1
00:00:00,500 --> 00:00:03,000
Hezký den přeju a dobrý den,

2
00:00:05,600 --> 00:00:13,400
dnešní přednášku věnuji zavedení transformace, která se dotýká,

3
00:00:14,300 --> 00:00:16,300
dotýká diskrétních systémů,

4
00:00:16,400 --> 00:00:21,500
která tedy na rozdíl od Laplasovy transformace manipuluje nikoliv s funkcemi,

5
00:00:21,500 --> 00:00:25,400
ale s posloupnostmi a tuto transformaci

6
00:00:25,400 --> 00:00:30,200
ukážu vám jako zdůvodnění proč takovouto transformaci budeme používat,

7
00:00:30,200 --> 00:00:32,100
nadefinujeme si transformaci

8
00:00:32,200 --> 00:00:34,800
a ukážeme si pár základních vlastností,

9
00:00:34,900 --> 00:00:37,200
pokusím se vám vysvětlit,

10
00:00:37,300 --> 00:00:40,800
vznik konvoluce respektive tedy jakým způsobem

11
00:00:40,900 --> 00:00:42,300
se transformuje konvoluce

12
00:00:42,400 --> 00:00:46,300
což jsem vám sliboval u Laplasovy transformace,

13
00:00:46,400 --> 00:00:48,900
zkrátka a dobře se pokusím vám říci

14
00:00:49,000 --> 00:00:53,000
maximum kolem zavedení takzvané transformace Z.

15
00:01:13,300 --> 00:01:18,000
Původ transformace pro diskrétní systémy,

16
00:01:19,200 --> 00:01:21,500
lze spatřovat asi takovýto:

17
00:01:21,600 --> 00:01:28,200
když jsme měli ten spojitý systém

18
00:01:29,300 --> 00:01:41,000
a chtěli jsme přejít na diskrétní systém,

19
00:01:42,100 --> 00:01:53,200
tak jsme se dopustili takové záležitosti, že jsme ony funkce, které jsme tam měli,

20
00:01:58,400 --> 00:02:02,200
jakožto nějaké vstupy nebo nějaké pozorované výstupy,

21
00:02:02,600 --> 00:02:16,600
zkrátka a dobře, že jsme je takzvaně začali vzorkovat.

22
00:02:18,700 --> 00:02:21,000
A tak dál.

23
00:02:21,200 --> 00:02:30,000
Ono vzorkování

24
00:02:30,200 --> 00:02:35,100
není nic jiného než tedy používání,

25
00:02:35,200 --> 00:02:43,000
v podstatě naší lokalizační funkce v příslušných bodech,

26
00:02:43,400 --> 00:02:49,100
které náleží násobku té periody čili tahleta vzdálenost je vždy T

27
00:02:49,101 --> 00:02:57,200
a tady prostě začnu počítat, že toto je tedy jednou T, dvě T, tři T a tak dále.

28
00:02:57,200 --> 00:02:59,100
Což se tam v podstatě nevejde, ale podstatný je,

29
00:02:59,200 --> 00:03:10,400
aby bylo jasné, že tedy vzorkovací perioda

30
00:03:11,400 --> 00:03:15,500
se zobrazí v podstatě v té naší lokalizační delta funkci

31
00:03:15,600 --> 00:03:19,700
a abychom dokázali

32
00:03:19,800 --> 00:03:24,200
přejít celý svět tak samozřejmě musíme s tím "n"

33
00:03:24,200 --> 00:03:30,200
běhat minimálně přes stejnou vzdálenost jako běhá to T.

34
00:03:31,200 --> 00:03:46,900
A to vzorkování tedy říká, že prostě z týhletý f (T) uděláme takovéto nějaké vzorky

35
00:03:47,600 --> 00:03:51,000
a my si potom řekneme takovou jednoduchou úvahu: No dobře,

36
00:03:51,300 --> 00:04:02,500
když ta naše funkce podléhala Laplasově transformaci

37
00:04:02,500 --> 00:04:06,700
tak jsme s ní dělali prosím toto

38
00:04:06,900 --> 00:04:11,400
a říkali jsme ona je slušně vychovaná

39
00:04:11,400 --> 00:04:16,700
a můžeme teda prostě najít k ní  Laplasovský obraz,

40
00:04:16,900 --> 00:04:23,000
když do tohoto Laplasovského obrazu dosadíme teď

41
00:04:23,200 --> 00:04:29,800
tuto vlastnost to znamená, že ta funkce

42
00:04:30,000 --> 00:04:43,000
nebude jenom spojitá, ale bude to takováto posloupnost, která vznikla

43
00:04:43,100 --> 00:04:48,400
prostě vzorkováním tohoto spojitého signálu,

44
00:04:48,600 --> 00:04:59,500
tak jí nezapíšu pomocí té mé lokalizační funkce

45
00:05:00,200 --> 00:05:12,000
a pak tady musím mít zpátky ten integrál. To je jasné.

46
00:05:12,300 --> 00:05:15,800
A teď nastává jednoduchá úvaha,

47
00:05:15,900 --> 00:05:22,700
protože tahleta funkce byla dobře vychovaná a ten integrál prostě konvergoval

48
00:05:22,800 --> 00:05:27,400
dokonce tak, že byl nezávisle na tom parametru "p",

49
00:05:27,400 --> 00:05:38,700
tak můžeme celkem bez potíží zaměnit sumu a integraci.

50
00:05:38,700 --> 00:05:45,500
A když to uděláme, tak tedy budeme mít, že integrujeme přes dt funkce,

51
00:05:45,600 --> 00:05:56,900
která vypadá tímto způsobem  f(t) e-pt a mám jí integrovat,

52
00:05:57,000 --> 00:06:02,100
když tam máme pod integrálem tu lokalizační funkci, jo,

53
00:06:02,200 --> 00:06:11,600
tuto naší delta funkci, která má tu vlastnost, že prostě, trhá z těch funkcí právě nT.

54
00:06:11,700 --> 00:06:20,300
Jinými slovy je dostanu nakonec, tady dle to budu psát takhle, že tam je suma n=0 do nekonečna a

55
00:06:20,400 --> 00:06:36,400
budu tam mít napsáno, že to je f(nT) e na - pnT .

56
00:06:39,100 --> 00:06:53,000
A teď, když za  e na pT zavedu označení takovouhle substituci  Z,

57
00:06:53,100 --> 00:07:05,600
tak dostávám, že to je f(nT) Z na -n .

58
00:07:06,500 --> 00:07:16,500
A občas v těch našich, našich úvahách jsme rádi, že nemusíme se trápit s tím zápisem n(T),

59
00:07:16,600 --> 00:07:26,800
ale prostě rozumíme, že tam je samozřejmě perioda a píšeme to ve zjednodušeném tvaru takto.

60
00:07:26,800 --> 00:07:33,300
A toto je prosím cesta, toto je prosím cesta k transformaci,

61
00:07:34,000 --> 00:07:45,200
která z posloupnosti tohoto typu

62
00:07:45,600 --> 00:07:51,600
vytvoří nějaký obraz v proměnné "z"

63
00:07:51,700 --> 00:07:58,300
a my tuhletu proměnu nazveme transformací Z.

64
00:07:58,400 --> 00:08:07,900
F(z) je suma "n" se rovná do nekonečna F(n)  Z na -n

65
00:08:08,000 --> 00:08:18,400
a o takové transformaci bude dnešní přednáška.

66
00:08:20,300 --> 00:08:29,100
Dřív než ještě teda spustím  pár "slajdů" tak bych rád řekl něco takového jako je zdůvodnění proč,

67
00:08:29,200 --> 00:08:51,300
takovouhle transformaci používat.

68
00:08:51,400 --> 00:08:57,200
Myslím si, že člověk má vědět, když teda se začneme bavit o něčem takovém jako je nářadí,

69
00:08:57,300 --> 00:09:01,700
tak k čemu, že to nářadí budeme používat.

70
00:09:01,800 --> 00:09:07,900
Použití Z-transformace opět má jakýsi dvojí charakter.

