1
00:00:00,100 --> 00:00:06,300
Takže dobrý den, dneska se musíte spokojit se mnou místo pana Vlčka.

2
00:00:06,400 --> 00:00:12,200
Tak snad to nebude takový velký problém a budeme dneska spolu cvičit nějaké příklady na Z-transformaci.

3
00:00:12,300 --> 00:00:20,700
Zkusíme si jak se obecně takový příklad řeší, převedeme si nějakou obecnou soustavu do Z prostoru

4
00:00:20,800 --> 00:00:27,200
tam ho vyřešíme a vrátíme se na zpátek do toho prostoru enek.

5
00:00:27,300 --> 00:00:36,100
dál budeme, zkusíme 2 příklady a ukážem si něco na posloupnosti abychom prostě to (tak) :-D

6
00:00:36,200 --> 00:00:41,000
Vy jste minule zkončili tzv. tabulkou nebo slovníkem

7
00:00:41,100 --> 00:00:48,800
tzv tabulka Z transformace.

8
00:00:48,900 --> 00:00:54,600
A začali jste si uvádět, že pro některý převody do a z toho Z prostoru

9
00:00:54,700 --> 00:00:58,500
je výhodnější použít tzv. vzory a jejich obrazy.

10
00:00:58,600 --> 00:01:02,600
Protože je zbytečný to pokaždé počítat, protože je to pořád stejný

11
00:01:02,700 --> 00:01:04,200
tak na to existuje tabulka

12
00:01:04,300 --> 00:01:08,500
těch tabulek existuje mnoho mají spoustu položek,

13
00:01:08,600 --> 00:01:11,800
zkusíme si tady, jak se některý odvozujou,

14
00:01:11,900 --> 00:01:14,600
zkusíme si první 2 až 3 odvodit a zbytek si jenom uvedeme.

15
00:01:14,700 --> 00:01:18,400
Vy jste začali s tím, že jste přemýšleli,

16
00:01:18,500 --> 00:01:26,900
jak vypadá taková delta funkce - jednotkový impuls a jeho obraz.

17
00:01:27,000 --> 00:01:33,400
Takže, když vyjdeme z toho, že Z-transformace nějaký obecný funkce f(n)

18
00:01:33,500 --> 00:01:41,600
je rovna sumě, která jde od nuly do nekonečna.

19
00:01:41,700 --> 00:01:45,600
Jedná se teda o jednostranou transformaci

20
00:01:45,700 --> 00:01:47,500
(není to od mínus nekonečna, je to od nuly)

21
00:01:47,600 --> 00:01:52,800
z té naší funkce f(n) krát z na mínus n-tou.

22
00:01:52,900 --> 00:01:56,000
To z je imaginární číslo,

23
00:01:56,100 --> 00:02:02,300
obecně v podstatě nám to umožňuje tu funkci převézt

24
00:02:02,400 --> 00:02:03,800
do jakéhosi Z-prostoru

25
00:02:03,900 --> 00:02:07,200
Je tu takhle z na minus n-tou

26
00:02:07,300 --> 00:02:10,500
to proto aby v podstatě ta transformace byla schopna

27
00:02:10,600 --> 00:02:13,900
utlumit nějakou slušně vychovanou funkci, která je rostoucí.

28
00:02:14,000 --> 00:02:16,300
To znamená je nějakého polynomálního růstu,

29
00:02:16,400 --> 00:02:20,400
utlumit k nule v tom nekonečnu,

30
00:02:20,500 --> 00:02:25,500
Jo, takže pro slušně fungující funkce jde udělat tahle transformace.

31
00:02:25,600 --> 00:02:26,400
Tak.

32
00:02:26,500 --> 00:02:31,300
Delta impuls to je něco, co jsou samý nuly.

33
00:02:31,400 --> 00:02:36,300
A v nule je to jednička a pak to jsou zase samé nuly.

34
00:02:36,400 --> 00:02:41,000
Takže pokud by jsme to dosadili do tohodle vzorečku,

35
00:02:41,100 --> 00:02:46,700
tak by jsme dostali, že to je suma pro m jdoucí od nuly do nekonečna,

36
00:02:46,800 --> 00:02:51,800
z tý naší delta(n) krát zet na minus m-tou,

37
00:02:51,900 --> 00:02:53,800
což když rozepíšeme,

38
00:02:53,900 --> 00:02:59,400
tak v nule je to jendička krát z na minus nultou

39
00:02:59,500 --> 00:03:07,600
plus 0 krát z na -1 plus 0 krát na -2 druhou atd
... až do (zafunění)

40
00:03:07,700 --> 00:03:12,900
protože tady v tomhle oboru je ta funkce vždycky jenom nulová

41
00:03:13,000 --> 00:03:17,600
tak celý tohleto dozadu bude nula

42
00:03:17,700 --> 00:03:23,300
zet na nultou je jedna, takže v podstatě obraz v rovině z

43
00:03:23,300 --> 00:03:29,000
pro vzor delta(n) se rovná jedničce.

