

547
01:02:36,400 --> 01:02:45,900
takže tady to skutečně skončí jako omega lomeno  "p" na druhou + omega na druhou.

548
01:02:45,900 --> 01:02:53,700
Sinus a kosinus se prostě sobě podobají, právě tímto způsobem.

549
01:02:57,700 --> 01:03:00,900
Tak aby ten svět byl ještě trošku komplikovaný,

550
01:03:05,900 --> 01:03:17,800
tak se budeme ještě bavit o dalším typu funkcí,

551
01:03:17,800 --> 01:03:24,400
které se pokusíme nalézt nebo prostě odvodit jak má vypadat jejich Laplaceova transformace.

552
01:03:25,400 --> 01:03:29,000
Představte si, že máte sinus krát

553
01:03:49,000 --> 01:03:57,300
…. že máte otázku jak udělat Laplac od "e" na mínus alfa "t"

554
01:04:00,300 --> 01:04:05,600
cosinus omega "t" respektive sinus omega "t".

555
01:04:08,600 --> 01:04:12,600
Takže budeme postupovat velmi podobným způsobem,

556
01:04:12,800 --> 01:04:15,600
jako jsme postupovali v předchozím případě.

557
01:04:15,600 --> 01:04:24,400
Bude tam určitě 1 polovina, protože tam je reprezentace toho cosinu přes exponenciely

558
01:04:27,400 --> 01:04:34,700
v té první bude "e" na +"i" omega "t"

559
01:04:38,700 --> 01:04:41,900
krát ta exponenciela a v tom druhém bude

560
01:04:55,900 --> 01:05:00,600
A protože umíme integrovat exponencielu,

561
01:05:01,600 --> 01:05:04,600
tak se to jenom malinko zkomplikuje v tom smyslu,

562
01:05:04,600 --> 01:05:08,400
že když to přepíšu do

563
01:05:09,400 --> 01:05:16,200
tvaru se společnou exponencielou  tak to napíšu jako minus (alfa -i omega) krát "t"

564
01:05:17,200 --> 01:05:28,900
A druhý bude 1 polovina Laplac  "e" na mínus(alfa + "i" omega) "t"

565
01:05:33,900 --> 01:05:38,200
a jak říkám, exponencielu už umíme integrovat,

566
01:05:39,200 --> 01:05:44,200
takže není složité

567
01:05:51,200 --> 01:05:56,400
napsat, že tedy ten

568
01:05:56,400 --> 01:06:00,400
se rovná

569
01:06:01,400 --> 01:06:07,400
tato eponenciela, která říká že tam je  1 lomeno "p" +(alfa - "i" omega)

570
01:06:11,400 --> 01:06:14,800
tadyhle je 1 polovna a tadyhle je další 1 polovina

571
01:06:14,800 --> 01:06:20,000
z výrazu "p" + (alfa + "i" omega)

572
01:06:27,000 --> 01:06:30,000
to je dáno z těchto výrazů

573
01:06:31,000 --> 01:06:33,000
a pokračuji dál.

574
01:06:38,000 --> 01:06:41,500
Uvedu to na společného jmenovatele a opět stejným způsobem

575
01:06:42,500 --> 01:06:44,500
tedy stejným způsobem

576
01:06:44,500 --> 01:06:47,200
tedy si představím, že tam nejsou ty závorky

577
01:06:51,200 --> 01:06:54,600
a že ty závorky si myslím takto a takto,

578
01:06:56,600 --> 01:07:00,800
abych tam dostal (a+b) krát (a-b),

579
01:07:01,800 --> 01:07:05,000
a pak tady mám že to jedna ne není to jedna

580
01:07:05,000 --> 01:07:12,300
1 polovina a tady budu mít ("p" +alfa ) na druhou + omega na druhou

581
01:07:17,300 --> 01:07:27,000
no a pak tady bude v čitateli bude "p"+alfa+"i"omega+ "p"+alfa-"i" omega

582
01:07:29,000 --> 01:07:30,000
opět se "i" omega zruší

583
01:07:30,000 --> 01:07:40,000
a dostanu tedy nakonec, že to je p+alfa / (p+alfa) na druhou + omega na druhou .