71
00:09:08,200 --> 00:09:16,800
První je, že jsme schopní, takzvaně algebraizovat diferenční rovnice,

72
00:09:16,900 --> 00:09:24,300
že jsme schopni rovnice tohohle typu,

73
00:09:24,300 --> 00:09:31,500
což je diferenční rovnice,

74
00:09:31,500 --> 00:09:38,100
ke které jsme dospěli někdy v druhé přenášce,

75
00:09:38,300 --> 00:09:54,800
tak jak takovéto rovnice lze převést na algebraické rovnice.

76
00:09:55,100 --> 00:10:02,100
To je první důvod, tak jako Laplasova transformace nám z diferenciálních rovnic dělala

77
00:10:02,200 --> 00:10:06,800
algebraické rovnice, tak ta Z-transformace má tu vlastnost,

78
00:10:06,900 --> 00:10:14,500
že z rovnic tohoto typu těch diferenčních rovnic

79
00:10:14,500 --> 00:10:18,800
pro jejich řešení můžeme využít v podstatě algebraické vlastnosti

80
00:10:18,900 --> 00:10:24,800
a jinými slovy tedy prostě převádí rovnice tohohle toho typu na algebraické rovnice.

81
00:10:24,800 --> 00:10:28,200
A druhý takový důvod

82
00:10:28,400 --> 00:10:48,800
pro použití Z-transformace je onen vztah mezi vstupem a výstupem

83
00:10:48,900 --> 00:10:51,500
lineárního časově invariantního systému.

84
00:10:51,600 --> 00:10:59,600
My jsme si už je to také chvíli odvodili, že pro lineární časově invariantní systém

85
00:10:59,700 --> 00:11:16,300
ten vztah je dán takzvanou konvolucí.

86
00:11:16,400 --> 00:11:23,400
A toto je tedy konvoluční suma.

87
00:11:23,400 --> 00:11:36,100
My si opět ukážeme tu vlastnost, že Z- transformace z té konvoluční sumy vytvoří součin,

88
00:11:40,100 --> 00:11:49,400
ta konvoluce přejde na součin příslušných obrazů těchto veličin.

89
00:11:49,500 --> 00:11:55,300
Než k tomu dojdeme, tak si jenom pamatujte, že toto jsou ty dva hlavní důvody

90
00:11:55,400 --> 00:12:00,700
proč nářadí typu Z- transformace používáme.

91
00:12:01,100 --> 00:12:03,200
Otázka řešení diferenčních rovnic,

92
00:12:03,300 --> 00:12:11,700
otázka analýzy vztahů vstup-výstup pro lineární časově invariantní systémy

93
00:12:13,700 --> 00:12:20,700
se pokusím rozsvítit, svítí, svítí, svítí, jo svítí.

94
00:12:50,700 --> 00:13:07,300
Máme moc světla koukám, ale snad to bude lepší.

95
00:13:17,300 --> 00:13:24,500
Takže začneme poctivě, tak jak je teda Z-transformace definována.

96
00:13:24,600 --> 00:13:34,000
Ta definice říká, že mluvíme o takzvané jednostranné transformace postoupnosti.

97
00:13:34,100 --> 00:13:37,500
Jednostranná Z- transformace z toho prostého důvodu,

98
00:13:37,600 --> 00:13:42,600
že zase dáváme přednost těm postoupnostem, které mají definovaný začátek

99
00:13:42,700 --> 00:13:50,600
to znamená před tím počátkem všechny ostatní hodnoty jsou nulové.

100
00:13:51,000 --> 00:13:57,700
Tu postoupnost označujeme malým písmenem  n je celé číslo,

101
00:13:58,400 --> 00:14:08,400
které běží od nuly do nekonečna, to znamená v celé té pravé části poloroviny času.

102
00:14:08,500 --> 00:14:16,800
Velkým písmenkem označujeme obraz, toto je tedy vzor, toto je obraz

103
00:14:18,400 --> 00:14:22,100
a velmi často zase si píšeme nějakou zkratku,

104
00:14:22,200 --> 00:14:25,800
když tedy Z- transformace, tak ozdobné písmenko Z,

105
00:14:25,900 --> 00:14:33,800
které působí na příslušnou posloupnost  f(n) právě tímto předpisem, ano?

106
00:14:33,900 --> 00:14:45,000
Ta transformace transformuje z oblasti diskrétního času, kde prostě ty jednotlivé procesy můžeme měřit

107
00:14:45,100 --> 00:14:52,100
kde prostě můžeme cosi naměřit v diskrétním, diskrétním čase

108
00:14:52,200 --> 00:15:00,200
a transformuje všechny ty naše objekty do roviny Z.

109
00:15:00,300 --> 00:15:04,600
Což je tentokrát opět nějaká pomocná, pomocná veličina.

110
00:15:04,700 --> 00:15:13,500
My v budoucnosti zjistíme, že ta veličina je komplexní,ona koneckonců je viditelně komplexní,

111
00:15:13,600 --> 00:15:16,300
když to "pé" bylo komplexní, tak proč by Z nebylo komplexní.

112
00:15:16,400 --> 00:15:20,500
To je naprosto celkem srozumitelná záležitost.

113
00:15:20,600 --> 00:15:29,000
A jak se vlastně to Z chová, to vysvitne v  dalších debatách.

114
00:15:29,100 --> 00:15:35,500
Pro úplnost je dobré říci, že tedy zpětnou transformaci

115
00:15:35,600 --> 00:15:42,500
počítáme ve tvaru jaksi integrálu podél uzavřené křivky v té komplexní rovině.

116
00:15:42,600 --> 00:15:47,400
Nebudu to více specifikovat, protože my si opět ukážeme,

117
00:15:47,500 --> 00:15:54,500
že místo tohohletoho, ne příliš jasného integrování,

118
00:15:54,600 --> 00:15:56,200
protože jste neměli komplexní proměnnou,

119
00:15:56,300 --> 00:16:03,000
tak jak pro lineární časově invariantní systémy ta zpětná transformace

120
00:16:03,100 --> 00:16:08,300
totiž z té pomocné roviny, roviny Z se vrátíme zpátky do roviny času,

121
00:16:08,400 --> 00:16:12,800
kde prostě ten reálný svět náš funguje.

122
00:16:12,800 --> 00:16:17,800
Ukážeme si, že tahleta zpětná transformace se dá opět nalézt

123
00:16:17,900 --> 00:16:21,900
pomocí jednoduchých algebraických úprav,

124
00:16:22,000 --> 00:16:25,900
které samozřejmě souvisejí s touhletou komplexní reprezentací, ale

125
00:16:26,100 --> 00:16:30,100
nicméně tedy ukážeme si, že pro lineárně časově invariantní systémy

126
00:16:30,200 --> 00:16:33,500
to bude celkem jednoduchá záležitost.

127
00:16:33,600 --> 00:16:38,700
Čili tohle je první takový úvodní "slide",

128
00:16:38,900 --> 00:16:42,200
k tomu bych chtěl dále ještě říci,

129
00:16:42,400 --> 00:16:48,600
to že Z transformace někdy se taky v učebnicích ukazují,

130
00:16:48,800 --> 00:16:54,600
ta jaksi přes celý svět to znamená dvoustranná samozřejmě

131
00:16:54,700 --> 00:16:59,400
otázky konvergence takovéto transformace jsou podstatně složitější,

132
00:16:59,500 --> 00:17:08,000
opět já se tady omezuju na tento jednoduchý typ Z- transformace.

133
00:17:25,900 --> 00:17:33,100
Transformace Z musí tak jako všechny ostatní transformace, které

134
00:17:33,300 --> 00:17:36,800
chceme používat na lineární systémy, mít tu vlastnost,

135
00:17:36,900 --> 00:17:39,100
že nám tu linearitu nezničí.

136
00:17:39,300 --> 00:17:47,100
Jinými slovy transformace Z jest lineární, co se tím chce říci?

