1 00:00:01,000 --> 00:00:04,000 Já vám přeji hezký májový den 2 00:00:05,050 --> 00:00:09,000 zdá se že tedy venku je líp než tady 3 00:00:09,100 --> 00:00:13,300 (a mi nepůjdem ven) mohli bychom ale takovou hospodu nenajdem 4 00:00:14,000 --> 00:00:22,200 takže to né (studenti povídají) - tak velkou 5 00:00:28,300 --> 00:00:30,400 takže minule jsme si začli říkat (říkat) 6 00:00:30,400 --> 00:00:40,400 věci kolem původu transformace Z, jak transformace Z se odvyjí od pojetí 7 00:00:40,400 --> 00:00:45,500 diskretizace spojitého, spojitého procesu, spojitého signálu, 8 00:00:45,500 --> 00:00:51,400 jinými slovy jakým způsobem mi vlastně reprezentujem ty naše procesy 9 00:00:51,400 --> 00:00:56,400 v podstatě v počítači a tak tedy prostě nalézt transformaci která 10 00:00:56,400 --> 00:01:01,000 podobným způsobem jako Laplacova transformace algebraizuje diferenční rovnice 11 00:01:01,000 --> 00:01:07,500 a podobně takto vlastně zjednodušuje vztah mezi vstupem a výstupem 12 00:01:07,500 --> 00:01:17,600 Dneska si povíme o vlastnostech té Z-transformace ještě trošku dál, dokončíme si tabulky, které jsme začli malovat. 13 00:01:17,600 --> 00:01:27,500 a ukážeme si použití transformace Z pro diferenční rovnice a dojdeme i k takovému konceptu 14 00:01:27,500 --> 00:01:29,200 jakým způsobem dělat 15 00:01:29,200 --> 00:01:37,800 jakým způsobem tedy prostě uděláme proces opačný to znamená jak nalezneme inverzní Z-transformaci z roviny 16 00:01:37,800 --> 00:01:42,400 pomocné proměnné Z zpátky do toho našeho světa diskrétních událostí. 17 00:01:42,400 --> 00:01:48,700 Takže dnešní přednáška je věnována Z-transformaci a jejímu použití. 18 00:02:08,600 --> 00:02:15,500 My jsme skončili minulou, nebo před 14 dny přednášku tím, že jsem 19 00:02:15,500 --> 00:02:17,200 začal říkat ano. 20 00:02:17,200 --> 00:02:28,800 Ukáži vám jak vzniká v podstatě tabulka, která se týká našich posloupností a příslušných 21 00:02:28,800 --> 00:02:43,200 obrazů to znamená vztahu mezi posloupností a obrazem pomocí transformace Z. 22 00:02:43,200 --> 00:02:53,300 A začli jsme u toho nejjednoduššího co jsme měli začli, jsme v podstatě u příslušné delty, 23 00:02:53,300 --> 00:03:02,100 která má tu vlastnost, že to je natolik jednoduchý diskrétní signál, 24 00:03:02,100 --> 00:03:09,000 který říká, že tedy prostě pouze v počátku souřadnic je to jednička všude jinde je to prostě nula. 25 00:03:09,000 --> 00:03:14,800 a tady takhle jak tečou n tak prostě je to přes celý svět jinak nulové. 26 00:03:14,800 --> 00:03:25,200 A z principu téměř triviálních jsme dokázali, že i tahleta triviální posloupnost má také velmi jednoduchou transformaci Z. 27 00:03:25,200 --> 00:03:31,000 Je to naprosto jednoduché, tohleto f(n) je jedna jenom v bodě nula 28 00:03:31,000 --> 00:03:36,700 a tím pádem tedy za n dosadím nulu a dostanu že to je tedy právě jednička. 29 00:03:38,700 --> 00:03:44,800 Podobně jsme říkali, že bude zajímavá naše, 30 00:03:44,800 --> 00:03:57,900 náš jednotkový skok, který vypadá tak že tedy od té nuly je to takováto posloupnost jedniček 31 00:03:59,900 --> 00:04:05,600 tady běhá n, tady je počátek n=0. 32 00:04:05,600 --> 00:04:14,400 A říkali jsme si, že to celé vlastně se odvyjí od sčítání geometrické řady 33 00:04:14,400 --> 00:04:26,500 a že nepotřebujeme nic jiného než umět sečíst prostě tedy Z na -n od nuly do nekonečna, 34 00:04:26,500 --> 00:04:30,700 protože tady tu jedničku prostě jako vzásadě nepíšeme. 35 00:04:30,700 --> 00:04:42,800 A ukazoval jsem vám jakým způsobem dospěju k výrazu, že tedy g na n-tou má součet 1/1-g 36 00:04:42,800 --> 00:04:52,200 takže když za to g dosatím Z na -1 tak je to takto, čili ten další vzoreček, který jsme tam měli byl tento. 