1
00:00:03,200 --> 00:00:09,000
Přeji vám dobrý den.

2
00:00:09,000 --> 00:00:16,000
Dnešní přednášku věnuji otázce laplaceovy transformace.

3
00:00:16,000 --> 00:00:20,200
ve smyslu zpětném nebo-li inverzní laplaceovy transformace

4
00:00:21,000 --> 00:00:25,000
jak jsme si v minulé přednášce ukázali

5
00:00:25,000 --> 00:00:29,000
jsou dobré důvody proč používat laplaceovu transformaci a

6
00:00:29,000 --> 00:00:34,000
my si ty důvody dokončíme v tom smyslu

7
00:00:34,000 --> 00:00:39,000
že si řekneme jak s tou rovinou pomocnou

8
00:00:39,000 --> 00:00:42,000
tzn ve které můžeme manipulovat třeba
s diferenciálními rovnicemi

9
00:00:42,000 --> 00:00:52,000
tak jak z téhleté pomocné roviny
se dostanu zpátky do oblasti

10
00:00:52,000 --> 00:00:55,000
tohoto  reálného světa prostě času,
ve kterém prostě příslušné objekty

11
00:00:55,000 --> 00:01:00,000
systémy pozoruji a protože si myslím,
že je docela dobře pracovat s příkladem

12
00:01:00,000 --> 00:01:05,000
tak začneme s tím že tedy si povíme (píše)

13
00:01:05,000 --> 00:01:10,000
Ukážeme si příklad na použití laplaceovy transforamce

14
00:01:10,000 --> 00:01:21,000
a pokusím se vám naznačit jak vlastně
ta zpětná transformace funguje

15
00:01:21,000 --> 00:01:27,000
začneme tím co jsem vám říkal již v jisté minulosti

16
00:01:27,000 --> 00:01:35,000
když jsem mluvil o tom že tedy budete mít třeba svoji baterii od mobilu

17
00:01:35,000 --> 00:01:40,000
kterou skoro vybijete,
že tam bude nějaké zbytkové napětí

18
00:01:40,000 --> 00:01:51,000
které označím nějaké Ua
což bude dejme tomu veličina v počátku nějakého systému

19
00:01:51,000 --> 00:02:00,000
tedy moje baterka a budu se ptát co se stane když prostě na tom vstupu připojím něco takového

20
00:02:00,000 --> 00:02:12,000
jako tedy stejnosměrné napětí (píše)
je jasné že tadyhle tedy budu připojovat prostě
tedy to stejnosměrné napětí
respektive nějaký průběh Ut

21
00:02:12,000 --> 00:02:22,000
a ta baterie toho vašeho mobilu v nejjednodušším případě
se dá modelovat tak, že je to prostě tedy ten náš
jednoduchý RC článek

22
00:02:22,000 --> 00:02:29,000
v tomto smyslu nás zajímá tedy nás zajímá

23
00:02:29,000 --> 00:02:43,000
jak se rychle se tedy nabije a jakým způsobem se nabije
jinými slovy prostě toto je tedy napětí na té baterce respektive
na tom kapacitoru

24
00:02:43,000 --> 00:03:01,000
my jsme si ukazovali, že tedy pokud tady označím
tyhle veličiny odporu R a kapacitoru C takže vlastně tady mám jednoduchý vlastnosti

25
00:03:01,000 --> 00:03:06,000
že tedy to napětí na vstupu

26
00:03:06,000 --> 00:03:16,000
je rovno úbytku napětí na tom odporu a úbytku napětí na tom kapacitoru.

27
00:03:16,000 --> 00:03:23,000
To je srozumitelné takhle se to krásně posčítá
pak jsem vám říkal že musí platit ohmův zákon

28
00:03:26,000 --> 00:03:39,000
Který mě přisoudí v podstatě k téhle veličině napětí
mi přisoudí nějaký proud

29
00:03:39,000 --> 00:03:48,000
já tu rovnici opět opíšu
tak jako bych tedy říkal prostě používám obvodové informace

30
00:03:48,000 --> 00:03:56,000
a pak také platí jedna taková srozumitelná věc
tzn jak se to má s proudem

31
00:03:56,000 --> 00:04:08,000
(píše) na nějaké kapacitě nebo nějakou kapacitou
když na ní mám nějakou změnu příslušného napětí

32
00:04:08,000 --> 00:04:14,000
tahle rovnice jenom říká, že existuje jakási úměrnost
mezi napětím a nábojem

33
00:04:14,000 --> 00:04:21,000
a ta změna je dána právě touto rovnicí (ukazuje jí)

34
00:04:21,000 --> 00:04:28,000
A pokud tuto rovnici dosadím tak mám (píše)

35
00:04:31,000 --> 00:04:51,200
typickou diferenciální rovnici prvního řádu pro veličinu Uc
a když Uc v souladu s těmito našimi předpoklady (maže)

36
00:04:51,200 --> 00:04:58,200
nazvu ypsilon tak se dostanu k rovnici
která je prostě podle mého soudu téměř standardní

37
00:04:58,200 --> 00:05:04,200
a která říká (píše jí pod nadpis)

38
00:05:04,200 --> 00:05:08,200
říká toto

39
00:05:08,200 --> 00:05:15,200
vstup je U výstup je Y

40
00:05:15,200 --> 00:05:22,200
je svázán diferenciální rovnicí prvního řádu

41
00:05:22,200 --> 00:05:27,200
ta diferenciální rovnice má konstantní koeficienty

42
00:05:27,200 --> 00:05:35,400
protože nepředpokládáme, že ta baterie
schnije během prvních několika cyklů

43
00:05:35,400 --> 00:05:42,400
za 4 roky jí tak vyhodíte čili prostě to je velká perioda
vůči tomu jak často jí musíte nabíjet

44
00:05:43,400 --> 00:05:51,400
chci říct ty veličiny R a C jsou v podstatě konstantami

45
00:05:51,400 --> 00:05:55,400
nezávislými na čase.

46
00:05:55,400 --> 00:06:02,400
Za těchto okolností ať je ta pravá strana jakákoli,
ale my víme že tam připneme to stejnosměrné napětí

47
00:06:02,400 --> 00:06:05,400
ať se to zdá k nevíře, protože to strkáme do síťového zdroje
tam je ale vězte usměrňovač

48
00:06:05,400 --> 00:06:08,400
zkrátka a dobře tam bude stejnosměrné napětí

49
00:06:08,400 --> 00:06:17,400
a toto je vlastně definice té úlohy tak jak by byla (maže tabuli)

50
00:06:17,400 --> 00:06:31,400
zapsána pouze diferenciální rovnicí a příslušnými podmínkami tzn. co je U a co je příslušné počáteční hodnota toho napětí

51
00:06:31,400 --> 00:06:41,400
Když budeme řešit tuto rovnici laplaceovy transformace

52
00:06:41,400 --> 00:06:47,400
tak (dělá závorku na tabuli) víme že tedy máme lineární diferenciální rovnici

53
00:06:47,400 --> 00:06:51,400
máme jí s konstantními koeficienty máme ji nehomogenní

54
00:06:51,400 --> 00:06:59,400
můžeme na to (napsala velký L) pustit laplaceovu transformaci v tomto smyslu

55
00:06:59,400 --> 00:07:05,400
tzn, že budeme laplacovat tedy použijeme laplace na jednotlivé členy

56
00:07:05,400 --> 00:07:11,400
protože ta transformace je lineární takže mohu (píše velké L)

57
00:07:11,400 --> 00:07:25,400
laplacovat jak tuhletu derivaci tak tu vlastní neznámou funkci

58
00:07:25,400 --> 00:07:34,400
i tu známou funkci na pravé straně takto odděleně prostě je to linearita.