137
00:17:47,200 --> 00:17:52,300
Že když máte dvě posloupnosti

138
00:17:53,000 --> 00:18:02,400
a chcete k této posloupnosti nalézt příslušnou Z- transformaci,

139
00:18:02,600 --> 00:18:18,000
pak máte ještě druhou posloupnost

140
00:18:18,100 --> 00:18:26,100
a ptáte se co se stane, když tuhletu posloupnost jednu a tu druhou takto sečtete

141
00:18:26,800 --> 00:18:39,300
tak co že se stane, když budete chtít počítat příslušnou Z- transformaci k tomuto součtu.

142
00:18:39,400 --> 00:18:49,300
A ta celá diskuze vede k tomu, že tedy můžete díky linearitě,

143
00:18:51,400 --> 00:18:56,800
tuhletu závorku takto roznásobit a napsat to ve tvaru

144
00:18:56,900 --> 00:19:05,500
"b" krát a tadyhle "b" krát "n" od 0 do nekonečna g(n) z na -n

145
00:19:05,700 --> 00:19:08,900
a z toho je prostě vidět, že díky těmto definicím,

146
00:19:09,100 --> 00:19:15,900
prostě platí, že to je a.F(z)+b.G(z) ,

147
00:19:15,900 --> 00:19:25,100
jinými slovy sčítání a násobení číslem v těch vzorech vede k sčítání

148
00:19:25,200 --> 00:19:29,200
a násobení číslem v těch obrazech.

149
00:19:29,400 --> 00:19:33,500
Tady je to napsané pro mnohé součty, respektive mnohé funkce,

150
00:19:33,600 --> 00:19:40,500
ale nicméně je to jenom zobecnění těchletěch dvou funkcí, dvou posloupností.

151
00:19:40,600 --> 00:19:53,800
Když sečtu posloupnosti, tak jejich výsledek je v podstatě součtem obrazů, že jo.

152
00:19:55,400 --> 00:19:58,800
Linearita je samozřejmě neskutečně důležitá vlastnost.

153
00:19:58,900 --> 00:20:03,200
Sami uvidíte, že když vlastně budeme používat,

154
00:20:03,300 --> 00:20:06,500
Z -transformaci pro ty diferenční  rovnice, že

155
00:20:06,500 --> 00:20:11,700
tedy zásadně používáme linearitu, jinými slovy libovolně sčítáme,

156
00:20:11,800 --> 00:20:20,500
libovolně tedy násobíme číslem, což je tady namalováno ve vzorečku tři.

157
00:20:20,600 --> 00:20:29,800
Druhá taková významná vlastnost je vlastnost,

158
00:20:29,900 --> 00:20:44,500
kterou jsme nazývali už pro Laplasovu transformaci změnou měřítka.

159
00:21:03,500 --> 00:21:16,000
Ta změna měřítka se týká situace, kdy máte posloupnost

160
00:21:23,100 --> 00:21:32,300
a ta posloupnost tedy jest  f(n) a vy teď každý z těch členů,

161
00:21:32,600 --> 00:21:46,100
každý z těch členů násobíte nějakou konstantou "a",

162
00:21:46,200 --> 00:21:55,100
dejme tomu, že to "a" bude třeba 3/4 nebo nějaký takovýhle číslo.

163
00:21:55,200 --> 00:22:00,900
Cože to bude dávat pro posloupnost a na n-tou.f(n)?

164
00:22:04,300 --> 00:22:09,100
No, u té 0 to zůstane stejné, čili ta velikost zůstane stejná.

165
00:22:09,200 --> 00:22:13,300
Bude to prostě a0  je jednička krát f(n) je stejná.

166
00:22:13,400 --> 00:22:21,800
U té jedničkové místo téhleté veličiny to budeme mít 3/4 z ní. Ano?

167
00:22:23,800 --> 00:22:30,500
Místo této veličiny budeme mít 3 krát 3, čili 9/16 z té veličiny.

168
00:22:30,600 --> 00:22:35,300
Čili budeme mít nějakou takovou to v podstatě polovinu z ní, že jo?

169
00:22:38,600 --> 00:22:47,400
Zkrátka a dobře ta posloupnost způsobí, že dojde k jakémusi, anebo to násobení,

170
00:22:47,500 --> 00:22:50,900
to škálování způsobuje v podstatě zmenšení,

171
00:22:51,000 --> 00:22:57,400
zmenšení rozměrů měřítka v té původní posloupnosti.

172
00:22:59,200 --> 00:23:13,400
A když takovéto funkci se snažím nalézt k ní obraz,

173
00:23:18,800 --> 00:23:32,500
tak mohu libovolně přeskupovat tyhlety veličiny a mohu to napsat jako f(n) a na n-tou z na -n-tou

174
00:23:35,500 --> 00:23:58,700
nebo chcete-li ve tvaru f(n) a teď nějaké cosi na mínus entou a to cosi bude a na -1 krát  z.

175
00:23:59,200 --> 00:24:04,400
A když to budete chtít napsat ještě nějak jako kultivovaně tak prostě napíšete že

176
00:24:04,500 --> 00:24:14,700
to je od 0 do nekonečna f(n) a teď nějaké zéta na -n, že jo?

177
00:24:15,800 --> 00:24:31,600
A to už není nic jiného než F v nějakém bodě zéta, že jo?

178
00:24:32,100 --> 00:24:34,800
No a když nakonec za to zeta dosadíte,

179
00:24:34,900 --> 00:24:45,200
tak zjistíte, že to je tedy a na-1 rovná se Z transformaci a na n-tou f(n).

180
00:24:45,300 --> 00:24:50,600
Což je prosím tento vzoreček.

181
00:24:51,600 --> 00:24:53,600
Neznamená to, nic jiného než, že

182
00:24:53,700 --> 00:24:59,700
když jsme v té rovině diskrétního času,

183
00:24:59,800 --> 00:25:05,400
jako měnili měřítka, jako směrem k malým hodntám,

184
00:25:06,500 --> 00:25:15,400
takže v tom opačném, respektive v té Z rovině dojde naopak k natažení,

185
00:25:15,500 --> 00:25:20,800
protože a-1 je prostě 4/3 toho původního argumentu

186
00:25:21,800 --> 00:25:27,500
Je to opět stejná písnička, jako v jakékoliv  jiné transformaci,

187
00:25:27,600 --> 00:25:34,100
která říká, že když v jedné rovině dochází ke zmenšování měřítka,

188
00:25:34,200 --> 00:25:38,100
tak v té druhé adekvátně k natahování toho měřítka.

189
00:25:39,100 --> 00:25:43,400
Říkal jsem vám, že takto se chová Laplasova transformace,

190
00:25:43,500 --> 00:25:49,800
takto se chová Z transformace, takto se chovají všechny spektrální transformace,

191
00:25:49,900 --> 00:25:56,900
které máme, které máme k dispozici.

192
00:26:30,900 --> 00:26:40,500
Máte problém s řeckým písmenkem zéta, jo? Viděli jste ho poprvé? Nepovídejte,nelžete, nelžete.

193
00:26:40,600 --> 00:26:46,100
Řeckou abecedu jste se fakt nikdy jako… ale jó, ale už dávno.

194
00:26:46,200 --> 00:26:50,800
Ano, všechno je dávno, dávinko. Hele, vy musíte být starší než třetihory.

195
00:26:50,900 --> 00:26:52,800
Když jako je to dávno všechno.

196
00:27:00,100 --> 00:27:08,600
Tak je také jasné, že když to otočíte, tak platí samozřejmě jakýkoliv zápis,

197
00:27:08,700 --> 00:27:12,900
který má tuto vlastnost.

198
00:27:13,900 --> 00:27:22,900
Teď vám promítnu jeden celý "slide", ze kterého si prosím opište,

199
00:27:26,900 --> 00:27:32,500
zatím jenom tu první část, která se týká věty o posunutí.

200
00:27:32,600 --> 00:27:45,500
Důležité vlastnosti, které mají velký význam pro

201
00:27:45,800 --> 00:27:55,300
diferenční rovnice.

