1
00:00:01,000 --> 00:00:11,000
Přeji vám dobrý den, v dnešní přednášce si ukážeme další důsledky toho, že známe laplaceovu transformaci a jakým způsobem

2
00:00:18,000 --> 00:00:25,000
tedy můžeme oceňovat dynamiku systémů z hlediska tzv. stability

3
00:00:25,000 --> 00:00:39,000
a ukážeme si také vztah mezi popisem stavovým a přenosovou funkcí, pokud prostě zase umíme vlastnosti laplaceovy transformace.

4
00:00:39,000 --> 00:00:42,500
Ta přednáška je tedy prostě rozdělena na dvě části,

5
00:00:42,600 --> 00:00:47,000
ta první část se týká problému stability systému.

6
00:01:05,500 --> 00:01:13,000
My moc dobře víme, že když systém, který popisujeme je tedy lineární, časově

7
00:01:13,100 --> 00:01:23,200
invariantní, takže je to systém pro který
můžeme velmi snadno napsat vztahy
mezi vstupem a výstupem.

8
00:01:25,200 --> 00:01:32,500
Protože umíme napsat takovou záležitost
jako je příslušný konvoluční integrál.

9
00:01:36,000 --> 00:01:52,700
Dokonce i víme, jakým způsobem tenhle ten
konvoluční integrál díky laplaceově transformaci
se zjednodušuje na algebraický výraz,

10
00:01:52,700 --> 00:01:56,700
který vypadá...tímto způsobem.

11
00:01:56,700 --> 00:02:07,700
A samozřejmě zopakuji, že tedy há malé
je impulzní odezva, há velké příslušná
laplaceovsky zobrazená impulzní odezva

12
00:02:07,000 --> 00:02:09,700
je přenosová funkce.

13
00:02:13,700 --> 00:02:18,700
Pojem stability se týká v podstatě omezenosti,
v podstatě výstupního signálu vzhledem

14
00:02:18,700 --> 00:02:23,600
k tomu, zda je tedy ten vstupní
signál také rozumně se chovající.

15
00:02:24,000 --> 00:02:37,600
My velmi často tedy používáme pojem omezená
funkce času.

16
00:02:41,600 --> 00:02:47,800
V tom smyslu, že tedy její absolutní hodnota je
menší než nějaká konstanta.

17
00:02:47,800 --> 00:02:54,800
Prostě je to funkce, která nikam neutíká,
která prostě se chová relativně velmi rozumně.

18
00:02:57,800 --> 00:03:10,500
A pojem stability říká, jak u takovéhoto
lineárně časově invariantního systému z toho
vyplývá omezenost toho výstupu.

19
00:03:15,500 --> 00:03:24,700
Tzn., že to y(t) je menší než nějaká jiná
konstanta k2, když bych to namaloval
graficky tak tadyhle bych prostě maloval

20
00:03:25,700 --> 00:03:34,700
průběh takto omezené funkce, která se
prostě nějakým způsobem chová,

21
00:03:36,700 --> 00:03:41,700
- telefonujte někde jinde prosím není to úplně dobře -

22
00:03:42,700 --> 00:03:57,700
a na tom výstupu potom dostanete, že prostě ten
výstupní signál je také omezený a všechny tyhle
podmínky,

23
00:03:58,700 --> 00:04:07,000
tzn. omezenost na vstupu omezenost na výstupu, kladou nějaké podmínky na popis toho systému na vlastní popis toho systému.

24
00:04:08,000 --> 00:04:20,000
My si ukážeme, že se to velmi dobře interpretuje
právě v té rovině pé tzn., že se to velmi dobře
interpretuje v podstatě v té přenosové funkci,

25
00:04:21,000 --> 00:04:34,000
stabilita se týká nakonec přenosové funkce.

26
00:04:34,000 --> 00:04:37,000
Ano?

27
00:04:40,000 --> 00:04:48,000
A teď si trošku uděláme jakýsi exkurz v jakém smyslu asi toto chápat..my jsme začínali, tak jsme si psali diferenciální rovnici úplně nejjednoduššího typu.

28
00:05:00,000 --> 00:05:04,200
Prostě diferenciální rovnici prvního řádu.

29
00:05:04,200 --> 00:05:14,000
Já říkám, když umíme používat laplaceovu
transformaci, tak otázka, zda tento systém nebo
systém popsaný touto diferenciální rovnicí je

30
00:05:14,000 --> 00:05:20,000
stabilní nebo nestabilní to prostě z tohohle na první
pohled vidět není.

31
00:05:23,000 --> 00:05:29,000
Zvláště, když ta diferenciální rovnice bude
rozsáhlejší, komplikovanější tak to prostě  z toho ani
náhodou vidět není.

32
00:05:30,000 --> 00:05:50,000
Nicméně tedy použiji Laplaceovu transformaci tak moc dobře už umíme takovou záležitost, že tedy prostě dostaneme rovnici tohohle typu.

33
00:05:50,000 --> 00:05:52,200
To je jasné.

34
00:05:53,200 --> 00:06:01,200
Tu algebraickou rovnici můžeme zapsat třeba i takto.

35
00:06:03,200 --> 00:06:04,400
To všechno umíme.

36
00:06:06,400 --> 00:06:34,400
Pak také víme, že když děláme nebo když chceme
získat z tohoto zápisu algebraického přenosovou
funkci, tak položíme prostě y(0)=0 a dostaneme, že

37
00:06:34,400 --> 00:06:37,600
Y(p) ku U(p)

38
00:06:38,500 --> 00:06:47,600
což je právě ta naše přenosová funkce je v tomto
případě takováto racionální lomená funkce.

39
00:06:47,600 --> 00:06:49,600
Úplně jednoduchá.

40
00:06:50,600 --> 00:06:51,600
Ano?

41
00:06:52,600 --> 00:06:53,600
A teď

42
00:06:59,600 --> 00:07:08,800
tady si namalujeme takovou jednoduchou
tabulku, kde zde bude přenosová funkce,

43
00:07:10,800 --> 00:07:12,800
tady bude příslušná impulzní odezva,

44
00:07:15,800 --> 00:07:21,800
a tady budou vždycky nějaké obrázky, které přísluší obrázkům přenosové funkce

45
00:07:21,800 --> 00:07:31,800
respektive poloha pólů a příslušný vztah pro impulzní odezvu,

46
00:07:31,800 --> 00:07:34,800
jestliže tedy ten-

47
00:07:34,800 --> 00:07:37,800
ta přenosová funkce bude vypadat takto,

48
00:07:39,800 --> 00:07:42,800
tak my umíme

49
00:07:43,800 --> 00:07:48,800
nalézt zpětnou transformací umíme nalézt
impulzní odezvu, že?

50
00:07:48,800 --> 00:07:50,800
Kolikpak to je?

51
00:07:55,800 --> 00:08:01,000
Ano...Je to é na mínus at.

52
00:08:02,000 --> 00:08:06,000
Pokud to "a" bude kladné

53
00:08:07,000 --> 00:08:10,000
a bude reálné,

54
00:08:13,000 --> 00:08:15,200
prostě bude to reálné kladné,

55
00:08:20,000 --> 00:08:27,000
tak ta charakteristika tzn. to jak bude vypadat
příslušná impulzní odezva

56
00:08:28,000 --> 00:08:36,000
bude srozumitelně exponenciála tohohle typu,
která se bude chovat jako e na -at

57
00:08:38,865 --> 00:08:46,865
z hlediska pólů tzn. ,že pól je v bodě -a.