59
00:07:34,400 --> 00:07:42,400
Protože umíme, že jsem si ukázali v minulosti jak tedy počítat derivace

60
00:07:42,400 --> 00:07:49,400
obrazy derivace jak počítat obrazy v podstatě některých dalších speciálních průběhů funkcí

61
00:07:49,400 --> 00:07:58,400
tak si dokážeme takovouto rovnici tedy trasformovat  do proměnné p(pé)

62
00:07:58,400 --> 00:08:10,400
celá ta transformace proběhne (bere si jinou fixu(černou)) tak tady budu mít (píše vzoreček)

63
00:08:10,400 --> 00:08:20,400
za tuto první  transformaci tam budu mít pé ypsilon pé mínus ypsilon0

64
00:08:21,400 --> 00:08:32,400
tady budu mít tady budu mít ypsilon p a tady budu mít u0 lomeno pé.

65
00:08:39,400 --> 00:08:47,600
Neznámou je to ypsilon respektive obraz toho ypsilonu ypsilon pé.

66
00:08:47,600 --> 00:08:59,600
Takže já s touto rovnicí zacházím jako s algebraickou čili hledám algebraické řešení. (píše na tabuli za prvé)

67
00:09:00,600 --> 00:09:07,800
ALGEBRAICKÉ ŘEŠENÍ

68
00:09:07,800 --> 00:09:14,800
a to je velmi jednoduché zacházím s tím jako s algebraickou rovnicí

69
00:09:14,800 --> 00:09:21,800
to co znám to se octne na straně pravé to co neznám zůstane na straně levé

70
00:09:21,800 --> 00:09:32,800
takže (píše) toto je strana levá (pRC+1)Y(p)

71
00:09:32,800 --> 00:09:38,800
kde jsem pouze jenom vytknul pRC

72
00:09:38,800 --> 00:09:57,800
od toho ypsilonu tady mám jedničku takže mám to takto a na pravé straně budu mít u0 lomeno pé plus RC ypsilon nula

73
00:10:04,800 --> 00:10:13,000
(maže tabuli) moje algebraické řešení dopadne tedy tak že řeknu že tedy ypsilon pé (píše)

74
00:10:13,000 --> 00:10:29,000
se rovná u0plus péRC za ypsilon nula dosadím UA

75
00:10:29,000 --> 00:10:39,000
tady budu mít (píše dolu do zlomku) pé krát pRC plus jedna.

76
00:10:50,000 --> 00:10:59,200
A toto je toto nazývám algebraické řešení. (píše)

77
00:10:59,200 --> 00:11:06,200
všimněte si že jsem nemusel hádat pravou stranu nemusel jsem vůbec nic dělat

78
00:11:06,384 --> 00:11:19,384
jenom jsem počítal počítal prostě protože umím spočítat laplace derivace umím spočítat laplace pravé strany jenom jsem algebraicky manipuloval s tou rovnicí.

79
00:11:19,595 --> 00:11:24,595
Teď nezbývá nic jiného než to algebraické řešení (píše)

80
00:11:24,595 --> 00:11:33,595
hledat zpětnou transformaci (píše)

81
00:11:40,595 --> 00:11:51,795
tím chci říci, že chci nalézt vzor proto ypsilon pé pro právě takovéto ypsilon pé.

82
00:11:51,795 --> 00:12:10,795
Jak to udělám ?(maže tabuli)

83
00:12:15,795 --> 00:12:23,995
První čeho si všimnu,

84
00:12:23,995 --> 00:12:40,995
že pro tento náš zcela konkrétní lineární, časově invariantní systém to algebraické řešení má tvar (ukazuje na tabuli), kterému říkáme racionální lomená funkce.

85
00:12:40,995 --> 00:12:54,995
Ta definice říká to , že jak v čitateli tak ve jmenovateli se vyskytuje polynom v proměnné pé.

86
00:12:54,995 --> 00:13:15,995
Čili je to v principu to ypsilon pé (píše) je v principu polynom v proměnné pé ku jinému polynomu v proměnné pé.

87
00:13:15,995 --> 00:13:21,995
to je výrokově jak to je míněný je to prostě podíl dvou polynomů

88
00:13:21,995 --> 00:13:24,995
a to je ona racionální lomená funkce.

89
00:13:24,895 --> 00:13:30,008
Čím je charakterizován polynom. (kouká do třídy)

90
00:13:30,008 --> 00:13:38,008
Nějaký názor chci slyšet co je to polynom?

91
00:13:45,800 --> 00:14:03,000
jestliže tedy mluvím o polynomu v proměnné pé nějakém (píše) N(p) tak on vypadá třeba tak má nějaký a2 pé na druhou plus a1 pé plus a0

92
00:14:03,000 --> 00:14:15,000
jinými slovy polynom je charakterizován koeficienty toho polynomu
u jednotlivých mocnin.

93
00:14:15,000 --> 00:14:27,000
a nebo je charakterizován čím? Co má ještě , jaká je charakteristická vlastnost nějakého polynomu? Stupněm správně a ještě ?

94
00:14:27,000 --> 00:14:31,000
kořeny respektive nulovými body

95
00:14:31,000 --> 00:14:40,000
jinými slovy velmi důležitou veličinou je kdy (píše).

96
00:14:40,000 --> 00:14:46,000
Toto jsou tak zvané nulové body

97
00:14:46,000 --> 00:14:52,000
nebo chcete-li kořeny (píše)

98
00:14:52,000 --> 00:14:58,000
ale kořeny jsou to v případě když tuto rovnici opravdu napíšu

99
00:14:58,000 --> 00:15:04,000
Čili by to byli kořeny kvadratické rovnice a ty tvoří nulové body polynomu druhého řádu.

100
00:15:04,000 --> 00:15:14,000
Čili důležitou veličinou jsou nulové body.

101
00:15:16,000 --> 00:15:26,000
jaké jsou nulové body jmenovatele v této racionální lomené funkci?

102
00:15:26,000 --> 00:15:36,000
Kdy že to bude 0 tento čitatel (ukazuje na tabuli) teda tento jmenovatel.

103
00:15:36,000 --> 00:15:44,000
Čili jedna ta nula bude právě v nule, že jo?

104
00:15:44,000 --> 00:15:53,000
a druhá v mínus jedna lomeno RC je to tak jo?

105
00:15:53,000 --> 00:16:01,000
A teď (ukazováček ve vzduchu) jestliže ten polynom je ve jmenovateli (ukazuje)

106
00:16:01,000 --> 00:16:08,000
tak těmto charakteristickým bodům se říká póly.

107
00:16:08,000 --> 00:16:13,500
(píše) ano?

108
00:16:13,500 --> 00:16:23,500
A ty póly občas značím takovým to malým nekonečném aby bylo jasné, že to přísluší jmenovateli racionální lomená funkce.

109
00:16:23,500 --> 00:16:36,000
Ale v tomto smyslu jsou to stejné kořeny(ukazuje na tabuli), o kterých prostě mluvíte v přídadě polynomu respektive příslušné rovnici polynom rovná se nule ano?

110
00:16:36,000 --> 00:16:46,000
Čili důležitou veličinou kterou my budeme používat nadále jsou pojmy to je póly racionální lomené funkce.

111
00:16:46,000 --> 00:16:58,000
Ten pól  má tu vlastnost, že ta funkce když se blíži k tomu to bodu tak prostě takto utíká ke všem čertům, tedy do nekonečna. Ano?

112
00:17:08,000 --> 00:17:22,200
takže umíne póly téhle naší rovnice téhleté naší racionální lomené funkce první je v nule druhý ten pól (píše) je v bodě mínus 1 lomeno RC.

113
00:17:22,200 --> 00:17:50,200
Čili to (píše 2a) ta inverzní transformace začíná tím, že si určíme (píše) póly racionální lomené funkce.

114
00:17:50,200 --> 00:18:05,200
2b je to že tedy prostě si představíme že tu ypsilon pé (píše) můžeme rozložit na parciální zlomky.