202
00:27:57,600 --> 00:28:04,900
Představte si, že máte opět tu naší posloupnost.

203
00:28:07,000 --> 00:28:15,400
Já jí teď zkusím namalovat, tak aby byla taková jako úhlednější,

204
00:28:15,500 --> 00:28:19,900
skoro nějaká kosinusová funkce nebo něco takového,

205
00:28:20,000 --> 00:28:28,500
A o té říkáte, že to je naše f(n), když tady takto běhá "n",

206
00:28:28,600 --> 00:28:34,500
tady je n=0 a tady pro všechny hodnoty, předcházející dejme tomu,

207
00:28:34,600 --> 00:28:40,200
že jsou už nulové hodnoty,že je to funkce

208
00:28:40,300 --> 00:28:43,300
takovou jakou ji chceme mít.

209
00:28:43,400 --> 00:28:48,100
A teď, když s tou funkcí řekneme dobře, ale já teď budu hledat,

210
00:28:48,200 --> 00:28:54,200
hledat kdy se to posune, právě třeba o jedničku.

211
00:28:54,300 --> 00:28:57,200
Cože to je posunutí o jedničku?

212
00:29:04,300 --> 00:29:14,500
Znamená to, že počátek se posune do n=1.

213
00:29:14,600 --> 00:29:22,500
Toto je posunutí počátku.

214
00:29:24,500 --> 00:29:35,700
Takže já jsem posunul tuhletu první do tohoto počátku, jo?

215
00:29:35,800 --> 00:29:43,500
a tady prostě budu mít takovéto posunuté veličiny právě o tu jedničku, celé ano?

216
00:29:43,600 --> 00:29:49,500
A teď je otázka, co se stane když na tuto funkci

217
00:29:49,600 --> 00:29:57,400
budu se ptát, jaká je její transformace Z?

218
00:29:57,600 --> 00:30:07,400
Tedy toto je otázka.

219
00:30:10,400 --> 00:30:15,500
Když zavedu jednoduchou substituci,

220
00:30:15,600 --> 00:30:20,800
že n-1=m, tak budu mít, že to je f(m),

221
00:30:20,900 --> 00:30:29,900
tady je z- za "n" tam budu mít m+1,

222
00:30:32,000 --> 00:30:40,300
když "n" bylo rovno 0, tak m=-1, tady mám napsáno "m", že ano?

223
00:30:45,300 --> 00:30:48,900
a nekonečno se vůbec nic nestane, protože sčítání přes nekonečno je,

224
00:30:49,000 --> 00:30:56,900
no to je jedno jestli posunu o jedno míň, nebo o jedno víc.

225
00:30:57,000 --> 00:31:07,100
Když to napíšu ještě ve tvaru tak, že tedy tady napíšu  f(m) z-(m+1),

226
00:31:09,200 --> 00:31:18,100
tak jsem říkal, že k tomu musím ještě přičíst tu hodnotu -1 a

227
00:31:18,200 --> 00:31:26,600
tady to je prostě z na -0, že?

228
00:31:27,700 --> 00:31:30,900
No a nakonec mám tedy výsledek, který říká, že to je

229
00:31:31,000 --> 00:31:48,600
tedy z na -1 krát suma m=0 do nekonečna f(m) zet na -n-tou + f(-1).

230
00:31:48,700 --> 00:31:57,900
což je jakási počáteční podmínka tohoto případu.

231
00:31:58,000 --> 00:32:05,400
A f(-1), který se transformuje sem do tohoto bodu, tak to je prostě nula.

232
00:32:05,500 --> 00:32:20,300
Takže f(-1), je tady už nula a toto f(-1) je tedy rovno také nule a já skončím u takovéhoto vzorce. Ano?

233
00:32:55,600 --> 00:33:02,100
Čili zobecněním toho vzorečku je to, že tedy pro každé

234
00:33:02,200 --> 00:33:08,700
každé posunutí toho počátku směrem dopředu znamená,

235
00:33:08,800 --> 00:33:13,600
že budete mít zpoždění toho celého systému.

236
00:33:13,700 --> 00:33:17,600
To Z vlastně reprezentuje něco jako jednotková zpoždění,

237
00:33:17,700 --> 00:33:21,800
čili jinými slovy: budete  mít výraz, který říká,

238
00:33:21,900 --> 00:33:33,200
že Z- transformace posloupnosti n-m je z na -mtou krát originální transformace té posloupnosti.

239
00:33:33,300 --> 00:33:37,700
V případě opačného směru posouvání počátku

240
00:33:39,100 --> 00:33:41,600
ta situace je následující.

241
00:33:41,700 --> 00:33:55,000
Představte si, že tedy budete mít f(n+1) a budete chtít k ní spočítat příslušnou transformaci Z.

242
00:33:56,100 --> 00:34:04,400
Takže opět budete používat substituci, která říká,

243
00:34:04,500 --> 00:34:23,700
že n+1=m a dostanete, že to je f(m) z na -(m-1).

244
00:34:24,100 --> 00:34:29,300
To je asi viditelné, že?

245
00:34:30,400 --> 00:34:37,000
A tady bude nekonečno a tady bude index "m",

246
00:34:37,100 --> 00:34:47,100
který když "n" bylo=0, tak m=1.

247
00:34:48,600 --> 00:34:52,400
No a pokračujeme dál,

248
00:34:54,400 --> 00:35:01,500
musíme umět sčítat přes m=0 až nekonečno

249
00:35:01,600 --> 00:35:05,900
abychom mohli  tam donutit tu posloupnost, že

250
00:35:06,000 --> 00:35:10,400
teda se chová tak jako při Z- transformaci

251
00:35:10,500 --> 00:35:14,400
a když jsme to tam jaksi přidali tak to musíme také odečíst

252
00:35:14,500 --> 00:35:26,700
a odečíst prvek, který je f(0) z na -(0-1)  .

253
00:35:27,700 --> 00:35:31,900
Ještě trošku to upravíme, vytkneme  Z

254
00:35:32,000 --> 00:35:41,900
tady z této sumy a dostanete f(m) z na -mtou

255
00:35:42,000 --> 00:35:51,500
a tady budete mít  -f(0) krát z.

256
00:35:52,100 --> 00:35:58,000
Celé to počítání nakonec skončí tak, že můžete tvrdit,

257
00:35:58,100 --> 00:36:17,000
že to je z krát F(z) - z krát f(0) nebo chcete-li, že to je Z krát (F(z)-f(0)).

258
00:36:17,100 --> 00:36:20,800
Když se zahledíte na tento vzorec,

259
00:36:29,000 --> 00:36:33,100
tak zjistíte, že jeho dalším a dalším opakováním,

260
00:36:33,200 --> 00:36:35,600
to znamená dalším a dalším zpožďováním

261
00:36:36,900 --> 00:36:45,300
dokážete jaksi nalézt, nalézt vztah pro f(n+m)

262
00:36:45,400 --> 00:36:49,900
tedy posunutí o "m" ve směru plus a to takové, že tady

263
00:36:50,000 --> 00:36:55,400
prostě je výsledek z na mtou krát ta  původní funkce a teď tady je minus

264
00:36:55,800 --> 00:37:04,900
a jsou tam naskládány takto vlastně počáteční  podmínky toho posouvání.

265
00:37:05,900 --> 00:37:09,800
Čili tady najednou se ukazuje,

266
00:37:10,100 --> 00:37:17,200
že ta věta o posunutí

267
00:37:18,100 --> 00:37:29,100
souvisí s diferenčníma rovnicema.

268
00:37:32,600 --> 00:37:35,100
A to následujícím způsobem

269
00:37:35,200 --> 00:37:38,100
teď já tohleto smáznu, tohle snad máte opsáno.

270
00:37:38,200 --> 00:37:39,800
Nemáte?!

271
00:39:06,800 --> 00:39:12,900
Když se tedy zpátky podíváte na tento zápis

272
00:39:13,000 --> 00:39:20,100
a vzpomenete si jak jsem říkal zdůvodnění proč  používáme Z transformaci

273
00:39:20,200 --> 00:39:27,300
lze spatřovat prosím v takovémto typu diferenčních rovnic.