58
00:08:52,865 --> 00:08:53,065
Když si ho namaluji,

59
00:08:53,000 --> 00:08:56,000
tak kde ten -a bude?

60
00:08:56,000 --> 00:09:04,000
Bude někde tady že jo, protože to á je kladné
čili tady v tomto bodě je -a a tady právě leží,

61
00:09:06,000 --> 00:09:09,000
když toto je prostě výřez z pé roviny,

62
00:09:13,000 --> 00:09:18,000
toto je tedy imaginární část a toto je imaginární
osa a toto je reálná osa,

63
00:09:19,000 --> 00:09:23,000
tak ten pól leží v levé polorovině,

64
00:09:27,000 --> 00:09:40,200
prostě pól ,který je komplexní jeho reálná část je
taková ,že je právě rovna -a a to je prosím menší
než 0,

65
00:09:44,200 --> 00:09:46,900
takže ekvivalence mezi tím, když

66
00:09:49,900 --> 00:09:58,100
á respektive, když ten pól leží v levé polorovině tak
ta odezva vypadá tímto způsobem, jestliže vypadá
tímto způsobem,

67
00:09:59,100 --> 00:10:04,100
tak je také jasné, že ona sama o sobě bude
omezenou funkcí.

68
00:10:06,100 --> 00:10:12,100
A tím pádem nezpůsobí, tím pádem vztah mezi
vstupem a výstupem

69
00:10:23,100 --> 00:10:33,300
pro omezený vstup bude samozřejmě i omezený
výstup,

70
00:10:33,300 --> 00:10:36,700
protože ten samotný, bude také nějaká omezená funkce,

71
00:10:36,700 --> 00:10:48,100
takže se prostě dá ten integrál po kusech majorizovat
nějakými konstantami, které dají vlastně příspěvek
který prostě bude omezený.

72
00:10:48,200 --> 00:11:06,100
Čili jinými slovy, jestliže pól příslušné jednoduché
přenosové funkce leží v levé polorovině,
tak to odpovídá stabilnímu chování toho systému

73
00:11:07,100 --> 00:11:10,100
Čili toto je prostě stabilní,

74
00:11:11,100 --> 00:11:13,300
stabilní odezva.

75
00:11:15,300 --> 00:11:19,300
Když postupně s tím pólem

76
00:11:25,300 --> 00:11:27,900
v té komplexní rovině,

77
00:11:30,900 --> 00:11:39,100
když se budu blížit imaginární ose, když prostě jako
se postěhuji k této ose

78
00:11:41,100 --> 00:11:45,100
tzn. takhle polezu po tom..

79
00:11:49,100 --> 00:12:03,300
po té reálné ose, tak se tahle exponenciála bude
postupně narovnávat až se narovná na
hodnotu, kdy reálná část

80
00:12:04,600 --> 00:12:07,300
toho pólu bude právě nula.

81
00:12:12,300 --> 00:12:13,700
Jo?

82
00:12:14,700 --> 00:12:24,700
A v tom okamžiku dostanete něco takového,
čemu se říká odezva, která je na mezi stability,

83
00:12:27,700 --> 00:12:29,000
čili toto je mez stability,

84
00:12:36,000 --> 00:12:41,900
mechanicky mez stability je něco takového, když
máte kuličku na kopci,

85
00:12:41,800 --> 00:12:42,400
že jo?

86
00:12:42,400 --> 00:12:48,400
Prostě budete ji mít právě na tohle místě a když do
té kuličky libovolně strčíte

87
00:12:48,400 --> 00:12:50,400
malinko,

88
00:12:51,400 --> 00:12:55,400
tak už prostě se dostane do nestabilního stavu
prostě změní polohu dramaticky.

89
00:12:55,400 --> 00:13:00,000
Jinými slovy, tady jakákoliv drobná změna v poloze
toho pólu

90
00:13:02,000 --> 00:13:03,700
ještě více doprava znamená,

91
00:13:04,700 --> 00:13:11,000
že prostě přejdete do té pravé poloroviny a teď
si teda namalujte

92
00:13:11,000 --> 00:13:15,000
čili tadyhle přenosová funkce 1/p, že jo?

93
00:13:18,000 --> 00:13:18,500
H(p)

94
00:13:18,500 --> 00:13:24,500
a to samozřejmě víme, že to není nic jiného než
jednotkový skok,

95
00:13:27,000 --> 00:13:28,500
to víme,

96
00:13:31,500 --> 00:13:38,700
teď celý jako pokračuje dál a já tady nemůžu
rolovat na tabuli, takže já tady udělám takový jako,

97
00:13:42,700 --> 00:13:45,900
že umažu tenhle první

98
00:13:49,900 --> 00:13:53,900
řádek a představte si, že s tím pólem já docestuju
až někam takto doprava.

99
00:13:54,000 --> 00:13:59,900
Abych odlišil tu záležitost tak budu značit tuto
vzdálenost b.

100
00:14:03,900 --> 00:14:07,100
Ta přenosová funkce v daným okamžiku bude
p-b, že jo?

101
00:14:08,100 --> 00:14:10,100
To je viditelné,

102
00:14:12,100 --> 00:14:17,100
prostě to "a" se změní na -b, jednoduchá záležitost,

103
00:14:20,100 --> 00:14:25,300
příslušná odezva bude prosím takováto.

104
00:14:27,300 --> 00:14:31,300
Znovu, to bé je prostě reálné

105
00:14:33,000 --> 00:14:35,000
a kladné.

106
00:14:37,000 --> 00:14:43,000
A pokud je takto, tak samozřejmě odezva bude
exponenciála, leč

107
00:14:48,000 --> 00:14:49,000
takováto,

108
00:14:54,000 --> 00:14:58,900
takže příslušnost pólů k pravé polorovině

109
00:15:00,900 --> 00:15:06,900
znamená, odezvy které jsou nestabilní

110
00:15:13,000 --> 00:15:19,100
je jasné, že k omezené nenalezneme omezenou
ypsilon pokud toto jde nade všechny meze

111
00:15:20,100 --> 00:15:25,100
to prostě nejde, to i z toho integrálu je viditelné, že
nic takového nepůjde.

112
00:15:28,100 --> 00:15:36,300
Čili chci říci, že stabilita se nakonec redukuje na to,
že když já tadyhle řeknu, že reálná část toho pólu,

113
00:15:37,300 --> 00:15:43,300
který je ten pól, je v podstatě
v tomto případě pól, je právě béčko

114
00:15:44,300 --> 00:15:47,300
je b a to je větší než nula

115
00:15:50,300 --> 00:15:55,500
tak to odpovídá této nestabilní odezvě.

116
00:15:59,000 --> 00:16:01,900
Když bych to shrnul celé

117
00:16:11,900 --> 00:16:20,100
všechno se to týká přenosové funkce a týká se to tedy příslušné polohy

118
00:16:21,100 --> 00:16:25,100
pólů jejich reálných částí,

119
00:16:26,100 --> 00:16:32,100
jestliže reálná část je záporná, pak ten systém
je nazván

120
00:16:34,100 --> 00:16:36,300
systém je stabilní,

121
00:16:43,300 --> 00:16:45,500
pokud ta reálná část

122
00:16:48,500 --> 00:16:50,700
je právě rovna nule,

123
00:16:51,700 --> 00:16:53,700
tak je to na mezi stability

124
00:17:02,700 --> 00:17:07,900
a v případě reálné části pólů větší než nula

125
00:17:10,900 --> 00:17:13,100
je ten systém nestabilní.