44
00:03:29,100 --> 00:03:31,100
dav: Můžu se zeptat?
Určitě.

45
00:03:31,200 --> 00:03:34,400
dav: Proč je tam to emko? Proč tam není enko?

46
00:03:34,500 --> 00:03:38,200
To je jedno, jo jojojo. No tak takhle, no, nebo enka.

47
00:03:38,300 --> 00:03:47,600
Anebo naopak, omlouvám se, to jsem se přepsal.

48
00:03:50,600 --> 00:03:58,700
Enko by tam spíš bylo, no jestli jste psali emko tak piště emko.

49
00:03:58,900 --> 00:04:03,900
Zkusme teď nějakou obecnou posloupnost,

50
00:04:04,000 --> 00:04:09,700
nějakou posloupnost f(n), kterou si vymyslím takovouhle:

51
00:04:09,900 --> 00:04:23,400
1, a, a na druhou, a na 3, a na 4 a tak dál

52
00:04:23,500 --> 00:04:29,700
Tak, takže pokud budeme mít nějakou takovoudle posloupnost

53
00:04:30,000 --> 00:04:41,700
a dáme ji do tý naší sumy.

54
00:04:41,900 --> 00:04:48,500
Tak, takže to f(n), když je takovádle posloupnost,

55
00:04:48,600 --> 00:04:58,000
by asi šla přepsat na něco takovýho jako a na n-tou, ne?

56
00:04:58,100 --> 00:05:01,800
Jo? Když tady to je nula, a .. tak to je a na n-tou

57
00:05:01,900 --> 00:05:05,900
Takže to je něco takovýho jako

58
00:05:06,000 --> 00:05:14,900
suma pro n od nuly do nekonečna z a na n-tou krát zet na minus n-tou

59
00:05:15,100 --> 00:05:24,700
což můžu jenom z estetického důvodu přepsat takhle

60
00:05:24,800 --> 00:05:28,400
a lomeno zet na entou, to celé na entou.

61
00:05:28,500 --> 00:05:31,500
Tak, co s tím?

62
00:05:31,600 --> 00:05:42,900
Součet řady, shodou okolností geometrické řady, ten umíme, ne?
(mručení z davu)

63
00:05:43,000 --> 00:05:44,300
Docela jo, takže je?

64
00:05:44,400 --> 00:05:50,800
když tohle bude nějaký kvocient q

65
00:05:54,900 --> 00:05:58,800
Co se dozvím?

66
00:05:59,000 --> 00:06:07,300
dav: 1/(1-a/z)

67
00:06:07,400 --> 00:06:09,300
což je ten součet teda,

68
00:06:09,400 --> 00:06:18,300
což je zrovna ta naše Z(n),

69
00:06:18,400 --> 00:06:25,900
tak ja to napíšu takhle za to
to se rovná 1/(1-a/z)

70
00:06:26,100 --> 00:06:36,100
Tak, velmi často se to píše takhle ... tak.

71
00:06:36,200 --> 00:06:43,400
Takže tímhle tím máme další tabulkovou hodnotu pro a na n-tou

72
00:06:43,500 --> 00:06:56,900
pro vzor a na n-tou je obraz v rovině z ...

73
00:06:57,000 --> 00:07:07,700
někdy by jste mohli vidět z/(z-a)

74
00:07:07,800 --> 00:07:12,500
jo to jenom vynásobený tím zetkem.

75
00:07:15,500 --> 00:07:19,200
Tak takže to je odvození a na n-tou. Tak.

76
00:07:19,300 --> 00:07:26,100
Speciální případ je, když to n bude 1 a to znamená na první, n=0,

77
00:07:26,200 --> 00:07:35,500
takže pro n=0 bude a na n-tou posloupnost samých jedniček,

78
00:07:35,600 --> 00:07:39,600
což je mimo jiné i ten náš známý jednotkový skok,

79
00:07:39,700 --> 00:07:42,700
snap (asi nějkaký anglický termín ?????????????????)

80
00:07:42,800 --> 00:07:50,300
Takže pokud to tam dosadím,
dostanu i obraz pro jednotkový skok.

81
00:07:50,400 --> 00:08:01,800
Což budu potřebovat, když budu zjišťovat přechodovou odezvu.

82
00:08:01,900 --> 00:08:11,600
ten jednotkový skok je jenom speciální případ, ten jste si odvozovali.