37 00:04:52,200 --> 00:04:58,600 No a dneska si ukážeme trošku komplikovanější věci jak se vlastně ta tabulka vytváří, 38 00:04:58,600 --> 00:05:05,500 jakým způsobem tedy můžeme operovat s posloupnostmi, které máme k dispozici 39 00:05:05,500 --> 00:05:12,900 tak abychom věděli jaká poslopnost příslupší k jakému obrazu. 40 00:05:12,900 --> 00:05:20,300 Takže první taková trošku komplikovanější věc je ta, že prostě tuto posloupnost 41 00:05:23,100 --> 00:05:29,600 budeme si představovat, že má nějakou geometrickou váhu to znamená, 42 00:05:29,600 --> 00:05:35,100 že tady je nějaké a na nultou, tady je a na 1, tady a na 2, tady a na 3, 43 00:05:35,100 --> 00:05:43,300 a budeme říkat že ta naše posloupnost bude a na n-tou. 44 00:05:48,200 --> 00:05:57,000 Když si dosadíme do naší definice pro f(z) to znamená dosadíme si tedy za f(n) 45 00:06:03,000 --> 00:06:06,800 si dosadíme právě tuhle tu a na n-tou, to znamená že budeme říkat, 46 00:06:06,800 --> 00:06:10,800 že ta posloupnost je právě tato. 47 00:06:15,800 --> 00:06:32,800 Tak je také jasné, že to můžeme psát v tomto tvaru a tohle je tedy to naše nové g jinými slovy 48 00:06:32,800 --> 00:06:37,200 celý ten výraz tedy končí takto. 49 00:06:44,300 --> 00:07:00,500 Jinými slovy už umíme udělat transformaci posloupnosti, která má charakter, že to takto třeba klesá pokud¨ 50 00:07:00,500 --> 00:07:04,500 to a je menší než 1. 51 00:07:04,500 --> 00:07:08,900 Velmi důležitým předpokladem tady je prosím to 52 00:07:08,900 --> 00:07:17,800 že jsme si vždycky říkali ano ta geometrická řada konverguje, když toto je menší v absolutní hodnotě než jedna. 53 00:07:21,200 --> 00:07:24,300 Že jo abychom dostali tento výsledek. 54 00:07:24,300 --> 00:07:25,700 co to znamená. 55 00:07:25,700 --> 00:07:39,000 Když to a pokud a je reálné číslo větší než nula tak to neznamená nic jiného než tedy 56 00:07:39,500 --> 00:07:53,600 0 00:08:14,900 než že tady je nějaká kružnice o poloměru právě a, a všude na vnějšku té kružnice 58 00:08:15,300 --> 00:08:29,300 platí tahleta nerovnost čili to Z konverguje tehdy, když v té rovině to je prostě na vnějšku té kružnice, 59 00:08:29,300 --> 00:08:40,500 Ta řada prostě je v pořádku existuje oblast korvengence není problém zaručit takovouto záležitost. 60 00:08:45,700 --> 00:09:01,300 Jestliže umíme si zdůvodnit proč platí toto tak také už jsme téměř na dalším takovém to kroku dalším, 61 00:09:01,300 --> 00:09:16,500 kdybychom si řekli ano já mohu se ptát co to udělá, když ta posloupnost bude posloupnost tohoto typu. 62 00:09:16,500 --> 00:09:26,500 Nebo bude posloupnost tohoto typu, aby bylo jasné co to asi znamená 63 00:09:26,500 --> 00:09:32,000 tak ta cosínova by mohla vypadat nějakým takovým to způsobem. 64 00:09:32,600 --> 00:09:40,800 Tady má v podstatě obalovou nějakou křivku, která přísluší a na n-tou, že jo. 65 00:09:40,900 --> 00:09:50,300 A pak je tam vložena posloupnost, která prostě se podobá třeba cosínu. 66 00:09:57,400 --> 00:10:04,900 Jo je to takováto alternující posloupnost, takhle by mohl vypadat a na n.-tou cosínus n-théta. 67 00:10:04,900 --> 00:10:17,500 Podobně by vypadala ta sínusovka akorát s tím rozdílem, že tady by pravděpodobně měla takovouto 68 00:10:17,600 --> 00:10:25,500 nulovou hodnotu respektive pro n=0, je to určitě nula a byla by to posloupnost, která zase sleduje 69 00:10:25,500 --> 00:10:35,100 nějakou takovouto a na n-tou křivku a v zásadě by vypadala třeba takovým to způsobem. 70 00:10:43,100 --> 00:10:49,300 Jo, tadyhle ještě pravděpodobně, by ještě bylo třeba nula. 71 00:10:59,400 --> 00:11:00,900 A naše otázka zní? 72 00:11:00,900 --> 00:11:03,500 Co s tím? 73 00:11:01,400 --> 00:11:14,400 co když tadyhle prostě dosadím nejdeme tomu a na n-tou cosínus n-théta a budu 74 00:11:14,400 --> 00:11:17,400 hledat příslušnou Z-transformaci. 75 00:11:26,100 --> 00:11:27,500 Co s tím vším? 76 00:11:37,500 --> 00:11:39,800 Tak nějaký život!!! 