584
01:07:47,000 --> 01:08:00,600
Kdybyste náhodou chtěli, tak se to dá napsat ve tvaru p+alfa / "p" na druhou +2 alfa"p" + alfa na druhou  + omega na druhou

585
01:08:00,600 --> 01:08:11,000
to když máte radši mocninný polynomiální zápis.

586
01:08:13,049 --> 01:08:21,049
Tak a protože to umíme pro cosinus tak zkuste dovodit jak vypadá Laplace pro "e" na mínus alfa "t" sinus omega "t"

587
01:08:22,049 --> 01:08:28,700
je to podobná debata, jako v předchozích dvou případech.

588
01:08:31,700 --> 01:08:36,700
Výsledek je takový, že opět se tady vyskytují íčka

589
01:08:37,700 --> 01:08:42,900
a tady je rozdíl … a tím pádem to dává sinus

590
01:08:47,900 --> 01:08:52,300
a ten rozdíl způsobuje, že tady to musím celé takto odečíst,

591
01:08:56,300 --> 01:08:59,000
tady mám to "i"

592
01:08:59,000 --> 01:09:04,500
a nakonec to skončí tak, že tady bude ta omega

593
01:09:04,500 --> 01:09:09,000
a tady nakonec bude taky omega.

594
01:09:15,000 --> 01:09:20,400
Takže sinusovka je celkem jasná

595
01:09:20,400 --> 01:09:24,900
a komu není, tak snad už to pochopil nakonec.

596
01:09:30,900 --> 01:09:34,000
Poslední taková veličina,

597
01:09:34,000 --> 01:09:37,400
která se občas může vyskytovat na té pravé straně,

598
01:09:37,400 --> 01:09:48,400
ale která se může vyskytovat z jiného důvodu, je mocnina času.

599
01:09:49,400 --> 01:09:52,800
To znamená té hodnoty "t".

600
01:09:56,800 --> 01:10:01,200
Nejdříve si ukážeme co to udělá s integrálem,

601
01:10:01,200 --> 01:10:04,300
když tam budu mít jenom lineární závislost.

602
01:10:04,300 --> 01:10:08,900
Jinými slovy, co se stane, když budu hledat integrál

603
01:10:10,900 --> 01:10:14,700
"t" krát "e" na mínus "pt" "dt"

604
01:10:17,700 --> 01:10:20,900
co musím udělat, abych mohl takovouto věc,

605
01:10:21,900 --> 01:10:24,600
abych takovýto integrál mohl nalézt?

606
01:10:30,600 --> 01:10:33,800
No za prvé: ten integrál evidentně existuje ze stejného důvodu,

607
01:10:33,800 --> 01:10:37,400
toto je maximálně polynom přímo lineární,

608
01:10:38,400 --> 01:10:41,400
takže mohu s tím integrálem dělat spoustu věcí

609
01:10:41,400 --> 01:10:48,200
včetně toho, že můžu derivovat takto podél nějakého parametru "p", že jo?

610
01:10:48,200 --> 01:10:51,500
A když to tak udělám a dám tam správné znaménko,

611
01:10:51,500 --> 01:10:57,900
tak vlastně mám takovýto integrál.

612
01:10:58,900 --> 01:11:06,000
A protože můžu derivovat i před znamením toho integrálu podle parametru,

613
01:11:08,000 --> 01:11:13,900
tak se vracím zpátky k tomu, že hledám integrál z exponenciely.

614
01:11:13,900 --> 01:11:19,800
A ten my už umíme, to prostě už tady opakujeme tolikrát,

615
01:11:19,800 --> 01:11:22,400
prostě víme, že je to 1 lomeno p

616
01:11:23,400 --> 01:11:29,200
a když zderivuji péčko, tak dostanu že to je -1 lomeno "p" na druhou

617
01:11:29,200 --> 01:11:34,100
A když je tohle mínus mínus tak to dává znaménko plus