83
00:08:17,700 --> 00:08:22,700
Tak nějaký dotaz k tomuto? (překvapivě žádný)

84
00:08:22,700 --> 00:08:39,300
Tak ta tabulka má další pokračování

85
00:08:39,400 --> 00:08:42,700
a to zhruba v následující podobě:

86
00:08:42,800 --> 00:08:48,000
Takže my jsme si tady uvedli odvození těch prvních třech členů,

87
00:08:48,100 --> 00:08:53,500
další už odvozovat nebudu, nepovažuju to za prospěšný.

88
00:08:53,600 --> 00:08:56,900
Tuhle tabulku by jste měli mít asi i ke zkoušce,

89
00:08:57,000 --> 00:09:00,800
najdete ji jak ve skriptech tak i na našich stránkách fakulty.

90
00:09:00,900 --> 00:09:06,200
Jsou tam další vzory a další obrazy pro Z-transformaci.

91
00:09:06,300 --> 00:09:10,900
Takže namátkou, pokud máme jenom jednoduchou posloupnost n

92
00:09:11,000 --> 00:09:17,000
tak je to ... (hledej n v tabulce, je to tam)

93
00:09:17,100 --> 00:09:22,800
z davu: Můžeme mít ke zkoušce kromě tý tabulky i vlastnosti tý transofmace, ty pravidla?

94
00:09:22,900 --> 00:09:31,200
Pravidla ke zkoušce zní, že můžete mít cokoliv, co máte sami psaný. Jako poznámky.

95
00:09:31,300 --> 00:09:33,200
dav: I na tu písmeku teďka?

96
00:09:33,300 --> 00:09:41,200
Na písemku na cvičení aha. Tu tabulku můžete mít určitě a  zbytek se koukněte na web.

97
00:09:41,300 --> 00:09:52,100
Tak tohle je zhruba to, co pořebujete, aby jste mohli uspěšně počítat se Z-transofmací

98
00:09:52,200 --> 00:09:57,100
a další věc, kterou si napíšu sem, protože ji budeme v průběhu dneska potřebovat

99
00:09:57,200 --> 00:09:59,800
je věta o posunutí.

100
00:09:59,900 --> 00:10:04,500
Větu o posunutí jste si tady taky ukazovali,

101
00:10:04,600 --> 00:10:16,700
takže pokud mě zajímá, že chci spočítat Z-transformaci z nějaké funkce f(n+m),

102
00:10:16,800 --> 00:10:25,900
Tak a tohle mi řeknete z minulý přednášky, že jo.

103
00:10:26,000 --> 00:10:33,100
A nebo začnem f(n-m), jo? Tak.

104
00:10:33,200 --> 00:10:38,800
Překážím, zkusím to odsuď.

105
00:10:38,900 --> 00:10:46,700
Tak věta o posunutí v Z-transformaci, jako to bude?

106
00:10:56,000 --> 00:11:05,300
Minule jste si to říkali, takže víte, nemusíte tady mlčet.

107
00:11:05,400 --> 00:11:26,500
To je skromnosti. No vidíte
...

108
00:11:26,600 --> 00:11:48,100
(páčí to z publika a opravuje zet na minus em)

109
00:11:48,200 --> 00:11:52,300
něco jako počáteční podmínky?

110
00:11:52,400 --> 00:12:01,300
Plus takováhle nějaká suma,která půjde od jedničky do toho em,

111
00:12:01,400 --> 00:12:15,200
suma z funkce f(-v)krát zet vé.

112
00:12:15,200 --> 00:12:24,100
Takže tohleto je věta o posunutí vlevo, se záporným znamínkem.

113
00:12:24,100 --> 00:12:30,100
Je to zet na minus emtou
o kolik kroků (ukazuje na -m) se posunu,
o tolik mám na začátku to zpoždění (ukazuje na Z na -m),

114
00:12:30,200 --> 00:12:32,800
to zetko je jakýsi zpoždění.

115
00:12:32,900 --> 00:12:36,200
pak je tam La Placeův obraz té původní funkce

116
00:12:36,300 --> 00:12:44,600
a pak od 1 do m, tolik kolikrát se posouvám, tolik tam mám počátečních podmínek,

117
00:12:44,700 --> 00:12:49,700
a každou z nich vynásobenou jinou mocninou toho zet.

118
00:12:49,700 --> 00:12:53,800
Samozřejmě, to posunutí musí odpovídat těm podmínkám,

119
00:12:53,900 --> 00:13:00,700
protože pokud mám něco, nějakou řadu a já ji posouvám tímhle směrem,

120
00:13:00,800 --> 00:13:08,500
a tohle posunu až dozádu, tak prostě potřebuju vědět ty hodnoty, který tam byly.
Bez toho bych to nemohl spočítat.