77 00:11:46,600 --> 00:11:48,900 No zase pana Eulera použijem né. 78 00:11:50,300 --> 00:12:05,100 Pravděpodobně použijeme, že cosínus n-théta je 1/2(e na i-théta + e na -i-théta). 79 00:12:08,200 --> 00:12:24,300 A sinus je 1/2(e na i-théta - e na -i-théta). 80 00:12:29,900 --> 00:12:34,100 To je prosím Euler. 81 00:12:43,400 --> 00:12:55,100 No když použiji tyto vztahy tak pak už jenom říkám ano moje Z-transformace má tu vlastnost 82 00:12:55,100 --> 00:13:07,400 že je lineární, to znamená že nějaké konstanty můžu celkem bez potíží z té transformace vyjmout. 83 00:13:07,400 --> 00:13:23,700 a napíšu prostě ten cosínus tak že a na n ... a protože je také lineární tak celou tu transformaci takhle roztrhám. 84 00:13:34,700 --> 00:13:51,100 Jo, prostě jsem tam dosadil, eulerovy vztahy a prostě transformovat cosínus je jako transformovat odděleně exponenciely 85 00:13:51,100 --> 00:13:54,100 protože to je lineární transformace. 86 00:13:54,100 --> 00:14:28,200 No a pak už je to jen takové povídání o témže, napíšu že to je 1/2....z výrazu + .... 87 00:14:30,800 --> 00:15:00,100 no a je jasné že zas je to geometrická řada a s úspěchem použiji již to co umím a napíšu že to je 1- ... 88 00:15:03,200 --> 00:15:11,300 no a protože mám ve jmenovateli komplexní čísla, musím s tím něco udělat tak abych měl tedy alspoň jmenovatele reálný 89 00:15:14,500 --> 00:15:21,500 ale ono stačí když to jen vynásobím, protože je vydět že tento jmenovatel je komplexně sdužený k tomuto, 90 00:15:21,500 --> 00:15:36,500 protože tady je z i uděláno -i, čili jinými slovy ta úprava je v podstatě jenom, že je vedena na společného jmenovatele. 91 00:15:36,500 --> 00:15:41,200 čili vynásobím 1-a na e ..... 92 00:16:19,200 --> 00:16:44,700 Takže na konec to skončí celkem srozumitelně, tak že tady bude 1 .... 93 00:17:15,200 --> 00:17:20,500 A to je prosím výsledek ke kterému jsme chtěli dojít. 94 00:17:20,500 --> 00:17:54,200 Čili tady doplňujeme tabulku dále tím že říkám a na n-tou cos n théta má obraz 1-az na -1 cos theta/1-2az-1 cos theta ..... 95 00:18:24,200 --> 00:18:28,000 Je vám to jasné? 96 00:18:39,300 --> 00:18:50,200 Pokud nevíte zkuste tedy stejný proces s tím sínusem, zkuste sami. 97 00:20:44,500 --> 00:20:46,200 Tak co se změní? 98 00:21:07,100 --> 00:21:08,800 Kdo to ví? 99 00:21:08,800 --> 00:21:16,900 Tady bude mínus a tady bude i, že jo?. 100 00:21:21,800 --> 00:21:34,400 takže to další počítání je schodné jenom s tímto drobným rozdílem. 101 00:21:38,800 --> 00:21:42,800 Takže uvedení na společného jmenovatele je podobná hra. 102 00:22:14,300 --> 00:22:31,900 no a v čitateli tam bude rozdíl s tím že bude .....vzorec. 103 00:22:45,700 --> 00:22:51,500 a dostanu že a*z...... 104 00:23:44,200 --> 00:23:53,500 Takže když tu tabulku začneme takto kompletovat, budeme zde mít sínus théta ..... 105 00:24:42,200 --> 00:24:48,100 Jeden typ tedy transformací posloupností, kterých jsme tu měli namalované, 106 00:24:48,100 --> 00:24:56,300 prostě vede k tomu že jenom více používáme součet geometrické řady. 107 00:24:56,300 --> 00:25:02,300 Ta řada pokud konverguje tak má i takové dobré vlastnosti, jako že ji mohu derivovat 108 00:25:02,300 --> 00:25:06,000 že s ní mohu dělat spoustu dalších operací. 109 00:25:06,000 --> 00:25:15,300 A jedna z těch operací je taková, že prostě si vemu tu funkci, která vznikne v případě 110 00:25:15,300 --> 00:25:35,100 sčítání tohoto typu, které vede k 1/... a řeknu si, proto se může ta řada konvergovat, prostě 111 00:25:35,100 --> 00:25:47,100 celkem bez potíží můžu derivovat levou i pravou stranu. 112 00:25:55,500 --> 00:26:01,900 Když to zderivuju na levé straně podle z tak je to suma ... 113 00:26:20,300 --> 00:26:30,100 když to malinko upravím tak mohu psát, že to je suma .... 114 00:26:36,600 --> 00:26:54,100 mám posloupnost, ktará vypadá asi nějak takto, prostě jedna bude lineární část a druhá bude ta tlumená část 115 00:26:54,100 --> 00:27:08,100 a bude to vypadat asi takovým to způsobem, to je taková typická posloupnost, takhle naběhne a pak to zase začně padat. 