126
00:17:18,100 --> 00:17:22,300
Viz. tady ty obrázky, které jsem maloval před tím

127
00:17:24,300 --> 00:17:27,500
ukázali jsme si to na úplně jednoduchém příkladu

128
00:17:30,500 --> 00:17:37,700
takovéto nejjednodušší diferenciální rovnice,
,které jsme měli, rozebrali jsme si je z hlediska
přenosové funkce

129
00:17:37,700 --> 00:17:45,700
a bavili jsme se v podstatě o nulových bodech
ve jmenovateli, čili o pólech té přenosové funkce

130
00:17:45,700 --> 00:17:53,700
a pokud ty póly umíme klasifikovat v tomto smyslu
tzn. umíme je umístit v komplexní rovině,

131
00:17:55,700 --> 00:18:02,700
tak také umíme rozhodnout, zda ten systém popsaný
takovouto diferenciální rovnicí je prostě stabilní
nebo nestabilní,

132
00:18:06,700 --> 00:18:15,000
takže celá ta debata spočívá v podstatě na reálných
částech pólů o kterých samozřejmě my všichni víme,

133
00:18:15,000 --> 00:18:25,000
že jsou to právě ty části odezev, které prostě
zodpovídají za tlumené nebo naopak neomezeně
rostoucí odezvy.

134
00:18:29,000 --> 00:18:42,000
Vrátíme se k tomu, co jsme si říkali minule tzn.,
že jsme si ukazovali jak můžeme různě spojovat
systémy.

135
00:18:50,000 --> 00:19:00,000
A ukážeme si, tohle je, řekl bych konec minulé
přednášky a ukážeme si na dynamických
vlastnostech těch spojovaných subsystémů,

136
00:19:00,000 --> 00:19:08,000
jakým způsobem oni vlastně reagují na tu celou
záležitost z hlediska právě stability.

137
00:19:22,000 --> 00:19:27,200
Představte si, že máme tu první záležitost,
kaskádní spojení-

138
00:19:33,200 --> 00:19:42,400
týká se dvou přenosových fcí. nebo více,
které jsou takto za sebou řazeny,

139
00:19:42,400 --> 00:19:50,400
my jsme si ukázali, že ta výsledná přenosová fce. je
dána součinem těchto dvou fcí.,

140
00:19:50,400 --> 00:19:52,400
respektivě více fcí.,

141
00:19:56,400 --> 00:20:02,600
jestliže ta přenosová fce. se dá zapsat ve tvaru :

142
00:20:02,600 --> 00:20:06,600
Q1(p) ku N1(p)

143
00:20:06,600 --> 00:20:15,600
a H2(p) = Q2(p) ku N2(p).

144
00:20:18,600 --> 00:20:27,600
Je také jasné, že když to napíšu do tohodle toho
vzorečku, tak tady budu mít ve jmenovateli:

145
00:20:27,600 --> 00:20:29,600
N1(p) krát N2(p)

146
00:20:32,000 --> 00:20:35,200
a v čitateli budu mít příslušný Q-čka,

147
00:20:43,200 --> 00:20:53,400
a je také jasné, že když póly H2 budou mít
reálné části záporné

148
00:20:53,400 --> 00:21:01,400
a póly toho H1 budou mít reálné části také záporné,

149
00:21:01,400 --> 00:21:06,400
jinýmy slovy H1 a H2 budou stabilní,

150
00:21:12,400 --> 00:21:22,900
tak je zjevné, že prostým vynásobením těch
jmenovatelů, které definují polohy polů, prostě
se vůbec nic nestane,

151
00:21:22,900 --> 00:21:30,900
výrok tedy, že pro kaskádní systém se poloha polů
nemění je srozumitelný z tohoto zápisu

152
00:21:34,414 --> 00:21:43,414
a on navíc znamená to, že když je jeden z těch
prvků příslušného řetězce nestabilní, tak celý ten
systém se začne chovat nestabilně

153
00:21:47,574 --> 00:21:57,574
a naopak...platí, že prostě když všechny ty členy,
subčleny, subsystémy jsou stabilní systémy, tak celý
ten řetězec se chová jako stabilní systém.

154
00:22:01,421 --> 00:22:03,421
Podobně je tomu u paralelního systému

155
00:22:04,421 --> 00:22:06,421
u toho paralelního systému

156
00:22:21,938 --> 00:22:28,138
jsme si dovodili minule, že ten...,

157
00:22:30,861 --> 00:22:41,861
že příslušná přenosová fce. je dána součtem těch
dílčích přenosových fcí...to víme z minula...

158
00:22:42,861 --> 00:23:04,861
no a když tedy ten součet zkusíme takto rozepsat,
tak dostanete ,že je to tedy [Q1(p) / N1(p)] + [Q2(p) / N2(p)]

159
00:23:04,754 --> 00:23:10,754
a dostanete...protože to musíte uvést do
společného jmenovatele...

160
00:23:14,417 --> 00:23:28,417
opět ve jmenovateli součin těch dílčích jmenovatelů,
tady dostanete Q1N2 + Q2N1 nějaký čitatel....,

161
00:23:30,000 --> 00:23:40,000
ale podstatné je, že tedy póly, toho celého systému
jsou v podstaně identické s póly těch jednotlivých
dílčích fcí.

162
00:23:42,376 --> 00:23:53,376
a výrok, který říká, že při paralelním spojení
subsystémů se poloha polů opět nemění,

163
00:23:53,511 --> 00:24:00,711
opět zůstává stejnou distribucí jako byla v těch
původních dvou systémech,

164
00:24:02,327 --> 00:24:25,327
tím se chce také říci, že když budete mít v
paralelním systému jeden jediný systém nestabilní
tak celý ten systém se stane nestabilním.

165
00:24:29,793 --> 00:24:38,793
To je prosím jako docela vážná věc jo, že tedy u těch
zabezpečených systémů musíte prostě také dbát, aby
ty jednotlivé systémy

166
00:24:38,793 --> 00:24:49,793
měli dostatečnou rezervu v té stabilitě tzn., aby
jejich póly byly dostatečně vzdálené od imaginární
osy , pokud jsou to tedy systémy

167
00:24:49,793 --> 00:24:53,793
ve spojitém čase pracující tzn. analogové systémy.

168
00:24:56,793 --> 00:25:02,993
V posledním případě u té zpětné vazby se ta situace
výrazně změní,

169
00:25:05,413 --> 00:25:12,413
u té zpětné vazby celý ten problém začne vypadat
trošku jinak,

170
00:25:34,413 --> 00:25:45,613
u toho zpětnovazebního systému jsme si říkali, že
tam máme něco jako produkční linku, která najednou
třeba začne vyskakovat ze všech ložisek a...

171
00:25:45,613 --> 00:25:49,613
prostě potřebujeme s ní něco udělat a...

172
00:25:49,787 --> 00:26:01,787
to co s ní uděláme, je tedy zpětná vazba přes
přenosovou fci. H2(p), která se chová na tom
vstupu takovým způsobem

173
00:26:02,516 --> 00:26:04,516
,že tady je prostě záporně vzata,

174
00:26:04,722 --> 00:26:07,822
takto jaksi jde signál

175
00:26:07,822 --> 00:26:16,822
a tady jde vlastně ze vstupu nějaký konkrétní
vstup a tady máme výstup

176
00:26:16,863 --> 00:26:20,963
a celá ta přenosová fce.