121
00:13:08,600 --> 00:13:13,200
Takže pokud se šoupu, tak musím znát ty počáteční podmínky.
Tak.

122
00:13:13,300 --> 00:13:24,900
Jak to bude s posuntím vpravo, když tam bud mít (n+m)? Nějaký nápad?

123
00:13:25,000 --> 00:13:49,800
Analogicky.
Takže tady bude Z na +m, správně, posouvá se na druhou stranu,
f(z) mi zůstane,tady bude mínus, počáteční podmínky budu odčítat,

124
00:13:49,900 --> 00:14:11,500
ta suma bude s kladným v a to zpoždění se záporným,
a ta suma nepujde od 1 ale od 0 do m-1.

125
00:14:11,600 --> 00:14:26,900
Takže to jsou dvě věty o posunutí a
v podstatě jsou to dva stěžejní vzorce, který potřebujete pro výpočet,

126
00:14:27,000 --> 00:14:33,200
který se týká La Placeovy transformace a Z-transformace a rovnic.

127
00:14:49,100 --> 00:14:54,500
Nějaký dotaz k tomu, co jsem říkal doposud?

128
00:16:09,700 --> 00:16:21,800
Zkusme si teď načtnout řešení difereční rovnice nějakého druhého řádu obecný rovnice
... (píše zmateně příšerné zadání)

129
00:16:21,900 --> 00:16:23,200
Tak začněme tím prvním členem.

130
00:16:23,300 --> 00:16:32,300
Ta rovnice je lineární, La Placeova transformace je též lineární, takže můžeme této linearity využít.

131
00:16:32,400 --> 00:16:44,800
Jednak tu konstantu a dáme dopředu a jednak obrazy, ty jednotlivý, po provedení Z-transformace
budeme také sčítak tak jako v tý původí rovnici.

132
00:16:44,900 --> 00:16:53,700
Takže si řeknu, že by mě zajímalo, jaký je obraz Z(y(n-2))

133
00:16:53,800 --> 00:16:59,300
A ještě pro úplnost sem přidám počáteční podmínky, řeknu že jsou nulový.

134
00:16:59,400 --> 00:17:07,200
Takže mi to zkuste nadiktovat.

135
00:17:07,300 --> 00:17:10,200
(čeká a pak postupně píše)

136
00:17:10,300 --> 00:17:22,400
dav: počáteční podmínka

137
00:18:02,400 --> 00:18:06,400
Tak co?

138
00:18:08,500 --> 00:18:11,500
Ja ji tam napíšu zatím obecně.

139
00:18:12,100 --> 00:18:16,100
Zkusme ji tam napsat pro pořádek, ať na ni nezapomenem, protože se na to rádo zapomíná.

140
00:18:16,200 --> 00:18:19,200
Takže já bych ten vzorec dopsal a tu sumu rozepsal.

141
00:18:54,700 --> 00:18:57,600
Co takhle?

142
00:18:57,700 --> 00:19:01,800
je to dobře? Jo, je to dobře.

143
00:19:01,900 --> 00:19:07,900
Já jsem to tím zetkem zrovna roznásobil, ty členy posloupnosti,
ale zhruba takhle nějak by to mělo vypadat.

144
00:19:08,000 --> 00:19:46,200
Z(y(n-1)) bude podstatně jednodušší, takže to bude?

145
00:19:46,300 --> 00:19:55,500
Všechno?

146
00:19:55,600 --> 00:20:04,700
Jo? Tamto se roznasobením zruší.
Z-transformace Y(z) je jasná, takže přepíšu.

147
00:20:04,800 --> 00:20:08,800
Úplně stejně to bude pro ty účka, takže tu rovnici můžu přepsat,

148
00:20:08,900 --> 00:20:10,300
takže můžu napsat, že

149
00:22:04,300 --> 00:22:15,400
Takže jsem jenom dosadil, aplikoval jsem linearitu a aplikoval jsem větu o posunutí.

150
00:22:16,400 --> 00:22:22,700
Vím, že ty počáteční podmínky jsou nulový, takže tam kde jsou, tak se nám to vynuluje.

151
00:22:22,800 --> 00:22:28,700
Což je tady, tady, tady, tady a tady.

152
00:22:28,800 --> 00:22:36,500
Takže, když to přepíšeme, tak na levé straně vyjádříme Y(z),

153
00:22:36,600 --> 00:22:40,500
což se rovná ...

154
00:22:53,500 --> 00:22:57,200
a to se rovná

155
00:22:58,100 --> 00:23:01,200
tady vytknu U(z)

156
00:23:01,500 --> 00:23:03,400
a dostanu ...