116 00:27:13,200 --> 00:27:18,500 Skrátka jakákoliv mocnina toho n se tam dostane takovouto derivací. 117 00:27:18,500 --> 00:27:31,300 A tu derivaci samozřejmě mohu provést i na té straně druhé, kde to tedy bude docela zábavné, protože to tam bude mínus .... 118 00:27:31,300 --> 00:27:41,700 tím jsem zderivoval toho jmenovatele a ještě tu vnitřní funkci takže tam bude -a..... 119 00:27:52,200 --> 00:27:58,900 Takže dostanu že to je -z..... 120 00:28:07,800 --> 00:28:24,400 a pak dostanu, že ta samotná posloupnost se transformuje tak, že tady bude a z na -1 .... 121 00:28:34,200 --> 00:28:46,600 Já se vá pokusím teď ukázat jak se takováto tabulka chová. 122 00:29:21,100 --> 00:29:23,900 Takže když se to schrne, 123 00:29:36,100 --> 00:29:46,500 (opakuje, vysvětluje, studenti se ptali) 124 00:30:30,100 --> 00:30:47,800 Tady je namalováno, to a mě někde chybí :-D. Jo je to dobře. 125 00:30:56,100 --> 00:31:03,700 Podstatné je pokud této rovnici položíte a = 1 tak dostanete třeba transformaci posloupnosti n. 126 00:31:03,700 --> 00:31:09,100 Jo, to znamená lineární posloupnost, rostoucí lineárně prostě s časem. 127 00:31:09,300 --> 00:31:20,800 Pokud by jste chtěli udělat n na 2, tak to je jako dvakrát derivování a ještě to je posunutí, dostanete takovouto veličinu. 128 00:31:20,800 --> 00:31:35,100 v těch tabulkách které se běžně vyskytují v učebnicích o laplacovy a z-transformaci, tak těch tabulek jsou 129 00:31:35,100 --> 00:31:37,500 několik stránek, vždycky. 130 00:31:37,500 --> 00:31:45,300 Já se vám tady snažím ukázat,že to není žádný zázrak odkud se berou ty vzorečky, ale 131 00:31:45,300 --> 00:31:53,900 postatné je pokud vnímáte prostě že ten vztah je spočitatelný, že prostě je dokonce ve vašich schopnostech 132 00:31:53,900 --> 00:32:00,100 to počítat tak skrátka a dobře tyhle ty 2 stránky vám ukazuji. 133 00:32:03,800 --> 00:32:08,000 Tady jsou ještě stránky další, které se týkají třeba hyperbolických funkcí. 134 00:32:08,000 --> 00:32:13,300 Případně se týkají dalších speciálních funkcí, které se nazývají třeba čebišovy polynomy. 135 00:32:13,300 --> 00:32:17,100 Je to ze stejného prosím soudku. 136 00:32:17,100 --> 00:32:25,200 Pokud neumíte hyperbolické funkce, tak veřte, že stačí že v těch trigonometrických dosadíte za 137 00:32:25,200 --> 00:32:35,700 théta I, Fí, a dostanete toho vhodného cosínusu onen cosínus hyperbolický.Jo 138 00:32:35,700 --> 00:32:39,800 A z toho sínu zase dostanete sínus hyperbolický. 139 00:32:39,800 --> 00:32:48,400 Čili to jsou veličiny, které jsou kamarády formálně s těmito vzorečky. 140 00:32:48,400 --> 00:32:58,600 a vzorečky tohoto typu se vyskytují prostě v tabulkách a běžně také je používáme v podstatě, když hledáme 141 00:32:58,600 --> 00:33:01,700 onu zpětnou transformaci. 142 00:33:01,700 --> 00:33:07,100 Když hledáme tedy od nějakého obrazu ke kterému dojdeme z nějakého důvodu, 143 00:33:07,100 --> 00:33:13,300 jak se vrátit zpátky to toho původního světa našich posloupností to znamená 144 00:33:13,300 --> 00:33:16,700 posloupností které nám vlastně definovali ten problém. 145 00:33:16,700 --> 00:33:25,600 Takže pokud si chcete něco z tohoto opsat tak můžete, tak si to opište, já budu za chvilinku pokračovat dál. 146 00:34:11,500 --> 00:34:20,600 V další části si povíme, jak používat transformaci Z na diferenční rovnice a její použití. 147 00:34:39,100 --> 00:34:46,400 Když jsme si uváděli v podstatě nejjednoduší systém tak jsme si malovali variaci ceny. 148 00:34:52,600 --> 00:34:59,100 A já jsem tehdy dospěl k rovnici která vypadala nějakým takovým to způsobem. 