177
00:26:20,963 --> 00:26:27,963
-jsme si minule odvodili- je dána vzorečkem, který říká...

178
00:26:38,963 --> 00:26:40,163
toto

179
00:26:40,929 --> 00:26:49,929
a já dodávám, že když tam dosadíme ty naše ůvodní
přenosové fce.

180
00:27:12,194 --> 00:27:15,294
a to naprosto jednoduše takto jo?

181
00:27:16,117 --> 00:27:25,117
A když upravíme ten vzoreček tzn. upravíme....
- tady to musim smazat, abych se sem vešel -

182
00:27:31,989 --> 00:27:36,000
tak vynásobíme toho jmenovatele součinem N1N2

183
00:27:38,969 --> 00:27:50,969
a dostaneme...ač to uděláme v čitateli i ve
jmenovateli, tak dostaneme H(p) ve tvaru
Q1(p) krát N2(p)

184
00:27:54,156 --> 00:28:08,156
a ve jmenovateli dostanete
N1(p) N2(p) + Q1(p) Q2(p)
jako konkrétní výsledek toho našeho počítání.

185
00:28:11,869 --> 00:28:20,869
A co platí?...To původní rozložení pólů je v tomto
součinu, jenže já k tomu přičtu nějaký součet,

186
00:28:23,383 --> 00:28:27,383
neboli nějaké polynomy a celý to rozložení se prostě
dost dramaticky změní.

187
00:28:31,462 --> 00:28:48,462
Přitom zpětnovazebním zapojení dochází, k velmi
výrazné změně té polohy příslušných polů a této
okolnosti se dá velmi dobře využít,

188
00:28:53,325 --> 00:29:09,325
dá se využít v tom smyslu, že pokud třeba tento
jmenovatel bude mít póly v pravé polorovině tzn.
bude odpovídat nestabilní soustavě,

189
00:29:09,325 --> 00:29:19,325
tak celý tenhleten výsledek už může být stabilní.
Je to proces jak stabilizovat některé nestabilní
systémy.

190
00:29:19,325 --> 00:29:31,325
Ukážeme si teď na jednoduchém příkladu postup
jak k takovéto stabilizaci dochází,

191
00:29:54,238 --> 00:30:18,238
takže nejprve máme danou...Máme LTI systém s
přenosovou fcí., která vypadá takovýmto způsobem:

192
00:30:18,238 --> 00:30:35,238
je to nějaký H(p)= (p^2 + 3p + 2) / (p^2 - p + 1)

193
00:30:35,238 --> 00:30:47,238
takže první otázka zní : Je tento systém stabilní ?

194
00:30:58,238 --> 00:31:01,438
Kudy do toho?

195
00:31:03,723 --> 00:31:08,723
No budeme hledat nuly toho jmenovatele ne?

196
00:31:09,964 --> 00:31:17,964
Čili jinými slovy ta odpověď spočívá v tom, že
nalezneme póly,

197
00:31:26,562 --> 00:31:31,562
no a protože máme kvadratickou rovnici tak
pravděpodobně jí umíme vyřešit...

198
00:31:34,848 --> 00:31:52,848
a tady to bude 1 + - odmocnidlo (1 - 4) čili to je "i" krát
3 a tady bude prostě takhle 2, takže když to napíšeme
v kultivovaném tvaru, tak je to 1/2

199
00:31:52,946 --> 00:31:55,046
+ - i krát odmocnina ze 3 půl,

200
00:32:00,046 --> 00:32:11,046
když si ty póly namaluji, tak tady bude 1/2
...tady bude nějaká "i" krát odmocnina
ze 3 půl

201
00:32:12,867 --> 00:32:17,867
a tady bude nějaké - "i" krát odmocnina ze 3 půl,

202
00:32:17,867 --> 00:32:22,867
takže ten pól bude tady a někde tady...jo?

203
00:32:27,982 --> 00:32:35,982
Neboli chcete reálné části toho (p1,2)
jsou právě 1/2 a to je větší než 0

204
00:32:40,037 --> 00:32:47,037
támhle jsme měli napsáno před chvílí, že to odpovídá
situaci, kdy ten systém je nestabilní,

205
00:33:02,057 --> 00:33:05,457
důvod je tento prosím....jo?

206
00:33:06,971 --> 00:33:18,971
A teď zní otázka za 2) lze zpětnovazebním
připojením přivodit, aby tento systém byl stabilní ?

207
00:33:18,585 --> 00:33:38,585
Nebo chcete-li pojďme nalézt zapojení, ve kterém
ve zpětné vazbě bude jednoduše jenom nějaký zisk,
zesilovač s konstantním A

208
00:33:38,585 --> 00:33:55,585
a tady bude tedy klasická záporná zpětná
vazba...čili nalezněme tadydle nějakou H(p)
třeba s vlnkou nebo s pruhem to je jedno,

209
00:33:56,535 --> 00:33:58,635
prostě výslednou,

210
00:34:01,497 --> 00:34:04,497
čili naším úkolem je najít toto...

211
00:34:09,941 --> 00:34:33,941
Takže máme zatím nestabilní systém a nutíme ho do
situace, kdy ho zapojujeme do takového tvaru ,
který vede na přenosovou fci. tohoto typu,

212
00:34:35,918 --> 00:34:40,918
takže k čemu bude rovný H s pruhem?

213
00:34:48,093 --> 00:34:56,093
Spinkáte ještě, nebo?..tak trošku aktivity, trošku
nějakýho duchovního konání :-)

214
00:35:00,169 --> 00:35:02,169
No kolik že to bude ?

215
00:35:02,169 --> 00:35:05,169
No ta H

216
00:35:10,158 --> 00:35:23,158
tady bude H(p) a co bude ve jmenovateli?... 1+ A
krát H (p)...děkuju.

217
00:35:26,840 --> 00:35:34,840
No a pak už nezbývá nic jiného, než do příslušné
rovnice dosazovat..takže tam dosadíme

218
00:35:34,840 --> 00:35:58,840
(p^2 + 3p + 2) / (p^2 - p + 1) / {1 + A krát
[(p^2 + 3p + 2)/(p^2 -p + 1)]}

219
00:35:58,840 --> 00:36:07,840
a když to pěkně roznásobíme, tak dostaneme tady,
že je:

220
00:36:07,840 --> 00:36:28,840
p^2 + 3p + 2 a tady budete mít
p^2 - p + 1 + A p^2 + 3Ap + 2A

221
00:36:32,439 --> 00:36:58,439
No a to můžete ještě napsat tak, že posbíráte
koeficienty u všech mocnin a napíšete to ve tvaru
(1 + A)p^2 + (3A - 1)p + 1 + 2A

222
00:37:01,341 --> 00:37:20,341
a vidíte jednu celkem srozumitelnou věc, když tady
byl záporný koeficient tak to vedlo na nestabilní
systém..je docelá dobrá hypotéza říci, že když bude :

223
00:37:20,747 --> 00:37:40,747
3A - 1 větší než 0 tak že určitě najdu hodnoty A
takové kdy tento koeficient bude nejen kladný, ale
celý ten výsledek bude dávat póly, které budou ležet

224
00:37:40,747 --> 00:37:42,747
v levé polorovině.