157
00:23:15,500 --> 00:23:21,700
z toho můžu napsat, že moje hledaný Y(z)se rovná.....

158
00:23:52,700 --> 00:23:58,700
Jsem ve stavu, kdy jsem si vyjádřil v Z-prostoru,

159
00:23:58,800 --> 00:24:08,000
jak vypadá ta moje funkce Y(z), a já ji chci zpětně převést nazpátek,

160
00:24:08,100 --> 00:24:17,100
pomocí tzv. inverzní Z-transformace (zet na mínus první).

161
00:24:17,200 --> 00:24:25,900
To můžu udělat integrací pomocí křivky, která prochází nějakými póly a takový,
v našem případě my budeme ty převody řešit

162
00:24:26,000 --> 00:24:32,200
pomocí tabulky a pomocí rozkladu na parciální zlomky téhleté funkce,

163
00:24:32,300 --> 00:24:36,900
vypočítáním koeficientů a nalezením příslušných obrazů,

164
00:24:37,000 --> 00:24:43,500
k nim pak dané vzory nazpátek v tý naší běžný rovině.

165
00:24:43,600 --> 00:24:57,300
Takže, tady uděláme rozklad. Řekneme, že chceme aby dole byl součin a
ten součin bude vypadat ...

166
00:24:57,400 --> 00:25:00,800
... ( používá pomocné z1 a z2)

167
00:25:18,800 --> 00:25:23,000
Ten čitatel tam zůstane a píše ho.

168
00:25:32,900 --> 00:25:38,100
Spočítáme z1 a z2 (a píše z1,2=), ty budou jak?

169
00:25:48,100 --> 00:26:22,200
(čeká a pak doplňuje kořeny kvadratické rovnice podle diktátu studentky)

170
00:26:29,200 --> 00:26:37,700
Tak, jednoduchá věc, já jsem zkoušel jestli ještě nespíte.

171
00:26:37,900 --> 00:26:51,700
Takže spočítám klasicky, buď to odhadnu nebo pokud to nejde odhadnout,
spočítám kořeny, tak zvané póly.

172
00:26:51,800 --> 00:27:01,500
Vy se v dalších přednáškách dozvíte jaký vliv a jaký význam to má co se týče
stability toho systému a jak to souvisí s přenosovou funkcí.

173
00:27:01,600 --> 00:27:05,300
Takže spočítám tyhle kořeny, dosadím je sem zpětně

174
00:27:05,400 --> 00:27:23,400
a snažím se tenhleten velkej zlomek roztrhnout na dva,
kde nahoře je nějakej koeficient k1 + k2
a ve jmenovateli je ...

175
00:27:33,400 --> 00:27:40,000
Mám řešit tuhle rovnici a mám zjistit kolik jsou ty k1 a k2.

176
00:27:44,000 --> 00:27:51,200
Takže buď přes limity nebo
můžu roznásobit součinem těhle těch dvou závorek celou tuhletu rovnici,

177
00:27:51,300 --> 00:27:58,100
to znamená, že (cituje vzorec, snad bude vidět později )

178
00:28:04,100 --> 00:28:20,300
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin toho zetka
dostanu soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v tomto konkrétním případě,

179
00:28:20,400 --> 00:28:26,800
a z ní lehce spočítám to k1 a k2.

180
00:28:26,900 --> 00:28:42,500
Dosadím nazpátek to k1 a k2, no a když na to podíváte, tak tohle to je v podstatě
přesně obraz pro a na n-tou.

181
00:28:43,500 --> 00:28:57,200
To znamena ta zpětná Z-transformace z tohodle mého Y(z) bude rovna

182
00:28:59,400 --> 00:29:38,400
k1 krát (áčko je tady tohle z1) z1 na n-tou + k2 krát z2 na n-tou.

183
00:29:38,700 --> 00:29:48,900
Jak spočítáte to z1 a z2 to jste mi tady řekli
a jak spočítáte to k1 a k2 je jasny, jo?

184
00:29:53,900 --> 00:29:59,600
A tohle by byl výsledek jakési obecné rovnice, v tomhle případě druhého řádu.

185
00:30:05,300 --> 00:30:07,900
Takže nezapomenout na ty jednotlivé kroky, to znamená

186
00:30:08,000 --> 00:30:15,900
převod do Z-prostoru, převedení na společného jmenovatele, rozklad na parciální zlomky,

187
00:30:16,000 --> 00:30:21,900
dopočítání těch koeficientů a převod nazpátek.

188
00:30:22,100 --> 00:30:25,200
Nějaký dotaz k tomuhle?