149 00:35:09,100 --> 00:35:09,700 Tohodle toho typu. 150 00:35:09,700 --> 00:35:20,200 říkal jsem že to je diferenční rovnice, zkoušeli jsme si ji řešit takže jsme si ji iterovali, takže jsme ji prostě 151 00:35:20,200 --> 00:35:27,100 numericky zkoušeli krok po kroku a říkali jsme že odhadneme výsledek a možná že by to mohlo být dobře ten výsledek. 152 00:35:27,100 --> 00:35:38,200 Teď jsme v situaci kdy umíme nářadí na diskrétní systémy tedy i na použití diferenční rovnice, 153 00:35:38,200 --> 00:35:40,600 které musí mít určité vlastnosti. 154 00:35:40,600 --> 00:35:44,600 Za 1. ta rovnice musí být lineární. 155 00:35:44,600 --> 00:35:54,300 a ta rovnice je lineární protože tady se y(n) to známá ta neznámá ta cena nevyskytuje v žádným 156 00:35:54,300 --> 00:35:59,800 součinu, pod odmocninou, žádné jiné funkci než sama o sobě. 157 00:35:59,800 --> 00:36:03,900 Takže lineární je. 158 00:36:06,500 --> 00:36:25,600 Tedy míněno vzhledem k neznámé. Ta neznámá posloupnost tam není v nějakém jiné vztahu. 159 00:36:25,600 --> 00:36:39,900 Za 2. ta rovnice je s konstantními koeficienty. 160 00:36:39,900 --> 00:36:49,500 tohle je konstanta, tady je jednička, tady je nějaké a, na pravé straně je pravděpodobně definovaná funkce 161 00:36:49,500 --> 00:36:52,000 která může mít v sobě i nějakou konstantu. 162 00:36:52,000 --> 00:37:01,900 není to rovnice s proměnnými koeficienty, to znamená že ty koeficienty sami o sobě nejsou závislé na tom časovém ukazovátku. 163 00:37:01,900 --> 00:37:10,400 Pokud by byly tak ta rovnice jenom občas lze rešit pomocí transformací Z. Né vždycky to vede ke správnému cíli. 164 00:37:10,400 --> 00:37:16,600 Jakmile jsou s konstantními koeficienty to znamená že to je systém, který je stacionární 165 00:37:16,600 --> 00:37:26,300 a v tomto okamžiku prostě můžeme říct, že můžeme použít příslušnou transformaci Z. 166 00:37:26,300 --> 00:37:31,700 A tu diferenční rovnici. 167 00:37:31,700 --> 00:37:37,100 a teď tady máme pár takových, jakých si dodatečních podmínek. 168 00:37:37,100 --> 00:37:48,700 Například si třeba řekneme, že y(n) = 0 pro všechny záporné n. 169 00:37:48,700 --> 00:37:54,300 Jinými slovy je to posloupnost která zažíná až v nějaké nule a pak teprv bude pokračovat. 170 00:37:54,300 --> 00:38:11,900 dál si můžeme říci, že třeba u(n)=1 (může být i s konstantou), je to tedy jednotkový skok. 171 00:38:11,900 --> 00:38:27,200 A potom mohu celkem bez potíží psát že obraz toho U(z) v daným okamžiku což je tedy té jedničky 172 00:38:27,200 --> 00:38:33,200 je Z na -n ........ 173 00:38:52,200 --> 00:39:12,200 A ono posunuté Y vzhledem pouze k této vlastnosti je pouze Z y(Z) .... 174 00:39:12,200 --> 00:39:17,800 To jsme si ukazovali když posouváme posloupnosti. 175 00:39:31,100 --> 00:39:48,700 No a když tam tedy dosadím tyto srozumitelné vlastnosti tak zjistím že tedy mohu psát tu rovnici ve tvaru Y(z)... 176 00:39:57,700 --> 00:40:10,300 Nebo chceteli Y(z)... 177 00:40:14,100 --> 00:40:23,800 Ještě jinak jsme schopni vyřešit tu rovnici vzhledem k tomu Y(z) 178 00:40:23,800 --> 00:40:44,100 a napsat že to řešení je takováto funkce v proměnné Z. 179 00:40:44,100 --> 00:41:00,700 Ta funkce je prosím toto řešení té algebraické rovnice. 180 00:41:00,700 --> 00:41:06,100 Dostali jsme algebraickou rovnici a tu dokážeme vyřešit. 181 00:41:06,100 --> 00:41:18,600 a teď bychom potřebovali odtud nalézt zpátky to y(n), protože platí toto, že jo. 182 00:41:18,600 --> 00:41:25,000 Potřebuju tedy nalézt zpětnou transformaci k tomuto výrazu. 183 00:41:28,300 --> 00:41:45,000 Když si vzpomenete, že jsme si říkali, že tedy suma z ... 184 00:41:45,000 --> 00:41:56,900 a pak jsme si také říkali že a na n-tou je .... 185 00:41:56,900 --> 00:42:03,300 tak je jasný, že tady něco takového v tom jmenovateli máme, že jo. 186 00:42:03,300 --> 00:42:13,300 A to je ten hlavní důvod proč jsme schopni toho co jsme si říkali kolem 187 00:42:13,300 --> 00:42:20,900 tabulek, proč jsme schopni dovodit scela obecnou vlastnost, že jsou ztrašně důležité 188 00:42:20,900 --> 00:42:30,300 tyto kořenové činitelé ve jmenovateli příslušné funkce Y(z). 