618
01:11:39,100 --> 01:11:41,300
Pokud těch téček bude víc,

619
01:11:41,300 --> 01:11:46,300
tak v tomto smyslu

620
01:11:51,300 --> 01:11:54,300
vznikne z celé té

621
01:11:59,300 --> 01:12:05,600
opakované, respektive znovu a znovu derivace vznikne podstatě faktoriál

622
01:12:05,600 --> 01:12:09,300
"n" faktoriál lomeno "p" na ("n" +1)

623
01:12:09,300 --> 01:12:13,400
to je prostě v případě, že je prostě těch mocnin téček

624
01:12:13,400 --> 01:12:18,800
nebo ty mocniny téček postupně rostou jako n. "t" na "n"

625
01:12:20,800 --> 01:12:27,400
Na závěr si opište zbytek téhle tabulky, která vzniká podobným způsobem, podobnými úvahami.

626
01:12:27,400 --> 01:12:34,700
Nevychází to za rámec toho, co jsem vám tady vykládal

627
01:12:38,700 --> 01:12:44,700
a až si to opíšete, tak bych chtěl říct několik slov

628
01:12:44,700 --> 01:12:49,000
k tomu co jsme si dneska vlastně pověděli.

629
01:12:50,000 --> 01:12:52,700
za prvé tedy k tabulkám,

630
01:12:53,700 --> 01:12:59,500
smyslem toho dnešního povídání bylo, abych vám ukázal jak tabulky vznikají.

631
01:12:59,500 --> 01:13:04,600
To znamená, že nevznikají žádnými těžkými matematickými operacemi,

632
01:13:04,600 --> 01:13:12,300
že to je postupně vyvíjející způsob jak ta tabulka funkcí může vznikat.

633
01:13:13,300 --> 01:13:16,500
Druhá záležitost je ta, že  mnohé knížky,

634
01:13:16,500 --> 01:13:20,600
které se zabývají komplexní proměnnou a zabývají se Laplaceovou transformací,

635
01:13:20,600 --> 01:13:24,600
tak mají těchto stránek tabulek desítky.

636
01:13:25,600 --> 01:13:31,100
Lidé, zkrátka a dobře, mají napočítáno, natabelováno podstatě vzory

637
01:13:31,100 --> 01:13:37,100
a obrazy a běžně se používá korespondence mezi těmito dvěma rovinami.

638
01:13:38,100 --> 01:13:42,100
Jinými slovy chci říci, nechci od vás aby jste tabulky uměli nazpaměť,

639
01:13:42,100 --> 01:13:48,900
chci prostě aby jste věděli, jak se jejich členy dají dopočítat,

640
01:13:48,900 --> 01:13:57,500
ale nicméně je běžné používat tabulky pro výpočty dopředné i zpětné transformace.

641
01:13:57,500 --> 01:14:03,300
My jsme si dneska řekli, jak používat nářadí, kterému říkáme Laplaceova transformace

642
01:14:03,300 --> 01:14:10,100
a ukázali jsme si tu cestu z roviny času do té pomocné roviny "p".

643
01:14:10,100 --> 01:14:13,100
V té pomocné rovině "p" si příště ukážeme,

644
01:14:13,100 --> 01:14:16,100
jak vyřešit konkrétní diferenciální rovnici

645
01:14:16,100 --> 01:14:20,200
a pak se budeme starat o to, jak se vrátit do té roviny času,

646
01:14:20,200 --> 01:14:24,100
protože tam se vlastně ten děj děje, ten reálný svět.

647
01:14:24,100 --> 01:14:28,100
Kdežto tohle to je svět našich pomocných komplexních proměnných.

648
01:14:28,100 --> 01:14:31,900
Čili dnešní přednáška měla za účel vás přesvědčit o tom,

649
01:14:31,900 --> 01:14:35,300
že nářadí, které používáme má hlavu a patu

650
01:14:35,300 --> 01:14:38,300
a nejenom to, ale je prostě velmi jednoduše zkonstruovatelné.

651
01:14:38,300 --> 01:14:43,100
A prostě pokud jste pochopili tu konstrukci, tak jste možná pochopili co jsem vám dneska chtěl říci.

652
01:14:43,100 --> 01:14:46,100
Přeji vám hezký den a za týden nashledanou.