115
00:18:05,200 --> 00:18:35,200
V našem případě (píše vzorec) je to tak, že použijeme kořenové činitele, kořenové součinitele a prostě uděláme z nich tedy parciální zlomky. Čili rozklad (píše) na parciální zlomky.

116
00:18:38,200 --> 00:18:49,400
A teď může nastat otázka jak s této funkce (ukazuje) naleznu k1 a k2

117
00:18:49,400 --> 00:18:59,400
Což jsou tzv k1 všechny ty ki do budoucna se budou nazývat rezidua (píše)

118
00:18:59,400 --> 00:19:11,400
To je z teorie funkcím komplexních proměnných. Termín, který se prostě používá jsou to tedy tzv rezidua.

119
00:19:11,400 --> 00:19:22,400
Může to být vnímáno že to je ten vedoucí člen který to táhne celou tu funkci k nekonečnu.

120
00:19:22,400 --> 00:19:39,400
A my si tedy ukážeme jak spočítat k1 a k2 aniž bychom manipulovali příliš s tou řekl bych s porovnáváním vstupů což je také možnost,

121
00:19:39,400 --> 00:19:52,400
ale pokud budete mít tu racionální lomenou funkci rozloženou do více parciálních zlomků tak tyhlety různý křížový manipulace nevedou příliš k cíli

122
00:19:52,400 --> 00:19:58,400
já vám ukážu jak to udělat řekl bych trošku kultivovaněji a chytřeji

123
00:19:58,400 --> 00:20:04,400
Teď jsem si to smazal to jsem udělal chybu tak si to musím napsat tady vedle abych měl prostor

124
00:20:04,400 --> 00:20:14,400
ypsilon pé jako algebraické řešení je U0 plus péRC (píše) UA

125
00:20:14,400 --> 00:20:21,400
lomeno pé krát péRC plus 1,

126
00:20:21,400 --> 00:20:28,400
když teda máme určené póly (maže)

127
00:20:34,400 --> 00:20:43,600
tak si teď ukážeme jak teoreticky můžeme s touhle funkcí zacházet jak spočítat třeba k1 když budeme chtít spočítat k1

128
00:20:43,600 --> 00:20:53,600
ak uděláme takovou věc že obě dvě strany rovnice vynásobíme péčkem.

129
00:20:53,600 --> 00:20:59,600
Když to udělám tak tady budu mít pé krát ypsilon pé

130
00:20:59,600 --> 00:21:07,600
a tady budu mít k1plus k2pé

131
00:21:07,600 --> 00:21:12,600
(píše) lomeno péRC plus 1

132
00:21:14,600 --> 00:21:36,600
a když si řeknu dobře já potřebuju spočítat jenom to k1 tak (píše) udělám limitu, když to pé běží právě k tomu prvnímu pólu respektive  v tomto případě ten první pól byl zrovna ta nula. Ano?

133
00:21:36,600 --> 00:21:44,600
Nejde to přečíst tak já to napíšu ještě jednou (a píše)

134
00:21:50,600 --> 00:22:11,100
a toto je tedy limita když pé jde do nuly z výrazu, který jsem tady měl napsaný k1 plus K2 pé lomeno pé RC plus 1

135
00:22:11,100 --> 00:22:17,100
je jasný, že tady tohle to skončí jako k1

136
00:22:17,100 --> 00:22:26,100
a tadyhle ta levá strana říká že k1 spočítám tak

137
00:22:31,100 --> 00:23:01,300
čili k1 spočítám tak, že vezmu limitu, když pé jde do nuly z výrazu pé krát a teď tam za to ypsilon pé prost docela natvrdo dosadím napíšu že to je U0 plus pRC(píše) UA lomeno pé krát péRC plus 1a to se rovná.  Čemu?

138
00:23:01,300 --> 00:23:14,300
péčka se takto zruší a když dosadím tam za pé rovno nule, protože limituju do nuly, tak mi to skončí jako U0.

139
00:23:14,300 --> 00:23:21,300
Takže k1 tadyhle si někam napíšu že k1 mi vyšlo jako U0.

140
00:23:25,300 --> 00:23:30,500
Podobnou proceduru (maže)

141
00:23:35,500 --> 00:23:50,500
s tou racionální lomenou funkcí udělám v případě když budu chtít spočítat prostě to k2.

142
00:23:50,500 --> 00:24:03,500
Co provedu? No (píše) vynásobím to celé péRC plus 1na levé i pravé straně.

143
00:24:03,500 --> 00:24:16,500
Když to provedu (maže)

144
00:24:16,500 --> 00:24:37,500
Když to provedu tak (píše) tady budu mít že musím provést limitu pé jde právě k tomu druhému pólu

145
00:24:37,500 --> 00:24:47,500
z výrazu pé RC plus 1 krát ypsilon pé a tady budu mít

146
00:24:47,500 --> 00:24:59,500
tyto dva výrazy se zruší tady se to dostane do čitatele a to se zanuluje a dostanu, že to je prostě právě to k2. Úplně ze stejného důvodu.

147
00:25:09,500 --> 00:25:16,700
Je to srozumitelné prosím, Jo? Co páchám. Není?

148
00:25:16,700 --> 00:25:34,700
(píše) když máte takovouto funkci kterou říkáte ona k1 ku pé plus k2 lomeno pé RC plus jedna

149
00:25:34,700 --> 00:25:42,700
a na tý levý straně víte, že to je tahleta algebraická funkce toto to co nám vyšlo.

150
00:25:42,700 --> 00:25:51,700
Takže tady napíšete že to je u0 plus pé RC UA lomeno

151
00:25:51,700 --> 00:26:06,700
pé krát pé RC plus 1a tady říká musí se to rovnat K1 ku pé plus k2 ku pé RC plus 1 .

152
00:26:09,700 --> 00:26:19,900
Abych na této straně osvobodil to k1 tak to prostě celé - celou tu rovnici vynásobit péčkem

153
00:26:19,900 --> 00:26:29,900
když to udělám tak se mi tady (píše) objeví péčko tady se mi objeví tady se mi objeví péčko . Ano?

154
00:26:33,900 --> 00:26:49,900
nad kterým to prostě dělám tak tady dostanu - tady se také elegantně zruší

155
00:26:49,900 --> 00:27:05,900
a říkám tak udělám limitu že p jde k tomu pólu z výrazu u0 plus pé RCUA lomeno  pRC plus 1

156
00:27:05,900 --> 00:27:13,900
a na tý pravý straně mě zůstane prostě že to je právě k1tohleto zmizí . Že?

157
00:27:13,900 --> 00:27:16,900
To prostě zmizí.

158
00:27:16,900 --> 00:27:20,100
Protože pé jde k nule.

159
00:27:20,100 --> 00:27:23,000
Tohle zmizí (ukazuje)

160
00:27:23,000 --> 00:27:35,000
a tady se to všechno docela slušně pokrátí a ten konec je prostě takový jaký už jsem tady napsal to k1 je samozřejmě rovno U0. Z tohohle toho procesu.

161
00:27:35,000 --> 00:27:52,000
a teď když udělám úplně stejnou debatu s tím druhým pólem (maže péčka)

162
00:27:52,000 --> 00:28:05,000
tak musím násobit obě dvě strany rovnice. Tímto výrazem. Ne?

163
00:28:05,000 --> 00:28:10,000
prostě potřebuju osvobodit to k2 .

164
00:28:10,000 --> 00:28:19,000
A to osvobození znamená (maže)

165
00:28:19,000 --> 00:28:34,000
A to osvobození znamená (píše) že i tadyhle budu mít péRC plus 1tadyhle budu mít péRC plus 1a tady budu mít pé RC plus 1krát. Jo?

166
00:28:34,000 --> 00:28:49,000
a teď zde se to zruší tady se to také zruší a dostanete, že v případě,

167
00:28:49,000 --> 00:28:59,000
že to pé půjde právě k tomuto pólu čili pé jde k mínus 1lomeno RC

168
00:28:59,000 --> 00:29:08,000
a teď tady budete psát tento výraz u0 plus péRC UA lomeno p,

169
00:29:08,000 --> 00:29:19,000
protože tohle se už zrušilo a to skončí tak, že to je k2, protože tady tento výraz prostě zase zanuluje a tohle zůstane osvobozené.