225
00:37:43,047 --> 00:37:46,747
Třeba si zkusíme A = 1,

226
00:37:48,388 --> 00:37:57,388
takovou jednoduchou věc...tzn. že v tom zapojení
tady vlastně neděláte nic, máte tam prostě natvrdo 1,

227
00:37:59,555 --> 00:38:26,555
úplně ten nejtriviálnější případ....a dostaneme
přenosovou fci. v takovémto tvaru 2p^2 + 2p + 3.
Je to dobře jo?

228
00:38:27,931 --> 00:38:30,931
No a teď si zkusíme, kdeže leží póly, že jo?

229
00:38:34,160 --> 00:38:47,160
No tak ty jsou tentokrát v takovéto poloze dané
jmenovatelem téhleté nové přenosové fce., tzn.
H(p) s pruhem kdežto A bylo rovno 1,

230
00:38:51,874 --> 00:39:13,874
no a když umíme počítat tak spočítáme nové
pruhované p1,2 a dostaneme, že to je -2 + -
odmocnina ze (4 - "4 krát 2 je 8 krát 3 je 24 že jo?")

231
00:39:15,524 --> 00:39:17,524
ku 4

232
00:39:19,915 --> 00:39:35,915
když to ještě malinko upravíte tak to skončí tak, že
tedy p1,2 pruh je prostě - 1/2 +- "i" krát
odmocnina z 5 půl

233
00:39:39,784 --> 00:40:00,784
ty póly tentokrát se z té 1/2 odstěhovaly do -1/2 a
tady mají nějakou imaginární část, která odpovídá
"i" krát odmocnina z 5 půl

234
00:40:00,784 --> 00:40:23,784
tadyhleta odpovídá - "i" krát odmocnina z 5 půl
a zkrátka a dobře pro ty póly platí, že reálná část
pruhovaných pólů = -1/2 a to je menší než 0

235
00:40:23,784 --> 00:40:29,784
a my máme co do činění se stabilním systémem,

236
00:40:30,750 --> 00:40:48,750
čili takovou v podstaně jednoduchou operací
získáte cosi, co funguje jakožto stabiní systém v
trošku jiné podobě, ale funguje jako stabilní

237
00:40:50,941 --> 00:41:01,941
a co je podstatné je, že to vlastně nestálo ani mnoho
řekl bych prvků, které potřebujete k tomu

238
00:41:03,990 --> 00:41:12,990
samozřejmě ve složitějších systémech, když máte jak
jsem říkal, třeba výrobní linku, tak najednou to začne
vyskakovat z ložisek a prostě začne se to chovat

239
00:41:12,990 --> 00:41:23,990
nějakým nemravným způsobem, tak celý ten zásah
jak zavazbyt některé ty výstupní veličiny  může být v
podstatě složitější.

240
00:41:23,990 --> 00:41:34,990
Toto je princip, toto je prostě způsob jak se v této
oblasti pracuje a celá tato oblast se nazývá teorie
řízení ve smyslu control theory,

241
00:41:35,542 --> 00:41:44,542
ve smyslu řídit a automaticky dokázat některé
procesy, které jsou z principu nestabilní, udržet v
nějakých mezích

242
00:41:46,653 --> 00:41:56,653
a tenhleten zpětnovazební proces to je jedna z
takových těch velmi významných a velmi důležitých
otázek se kterými se prostě můžete ve svých budoucích

243
00:41:56,653 --> 00:41:59,653
pracech kdykoli střetnout.

244
00:42:05,815 --> 00:42:22,815
Takže já bych rád, kdyby jste z tohodletoho
1. povídání dospěli k názoru, že použití laplaceovy
transformace vede k tomu, že jsme schopni

245
00:42:22,815 --> 00:42:24,815
vyhodnocovat stabilitu systémů

246
00:42:25,454 --> 00:42:34,454
a že tu stabilitu systémů umíme do jisté míry také
malinko ovládat pomocí zpětovazebních zapojení.

247
00:42:36,362 --> 00:42:42,062
To by měla být jakási zpráva z tédleté první části
přednášky,

248
00:42:43,160 --> 00:42:57,160
ta druhá část přednášky se bude týkat věcí kolem
použití laplaceovy transformace a vztahu mezi
stavovým popisem a přenosovou fcí...

249
00:44:12,867 --> 00:44:32,867
Co tedy bude naším zájmem ?...ukážeme si, jakým
způsobem popis systému pomocí stavové proměnné tzn.
pomocí matic A, B, C, D,

250
00:44:33,881 --> 00:44:49,881
lze zpětně převést na vztah mezi vstupem a
výstupem, jinými slovy, jak ten vnější popis vidět
z toho vnějšího světa.

251
00:44:54,508 --> 00:45:12,508
Začneme tam, kde jsme už byli tzn. že si řekneme, že
máme model lineárního časově invariantního systému,
kde veličiny typu x jsou stavové veličiny,

252
00:45:13,031 --> 00:45:31,031
vektory stavových veličin..a říkám-li vektor, tak
rozumím tím, že x(t) je vektor...takže on má nějaký sloupec...sloupcový vektor a tady jsou prostě

253
00:45:31,031 --> 00:45:42,031
ty jeho složky x1(t), x2(t)...mohl bych jich tady mít
víc..dejme tomu, že skončím třeba na ....x3(t) , že
to bude jenom 3 složkový vektor,

254
00:45:43,451 --> 00:45:52,451
jinými slovy říkám tím, že mám 3 stavové veličiny
a ten X, který je tady namalovaný je prostě vektorem

255
00:45:52,520 --> 00:46:05,520
z toho také důvodu je y(t) vektor a samozřejmě také
to u(t) je vektor

256
00:46:05,583 --> 00:46:09,583
podobného tvaru

257
00:46:11,553 --> 00:46:19,553
a protože teda se bavíme o vektorech, tak tyto
veličiny A, B, C, a D jsou maticemi,

258
00:46:23,107 --> 00:46:35,107
že A, B, C, D jsou obecně matice takže musíme s těmi
výrazy, které prostě nám vyjdou, pracovat jako s
algebraickými výrazy, s maticovými výrazy,

259
00:46:38,676 --> 00:46:46,676
tím chci říci, že se třeba nedá dělit maticí musíme
násobit inverzní maticí,

260
00:46:48,351 --> 00:46:57,351
násobení matic není komutativní není jakkoliv
libovoně zaměnitelné, zkrátka a dobře musíte s tím
zacházet jako s klasickou algebraickou strukturou,

261
00:46:57,351 --> 00:47:00,351
kde máte maticový zápis,

262
00:47:03,707 --> 00:47:14,707
když na tyto rovnice, které jsou 1.  řádu použijete
laplaceovu transformaci

263
00:47:20,079 --> 00:47:32,079
tak dostanete tvar, ve kterém, protože x(t) byl vektor
tak samozřejmě i x(p) je vektor

264
00:47:35,069 --> 00:47:49,069
a on bude mít opět odpovídající složky tak jak to
odpovídá v té časové rovině,

265
00:47:53,741 --> 00:48:00,741
příslušné x(0) jako počáteční podmínky jsou také
vektorem,

266
00:48:06,127 --> 00:48:17,127
jo prostě pro každou z těchto veličin mohu stanovit
jednu počáteční podmínku..takže tam budu mít
pokud ten vektor x bude 3 složkový,

267
00:48:17,127 --> 00:48:22,527
tak samozřejmě i vektor počátečních podmínek
bude mít 3 složky obecně,

268
00:48:26,497 --> 00:48:29,497
a co teď potřebuji s tou rovnicí udělat?