274
00:39:28,300 --> 00:39:36,200
My totiž když umíme spočítat U(z) jakožto transformaci

275
00:39:36,300 --> 00:39:41,500
příslušné pravé strany,

276
00:39:43,600 --> 00:39:50,100
čili pokud umíme, pokud známe,

277
00:39:52,200 --> 00:40:05,500
pak předpokládáme, že Y(z) je transformací té mé neznámé posloupnosti.

278
00:40:06,200 --> 00:40:31,100
A taky umím, co že se stane, když ta posloupnost stojí takto v diferenční rovnici,

279
00:40:31,200 --> 00:40:38,600
Tak pak nezbývá nic jiného, než že říci ta diferenční rovnice je lineární,

280
00:40:38,700 --> 00:40:43,600
má takové vlastnosti, že je dokonce s konstantními koeficienty,

281
00:40:43,700 --> 00:40:47,200
takže je časově invariantní, takže na ní celou

282
00:40:47,300 --> 00:40:52,300
takto mohu použít transformaci Z.

283
00:40:52,400 --> 00:40:55,200
To je paráda,to jsou nové fixy, prosím.

284
00:40:57,300 --> 00:41:05,100
Jsem z toho unešen. Že je to dobře vidět, že jo ta červená…

285
00:41:15,500 --> 00:41:24,600
No já jsem chtěl říci, že tedy na obě dvě ty strany rovnice pustím transformaci Z

286
00:41:24,700 --> 00:41:31,100
a protože vím tyhlety veličiny takto celé umím docela chytře zapsat,

287
00:41:31,300 --> 00:41:37,100
umím to napsat tak, že ta příslušná diferenční rovnice přejde

288
00:41:37,200 --> 00:41:55,200
na rovnici typu Z krát Y(z)-Y(0)+ a krát Y(z) = U(z).

289
00:41:57,100 --> 00:42:04,600
Neznámou jak opakuji je prostě ta Y(Z) a to co znám,

290
00:42:04,700 --> 00:42:13,300
tak to musím jaksi, se musí objevit na pravé straně, že jo té algebraické rovnice,

291
00:42:13,400 --> 00:42:16,800
čili mám již algebraickou rovnici

292
00:42:26,000 --> 00:42:42,000
kterou upravuji do takového jednoduchého tvaru, že říkám, tady je Z, že jo?

293
00:42:52,600 --> 00:42:57,300
A nakonec můžu napsat

294
00:43:08,200 --> 00:43:28,900
a tedy co jsme dosáhli je algebraické řešení té příslušné diferenční rovnice.

295
00:43:31,000 --> 00:43:39,500
Prostě umíme neznámou vyjádřit pomocí známých veličin, ano?

296
00:43:40,600 --> 00:43:45,900
A k tomu vlastně slouží všechny věty o posunutí.

297
00:43:46,100 --> 00:43:51,200
Všimněte si jedné důležité věci, že totiž ta věta o posunutí,

298
00:43:51,300 --> 00:43:56,200
když se dobře použije, tak si prostě zase řekne o počáteční podmínku.

299
00:43:56,300 --> 00:43:59,800
A protože tohle byla diferenční rovnice prvního řádu,

300
00:43:59,900 --> 00:44:04,200
tak si prostě řekla o jednu počáteční podmínku.

301
00:44:04,300 --> 00:44:09,300
Když to bude rovnice vyššího řádu no tak tady prostě těch členů bude o jeden víc,

302
00:44:09,400 --> 00:44:11,000
dva víc, tři víc a tak dále...

303
00:44:11,100 --> 00:44:15,700
čili tam bude prostě příslušný počet počátečních podmínek.

304
00:44:15,800 --> 00:44:21,800
Chci tím říci, že takhle jsme si do jisté míry docela dobře zdůvodnili proč,

305
00:44:21,900 --> 00:44:26,300
že vlastně chceme, chceme tu větu o posunutí.

306
00:44:26,400 --> 00:44:29,900
Věta o posunutí nám zjednodušuje,

307
00:44:30,000 --> 00:44:36,600
algebraizuje v podstatě příslušné diferenční rovnice.

308
00:44:36,700 --> 00:44:43,600
Ten druhý důvod, který jsem tady uváděl, zněl,

309
00:44:43,700 --> 00:44:48,300
že tedy chci

310
00:44:49,300 --> 00:44:53,400
využít Z transformace pro zjednodušení konvoluce.

311
00:44:53,500 --> 00:44:58,100
A já jsem vám slíbil, že vám ukážu jak vlastně konvoluce

312
00:44:58,200 --> 00:45:04,800
se do jisté míry dá dobře vysvětlit v diskrétní oblasti.

313
00:45:19,800 --> 00:45:23,400
čili se věnuju tomuto druhému zdůvodnění,

314
00:45:37,500 --> 00:45:41,600
A bude to asi tak, že budu říkat,

315
00:45:41,700 --> 00:45:45,600
budu mluvit o konvoluci

316
00:45:45,700 --> 00:46:00,400
a násobení polynomů.

317
00:46:04,100 --> 00:46:33,100
Když si označím jako polynom Fn(x) takovouto strukturu

318
00:46:33,200 --> 00:46:36,600
a jako polynom třeba Gm(x) ,

319
00:46:54,900 --> 00:46:57,200
aby bylo jasné co tím míním,

320
00:46:57,300 --> 00:47:02,800
když si třeba označím F2(x) tak myslím tím třeba polynom typu 2,

321
00:47:02,900 --> 00:47:06,600
tady třeba napíšu například

322
00:47:06,700 --> 00:47:14,200
2x^2 + 2x + 1 třeba, jo?

323
00:47:14,400 --> 00:47:20,300
A když tohle bude třeba G3(x)

324
00:47:20,400 --> 00:47:29,400
tak tam bude 8x^3 - 4x^2 + 2x + 1 třeba, jo?

325
00:47:32,200 --> 00:47:37,900
A teď když chci tyhlety dva polynomy navzájem vynásobit

326
00:47:38,000 --> 00:47:40,700
jakže se to dělá?

327
00:47:40,800 --> 00:47:45,100
Každý s každým a posčítám, že?

328
00:47:45,200 --> 00:47:46,100
Nic jiného mi nezbývá.

329
00:47:46,200 --> 00:47:49,100
To, že dělám každý s každým

330
00:47:49,300 --> 00:47:54,900
a posčítám. To se dá docela dobře reprezentovat

331
00:47:55,000 --> 00:47:59,000
v následující tabulce.

332
00:47:59,300 --> 00:48:07,200
Když si uděláte tabulku, že tady poběží koeficienty toho polynomu  F2

333
00:48:07,300 --> 00:48:11,100
tak tady bude jednou krát

334
00:48:11,200 --> 00:48:20,100
x^0 + 2x^1 + 2x^2 +

335
00:48:20,200 --> 00:48:25,700
pak tam bude ještě prostě 0x^3,0x^4

336
00:48:25,800 --> 00:48:27,500
to už tam prostě není, že ano?

337
00:48:27,600 --> 00:48:31,500
A tady prostě poběží, takhle poběží F,

338
00:48:31,600 --> 00:48:33,300
takhle poběží G

339
00:48:33,400 --> 00:48:50,800
a bude tam 1x^0, 2x^1, -4x^2,8x^3.

340
00:48:52,300 --> 00:48:55,300
To teď, že říkám, že budeme násobit každý s každým,

341
00:48:55,400 --> 00:49:00,300
tak budeme násobit pouze tyto, tyto čísla tyhlety koeficienty.

342
00:49:00,400 --> 00:49:08,400
A v tabulce se nám octne 1*1, 1*2, 1*2, 0, 0 že ano.

343
00:49:08,500 --> 00:49:19,800
Pak tady budu mít 2, 4, 4, 0, 0. Dva krát dvě jsou 4.