170
00:29:19,000 --> 00:29:36,000
A když teda to dopočítáte tak zjistíte že k2 (píše) se rovná mínus 1 lomeno RC tady budete mít U0 mínus UA (záběr na vzorec)

171
00:29:40,000 --> 00:29:55,200
Je to vidět? Vidíte to všichni? Jo? Souhlas? Opravdu?

172
00:29:55,200 --> 00:30:03,200
No? Takže mám k2, které si tady takhle dopíšu, protože jsem si ho tady takhle hezky spočítal,

173
00:30:03,200 --> 00:30:15,200
že tedy k2 se rovná U0mínus UA lomeno mínus 1 lomeno RC

174
00:30:29,200 --> 00:30:48,400
Jinými slovy, napsal jsem, že tedy ypsilon pé se rovná U0 lomeno p
mínus U0 mínus UA

175
00:30:48,400 --> 00:31:02,400
a tady napíšu že to je tedy RC krát, ano?

176
00:31:02,400 --> 00:31:12,400
protože tohle to můžu napsat že to tedy RC se záporným znamínkem U0 mínus UA.  To tak je.

177
00:31:12,400 --> 00:31:21,400
A tady hle napíšu prostě ten druhý jmenovatel a mám rozklad na parciální zlomky konkrétní . Ano?

178
00:31:21,400 --> 00:31:50,400
A teď nezbývá nic jiného než si všimnout jedné prostinké věci, totiž toho (maže), že umím integrovat  pouze exponenciálu. Jak jsem vám říkal vystačíte si  v tom světě laplaceovy transformace,  když umíte udělat laplaceovu transforamci (píše) exponenciály

179
00:31:50,400 --> 00:32:00,400
tj prosím integrál tototo typu

180
00:32:00,400 --> 00:32:06,500
který vede na výraz 1 lomeno pé plus alfa

181
00:32:06,500 --> 00:32:18,500
Když tady v tomto výrazu ještě formálně uděláte žo to je U lomeno U0 lomeno p

182
00:32:18,500 --> 00:32:29,500
a řeknete že RC že jedna lomeno RC je nějaké alfa (dopsal)

183
00:32:29,500 --> 00:32:43,500
tak můžete ještě podělit tím RC a psát U0 mínus UA a tady budete mít pé jste vydělili 1 lomeno RC což je právě to alfa

184
00:32:43,500 --> 00:32:51,500
a máte veličinu kterou konec konců znáte z tabulek (ukazuje na tabuli)

185
00:32:51,500 --> 00:33:00,500
také znáte z tabulek a to už jsem si tady jednou použili že prostě tedy jednotkový skok je prostě jedna lomeno p

186
00:33:00,500 --> 00:33:09,500
to jsem si tady již jednou zopakovali takže cesta od této veličiny

187
00:33:09,500 --> 00:33:19,500
k (píše) ypsilon t je skoro jasná ne?

188
00:33:19,500 --> 00:33:28,500
Protože umím, že jsou to tyhle funkce a protože teda laplaceova transforamce je opět lineární

189
00:33:28,400 --> 00:34:00,000
no tak prostě po částech zpětně transformuji a prostě ten první člen skončí tak že to je tedy U0 krát jednička a ten druhý člen je tedy u0 mínus UA krát e na mínus alfa t kde samozřejmě to alfa je  nějaký RC čili prostě je to nějaká časová konstanta která je charakteristická pro tu dobu nabíjení.

190
00:34:00,000 --> 00:34:15,000
Toto (píše) je výsledek vašeho počítání který říká, že pokud řeknete, že to prostě platí jenom prostě pro t větší nebo rovno 0

191
00:34:15,000 --> 00:34:21,000
tak tady nemusíte psát ani tu ozdobnou jedničku protože to je pořád jednička

192
00:34:21,000 --> 00:34:30,000
a pak tedy budete mít že to je v podstatě tenhle jednoduchý a elegantní vzoreček.

193
00:34:30,000 --> 00:34:42,000
A pokud by jste si to chtěli namalovat (maže)

194
00:34:42,000 --> 00:34:55,000
tak vaše nabíjecí procedura vypadá asi tak, (maluje graf), že tady je nějaká ideální hodnota toho U0 kterou tam připínáte.

195
00:34:55,000 --> 00:35:05,000
A ten faktický průběh bude probíhat tak, že záleží velmi na tom jakou tu hodnotu zbytkového napětí máte

196
00:35:05,000 --> 00:35:21,000
a jaká je vlastně ta časová konstanta čili prostě takto nějak bude probíhat (kreslí) nabíjení je jasný že když budete mít nižší tak prostě to nabíjení adekvátně prostě jako zpozdí protože bude probíhat třeba nějakým takovýmto způsobem.

197
00:35:21,000 --> 00:35:52,000
Ano? No a když to budete mít skoro nulový tak to bude prostě standardní průběh typu, když to UA je rovno nule tak budete mít průběh ypsilon t, který je roven U0 krát 1 mínus e na mínus alfa t. Což je jako jasný obrázek, že to v nějakém hodně velkém čase dospěje k hodnotě U0.

198
00:35:52,000 --> 00:36:00,000
Všimněte si, že jsem nehádal pravou stanu že jsem jenom počítal.

199
00:36:00,000 --> 00:36:16,000
Jo? Co může být občas kritické je nalezení těch (ukazuje) nulových bodů jmenovatele jinými slovy nalezení těch pólů

200
00:36:16,000 --> 00:36:29,000
měli byste možná vědět, že kvadratickou rovnici pravděpodobně umíte to znamená vyřešit druhýho řádu to jde v ruce.

201
00:36:29,000 --> 00:36:40,000
Měli byste vědět že 3 řádu rovnici dokážete v podstatě také v ruce tzn algebraickými metodami vyřešit.

202
00:36:40,000 --> 00:36:46,000
Dokonce se ví že i 4 řád lze takto zvládnout

203
00:36:46,000 --> 00:36:59,000
a také se ví v matematice že algebraické řešení rovnic pátého a vyššího řádu prostě není možné. Prostě nelze.

204
00:36:59,000 --> 00:37:06,000
to se ví už několik skoro spíš více než 150 let .

205
00:37:06,000 --> 00:37:17,000
Takže byste to mohli vědět i vy. A kdysi před těmi mnoha a mnoha lety to dokázal francouzský matematik Galois. (http://dagles.klenot.cz/rihova/hist.html),

206
00:37:17,000 --> 00:37:24,000
který to dokonce udělal tak že tedy prostě ten hlavní důkaz provedl v předvečer svého souboje

207
00:37:24,000 --> 00:37:36,000
a pak na souboj šel a nechal se zabít, takže chci říci matematici  taky nejsou žádný suchaři taky se dokážou bít pro čest a spravedlnost

208
00:37:36,000 --> 00:37:49,000
Je to tak že i slavní matematici mohli skončit tímto způsobem, ale vězte je to opravdu takže do 4 řádu to jakž takž jde v ruce a všechno ostatní pak už je numerika .

209
00:37:49,000 --> 00:38:11,000
Proto také v matlabu jsou metody na řešení nulových bodů polynomu
zero (zerous – nulové body) prostě,  když hledáte nějakého vektoru tak to je přesně ten algoritmus je tam prostě numerický algoritmus jak najít  nulové body polynomu jak najít kořeny rovnice n-tého stupně.

210
00:38:11,000 --> 00:38:19,000
Taky byste měli vědět . Budoucí páni inženýři, že každá ta rovnice s reálnými koeficienty

211
00:38:19,000 --> 00:38:25,000
pokud je n-tého ho řádu tak má právě n řešení v komplexní rovině.