189 00:42:30,300 --> 00:42:47,100 A díky tomu jsme schopni napsat to Y(z) ve tvaru ..... 190 00:42:47,900 --> 00:42:59,100 Tomuto tvaru se říká rozklad na parciální zlomky. 191 00:42:59,900 --> 00:43:13,200 a protože jsme schopni to napsat tak musíme být ještě schopni nalézt ty příslušné k1 a k2, 192 00:43:13,200 --> 00:43:17,400 kterým se v teorii komplexní proměnné říká rizidua 193 00:43:17,400 --> 00:43:25,400 a nalezení těch k1 a k2 vlastně vede k celému řešení. 194 00:43:25,400 --> 00:43:40,600 Hledání k1 a k2 je takový proces, který trošku, se pokusím říct v té obecnosti, protože si myslím 195 00:43:40,600 --> 00:43:45,500 pokud se to dělá 196 00:43:45,500 --> 00:43:51,800 na těch v tom obecném tvaru tak je to lepší k vnímání. 197 00:43:51,800 --> 00:44:03,200 Prostě tento vztah říká že jsem rozložil takovouto funkci. 198 00:44:03,200 --> 00:44:13,100 a já ten rozklad se snažím nalézt to k1 nějakou chytrou operací, 199 00:44:13,100 --> 00:44:28,100 která říká že když vynásobím obě dvě strany rovnice jedna krát Z na -1 200 00:44:35,000 --> 00:44:47,900 jinými slovy že jsem udělal výraz, že vemu Y(z) a vynásobím to jedním z těch členů to rozkládaného tvaru 201 00:44:47,900 --> 00:45:11,000 a potom řeknu, že to Z běží k jedné, tato veličina se anuluje,tak dostávám, že tady se to takto zruší 202 00:45:11,000 --> 00:45:19,900 toto vypadne, protože to je nulové a tady se to takto zruší. 203 00:45:19,900 --> 00:45:36,600 Jinými slovy já nedělám nic jiného nežli limitu Z jde k jedné z výrazu .... 204 00:45:43,700 --> 00:45:45,800 Vydíte ten postup, je vám to srozumitelné! 205 00:45:45,800 --> 00:45:56,100 Já jsem to nejdříve vynásobil tak aby se jeden z těch jmenovatelů zkrátil a osamostatní se mi tam to k1. 206 00:45:56,100 --> 00:46:03,100 Kdežto toto utrhne do nuly,prostě,anuluje. A na té pravě straně, protože umím ten rozklad 207 00:46:03,100 --> 00:46:11,400 na ty kořenové činitelé tak se prostě ten jeden koř.činitel zkrátí a to celé vede ktomu že umím nalézt k1. 208 00:46:11,400 --> 00:46:29,900 Když bych dělal k2, tak se chovám podobně, tak k2 .... 209 00:46:30,300 --> 00:46:46,400 a tady napíšu čím to budu násobit, 210 00:46:46,400 --> 00:47:03,200 a vynásobím to tedy na obou stranách 1+a .... 211 00:47:03,200 --> 00:47:19,500 a zase donutím to z jít k hodnotě která anuluje tento výraz, pokud bude z-a tak tato veličina a* ... 212 00:47:19,500 --> 00:47:21,900 a toto je prostě celé nula. 213 00:47:21,900 --> 00:47:32,200 čili jinými slovy tento výraz se takto zruší, tady se zkrátí čitatel proti jmenovateli 214 00:47:33,300 --> 00:48:10,200 tady taky a dostanu limitu .... takže nakonec dostávám že to je a/1+a. 215 00:48:10,200 --> 00:48:15,900 A protože toto už umím tak jsem skoro hotov. 216 00:48:15,900 --> 00:48:25,900 A kdo vnímá jak dělám příslušná rizidua tak věřte že takto a né jinak je dělejte i do budoucna. 217 00:48:25,900 --> 00:48:27,900 Pomocí limit.! 218 00:48:27,900 --> 00:48:35,000 Ono se to samozřejmě dá dělat tak jako že se jaksi porovnají koeficienty, ale jakmile začnete mít 219 00:48:35,000 --> 00:48:42,700 polynomy vyššího stupně než druhého (ukazuje 3) tak jste algebraicky v koncích tak to dopadne úplně špatně. 220 00:48:48,400 --> 00:48:56,400 Takže žádný jaksi porovnávání koeficientů polynomů, které prostě takto vynásobíte, to prosím nedělejte 221 00:48:56,400 --> 00:49:05,300 to nevede k cíly, v případě už třetího stupně, nebo to rezpektive může vést k velmi složitým počtům už u 3 stupně. 222 00:49:05,300 --> 00:49:11,200 Pouze tenhle limitní proces je naprosto korektní a vůbec nic se tam nestane. 223 00:49:11,200 --> 00:49:14,200 Pouze počítáte limity. Nic víc. 224 00:49:21,400 --> 00:49:30,800 (Dotaz studentky)-opakuje. 