344
00:49:19,900 --> 00:49:27,600
Pak tady budu mít -4, -8, -8, 0, 0.

345
00:49:30,600 --> 00:49:41,100
Pak tady budu mít 8, 16, 16, 0, 0.

346
00:49:41,100 --> 00:49:46,900
Tady už je 0x^4  čili tady už prostě bude nula.

347
00:49:47,000 --> 00:49:49,900
A vlastně můžu skončit.

348
00:49:50,100 --> 00:49:59,500
A teď, když to fakticky vynásobím,

349
00:50:11,000 --> 00:50:12,800
tak jak ono to vlastně funguje,

350
00:50:12,900 --> 00:50:17,600
no takhle vynásobím 2*8 je 16x^5

351
00:50:17,700 --> 00:50:30,500
pak tady budu mít  -8x^4+4x3^+2x^2

352
00:50:30,600 --> 00:50:33,000
pak tam budu mít

353
00:50:33,100 --> 00:50:50,000
+16x^4 - 8x^3 + 4x^2 + 2x a tak dále, jo?

354
00:50:50,100 --> 00:50:54,800
A pak nechť se nechovám nijak jinak, než že

355
00:50:54,900 --> 00:50:59,100
u stejných koeficientů prostě přiřadím příslušné součty, že ano.

356
00:50:59,200 --> 00:51:02,200
Čili prostě budu tady mít, že 16x^5 výsledek,

357
00:51:02,300 --> 00:51:06,300
pak tady budu mít +8x^4,

358
00:51:06,400 --> 00:51:10,300
pak tady bude nějaký pravděpodobně ještě něco, tady něco zbyde,

359
00:51:10,400 --> 00:51:13,500
to tam nemám a tak dále, ano?

360
00:51:13,600 --> 00:51:15,900
Čili to musím posčítat.

361
00:51:16,000 --> 00:51:21,500
To posčítání není prosím nic jiného než, že

362
00:51:21,600 --> 00:51:25,600
koukání se na celou tuto strukturu podél,

363
00:51:25,700 --> 00:51:30,800
podél vedlejších diagonál, ano.

364
00:51:30,900 --> 00:51:36,400
Například, když budu potřebovat ux^3 tak, co tam bude

365
00:51:36,500 --> 00:51:56,100
tady u x^3 bude 0+4-8 a +8, jo?

366
00:51:56,100 --> 00:51:58,000
Je to vidět.

367
00:51:58,100 --> 00:52:02,000
Prostě jdu podél této vedlejší diagonály.

368
00:52:02,100 --> 00:52:10,000
Tady je x^3, tady je x^2*x^1, to je taky x^3, tady je x^2*x^1 to je taky x^3,

369
00:52:10,000 --> 00:52:13,300
Čili prostě sbírám koeficienty nebo sbírám hodnoty

370
00:52:13,400 --> 00:52:15,400
koeficientů u stejné mocniny.

371
00:52:15,500 --> 00:52:17,200
To jsem udělal.

372
00:52:17,300 --> 00:52:20,300
A dělám to přesně tímto způsobem.

373
00:52:22,400 --> 00:52:28,500
Kdybych to udělal úplně poctivě, tak celé to násobení ,

374
00:52:28,600 --> 00:52:33,200
teď budu dělat celé to násobení povídám.

375
00:52:42,200 --> 00:52:44,500
Neumíte násobit polynomy?

376
00:52:51,700 --> 00:52:57,900
Já jsem tady měl napsáno

377
00:53:04,900 --> 00:53:09,100
že to je na pátou a pak jsem měl  napsáno,

378
00:53:09,200 --> 00:53:18,100
že to je 8x^4 + 4x^3 + 2x^2

379
00:53:18,200 --> 00:53:20,600
a pak jsem tady měl napsáno, že to je

380
00:53:20,700 --> 00:53:33,000
16x^4 - 8x^3 + 4x^2 + 2x a říkal jsem

381
00:53:33,100 --> 00:53:36,600
a pak to takhle posčítám, nic jiného jsem nepovídal,

382
00:53:36,700 --> 00:53:38,900
nic jinýho tam nebylo.

383
00:53:39,000 --> 00:53:46,400
A teď říkám, teď říkám jak já se k těm koeficientům dostanu

384
00:53:46,500 --> 00:53:48,400
relativně systematicky.

385
00:53:48,500 --> 00:53:53,700
Prostě budu v té tabulce, kterou mám napsanou,

386
00:53:53,800 --> 00:53:59,000
začnu sčítat, začnu prostě říkat, co bude u výsledného polynomu,

387
00:53:59,100 --> 00:54:04,600
což je nějaký tedy polynom V(x),

388
00:54:05,600 --> 00:54:08,400
co bude u nultého koeficientu,

389
00:54:08,500 --> 00:54:11,900
tedy u x0, bude tam +1, že jo.

390
00:54:12,200 --> 00:54:18,100
Čili tu už tam máme,

391
00:54:18,200 --> 00:54:23,700
u "x" budou tyhlety dvojky,

392
00:54:23,800 --> 00:54:26,000
čili  bude tam  2+2 a to je 4x,

393
00:54:26,100 --> 00:54:42,100
u  x^2 bude 2+4-4 čili to je prostě +2x^2.

394
00:54:44,200 --> 00:55:00,800
U x^3 bude 0+4-8+8, čili to je 8 a -8 je 0 čili to budou 4x^3.

395
00:55:03,800 --> 00:55:18,900
U x^4 bude 0+0-8+16 to je +8 , čili to jsme odbyli

396
00:55:19,000 --> 00:55:22,800
tyhlety koeficienty podél té diagonály vedlejší no

397
00:55:22,900 --> 00:55:31,700
a nakonec to je prostě tento 16 čili tam  je 16x5

398
00:55:32,100 --> 00:55:37,800
a to je prosím výsledek pomocí   takovéto  tabulky, jo.

399
00:55:38,800 --> 00:55:42,900
Čili násobit polynom není příliš složité, když

400
00:55:43,000 --> 00:55:45,600
si to napíšeme do takovéhoto, takovéto struktury.

401
00:55:45,700 --> 00:55:51,900
A teď si představte, že já tam nebudu psát tyhlety konkrétní čísla,

402
00:55:52,000 --> 00:55:55,900
že tam prostě napíšu tyto hodnoty.

403
00:55:56,000 --> 00:56:00,600
Čili úplně stejnou tabulku, tohle jsem uváděl jenom jako příklad

404
00:56:00,700 --> 00:56:03,500
a teď si to ukážeme, jak to udělat s čísly.

405
00:56:03,600 --> 00:56:07,600
Jak tedy celou tuhletu tabulku…

406
00:56:25,600 --> 00:56:33,100
tady bude běhat F(x) a takhle bude běhat G(x)

407
00:56:33,200 --> 00:56:48,300
a budeme tam psát f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)

408
00:56:48,400 --> 00:56:49,800
a mohli bychom pokračovat.

409
00:56:49,900 --> 00:57:01,800
A podobně tady napíšeme g(0), g(1), g(2), g(3), g(4)

410
00:57:01,900 --> 00:57:03,300
a zase bychom mohli pokračovat

411
00:57:03,400 --> 00:57:07,300
do nějakého "m" nebo "n" respektive, jo?

412
00:57:07,400 --> 00:57:11,600
A teď uděláme onu operaci, kterou umíte,

413
00:57:11,700 --> 00:57:13,400
násobím každý s každým,

414
00:57:13,500 --> 00:57:17,900
čili teď se tady upíšeme do úplného utrápení.

415
00:57:18,000 --> 00:57:20,400
Každý s každým …

416
00:57:33,800 --> 00:57:49,500
a pak g(1)f(0), g(1)f(1), g(1)f(2), g1(f3),g(1)f(4)

417
00:59:10,400 --> 00:59:14,400
teď jsem udělal tedy každý s každým.