212
00:38:25,000 --> 00:38:35,000
Jo? Čili ty nulové body respektive ty póly obecně nejsou takhle čistě hezky reálné jo?

213
00:38:35,000 --> 00:38:42,000
Prostě obecně jsou to komplexní veličiny. Ty póly jsou rozprostřeny v  komplexní rovině.

214
00:38:42,000 --> 00:39:01,000
takže to byste také měli vědět, protože to je součást takové té základní věty algebry, která říká, že tedy každý pól je jen n-tého stupně má právě n kořenů. Ve smyslu tedy řešení příslušné rovnice.

215
00:39:01,000 --> 00:39:24,000
A teď tedy na základě toho co jsem si tady ukázali na základě postupu, který  jsem se vám tady snažil ukázat na nejjednodušším případu diferenciální rovnice prvního řádu. Teď bych vám chtěl říci několik obecnějších závěrů pro inverzní laplaceovu transformaci

216
00:39:24,000 --> 00:39:41,000
Tedy jak se inverzní laplaceova transformace chová jaký má nějaký definiční pojmy a zkrátka a dobře jak to vlastně vypadá v obecném případě. (spouští plátno)

217
00:39:50,000 --> 00:40:05,200
To co jsem zdůrazňoval na začátku. Máme pojmy jako jsou póly, které jsou opravdu relevantní vzhledem k tomu celému dalšímu počítání.

218
00:40:05,200 --> 00:40:15,000
Racionální lomená funkce, ještě jednou opakuji je to tedy podíl polynomu (ukazuje na tabuli) v čitateli polynomu ve jmenovateli

219
00:40:15,000 --> 00:40:21,000
polynomu v proměnné pé v té pomocné proměnné pé

220
00:40:21,000 --> 00:40:45,000
A říkáme že tedy existují nějaké nulové body o ty se příliš teď jako nestaráme a že existují póly , které jsou dány jednoduchou algebraickou rovnicí, že tedy polynom rovná se nule a ty póly označujeme

221
00:40:45,000 --> 00:40:57,000
Jaksi nekonečnem jenom aby jste odlišili od dalších charakteristických bodů té racionální lomené funkce.

222
00:41:00,000 --> 00:41:10,200
Pak přichází další taková základní diskuze totiž, že ty póly mohou být jednoduché nebo násobné.

223
00:41:13,200 --> 00:41:22,400
Pokud jsou jenom jednoduché.

224
00:41:22,400 --> 00:41:31,400
Tak existuje jednoznačný a jednoduchý rozklad toho polynomu na kořenové činitele.

225
00:41:42,400 --> 00:41:49,600
Těch součinitelů tady bude právě tolik kolik je stupeň toho polynomu.

226
00:41:59,600 --> 00:42:08,800
A potom jsme schopni udělat rozklad na parciální zlomky

227
00:42:08,800 --> 00:42:16,500
a to tak, že každý ten součin se vyskytuje ve jmenovateli jednotlivého  parciálního zlomku

228
00:42:16,500 --> 00:42:28,500
vidíte že se tady o nuly té racionální lomené funkce prakticky nestaráme,  staráme se jen o ty póly. Jak jsem říkal se nazývají rezidua.

229
00:42:45,500 --> 00:43:10,700
a předmětem další úvahy jak tato rezidua spočítat systematicky spočítat znovu upozorňuju takový to když máte kvadratický členy takovýto křížový spočítání to je prima , ale jakmile budete mít těch členů víc tak skončíte u soustavy lineárních i nelineárních algebraických rovnic a v podstatě to nevyřešíte.

230
00:43:10,700 --> 00:43:19,700
Chci říci používejte prosím metodu kterou vám tady se snažím vyložit  tzn přes jednoduché limitní vztahy .

231
00:43:19,700 --> 00:43:42,700
Takže toto je rozklad na parciální zlomky důvod proč to rozkládáme snad vám je patrný teď totiž že každý takovýto člen potom můžeme podrobit té zpětné laplace protože víme , že jedna lomeno pé plus cosi  vede na exponenciálu . Ano?

232
00:43:42,700 --> 00:44:02,700
A to je podstata celého tohohle toho rozkladu podstata tohohle výkladu čili jediné co zbývá pokud jsem se vypořádali s nalezením nulových bodu polynomu vyššího řádu což teda musí být numerická záležitost, mnohdy

233
00:44:06,700 --> 00:44:16,900
Tak postup jak počítáme rezidua je následující

234
00:44:17,900 --> 00:44:33,900
jak jsem ukazoval tak stačí vynásobit ten příslušný člen nad kterým stojí  řekl to bych to ká příslušné mí

235
00:44:33,900 --> 00:44:43,900
tak vynásobit tím příslušným rozkladovým činitelem a provézt limitu když  teda prostě pé jde právě k mí

236
00:44:43,900 --> 00:44:59,900
je to logický je to v podstatě ta logika kterou jsem se snažil objasnit v tom jednoduchém případě tady je to tak když si představíte třeba že chcete kalkulovat to ká 2

237
00:44:59,900 --> 00:45:21,900
tak prostě musíte říct tento součinitel vynásobit levou i pravou stranu a tímto členem tímto jmenovatelem tím ho osvobodíte tyhle ty všechny zatížíte veličinou která potom se budu blížit nule čili prostě tam osvobodíte to ká 2 a tadyhle vám zůstane pouze ona limita .

238
00:45:21,900 --> 00:45:28,900
Celá tahle procedura se dá jakoby zobecnit na derivaci

239
00:45:28,900 --> 00:45:39,900
já nedoporučuju derivovat, protože dělat limitu je trošku snažší, ale záleží na vás chcete-li počítejte jak chcete.

240
00:45:39,900 --> 00:45:50,900
ale nicméně doporučuju spíš ten  limitní proces, který je okatý a v podstatě se tam nedá udělat chyba. Takto.

241
00:45:50,900 --> 00:46:02,900
No né tak jako (do pléna) já jsem vám říkal na (hrozí prstem) začátku že musíte umět algebraický výrazy upravovat to je jediný co se po vás chce . Všechno ostatní je jednoduchost .

242
00:46:02,900 --> 00:46:10,900
takže zpátky do osmé třídy sedněte a počítejte jo? a prostě pak jako pak začne ta debata.

243
00:46:16,900 --> 00:46:31,700
A protože platí tento jednotlivý konkrétní vzoreček tzn protože platí,  že jsme schopni zpětně transformovat

244
00:46:31,700 --> 00:46:40,700
výraz jedna lomeno pé mínus alfa třeba teď to máme takto (ukazuje)  je jedno jestli tady mám plus pak by tady objevilo mínus.

245
00:46:40,700 --> 00:46:57,700
tak protože platí toto, tak pro každý ten člen, můžeme napsat  příslušný součet

246
00:46:57,700 --> 00:47:19,100
který říká že racionální lomenou funkci u které znám jak rezidua tak póly tak jsem schopen zpětně transformovat laplace tak že vlastně ty póly se vyskytují prostě jako exponenty příslušných exponenciel

247
00:47:19,100 --> 00:47:27,100
a rezidua se vyskytují jako koeficienty sčítání těch  exponenciel prostě příspěvku těch jednotlivých exponenciel .