225 00:50:35,100 --> 00:50:42,600 Ještě nějaký dotaz, prosím? 226 00:50:53,600 --> 00:51:01,900 Tak když tento rozklad tedy umíme tak ho napíšeme tedy ve tvaru 227 00:51:01,900 --> 00:51:28,500 tu funkci jedna + a to je k1, tady bude mít 1-z .... 228 00:51:28,500 --> 00:51:42,400 a když toto takto mám tak je jasné, protože platí tyto 2 vzorečky, že 229 00:51:42,400 --> 00:52:08,400 zpětná transformace Z ktomu Y(z) je postupně zpětnou transformací z tohoto výrazu 1/1+a ... 230 00:52:08,400 --> 00:52:27,300 no a protože i ta zpětná Z - transformace je lineární, tak píšu že to je tedy příslušné y(n).... 231 00:52:27,300 --> 00:52:45,200 Teď tady za tuto veličinu bude jednička a tady bude a krát.... 232 00:52:45,200 --> 00:52:54,300 a to je prosím pro n>0 to platí takto. 233 00:52:54,300 --> 00:53:00,100 A pokud chcete dá se to ještě upravit na jakoby velmi vzhledný tvar 234 00:53:00,100 --> 00:53:25,100 že řešení této rovnice je y(z) ..... 235 00:53:25,100 --> 00:53:45,800 je pro n > 0 ..... to je jenom drobná úprava aby to vypadalo vzhledně. 236 00:53:45,800 --> 00:53:59,600 Takto jsme si ukázali jak se vlastně k tomu řešení jak jsem říkal ano ono to takto dopadne. 237 00:53:59,900 --> 00:54:12,600 Ono to má nějakou vzhlednou cenu, když jsem na maloval ten diagram. 238 00:54:12,600 --> 00:54:31,900 Tak tato rovnovážná cena je 1/1+a, to je daný že to a<1 tak ten trh je stabilní 239 00:54:31,900 --> 00:54:45,500 a ta cena skutečně skončí na nějaké rovnovážné hodnotě. 240 00:54:51,100 --> 00:55:01,800 Celé toto povídání mělo za účel ukázat že tedy lze velmi úspěšně a stardantním způsobem 241 00:55:01,800 --> 00:55:09,400 používat transformaci Z na řešení dif. rovnic. 242 00:55:09,400 --> 00:55:15,500 My si ještě ukážeme několik dif. rovnic v budoucnosti nic mémě teď bych byl rád kdybychom 243 00:55:15,500 --> 00:55:25,900 trošku pokročili dál, aby tento formalizmus zpětné transformace dostal trošku jako standartní rámec. 244 00:56:23,000 --> 00:56:35,800 Takže doposut jsme vyděli,že zase celý to naše počítání pokud se vůbec začneme bavit o lineárních systémech 245 00:56:35,800 --> 00:56:51,400 zkončí tak, že bude mít jako výsledek té algebry, vztah mezi obrazem té neznéme, budeme mít polynom ku 246 00:56:51,400 --> 00:56:52,900 polynomu k proměnné Z. 247 00:56:52,900 --> 00:56:59,000 Je to úplně stejný výsledek jako v lineárních systémech spojitých, 248 00:56:59,000 --> 00:57:02,500 tady akorát ta proměnná je z na -1. 249 00:57:02,500 --> 00:57:11,800 Podstatné je že říkáme že ta racionální lomená funkce má nějaké nulové body 250 00:57:11,800 --> 00:57:22,100 a že má nějaké póly a to jsou místa kde tento polynom je nulový respektive kde tento polynom je nulový. 251 00:57:22,100 --> 00:57:34,700 ano,čili nuly jsou jasný,póly jsou tedy body ve kterých se anuluje jmenovatel tím pádem to všechno frčí někam do nekonečna. 252 00:57:38,400 --> 00:57:46,200 Při té Z-transformaci samozřejmě velmi kritické může být počítání těchto 253 00:57:46,200 --> 00:57:51,100 algebraických kořenů nějakého polynomu. 254 00:57:51,100 --> 00:57:52,900 to je naprosto jasné. 255 00:57:52,900 --> 00:57:59,000 říkali jsme si to už i laplacovy transformace hledání nulových bodů polynomů 256 00:57:59,000 --> 00:58:11,200 3,4 stupně ještě jde jaksi v algebraické podobě od pátého stupně je to úloha neřešitelná. 257 00:58:11,200 --> 00:58:14,200 Pomocí standartní algebry. 258 00:58:14,200 --> 00:58:25,900 chci říci tolik že hledání v podstatě těchto kořenů polynomu ve jmenovateli té racionální lomené funkce 259 00:58:25,900 --> 00:58:33,000 může být docela obtížná záležitost a to je prosím jediná obtíž v transformaci Z pokud 260 00:58:33,000 --> 00:58:41,900 nepoužíváte nějaký numerický nářadí jako je například Matlab, kterým se kořeny polynomu se dají 261 00:58:41,900 --> 00:58:48,500 dohledat celkem velmi snadno. 