418
00:59:14,500 --> 00:59:19,600
A já teď se ptám, že když moje,

419
00:59:19,700 --> 00:59:27,400
můj výsledný polynom bude mít nějaký výsledek v(k) X^k

420
00:59:27,500 --> 00:59:31,700
a k běhá od nuly právě do toho N+M,

421
00:59:31,800 --> 00:59:33,400
to už jsme si tady zapamatovali, že

422
00:59:33,500 --> 00:59:35,000
teda tamten byl druhého stupně,

423
00:59:35,100 --> 00:59:38,100
ten byl třetího stupně a byl to součet,

424
00:59:38,200 --> 00:59:51,500
tak jak že tam budou vypadat ty jednotlivé v(k) z této tabulky?

425
00:59:51,600 --> 00:59:54,700
Řekněme si, že třeba chceme v(4),

426
00:59:54,800 --> 01:00:00,900
to znamená všechny koeficienty, které

427
01:00:01,000 --> 01:00:03,900
se budou vyskytovat u čtvrté mocniny.

428
01:00:04,500 --> 01:00:07,400
Které to budou?

429
01:00:07,500 --> 01:00:15,200
No budou to podél té vedlejší diagonály tyto veličiny.

430
01:00:15,300 --> 01:00:43,100
Bude tam g(0)f(4)+g(1)f(3)+g(2)f(2)+g(3)f(1)+g(4)f(0), je to vidět?

431
01:00:44,200 --> 01:00:49,100
Je to zřejmé, podél vedlejší diagonály je to takovýto součet.

432
01:00:49,200 --> 01:00:54,000
Když se na něj maličko zadíváme,

433
01:00:54,100 --> 01:00:57,800
zkusme to napsat jako nějakou sumu.

434
01:01:03,300 --> 01:01:07,300
Sčítáme přes nějaký index el,

435
01:01:07,400 --> 01:01:12,000
který bude v tom "géčku"

436
01:01:12,200 --> 01:01:20,700
a pak bude postupně snižovat index v tom "f"

437
01:01:20,800 --> 01:01:26,700
od právě hodnoty toho nejvyššího.

438
01:01:27,700 --> 01:01:30,300
Je to vidět?

439
01:01:30,400 --> 01:01:34,300
Jedno klesá, druhé stoupá.

440
01:01:34,400 --> 01:01:41,400
A teď když toto bude ne v(4), ale bude to nějaké strašně velké číslo "k"

441
01:01:41,500 --> 01:01:50,100
u x^k tak jak to bude vypadat?

442
01:01:50,200 --> 01:01:56,400
Tady bude nějaké v(k )

443
01:01:57,400 --> 01:02:12,400
tady budu opět sčítat přes ty "l" do "k"  g(l) f(k-l)

444
01:02:13,400 --> 01:02:19,300
a tím jsem velmi blízký něčemu takovému jako je prosím toto,

445
01:02:19,400 --> 01:02:25,200
tím jsem velmi blízký konvoluci

446
01:02:25,300 --> 01:02:32,600
a dá se říci jednoznačně, že koeficienty u násobení nebo  při

447
01:02:32,700 --> 01:02:43,000
násobení polynomů jsou vlastně konvolucí těch dílčích koeficientů.

448
01:02:43,100 --> 01:02:48,400
Čili konvoluce a násobení polynomů takto souvisí.

449
01:02:48,500 --> 01:02:52,700
Jen tak mimochodem v Matlabu ne z jednoduchých důvodů

450
01:02:52,800 --> 01:02:57,500
je násobení dvou polynomů označeno jako "konv" jako konvoluce.

451
01:02:57,600 --> 01:03:00,200
To je prosím ten důvod

452
01:03:00,300 --> 01:03:02,200
čili násobit polynomy a

453
01:03:02,300 --> 01:03:06,300
dělat konvoluci v diskrétním světě je v podstatě totéž a jedno.

454
01:03:06,400 --> 01:03:11,500
Akorát, že ta konvoluce se týká koeficientů těch polynomů,

455
01:03:11,600 --> 01:03:19,900
zatímco násobení těch polynomů je v podstatě v téhleté oblasti .

456
01:03:20,000 --> 01:03:22,400
Když bychom to zcela zobecnili,

457
01:03:22,400 --> 01:03:26,700
kdybychom řekli,

458
01:03:28,800 --> 01:03:33,100
kdybychom řekli, že tedy jdeme s tím "N"

459
01:03:34,200 --> 01:03:48,900
nade všechny meze u toho FN(x) a pak ještě za to "x" dosadíme z^-1 ,

460
01:03:51,000 --> 01:04:01,900
tak dostanu, že to je f(n) z^-n a "n" jde do nekonečna od nuly do nekonečna,

461
01:04:02,900 --> 01:04:10,800
prostě ta limita příslušného polynomu je prostě jednoznačně  Z transformací těch koeficientů,

462
01:04:11,500 --> 01:04:12,100
ano?

463
01:04:12,900 --> 01:04:16,200
Úplně stejně můžeme říci,

464
01:04:18,900 --> 01:04:41,400
že i ten druhý polynom za podobných okolností je v podstatě Z transformací koeficientů, ano?

465
01:04:43,800 --> 01:04:55,500
A celé toto vede k výsledku, který jsem tady naznačoval,

466
01:04:56,400 --> 01:05:06,900
že pokud máte Y(z) jakožto Z transformaci ,

467
01:05:14,600 --> 01:05:33,200
máte H(z) jakožto Z transformaci a máte U(z) jako příslušnou Z transformaci,

468
01:05:37,800 --> 01:05:56,200
tak konvoluce těch koeficientů je ekvivalentní v součinu.

469
01:05:59,100 --> 01:06:07,800
Čili tam, kde jsme konvolovali koeficienty polynomů bylo jejich násobení,

470
01:06:08,800 --> 01:06:12,100
tak tady je to prosím také tak,

471
01:06:12,200 --> 01:06:19,700
čili když prostě s těmi polynomy jdeme až nadevšechny meze, to znamená, že ty polynomy se změní

472
01:06:19,800 --> 01:06:22,400
v nějaké nekonečné řady,

473
01:06:22,500 --> 01:06:26,800
tak v tom okamžiku, v tom okamžiku prostě jsme schopni říci,

474
01:06:27,000 --> 01:06:32,900
že celý tenhleten proces vede k důkazu, že tedy součin

475
01:06:33,000 --> 01:06:41,200
se zobrazuje jako konvoluce a nebo naopak konvoluce těchto dvou veličin dává,

476
01:06:41,300 --> 01:06:43,900
dává prostě takovýto, takovýto součin,

477
01:06:44,900 --> 01:06:51,900
čili konvoluce dává součin.

478
01:06:52,900 --> 01:06:59,600
Tím se chce říci, že Z transformace

479
01:06:59,700 --> 01:07:03,200
také zjednodušuje vztah mezi vstupem a výstupem

480
01:07:03,300 --> 01:07:12,100
toho lineárního časově invariantního systému v diskrétní oblasti.

481
01:07:12,200 --> 01:07:16,900
My si časem řekneme, že ta H(z) se jmenuje také přenosová funkce

482
01:07:17,000 --> 01:07:22,300
za určitých okolností  a že tyto veličiny prostě mají dobrou,

483
01:07:22,400 --> 01:07:25,600
dobrou interpretaci.

484
01:07:33,100 --> 01:07:37,700
K tomu abychom mohli používat příslušnou Z transformaci

485
01:07:37,800 --> 01:07:41,200
se zavádějí také tabulky,

486
01:07:41,300 --> 01:07:44,800
takže si uděláme jakýsi úvod do tabulek, které

487
01:07:44,900 --> 01:07:47,800
prostě si doděláme někdy v budoucí přednášce

488
01:07:47,900 --> 01:08:00,300
a to bude konec dnešního povídání.