248
00:47:27,100 --> 00:47:35,100
Toto je vzoreček který před - už to bude skoro 100 let

249
00:47:35,100 --> 00:47:43,100
odvodil pan Heavisid( HIVIZAID)  který laplace nazýval tehdy operátorový počet

250
00:47:43,100 --> 00:47:49,100
a předváděl to způsobem zhruba blízkým tomu co se vám tady snažím  říkat já

251
00:47:49,100 --> 00:47:56,300
tzn nemluvit tolik o komplexní proměnné nemluvit v podstatě o Loránových rozvojích

252
00:47:56,300 --> 00:48:08,300
nemluvit o té matematice, která za tím je, ale prostě metodika srozumitelná a jednoduchá k výpočtu zpětné laplaceovy transformace

253
00:48:08,300 --> 00:48:16,300
takže na počest toho pana Heavisida (HIVIZAIDA) existuje několik vzorečků, které to do jisté míry zjednodušují

254
00:48:16,300 --> 00:48:32,300
prostě kompletují celou tuhle záležitost podstatné je aby jste věděli, že tyto dvě veličiny řídí v podstatě odezvy toho systému

255
00:48:32,300 --> 00:48:44,200
Pokud ten pól bude komplexní tak je jasné, že se tam prosazují, že   se tam začnou prosazovat ty trigonometrické fuknce

256
00:48:44,200 --> 00:48:48,200
Viz minulé povídání .

257
00:48:48,200 --> 00:48:58,200
Čili chci říci toto je zcela obecný vztah pro lineární časově invariantní systém

258
00:48:58,200 --> 00:49:08,200
pro který umíme najít algebraické řešení (ukazuje) metodou racionální lomené funkce.

259
00:49:09,200 --> 00:49:23,100
Všimněte si nepočítám prakticky žádný integrál. Ano? Nedělám žádnou integraci jak jsem říkal že toto je korektní definice zpětné laplaceovy transformace

260
00:49:23,100 --> 00:49:35,100
toto je metodika jak zpětným laplacem napočítat na základě znalostí  téměř triviálního integrálu tohohle typu.

261
00:49:37,100 --> 00:49:47,600
Čili podstata zpětné laplaceovy transformace a vůbec laplaceovy transformace je ve znalosti práce s  exponenciálami

262
00:49:47,600 --> 00:49:56,500
víc nepotřebujete všechno ostatní je vlastně jenom důsledek této záležitosti. (střih)

263
00:49:56,500 --> 00:50:10,500
Teď si ještě ukážeme případ kdy rozklad na ty nebo kdy ten příslušný jmenovatel

264
00:50:10,500 --> 00:50:20,500
nemá jednoduché součinitele má tedy součinitele prostě s mocninou kdy  prostě racionální lomená funkce má násobné póly takzvaně

265
00:50:20,500 --> 00:50:28,100
a ukážeme si jak s touto funkcí můžeme dále manipulovat (dal slide)

266
00:50:28,100 --> 00:50:41,100
čili začínáme diskusí která říká, že pro inverzní transformaci není příliš důležité co se děje s tím čitatelem

267
00:50:41,100 --> 00:50:46,100
protože on nějak vyjde on skutečně jaksi v daném okamžiku nějak vyjde

268
00:50:46,100 --> 00:50:53,100
prostě ty řídící veličiny jsou póly

269
00:50:53,100 --> 00:51:00,100
takže pro další výklad si vystačím že prostě budu říkat že v tom čitateli je jednička

270
00:51:00,100 --> 00:51:07,100
a že ta že ta racionální lomená funkce typu 1 lomeno polynom.

271
00:51:07,100 --> 00:51:16,100
A teď, jestliže ten předpoklad jednoduchosti není splněn

272
00:51:16,100 --> 00:51:24,100
tzn ty jednotlivé póly můžou mít nějakou násobnost

273
00:51:24,100 --> 00:51:36,100
dejme tomu tohle bude jednička čili tohle jako kdyby tam nebylo tohle bude třeba 2 tohle na konci bude třeba bude 3, zkrátka a dobře budou mít jakousi násobnost.

274
00:51:36,100 --> 00:51:48,100
tak ty naše vzorečky inverzní transformace se změní já bych chtěl abyste se na tu změnu  dívali v logice toho co jsme si doposud říkali

275
00:51:48,100 --> 00:51:59,400
nenechali se odradit tím jak to vypadá a dívali se na to s logikou toho co jsme si zatím řekli

276
00:51:59,400 --> 00:52:11,400
totiž když budu mít násobnost jedničkovou tak tam budou prostě akorát ty exponenciely (zakrývá vzorec vlastním tělem)

277
00:52:11,400 --> 00:52:18,400
A teď když by byla násobnost třeba jenom toho prvního dva

278
00:52:18,400 --> 00:52:26,400
toho prvního pólu, tak si představte co tam bude?

279
00:52:26,400 --> 00:52:41,400
Jestli si vzpomínáte já jsem vám v minulé přednášce říkal že násobení  téčkem (ukazuje) vede k mocnině typu jedna lomena p na nplus prvou,

280
00:52:41,400 --> 00:52:48,400
té na entou transformace je typu jedna lomeno pé na en plus prvou .

281
00:52:48,400 --> 00:52:59,400
Jinými slovy já vlastně (ukazuje) tam od každé té další násobnosti budu  mít jakési mocniny té .

282
00:52:59,400 --> 00:53:05,400
Normované v podstatě faktoriálem nic víc tam nebude.

283
00:53:05,400 --> 00:53:15,400
A ta logika je prosím zde takto napsaná. Čili toto znáte nebo toto si uvědomte, že jsem si ukazovali minule když jsme si konstruovali tabulky.

284
00:53:15,400 --> 00:53:22,400
A tohle je prostě ten začátek, to je vlastně to co jsme si říkali dneska.

285
00:53:22,400 --> 00:53:33,400
A ten zbytek je jenom zobecňování tak aby to platilo pro libovolnou násobnost jiný i slovy aby ten vzoreček byl jako úplný.

286
00:53:33,400 --> 00:53:48,400
Způsob jak se počítají ty jednotlivé ká 11 ká 12 (ukazuje) si ukážeme. Existuje samozřejmě obecný výraz, který je docela takový nepříliš hezký

287
00:53:48,400 --> 00:53:59,400
ukážeme si to na konkrétním případě jak s tím můžeme manipulovat prostě  s touhle celou záležitostí dokážeme pracovat.

288
00:53:59,400 --> 00:54:18,400
Ukážeme si to na nejjednodušším možném příkladu tzn že máme racionální lomenou funkci, která má 3 reálné póly, což se málokdy vstává, ale dobře může být.

289
00:54:18,400 --> 00:54:26,400
A jeden z těch pólů je dvojnásobný. (slide).

290
00:54:26,400 --> 00:54:40,400
Ten rozklad na parciální zlomky hledáme v logickém tvaru kdy použijeme

291
00:54:40,400 --> 00:54:51,400
jak tu druhou (ukazuje) ten druhý řád tak i ten lineární člen jinými slovy oba dva se tam vyskytují

292
00:54:53,400 --> 00:55:00,400
a našim úkolem nejprve odstranit tuto veličinu (ukazuje)

293
00:55:00,400 --> 00:55:05,400
protože pak ten zbytek je počítání které známe.

294
00:55:05,400 --> 00:55:18,400
čili jak v principu to můžeme udělat? Celý ten postup je vlastně velmi jasný

295
00:55:18,400 --> 00:55:24,400
prostě opět to musím vynásobit tímhle kvadratickým členem

296
00:55:24,400 --> 00:55:33,400
obě dvě strany tý rovnice tak abych na té pravé straně (ukazuje)

297
00:55:33,400 --> 00:55:42,400
zanechal členy které z těchto koeficientů nadělají při limitní procesu k pé jde k dvojce nuly. Že jo?

298
00:55:50,400 --> 00:56:01,600
Když to tedy udělám tak naleznu (posunul papír) to ká jedna dva.

299
00:56:03,600 --> 00:56:15,600
Jako limitní proces že pé jde k dvojce je jasné že tady dojde k tomu že se tyto dva členy zkrátí

300
00:56:15,600 --> 00:56:38,600
tady na té pravé straně tyto členy vymizí a budeme mít že ká jedna se právě rovná jedna lomeno a teď dosazujeme za péčko dvojku čili 2+5, 2+7 to je nějakých 7 krát 9 to je 63 takže ten ká jedna dva je 1/63

301
00:56:38,600 --> 00:56:54,600
a pak co uděláme v okamžiku kdy známe to ká jedna dva tak se pokusíme tento člen (ukazuje) odečíst od obou stran těch rovnic tak aby prostě na této straně už nebyl. Jo?