262 00:58:48,500 --> 00:58:59,700 A jakmile máte tedy identifikovanou racionální lomenou funkci a umíte nalézt 263 00:58:59,700 --> 00:59:17,000 póly té přenosové funkce, respetive té příslušné y funkce tak v zápětí jste chopni udělat rozklad 264 00:59:17,000 --> 00:59:26,500 na kořenové činitelé a z rozkladu na kořenové čitinitele jste schopni dohledat rozklad na parciální zlomky. 265 00:59:26,500 --> 00:59:28,500 to je prosím onen postup. 266 00:59:31,500 --> 00:59:42,000 či pokud má ta funkce jednoduché póly tak lze nalézt tento jednoznačný rozklad polynomu 267 00:59:42,000 --> 00:59:49,400 ve jmenovateli, prosím důsledně tady dodržuji tento formalizmus z toho prostého důvodu 268 00:59:49,400 --> 00:59:54,700 že je prostě blízký tomu původu z-transformace. 269 00:59:54,700 --> 01:00:03,500 a je jasné že když toto Z se blíží k nějakému Z nekonečno jedna tak tento výraz dává 270 01:00:03,500 --> 01:00:11,700 právě jedničku a tento kořenový činitel se anuluje, takže to je jedno v jakém tvaru to píšu 271 01:00:11,700 --> 01:00:16,700 ty kořenové činitelé. 272 01:00:25,100 --> 01:00:34,900 čili já chci říci že takto důsledně když to napíšete tak vzásadě umíte nalézt rozklad na parciální zlomky 273 01:00:34,900 --> 01:00:53,900 kde tyto veličiny k1 až kn se nazývají rizidua. A počítají se prostě algoritmem, který 274 01:00:53,900 --> 01:01:01,400 jsem vám tady ukázal který vám za chvilku promítnu až si toto opíšete. 275 01:01:01,400 --> 01:01:08,200 a to bude v podstatě finále tohoto dnešního našeho povídání. 276 01:01:38,200 --> 01:01:52,800 Opakuje. Vyjádření k2. 277 01:03:06,100 --> 01:03:21,000 Celý proces je takový že hledáte takovouto limitu, doporučuju to počítat s originálu té limity. 278 01:03:21,000 --> 01:03:27,700 toto jsou jako formálně vztahy, který vedou k tomu že také můžete používat derivaci ale 279 01:03:27,700 --> 01:03:36,600 myslím si že když opravdu počítáte tak méně se nadělá chyb v limitách než v derivacích. 280 01:04:04,100 --> 01:04:18,000 A pokud umíte zpočítat všechna ta rezidua tak díky tomu že platí tato jenoduchá identita 281 01:04:18,100 --> 01:04:26,100 můžete všechny ty parciální zlomky pomocí této identity 282 01:04:26,100 --> 01:04:36,400 vrátit zpátky do roviny času diskrétního a tím pádem z liearity trans. Z 283 01:04:36,400 --> 01:04:57,200 můžete napsat že tedy zpětná transf. ke každému z těchto členů je dána k... 284 01:04:57,200 --> 01:05:01,400 Neni to o integrací je to prostě algebraický proces. 285 01:05:01,400 --> 01:05:09,500 Jediné kritické místo je prosím umět všechny ty póly. 286 01:05:09,500 --> 01:05:13,800 To může být někdy drobný problém. 287 01:05:40,800 --> 01:05:52,100 Schrnutí přednášky.Víme jakým způsobem se tvoří tabulky, které 288 01:05:52,100 --> 01:05:59,500 vztahují vzory a obrazy v transformaci Z 289 01:05:59,800 --> 01:06:07,000 máme dobré důvody proč si myslíme že tedy zpětná transformace Z 290 01:06:07,000 --> 01:06:15,400 je vlastně také založena na součtu geometrické řady a z těchto údajů, to znamená ze součtu geometrické 291 01:06:15,400 --> 01:06:24,400 řady v podstatě konstruujeme zpětnou transformaci pro racionální lomenou funkci. 292 01:06:24,400 --> 01:06:35,400 a to tak že ji rozložíme na parciální zlomky a v těch idntifikujem vlastně jednotlivé členy té transformace geometrické posloupnosti. 293 01:06:35,400 --> 01:06:42,400 Tím pádem dokážeme tu zpětnou transformaci vypočítat. 294 01:06:42,400 --> 01:06:48,600 a to si myslím že to je podstata této věci a pokud tomuto rozumíte proč takovouto věc děláme 295 01:06:48,600 --> 01:07:01,300 tak vnímáte Z-trans. jako nářadí,jako prostředek k řešení diferenčních rovnic o které se pravděpodobně budeme zminovat v příští přednášce. 296 01:07:01,400 --> 01:07:04,100 Takže vám přeji hezký den. 297 01:07:04,500 --> 01:07:06,000 Nashledanou.