269
00:48:30,703 --> 00:48:40,703
Já se potřebuji zbavit, abych dosáhl vztahu mezi
výstupem a vstupem , tak se potřebuju zbavit
těhletěch X, že ano?

270
00:48:40,269 --> 00:48:42,269
Těhletěch veličin..

271
00:48:42,416 --> 00:48:45,416
Prostě, když je tam nebudu mít tak to bude prima

272
00:48:46,318 --> 00:48:48,318
a jak to udělám?

273
00:48:48,770 --> 00:48:55,770
Já upravím tu 1. rovnici, takovýmto jednoduchým
způsobem,

274
00:49:02,447 --> 00:49:12,147
tedy převedu...sčítat a odčítát vektory můžu, čili
prostě tam nemám žádný..řekl bych kolaps,

275
00:49:13,982 --> 00:49:25,982
takže tento vektor, jakožto známou veličinu na pravou
stranu a z pravé strany na levou tento vektor, který
je A krát x(p)

276
00:49:27,252 --> 00:49:29,352
a pak vytknu x(p) což mohu,

277
00:49:29,856 --> 00:49:39,856
s tím, že tedy prostě místo jedničky tam píšu v
podstatě diagonální matici jedniček jo?...tadleta
tlustá 1

278
00:49:43,051 --> 00:49:48,051
znamená, že prostě ty p budu mít naskládaný takhle
podél diagonály,

279
00:49:51,261 --> 00:49:52,261
jo ?

280
00:49:59,389 --> 00:50:02,389
A teď..

281
00:50:08,897 --> 00:50:15,897
A teď co udělám?..Teď potřebuji osvobodit to X,

282
00:50:16,657 --> 00:50:25,757
když bych měl skalár tak suše vydělím, ale dělení není
možné..já musím  násobit zleva

283
00:50:27,640 --> 00:50:29,640
..inverzní maticí..

284
00:50:30,984 --> 00:50:42,984
A když násobím z leva inverzní maticí tak tento
součin se stane jedničkou a tady budu mít prostě
násobení, jak kolem toho X(0),

285
00:50:42,984 --> 00:50:47,984
tak kolem tédleté veličiny vstupu

286
00:51:18,843 --> 00:51:23,543
a protože já chci spočítat přenosovou fci.,

287
00:51:24,855 --> 00:51:31,855
tak takto vyjádřené X dosadím do této rovnice

288
00:51:31,803 --> 00:51:39,803
a ještě použiji informaci, že dělám přenosovou fci.
tzn., že všechny počáteční podmínky budou rovny 0,

289
00:51:42,155 --> 00:51:50,155
takže po tomto kroku dostanu takovýto výsledek..

290
00:51:58,931 --> 00:52:03,931
,který říká..

291
00:52:09,914 --> 00:52:20,914
, který prosím říká jednu docela zajímavou
záležitost..totiž, že už mám vztah mezi obrazem

292
00:52:24,002 --> 00:52:29,002
výstupu a obrazem vstupu, který mi
zprostředkuje přenosová fce...

293
00:52:35,416 --> 00:52:41,416
s tím, že v té přenosové fci. je prosím takováto, nebo
že ta přenosová fce. je takováto matice,

294
00:52:46,799 --> 00:53:00,799
takže já mám vztah, který říká, že tady je
[C krát (p krát 1 - A) to celé na -1

295
00:53:00,858 --> 00:53:08,858
krát B + D] krát U(p)

296
00:53:11,146 --> 00:53:20,146
a neříkám tedy nic jiného než moje H(p)  se rovná
tomuto výrazu

297
00:53:25,416 --> 00:53:39,416
a to je prosím jeden docela vážný výsledek, že jsme
na základě znalosti stavového popisu

298
00:53:41,176 --> 00:53:49,176
a konstrukce matic A, B, C, D dosáhli na
přenosovou fci.

299
00:53:52,869 --> 00:54:00,869
jenom pokud si uvědomíte, když jsme tady dělali třeba
prostě v tom diskrétním světě, když jsme dělali fakultu
jakožto rozsáhlejší systém, tak jako říct rovnou

300
00:54:00,830 --> 00:54:03,830
jaký je přenos prostě ve smyslu vztah vstupu, výstupu

301
00:54:04,102 --> 00:54:07,102
no pěkně složitá záležitost..

302
00:54:07,690 --> 00:54:09,690
Toto je prosím cesta..

303
00:54:11,329 --> 00:54:16,329
Ukážeme si, že i v diskrétním světě platí podobné
zákonitosti,

304
00:54:27,020 --> 00:54:36,500
no a aby to všechno bylo trošku jasnější, nebo
akceptovatelnější tak se vám pokusím ukázat jeden
příklad,

305
00:54:36,948 --> 00:54:44,948
který budu spíš promítat, protože toho psaní je tam
příliš a pokusím se vám vždycky takový ty kritický
místa vysvětlit kudy do toho.

306
00:54:49,625 --> 00:54:56,625
Tady ještě jedna poznámka, že když ten systém je
regulární..

307
00:55:04,899 --> 00:55:18,899
pak to D je rovno 0 a celá ta H(p) je jenom součin
těhletěch 3 matic,

308
00:55:55,300 --> 00:56:09,300
takže příklad, který je z kategorie trošku jaksi
rozsáhlejšího uvažování, ale právě proto vlastně jsme
tady, abychom si trošku jako zvykli, že postupně

309
00:56:09,300 --> 00:56:11,300
integrujeme ty znalosti, které máme..

310
00:56:15,299 --> 00:56:24,299
Představte si, že máte dány dvě diferenciální
rovnice, které jsou takto různě

311
00:56:24,971 --> 00:56:25,971
svázány

312
00:56:27,880 --> 00:56:32,680
a otázka zní..zda umíme  nalézt vztah mezi vstupem
a výstupem,

313
00:56:34,722 --> 00:56:42,722
tedy jestliže vstupem je vektor U1 U2..,

314
00:56:51,183 --> 00:57:01,683
máme tedy systém, ve kterém na vstupu je U1(t),U2(t)

315
00:57:02,455 --> 00:57:11,455
a na výstupu jsou, zdá se y1, y2 jsou také dvě veličiny,

316
00:57:23,567 --> 00:57:26,567
nevypadá to na první pohled jako jasný kudy do
toho, že?

317
00:57:30,966 --> 00:57:44,000
Ale teď si uvědomíme co vlastně už umíme..my jsme
si ukazovali jak z diferenciálních rovnic sestavit
stavový popis,

318
00:57:44,214 --> 00:57:45,214
to jsme si ukazovali,

319
00:57:47,843 --> 00:57:55,000
takže tady budeme postupovat stejně..nejdřív si
prostě musíme zkonstruovat stavový popis a když
budeme mít stavový popis,

320
00:57:55,668 --> 00:58:01,000
tak pak si prostě vypočítáme přenosovou fci. tímto
způsobem a jsme hotovi,

321
00:58:03,296 --> 00:58:04,296
takže to je ta cesta..