302
00:56:54,600 --> 00:57:12,600
Čili já vlastně odečtu. A dostávám tento výsledek, tady jsem někde zapomněl 63, tak jsem si to tam loni připsal a ještě jsem si to nepřepsal tam má být 63 prosím jo?

303
00:57:12,600 --> 00:57:20,600
Přitom odčítání. Nevím nějak jsem někde se mi vypařilo.

304
00:57:25,600 --> 00:57:33,800
A teď už je to jenom hra nad těmito třemi veličinkami.

305
00:57:37,800 --> 00:57:50,000
A my si tady dopočítáme kolik jsou ty ká jedna jedna ká dva  ká tři.

306
00:57:50,000 --> 00:58:06,000
támhle si to dopočítáme na tabuli. Takže pojďte počítat se mnou kontrolujte mě protože když koukám na tabuli a současně na ten projektor tak můžu udělat někde docela hloupou  chybu.

307
00:58:06,000 --> 00:58:13,000
Takže já má tu novou funkci, kterou prostě hledám, tak jí mám ve tvaru.

308
00:58:13,000 --> 00:58:27,000
pé plus 14 (píše) lomeno 63 pé mínus 2 pé plus 5 pé plus 7

309
00:58:27,000 --> 00:58:45,000
to je ta nová funkce a tu bych měl rozkládat na ká jedna jedna pé plus mínus dva plus ká dva pé plus 5 plus ká 3 pé plus 7.

310
00:58:47,000 --> 00:58:58,000
Takže je jasný, že když budu chtít spočítat ká jedna jedna tak to bude teď se dívejte co dělám

311
00:58:58,000 --> 00:59:05,000
vynásobím tuto levou stranu vynásobím pé mínus 2 (píše)

312
00:59:19,000 --> 00:59:25,200
a provedu limitu když pé jde k dvojce že jo?

313
00:59:25,200 --> 00:59:49,200
Takže toto se zruší a tady dostanu pardon já jsem tu zapomněl tady je jestli se nepletu mínus že jo? Tak mě musíte kontrolovat tady musím nezapomenout to mínus (dopisuje ho) a tadyhle ještě těch 63, že jo? Pořád je tam zapomínám.

314
00:59:49,200 --> 01:00:17,200
Jo tady jsou dopsaný takže budu mít že toje toto se zruší a budu tady mít mínus a teď tady bude dvě plus 14 tady budu mít 63 tady budu mít 2+5 tady budu mít 2+7. Čili to je dalších 63 takže 63 na druhou

315
01:00:17,200 --> 01:00:25,200
čili bude to mínus 28 lomeno 63 (někdo z pléna vykřikuje) Zvětšit?

316
01:00:25,200 --> 01:00:39,200
Já vím, ale tak si pište jako, zkoušejte jako sami za sebe já bych řekl, že bych prostě přemýšlejte sami za sebe co tam má být

317
01:00:39,200 --> 01:00:54,200
neopisujte úplně slepě (někdo zase něco vykřikuje)  
(pokračuje v psaní dopisuje druhou 63 pod lomeno ) To je dobře, konenjte tak.

318
01:00:54,200 --> 01:01:19,200
(Už ho někdo opravuje že v čitateli má být 16 ne 28) Ale no jo 16.

319
01:01:32,200 --> 01:01:45,400
(píše) ká dvě. Píšu větší. Je limita, pé jde k čemu?

320
01:01:45,400 --> 01:01:50,400
do mínus 5 ne?

321
01:01:50,400 --> 01:02:06,400
To je pól a teď zvýrazňuji mínus tady je 63 tady je pé mínus 2, pé plus 5, pé plus 7

322
01:02:06,400 --> 01:02:17,400
a tady je pé plus 14 a tady je vynásobeno pé plus 5. Jo?

323
01:02:17,400 --> 01:02:23,400
Škrt škrt neb se to ruší

324
01:02:23,400 --> 01:02:41,400
a píšu je to mínus tady 63 zůstane tady bude mínus 5 mínus 2, mínus 5 plus 7

325
01:02:41,400 --> 01:02:50,400
a tady bude mínus 5 plus 14.

326
01:03:03,400 --> 01:03:15,600
No a z toho to skončí tak, že to je tedy mínus 9 ne plus 9 pardon

327
01:03:15,600 --> 01:03:28,600
mínus je před celou tím zlomkem tady 63 krát mínus 7

328
01:03:28,600 --> 01:03:34,600
krát 2 (přiblížený záběr)

329
01:03:34,600 --> 01:03:57,600
Takže tady skončí tedy 1 ku 7 čili to dopadne že to je tedy 1 lomeno ká skončí kam to mám napsat ká dva dopadne takže to je 1 lomeno 49 krát 2 je 98.  Jedna lomeno 98.

330
01:04:03,600 --> 01:04:11,800
No a ká 3  je podobná záležitost (maže)

331
01:04:22,800 --> 01:04:40,000
Ká 3 je limita když pé jde k mínus 7 z výrazu 63 pé mínus 2, pé plus 5, pé plus 7

332
01:04:40,000 --> 01:04:50,000
v čitateli je pé plus 14 a tím jak jsem to tam násobil tak jsem tam přidal pé plus 7 . Ano?

333
01:04:50,000 --> 01:05:00,000
pé plus 7 se zruší a dostávám že to je limita pé jde do mínus 7

334
01:05:00,000 --> 01:05:06,000
z výrazu mínus ale já to tam budu už rovnou psát

335
01:05:06,000 --> 01:05:23,000
63 tady budu mít mínus 7 mínus 2 krát mínus 7 plus 5 a tyd budu mít mínus 7 plus 14 (záběr na tabuli)

336
01:05:25,000 --> 01:05:45,000
Takže tady skončím tak, že to bude mínus a teď tam bude 7 lomeno 63 krát 9 krát 2 že jo to je 18 je to tak? Říkám to dobře?

337
01:05:45,000 --> 01:05:51,000
18. pokud chcete tak tady to ještě můžete pokrátit

338
01:05:51,000 --> 01:06:03,000
takže to je (nědo se ptá na znamínko, mínus 9 mínus 2 dává plus 18)

339
01:06:03,000 --> 01:06:08,500
a tohle mínus tady zůstane to je tam celou dobu.

340
01:06:10,500 --> 01:06:27,500
Takže ká 3 nakonec skončí, že to je mínus jedna lomeno 162.

341
01:06:27,500 --> 01:06:35,500
Říkám to dobře ne? 9 krát 9 krát 2. (zakroužkoval to)

342
01:06:35,500 --> 01:06:42,500
Čili toto je výsledek.

343
01:07:03,500 --> 01:07:16,700
Tak, tohle už můžu asi zrušit, vypnout a ještě si nakonec řekneme takovou

344
01:07:16,700 --> 01:07:30,700
nebo začátek jednoho dalšího příkladu, který zbytek bude zobrazen na síti takže prostě se pokusím vám vysvětlit. (maže)

345
01:07:43,700 --> 01:07:50,900
jako jsme na to úplném našem dnešním počátku povídali o systému prvního řádu

346
01:07:51,900 --> 01:08:00,900
Tak teď si ukážeme na základním jaksi základním počítání

347
01:08:00,900 --> 01:08:06,900
si ukážeme jak vypadá systém druhého řádu. (píše)

348
01:08:11,900 --> 01:08:16,100
myslím tím lineárně časově invariantní systém.

349
01:08:16,100 --> 01:08:42,100
Obecně (píše) bude popsán rovnicí která má tento tvar

350
01:08:42,100 --> 01:09:01,100
a říká, že tedy mám vstup nějáký u(t) zde  měřím ypsilon t a ten sytém je takový, že tedy prostě to ypsilon t generuje takovouhle diferenciální rovnici, která je druhé řádu , dynamický systém druhýho řádu.