189
00:30:40,400 --> 00:30:45,600
Zkusme nějaký konkrétnější příklad i s nějakým trošku úvodem.

190
00:30:45,700 --> 00:30:48,700
Takže dejme tomu, že

191
00:30:52,100 --> 00:30:59,500
Pan Fibonacci si vymyslel takzvaný zjednodušený model růstu populace králíků.

192
00:30:59,600 --> 00:31:07,700
Já tady použiju takové znamení, kdy plným kolečkem budu značit dospělý pár králíků,

193
00:31:08,100 --> 00:31:16,900
prázdným kolečkem pak nedospělý pár.

194
00:31:21,900 --> 00:31:30,700
nedospělý pár dospěje za rok, ale není schopen zplodit dalšího jedince, kdežto dospělý ano.

195
00:31:30,800 --> 00:31:44,100
Na začátku mám v prvním roce jednen takovýdle pár, v druhém roce mi ten pár dospěje,

196
00:31:44,200 --> 00:31:59,700
ve třetím roce mi tenhle pár zůstane a zplodí jednoho nového jedince.

197
00:31:59,800 --> 00:32:13,800
ve 4 roce zplodí dalšího a tenhleten dospěje

198
00:32:13,900 --> 00:32:29,200
v 5 roce tenhleten dospěje, tenhle pár zplodí novýho jedince,

199
00:32:29,300 --> 00:32:36,200
tenhleten taky zplodí novýho jedince nebo nový pár

200
00:32:36,300 --> 00:32:45,400
tak tenhle už je v 6 roce nový pár, dospěje,

201
00:32:57,400 --> 00:33:00,800
a takhle můžeme pokračovat.

202
00:33:00,900 --> 00:33:16,400
Když se koukneme, kolik máme ty populace, tak tady máme 1, 1, 2, 3, 5, 8 co bude další číslo?

203
00:33:16,500 --> 00:33:31,100
13, 21, 34, 55

204
00:33:35,200 --> 00:33:42,200
Tak, my jsme dospěli k nějaký posloupnosti, dospěli jsme k hodně známé tzv. Fibonacciho posloupnosti

205
00:33:43,200 --> 00:33:55,600
To je taková posloupnost, u které prvek posloupnosti se rovná součtu přechozích dvou.

206
00:34:25,600 --> 00:34:38,900
Teď vám ukážu pana Leonarda z Pisy neboli pana Fibonacciho, ktery tuhle posloupnost vymyslel

207
00:34:39,000 --> 00:34:43,300
a předvedl tenhle zjednodušený model růstu populace králíků.

208
00:34:43,400 --> 00:34:46,300
Zjednodšený proto, že ty králíci nám nehynou a neumírájí.

209
00:34:46,300 --> 00:35:03,200
Zajímavý je, že touhle posloupností se v přírodě řídí daleko víc věcí,
a tahle posloupnost vede na tzv. fí číslo, protože

210
00:35:03,300 --> 00:35:07,500
když vezmete libovolný dvě čísla tý posloupnosti, jak jdou za sebou,

211
00:35:07,600 --> 00:35:21,300
a podělíte je mezi sebou dostanete číslo fí.

212
00:35:21,400 --> 00:35:23,800
Samozřejmě, že pro tyhle malý čísla to není úplně přesný,

213
00:35:23,900 --> 00:35:28,900
čím jdete dál a jste ve větších, tím víc a víc se blížíte tomu číslu fí,

214
00:35:29,000 --> 00:35:34,400
což je nějaký 1.61 atd,

215
00:35:34,500 --> 00:35:42,300
mimo jíné je to taky číslo, který souvisí se Zlatým Řezem.

216
00:35:42,400 --> 00:35:49,300
To jest, pokud si vezmeme nějakou libovolnou úsečku ab já chci ji rozdělit,

217
00:35:49,400 --> 00:36:01,900
aby (a+b)/a mělo stejný poměr jako a/b, takže hledám, kde to říznout,

218
00:36:02,000 --> 00:36:13,900
aby mi tohle platilo, tedy hledám, kde součet těch dvou částí byl
ve stejným poměru jako první část ke druhé.

219
00:36:14,700 --> 00:36:21,300
Tak to když si napíšu a rozepíšu, dostanu se k rovnici ...

220
00:36:21,500 --> 00:36:32,900
což je klasická kvadratická rovnice, kterou by jste měli umět lehce vyřešit,

221
00:36:33,000 --> 00:36:36,300
i když vám to předtím chvíli trvalo, než jste mi ty kořeny řekli.

222
00:36:36,400 --> 00:36:55,000
Takže z toho spočítám kořeny a vyjde mi p12= ...
a ten kladný kořen (ten s tím s plusem) tako je to to velký Fí neboli Zlatý Řez

223
00:36:55,100 --> 00:36:58,900
čili to číslo 1.61 a tak dál.
(1.61803398874989 ...)