322
00:58:05,680 --> 00:58:13,680
Takže nejdřív první úlohu kterou, musíme vyřešit je..jak
z těhletěch rovnic získat rovnice, které budou 1. řádu,

323
00:58:14,518 --> 00:58:20,518
tzn. jak získat ten stavový popis, vzpomínáte?

324
00:58:21,487 --> 00:58:29,387
Počítali jsme řád těch rovnic a říkali jsme..když je
1. řádu tak prostě bude jedna stavová rovnice, když
je 2. řádu budou 2 stavové rovnice,

325
00:58:29,621 --> 00:58:30,621
jak to bude tady?

326
00:58:37,325 --> 00:58:51,325
Ta jedna proměnná je tady zásadně pouze v první
derivaci, čili ta prostě bude jakoby rovnice 1 a pak je
tam 2. rovnice, která říká, že prostě ta proměnná je

327
00:58:52,068 --> 00:58:55,068
tam prostě 2. řádu...takže kolik bude těch
stavových proměnných ?

328
00:58:55,000 --> 00:58:56,168
3.

329
00:58:56,228 --> 00:58:59,228
Takže si zvolíme 3  stavové proměnné

330
00:59:06,123 --> 00:59:18,123
a teď, když to uděláme tak nastává ona...trošku
ten..to umění, které prostě potřebujeme,

331
00:59:18,315 --> 00:59:22,315
my potřebujeme 1. derivace všech těhletěch
proměnných,

332
00:59:23,709 --> 00:59:27,109
abychom mohli zahájit tadyhletu rovnici tímto
způsobem,

333
00:59:27,009 --> 00:59:28,109
že jo?

334
00:59:30,786 --> 00:59:44,786
Takže, když se podíváme třeba na 1. řádek, který
říká, že když zderivuju X 1, tak dostanu Y 1
zderivované, ale Y 1 zderivované je X 2,

335
00:59:45,325 --> 00:59:56,325
takže dostanu rovnici, že X 1 se rovná 0 krát X 1,
1 krát X 2, O krát X 2 a není tam žádný vstup,

336
00:59:58,962 --> 01:00:11,962
když zderivuji X2 dostanu Y1 se dvěma a to je podle
téhleté 1. rovnice U1-4Y1 s čárkou - 3Y2 s čárkou jo?

337
01:00:12,979 --> 01:00:26,979
Když použiji ty stavové proměnné, tak tady dostanu,
že je to -4 krát X2 + 3 krát X3 a  je tam jednou krát 1

338
01:00:30,216 --> 01:00:38,016
a podobně derivací X3 dostanu, že je Y2 s čárou a to
zase použiji tuto rovnici

339
01:00:39,698 --> 01:00:52,698
a všechny tyto zbylé členy..pomocí nich vyjádřím
prostě tuto derivaci a budu mít napsáno že Y2 s
čarou je -Y1 s čarou -Y1 - 2Y2 + U2,

340
01:00:53,645 --> 01:01:10,145
to máte tady takto...- 1 X1 je Y1,   X2 je Y1 s čárou,
X3 je prosím Y2, čili toto je tato rovnice

341
01:01:11,955 --> 01:01:19,055
a pak tam bude 0 krát 0, protože tam bude tento
vektor vstupních veličin U, ještě na té pravé straně

342
01:01:20,084 --> 01:01:27,084
takto jsem zkonstruoval a prosím ještě jednou si to
projděte sami jestli rozumíte tomu co jsem teď říkal

343
01:01:28,650 --> 01:01:29,650
kudyma to šlo..

344
01:01:35,305 --> 01:01:38,505
Jak jsem zkonstruoval matici A a B,

345
01:01:42,305 --> 01:01:48,305
zkuste si to sami...koukat se do svých papírů a prostě
přemýšlet..ano rozumím tomu, vím jak jsem to udělal...

346
01:02:06,205 --> 01:02:17,205
A druhé rovnice mají jednoduchý tvar v podstatě
jenom přepíši Y1, Y2, čemu že jsou rovny tváří v
tvář tomu stavovému vektoru

347
01:02:18,134 --> 01:02:25,534
a je jasné že Y1 je X1 a Y2 je X3 a že prostě
dostanu takovýto maticový zápis,

348
01:02:27,394 --> 01:02:33,094
mám A,B,C, dokonce mám i řečeno že D = 0,

349
01:02:34,767 --> 01:02:44,367
tam neni žádný vztah mezi výstupem a vstupem
přímým..tam neni žádná veličina, čili D = 0,

350
01:02:47,180 --> 01:02:54,080
čili nám nezbývá nic jiného než začít počítat, umíme A, B a C

351
01:02:54,468 --> 01:03:01,468
a víme, že přenosovou fci. získáme takovouto operací,

352
01:03:01,492 --> 01:03:06,392
tzn., že naše přenosová fce. tady bude..

353
01:03:08,406 --> 01:03:15,406
C krát (p1 - A) to celé na -1. krát ..D je už rovné 0,

354
01:03:16,956 --> 01:03:18,956
ano?

355
01:03:38,039 --> 01:03:49,039
Čili tadydle nad to si klidně můžete napsat...tohle je
prostě matice systému A....todle je matice vstupu  B
a tohle je matice výstupu C,

356
01:03:57,887 --> 01:04:09,087
a teď už nezbývá nic než použít příslušný vzoreček,
který jsme si odvodili jako obecnou záležitost, s
vědomím, že vlastně ta přenosová matice

357
01:04:13,495 --> 01:04:18,095
bude vlastně tedy...

358
01:04:19,283 --> 01:04:30,283
...bude mít takovýto tvar..no to znamená, že tam budou
vztahy, které říkají jak moc třeba vstup U2 ovlivňuje
výstup Y1,

359
01:04:32,497 --> 01:04:35,497
což je dáno tím, že toto je prostě čtvercová matice,

360
01:04:36,540 --> 01:04:43,540
zvykněte si i na to, že přenosová fce. může být i
maticí..podle počtu vstupů a výstupů..

361
01:04:53,262 --> 01:05:02,262
Tohle je dobrý vědět na začátku, protože to je jakási
kontrola toho co vlastně budeme počítat

362
01:05:12,736 --> 01:05:18,736
první, co musíme zkonstruovat je ta matice

363
01:05:19,788 --> 01:05:21,788
p krát 1 - A,

364
01:05:22,639 --> 01:05:33,639
jak jsem říkal to p krát 1 je v daném případě prostě
diagonální matice tří péček takto

365
01:05:36,480 --> 01:05:49,680
a pak tam prostě napíšete koeficienty toho Áčka se
záporným znaménkem, čili tady prostě bude -1 nula,
tadydle bude +4 - 3 tady bude +2

366
01:05:49,680 --> 01:05:53,680
a tady budou + jedničky a tady bude 0

367
01:05:54,735 --> 01:05:56,035
což je..

368
01:05:57,172 --> 01:06:04,172
když se díváte v podstatě na tu matici A se záporným
znaménkem tak vám to takto vyjde..

369
01:06:07,373 --> 01:06:08,373
Tak..

370
01:06:08,992 --> 01:06:16,092
a teď co potřebujem?..Potřebujeme inverzi matice,

371
01:06:21,227 --> 01:06:24,227
říká vám něco pojem inverze matice?

372
01:06:29,376 --> 01:06:35,376
Pro zopakování jednoduchých vlastností...