489
01:08:38,200 --> 01:08:44,200
Ty tabulky mají opět charakter takový, že tedy zobrazujeme

490
01:08:44,300 --> 01:08:52,200
původní posloupnost a její obraz

491
01:08:52,300 --> 01:09:09,200
a začínáme u úplně té nejjednodušší posloupnosti, kterou máme k dispozici,

492
01:09:09,300 --> 01:09:11,900
to znamená  začneme u posloupnosti,

493
01:09:12,000 --> 01:09:18,500
kterou jsme si nazvali jednotkovou, jednotkovým impulsem,

494
01:09:18,600 --> 01:09:22,200
která nevypadá nijak jinak než, že je to tady prostě samý nuly,

495
01:09:22,300 --> 01:09:31,700
v nule je to jednička  a pak takto pokračuje to hezky nulama dále.

496
01:09:35,800 --> 01:09:41,400
Když si dosadíme do definice transformace takovouto delta funkci,

497
01:09:41,600 --> 01:09:51,000
co asi dostaneme? Pro všechny n>0, menší než 0 je to nulové,

498
01:09:51,100 --> 01:09:56,400
pouze v n=0 je to jednička, takže to bude prostě Z-0, že

499
01:09:56,500 --> 01:10:03,700
a to není nic jiného než-li, než-li 1.

500
01:10:05,800 --> 01:10:11,200
Takže když budete mít na pravé straně deltu,

501
01:10:11,300 --> 01:10:18,200
tak samozřejmě tady potom se objeví  1, třeba.

502
01:10:21,200 --> 01:10:27,400
Když ta posloupnost, bude právě takovýto jednotkový skok,

503
01:10:34,400 --> 01:10:52,500
tak ta příslušná suma bude součet takovéto řady.

504
01:10:58,000 --> 01:11:04,100
Té řadě se říká jak?

505
01:11:04,100 --> 01:11:05,600
Takovéto řadě?

506
01:11:14,600 --> 01:11:19,100
No tak součet takovéto řady získám jakým způsobem?

507
01:11:19,200 --> 01:11:24,700
když je to mocninná řada, to číslo se nemění tam a je to prostě posloupně mocnina

508
01:11:24,800 --> 01:11:26,100
vyšší a vyšší a sčítám.

509
01:11:36,100 --> 01:11:41,100
No, geometrická posloupnost jste slyšeli slovo,

510
01:11:41,200 --> 01:11:46,600
no, takže to je geometrická, jako součet, součet řady,

511
01:11:46,700 --> 01:11:52,600
který prostě získám pomocí vlastně částečných součtů  geometrické posloupnosti.

512
01:11:52,700 --> 01:11:54,900
A umíte tedy sečíst geometrickou posloupnost?

513
01:11:55,000 --> 01:12:01,400
To už je dlouho……

514
01:12:20,300 --> 01:12:35,600
hledám součet, takhle jste to možná viděli, že jo že,

515
01:12:35,700 --> 01:12:39,900
že jo, takhle jste to možná viděli… a co je to, to "q"?

516
01:12:40,000 --> 01:12:52,100
[kvo] kvocient, tak a jak tedy získám,

517
01:12:52,200 --> 01:12:54,900
získám ten částečný součet,

518
01:12:55,000 --> 01:13:01,200
čemu že je roven?

519
01:13:03,900 --> 01:13:06,700
No, je to něco takovéhoto, že jo.

520
01:13:12,700 --> 01:13:20,900
A víte, proč? Víte proč? Mohli byste vědět.

521
01:13:21,900 --> 01:13:29,200
Když tuhletu posloupnost každý člen té posloupnosti

522
01:13:29,300 --> 01:13:35,400
v součtu geometrické posloupnosti vynásobím "q" tak co dostanu

523
01:13:35,500 --> 01:13:50,800
dostanu q+q^2+q^3+q^4+ a tak dál, až to skončí q^(n+1), že.

524
01:13:52,300 --> 01:14:02,200
A teď já neudělám nic jiného, než ty tyto dvě veličiny "q" "Sn" a "Sn" prostě odečtu od sebe,

525
01:14:02,300 --> 01:14:10,900
prostě tohle odečtu od toho prvního řádku a dostanu, že to je

526
01:14:11,000 --> 01:14:25,100
qSn-Sn= a teď tady bude q^(n+1) to se tam zachová

527
01:14:25,300 --> 01:14:35,300
a všechny tyhlety se takto zruší

528
01:14:35,400 --> 01:14:39,600
a zůstane tam akorát ta - 1, že jo.

529
01:14:39,700 --> 01:14:45,800
Tak to namaluju takhle, že jo  -1 + q^(n+1).

530
01:14:45,900 --> 01:14:50,100
To je viditelné, no a pak to jenom malinko upravím,

531
01:14:50,200 --> 01:14:55,900
prostě udělám něco takového jakože, že tady to napíšu v tomhletom  tvaru

532
01:14:56,000 --> 01:15:05,000
a tohle napíšu, vydělím q-1 a mám výsledek  nebo,

533
01:15:01,500 --> 01:15:05,800
nebo to napíšu i v tomto tvaru.

534
01:15:11,600 --> 01:15:15,100
A teď:  co se stane, když to "n" velké půjde do nekonečna?

535
01:15:15,200 --> 01:15:20,600
Tak to bude právě ta příslušná řada, že?

536
01:15:20,700 --> 01:15:26,300
A jak bude vypadat součet takovéto řady,

537
01:15:26,400 --> 01:15:30,800
tedy řady, která prostě bude mít nekonečně, nekonečně mnoho.

538
01:15:34,900 --> 01:15:41,700
No měli byste vědět, že součet řady  je prostě limita částečných součtů,

539
01:15:41,800 --> 01:15:43,800
to byste možná mohli vědět, že jo.

540
01:15:44,900 --> 01:15:49,900
To není jen tak jako prostě proč se to říká, prostě moc přičítat neumím,

541
01:15:50,000 --> 01:16:00,400
spíš už umím limitit a když umím limitit, tak tedy dělám  limitu této veličiny.

542
01:16:01,000 --> 01:16:09,200
A čemu bude rovna limita, takovéto, takovéhoto částečného součtu?

543
01:16:09,500 --> 01:16:14,200
No, týká se to pouze mocniny, mocniny q^n, že jo,

544
01:16:14,300 --> 01:16:16,900
tyhlety  veličiny tou limitou nejsou dotčeny, že.

545
01:16:17,000 --> 01:16:26,200
Takže jak to je s tím q^n? Když "q" bude menší než 1 v absolutní hodnotě,

546
01:16:26,300 --> 01:16:32,800
tak ta limita q^n když "n" jde do nekonečna je 0, že.

547
01:16:32,900 --> 01:16:38,500
Čili za předpokladu, že v absolutní hodnotě q<1,

548
01:16:38,600 --> 01:16:49,100
tak vám vyjde 1/1-q a to je prosím součet geometrické řady,

549
01:16:49,100 --> 01:16:50,700
takže tady bude napsáno co?

550
01:16:58,500 --> 01:17:03,400
Co tam bude napsáno?

551
01:17:04,700 --> 01:17:20,500
1/1… není to takhle náhodou? že jo, takže když tady bude jednička,

552
01:17:21,603 --> 01:17:34,503
tedy jednotkový skok, tak příslušný obraz je 1 - z^(-1).

553
01:17:34,603 --> 01:17:40,903
Takže k tomu abychom dokázali pochopit jak se takovéto tabulky plní,

554
01:17:41,003 --> 01:17:50,400
tak potřebujeme znát součet geometrické řady, ano?

555
01:17:50,500 --> 01:17:55,800
Tak jako jsme potřebovali pro Laplasovu transformaci umět integrál prostě s exponencieli,

556
01:17:55,900 --> 01:17:57,800
tak tady potřebujeme toto,

557
01:17:57,900 --> 01:18:02,100
všechno ostatní pak už je to jenom hra o témže

558
01:18:02,200 --> 01:18:07,100
a to jak je to vlastně podobné si ukážeme,

559
01:18:07,200 --> 01:18:11,500
ukážeme nikoliv příště, ale prostě za 14 dnů jestli se nepletu,

560
01:18:11,600 --> 01:18:15,600
protože nám udělali takovou zábavu, že čtvrtého se neuvidíme….