351
01:09:02,100 --> 01:09:15,100
A teď si ukážeme jak s takovou to rovnicí pokud prostě  si řekneme, že umíme počáteční podmínky (píše)

352
01:09:18,100 --> 01:09:25,500
to jsou prosím počáteční podmínky

353
01:09:29,500 --> 01:09:34,700
Tak jak s takovou to rovnicí budeme manipulovat?

354
01:09:35,700 --> 01:09:44,700
je viditelné prosím to že je to diferenciální rovnice nehomogenní.

355
01:09:44,700 --> 01:10:01,200
Ta nehomogenita samozřejmě si můžeme to zkusit i pro takové obskurní záležitosti jako je třeba právě delta funkce což je podle mého soudu ta velmi netriviální záležitost

356
01:10:01,200 --> 01:10:08,200
nebo si to můžeme vyzkoušet na jednodušším případě, který je ovšem  početně komplikovanější.

357
01:10:08,200 --> 01:10:13,800
tedy Jednotkový skok takový typický co jsem si zkoušeli i v případě tedy prvního řádu

358
01:10:13,800 --> 01:10:25,800
Čili ta pravá strana může být různá může být tohohle typu a my si teď ukážeme jak tedy použijeme laplaceovu transformaci (píše)

359
01:10:28,800 --> 01:10:36,800
na tuto diferenciální rovnici

360
01:10:36,800 --> 01:10:52,000
my už víme, že derivace má obraz péypsilonpé mínus ypsilon 0 to už jsme si to tady jednou zkoušeli nebo ukazovali.

361
01:10:52,000 --> 01:11:00,000
Minule jsem vám ukazoval jak tedy když tohle to použijeme dvakrát 
tak

362
01:11:00,000 --> 01:11:15,000
druhá derivace skončí tak že to bude pé na druhou ypsilon pé mínus  pé krát ypsilon 0 mínus ypsilon s tečkou 0.

363
01:11:18,000 --> 01:11:31,200
takže pokud se zase  budeme dívat na tu naši rovnici tak, že teda je  s konstantním koeficienty

364
01:11:31,200 --> 01:11:42,200
je to tedy lineárně časově invariantní systém (píše) tak můžeme na  celou tu rovnici takto postupně použít laplaceovu transformaci

365
01:11:44,200 --> 01:11:55,200
A za tyhle jednotlivé (maže) za tyhle jednotlivé

366
01:11:55,200 --> 01:12:04,200
funkce které tady mám já si to musím napsat někam jinam, protože se sem nevejdu.

367
01:12:04,200 --> 01:12:17,200
Mohu psát tedy pé na druhou ypsilon pé mínus pé krát ypsilon 0 mínus   ypsilon s tečkou 0

368
01:12:17,200 --> 01:12:33,200
pak tady bude plus 2 alfa pé krát ypsilon pé mínus 2 alfa ypsilon 0

369
01:12:33,200 --> 01:12:41,200
plus alfa na druhou plus beta na druhou (maže)

370
01:12:41,200 --> 01:12:49,200
krát ypsilon pé a na pravé straně bude ú pé.

371
01:12:52,200 --> 01:12:57,400
Je to zřejmé jo? Co jsem provedl.

372
01:12:57,400 --> 01:13:03,400
já jsem postupně za ypsilon se dvěma tečkama dosadil toto za ypsilon s tečkou dosadil  toto .

373
01:13:03,400 --> 01:13:11,400
Tedy provedl jsem laplaceovu transformaci člen po členu té rovnice.

374
01:13:11,400 --> 01:13:18,400
A pokud to takto udělám

375
01:13:20,400 --> 01:13:28,400
tak jsem schopen si říci neznámou je ypsilon

376
01:13:28,400 --> 01:13:36,400
jinými slovy já nechám na pravá straně pouze to ypsilon

377
01:13:36,400 --> 01:13:41,400
s členy které tam se narodili z té laplaceovy transformace

378
01:13:41,400 --> 01:13:46,400
tzn tady bude nějaké pé na druhou - to je tenhle člen

379
01:13:46,400 --> 01:13:51,400
pak tam bude dvě alfa pé

380
01:13:52,400 --> 01:13:59,400
a pak tam bude alfa na druhou plus beta na druhou

381
01:14:00,400 --> 01:14:09,400
Čili moje neznámá zůstala na levé straně a všechno co znám

382
01:14:09,400 --> 01:14:30,400
se octne na straně pravé ú pé plus dvě alfa plus pé krát ypsilon 0 plus ypsilon s tečkou 0

383
01:14:33,400 --> 01:14:41,600
Když tam dosadím počáteční podmínky

384
01:14:41,600 --> 01:14:47,600
tak jsem schopen napsat řešení myslím to algebraické řešení

385
01:14:47,600 --> 01:15:04,600
ve tvaru ú pé plus 2 alfa plus pé krát c1 plus c2

386
01:15:04,600 --> 01:15:17,600
a tady budu mít jmenovatele pé na druhou plus 2 alfa pé plus alfa na druhou plus beta na druhou

387
01:15:19,600 --> 01:15:30,600
Vidíte ? Jednu zcela vážnou věc, když řešíte běžnou diferenciální rovnici

388
01:15:30,600 --> 01:15:42,600
tak dojdete právě k tomu polynomu ve tvaru, že nemáte žádný rozklad, že si ten rozklad musíte vytvořit.

389
01:15:42,600 --> 01:15:53,600
První taková jakási typická úloha, jakmile prostě řešíte klasickou úlohu tak musíte v podstatě najít příslušné póly racionální lomené funkce.

390
01:15:53,600 --> 01:15:59,600
Čili já jsem dospěl k algebraickému řešení.

391
01:16:02,600 --> 01:16:06,800
a potřebuji nalézt póly že jo?

392
01:16:11,800 --> 01:16:28,000
póly prosím najdu tak, že tedy jak jsme si to říkali na začátku, že budu hledat řešení takovéto kvadratické rovnice

393
01:16:28,000 --> 01:16:38,000
a ty jednotlivé póly už tam nebudu malovat ty nekonečna .

394
01:16:38,000 --> 01:17:03,000
Tak dopadnu tak že tady bude -2alfa plus mínus 4 alfa nadruhou  mínus  4 krát alfa nadrbou plus beta na druhou lomeno 2.

395
01:17:03,000 --> 01:17:08,500
To je prosím klasika.

396
01:17:08,500 --> 01:17:26,500
když to dokončíte tak pé 1,2 bude takové že to je mínus alfa a tady  dopadne to tak že se tyhle alfy zruší dvojka se také vyruší a bude tam odmocniny mínus beta kvadrát

397
01:17:30,500 --> 01:17:38,700
takže dostanete mínus alfa plus mínus í krát beta.

398
01:17:43,700 --> 01:17:51,100
Ty póly jak jsem už předeslal. Obecně jsou komplexní Ano?

399
01:17:51,100 --> 01:18:01,100
když byste si namalovali tu rovinu pé (maluje) tady je prosím reálná osa a tady je imaginární osa

400
01:18:01,100 --> 01:18:08,100
tak ty ty póly tohohle typu kde je tadyhle mínus alfa  tak budou ležet někde v takovýto poloze.

401
01:18:08,100 --> 01:18:19,100
Jo? budou prostě komplexně sdružené. A budou prostě ležet v takových to dvou bodech v té rovině pé.

402
01:18:19,100 --> 01:18:48,100
Tak zbylé počítání prostě tak jak to dál vede k výsledkům že prostě  napočítáte hodnoty třeba tzv přenosové funkce nebo prostě impulsní odezvě nebo přechodové odezvy to bude na síti logika věci vysvitne v podstatě z povídáním příští hodiny.

403
01:18:48,100 --> 01:18:56,100
takže vám přeji hezký den a možná třeba i s jarním počasím.  Nashledanou