373
01:06:38,199 --> 01:06:42,199
malá exkurze do inverze matice 2X2,

374
01:06:45,440 --> 01:06:56,440
která se velmi podobá té inverzi matice 3X3...
představte si, že budete mít matici A ...... čili inverze
matice,

375
01:07:04,638 --> 01:07:20,138
představte si matici A, která má prvky jak správně by
měla mít.... takovéto.....je to matice 2 krát 2

376
01:07:23,745 --> 01:07:31,745
a jakže počítáme příslušnou inverzní matici?

377
01:07:34,803 --> 01:07:43,803
No 1. co musíme spočítat je determinant, který je
podle sárrusova pravidla A11 A22

378
01:07:43,998 --> 01:07:46,998
- A12 A21,

379
01:07:49,354 --> 01:07:50,254
jo?

380
01:07:50,875 --> 01:07:54,075
Pro matici 3. řádu sárrus ještě platí,

381
01:07:55,382 --> 01:07:58,382
pro matici 4. řádu tam už ne!

382
01:08:02,988 --> 01:08:13,988
Takže ta matice...za 1. tedy má 1/deltu a pak má
tzv.doplňky

383
01:08:15,006 --> 01:08:24,006
, že spočítám doplněk K11 a to je prostě
A22, že spočítám doplněk k tomuto prvku a
dostanu, že je to A11

384
01:08:27,403 --> 01:08:36,403
a pak tam počítám doplňky transponované matice a
ještě se správným znaménkem, takže je tam takhle
napíšu a jsem hotov.

385
01:08:40,188 --> 01:08:45,188
Takže pokud rozumíte tomuto, dokážete i dát
dohromady 3. řád,

386
01:08:45,188 --> 01:08:49,188
tady počítám prosím neustále tzv. doplňky

387
01:08:50,238 --> 01:08:52,238
a důvalovu matici tzv.

388
01:08:54,132 --> 01:09:07,132
no kdo nevěří tak...když se to vynásobí, tak dostanete
opravdu, že je to krásná jednotková matice, že to je
správná inverze.

389
01:09:08,240 --> 01:09:17,240
Je to vidět z toho, že tedy A11 krát A22
- A12 krát A21 to je právě ten
determinant, který tadyhle dává tu jedničku

390
01:09:17,619 --> 01:09:24,219
Zejména v těhletěch mimodiagonálních prvcích se to
prostě zruší, ty hodnoty,

391
01:09:25,780 --> 01:09:36,780
čili to je prostě inverze matice 2. řádu, 3. řádu budu
používat jenom výsledky nicméně bych vám
doporučoval, abyste si to doma zkusili, že tomu

392
01:09:36,780 --> 01:09:38,480
opravdu rozumíte,

393
01:09:39,852 --> 01:09:40,852
doporučuji!

394
01:09:49,927 --> 01:10:03,927
Determinant té matice jak jsem říkal tady platí ještě
sárrus tzn. sárrusovo pravidlo takle hezky po těchto
směrech s kladným znaménkem,

395
01:10:03,927 --> 01:10:14,627
ve směrech opačných se záporným znaménkem,
správně vynásobit a vždycky si doplnit tu matici,
takže dostanete výraz, který vede na determinant

396
01:10:14,627 --> 01:10:25,627
té matice, který při inverzi budeme počítat.

397
01:10:26,998 --> 01:10:36,098
Tady je napsáno a to je důležité vědět, že prostě ten
determinant bude jmenovatelem všech těch dílčích
přenosových fcí..jinýmy slovy...,

398
01:10:36,098 --> 01:10:47,098
ten determinant jako takový je zodpovědný za to, jestli
je to stabilní systém , ten determinant je zodpovědný
prostě za to, kde leží ty póly příslušné přenosové fce.,

399
01:10:52,371 --> 01:11:04,371
no a když si zkonstruujeme tu matici doplňků tu tzv.
adjungovanou matici,

400
01:11:05,553 --> 01:11:10,053
tak dostaneme prosím takovýto výraz.

401
01:11:14,063 --> 01:11:24,063
Znovu opakuji, to si prosím opravdu zkuste sami doma,
jakožto řekl bych nějaký vzorový příklad..jestli umíte
spočítat doplňky ze správným znaménkem,

402
01:11:26,178 --> 01:11:33,078
zakrýt si takhle tu matici, spočítat determinant a dát
mu správné znaménko,

403
01:11:34,977 --> 01:11:36,377
to je prosím tahleta úloha..

404
01:11:36,377 --> 01:11:38,377
Nic jiného tam není,

405
01:11:43,523 --> 01:11:55,523
no a pak musíte vynásobit tenhleten výsledek zleva
maticí C, zprava maticí B a vydělit to determinantem
a jsme hotovi.

406
01:11:56,543 --> 01:12:05,243
Ten výsledek velmi...jaksi...kultivovaně,

407
01:12:06,208 --> 01:12:12,108
je to prosím přenos,

408
01:12:15,315 --> 01:12:20,315
uvedený na tomto posledním slajdu,

409
01:12:22,141 --> 01:12:28,141
takže tohleto počítání udělejte si tam takhle hezky
vykřičník ->"sám si zkusím doma, že mi to funguje",

410
01:12:37,191 --> 01:12:53,191
a pak už je to prostínké násobení..zleva maticí C, která
byla 2 krát 3 a zprava maticí B, která byla 2 krát 3

411
01:12:57,863 --> 01:12:59,863
a je hotovo.

412
01:13:01,834 --> 01:13:17,834
A to, že je hotovo velmi dobře naznačuje, že máme
různé vztahy mezi různými vstupy a výstupy...jinými
slovy v tom prostředí popsaným diferenciálními

413
01:13:17,834 --> 01:13:33,034
rovnicemi, se prostě ta informace šíří ze vstupu jak na
výstup 1 tak i na výstup 2 a podle toho, jak moc to je
dané v podstatě tou přenosovou fcí. konkrétní.

414
01:13:38,037 --> 01:13:49,037
Myslím si, že toto je dobrá tečka za dnešním
povídáním, já si dokonce myslím, že  takto byste
měli vnímat používání laplaceovy transformace,

415
01:13:49,792 --> 01:14:00,792
tzn. že laplaceova transformace vám umožňuje v
podstatě velmi robustním způsobem, zvládat ne příliš
jednoduché úlohy, jo?

416
01:14:01,758 --> 01:14:10,758
Tzn. ne přiliš triviální úlohy, protože když jsme začli
těmi dvěmi diferenciálními rovnicemi, tak jsme si
říkali, no a jako jak z toho udělat přenosovou fci.,

417
01:14:10,448 --> 01:14:14,048
třeba, jo?...jak udělat vztah mezi vstupem a výstupem,

418
01:14:14,048 --> 01:14:27,048
čili chci říci, toto je celý postup jak se dá do standardní
podoby dostrkat v podstatě ne příliš jednoduchý zápis,
který vám prostě vyjde z nějakých..dejme tomu..

419
01:14:28,033 --> 01:14:37,033
modelovacích procesů. Kdy se prostě pokoušíte cosi
namodelovat a máte potom soustavu rovnic, která
prostě vypadá na první pohled nepřehledně,

420
01:14:37,033 --> 01:14:45,033
tak ta přehlednost se získá v podstatě takovýmto...,
vlastně je to, kuchařka jak to udělat.

421
01:14:45,033 --> 01:14:51,033
Přeji vám hezký den a za týden nashledanou.