224
00:36:59,000 --> 00:37:07,600
Ten záporný se někdy označuje malý fí a má taky význam, ale ne takový jako to velké.

225
00:37:07,700 --> 00:37:15,900
Zajímavý je, že ve světě, v našem světě, je těhletěch Zlatých Řezů

226
00:37:16,000 --> 00:37:20,800
nebo v podstatě tohoto poměru relativně hodně.

227
00:37:20,900 --> 00:37:25,200
Projevuje se od pyramid nebo od dávnověku,

228
00:37:25,300 --> 00:37:32,300
třeba Pantheon v Athénách, když na to kouknete,

229
00:37:32,400 --> 00:37:37,600
tak tadyhle ta spodní hran vůči celé výšce je taky v tom poměru,

230
00:37:37,700 --> 00:37:40,600
Tadyhle jsou nějaký další.

231
00:37:40,700 --> 00:37:50,100
Hodně ze světa živočichů a rostlin. Zase to trošku souvisí s tím růstem,

232
00:37:50,200 --> 00:37:55,200
tak jako vidíte jak to roste, že na ty dvoujnásobky a součty těch předchozích dvou,

233
00:37:55,300 --> 00:38:01,800
že najdete, že ty úhly odpovídají číslu Fí,

234
00:38:01,900 --> 00:38:07,600
lístečky v šišce, když prostě když budete počítat ty poměry,

235
00:38:07,700 --> 00:38:10,000
tak dostanete zase Fibonacciho posloupnost,

236
00:38:10,100 --> 00:38:18,800
týká se to i různých hlemejžďů a slimáků

237
00:38:18,900 --> 00:38:24,400
no a já mám teď okno, protože jsem zapoměl, jak se tahle ta jmenuje,

238
00:38:24,600 --> 00:38:30,500
ale vyznačuje se tím, že ona prostě roste od středu, je malinká,
má kolem sebe tu ulitu, tu tvrdou.

239
00:38:30,600 --> 00:38:33,400
A když jí nestačí, když vyroste, tak že jí je malá,

240
00:38:33,500 --> 00:38:36,500
tak si popoleze do další vnější a vyrobí si kolem sebe novou.

241
00:38:36,600 --> 00:38:40,000
A takhle to vyrábí pořád další a další.

242
00:38:40,100 --> 00:38:57,800
Když se to pak spočítá jak roste, tak to zase vychází v tom poměru 1.61,
jak ona světšuje ty ulity.

243
00:38:57,900 --> 00:39:02,900
A taky na lidským těle najdete spoustu těhle poměrů,

244
00:39:03,000 --> 00:39:07,900
jako že celková délka postavy ku břichu dolů,

245
00:39:08,000 --> 00:39:11,900
koleno a lýtko a další a další takovýhle poměry.

246
00:39:12,000 --> 00:39:16,800
Doporučuju knížku Davida Browna DaVinciho kód.

247
00:39:16,900 --> 00:39:21,600
Asi to vypadá, že předběhne ten film, který má být dneska uvedenej.

248
00:39:21,700 --> 00:39:28,300
Co? Kniha je lepší. Tak.

249
00:39:28,400 --> 00:39:36,800
Tak to je jenom, co je to číslo Fí a co to je Fibonacciho posloupnost
a jak to tedy spolu souvisí.

250
00:39:36,900 --> 00:39:50,200
My si zkusíme tuhle rovnici poměrně spočítat pomocí Z-transformace.

251
00:40:09,200 --> 00:40:19,200
Takže jsme si řekli, že y(n+2)= y(n+1) + y(n) .

252
00:40:38,900 --> 00:40:48,900
A řeknem si, že y v nule bude 1 a y v 1 bude taky 1.
y(0)=1    y(1)=1

253
00:40:49,000 --> 00:40:59,000
Jo, tohle je matematický přepis Fibonacciho posloupnosti.

254
00:41:01,600 --> 00:41:14,100
Zkusme si to převés do Z-prostoru pomocí věty o posunutí.
Diktujte,
...

255
00:41:14,300 --> 00:41:16,400
(dav se dohaduje)

256
00:41:27,400 --> 00:41:35,600
.......,

257
00:42:41,700 --> 00:42:44,900
Myslím, že to máme dobře, jenom je to roznásobený,

258
00:42:45,000 --> 00:42:53,900
když sem dáme takhle tu závorku, tak
tady budu mít zet na -1 a tady z na -2 . Jo? Jasný?

259
00:43:01,900 --> 00:43:07,800
Dobře, tak to přepíšeme poctivě ...

260
00:43:08,000 --> 00:43:31,900
Takže to je f v nule, zet na minus nultou je jedna a to psát nebudu,
minus f v -1 krát zet na -1.

261
00:43:40,700 --> 00:43:52,700
To se rovná? Co mám napsat?
...

262
00:44:13,700 --> 00:44:22,900
tak co dál? plus y(z). Tak.

263
00:44:23,000 --> 00:44:28,600
To si roznásobím a převedu si y(z) na levou stranu rovnice.

264
00:44:28,700 --> 00:45:19,600
Takže tady bude ...   se rovná ...

265
00:45:19,700 --> 00:45:32,600
(dohadování s davem a oprava znaménka před z na pravé straně)

266
00:45:41,600 --> 00:45:42,900
Vytkneme y(z) ...

267
00:45:52,900 --> 00:46:11,100
(dav:  oprava znaménka všude z -1 na +1)

268
00:46:16,300 --> 00:46:23,500
dosadíme, ať to tady netaháme, všude jsou to jedničky,

269
00:46:23,700 --> 00:46:38,500
...

270
00:46:38,800 --> 00:46:43,200
Jo?
Takže moje y(z) se bude rovnat ...

271
00:46:47,200 --> 00:46:57,700
obě strany rovnice vydělím z na druhou a dostanu
...

272
00:47:10,700 --> 00:47:12,900
Co s tím?

273
00:47:13,000 --> 00:47:14,900
Rozklad na parciální zlomky.

274
00:47:20,900 --> 00:47:30,000
1 minus nějaký pomocný z1 a pak s pomocným z2

275
00:47:30,000 --> 00:47:36,000
...

276
00:48:25,000 --> 00:48:33,200
Tak máme z1, z2. Já to tam zatím symbolicky nechám,
ono se mi s tím bude líp počítat.

277
00:48:33,300 --> 00:48:39,200
Rozložím na parciální zlomky.
Tj. ...

278
00:49:10,300 --> 00:49:14,500
Tak, co tím?

279
00:49:14,700 --> 00:49:32,500
Vynásobím obě strany rovnice tím součinem (obou jmenovatelů).
takže dostanu ...

280
00:49:52,700 --> 00:49:56,400
Porovnám koeficienty u toho zet.

281
00:49:56,500 --> 00:49:59,700
U zet na nultou dotanu 1= ...

282
00:50:05,700 --> 00:50:09,700
Pro zet na -1 dostanu 0= ...

283
00:50:30,700 --> 00:50:32,900
Můžeme vynásobit -1

284
00:50:33,000 --> 00:50:39,900
Tady si vyjádřím k2 a dosadím do druhý rovnice

285
00:50:40,000 --> 00:50:43,900
...

286
00:50:54,900 --> 00:51:02,100
(dotaz z davu a odpověď, že koeficienty lze počítat pomocí limit)

287
00:51:05,100 --> 00:51:08,300
Mám to přepsat na limity?

288
00:51:12,300 --> 00:51:14,500
Oboje je možný.

289
00:51:14,600 --> 00:51:16,500
Já to dopočítám a pak to zkusím i tím druhým.

290
00:51:16,600 --> 00:51:19,900
Mně tohle přijde jednodušší, že to je jednoduchá metematika.

291
00:51:20,000 --> 00:51:23,900
...

292
00:51:49,900 --> 00:51:59,500
z toho k1= ...

293
00:52:39,100 --> 00:52:41,600
a z toho k2= ...

294
00:53:12,600 --> 00:53:16,500
Dotaz: jak jste na začátku přišel na 1=k1+k2 ?

295
00:53:16,600 --> 00:53:19,400
Porovnávám koeficienty u zetek.

296
00:53:19,500 --> 00:53:26,400
Takže u zet na nultou je jednička, tady je k1+k2 a tyhlety zahodim.

297
00:53:26,500 --> 00:53:29,300
Tady porovnávám koeficienty z na -1, takže tady je nula.

298
00:53:29,400 --> 00:53:40,100
Takže máme k1 a k2 a máme všechno, co potřebujeme.

299
00:53:40,200 --> 00:53:46,100
Tak že.

300
00:54:03,200 --> 00:54:16,400
Můžeme dosadit, já si tady vytknu 1/(z1-z2), y(z)= ...

301
00:54:58,500 --> 00:55:07,700
Tak můžu udělat nějaký y(n), to bude moje zpětná Z-transformace z tohodle y(z)

302
00:55:13,700 --> 00:55:18,700
tohle je konstanta, zase je to lineární a bude to 1/ ....

303
00:55:43,700 --> 00:55:48,100
Omlouvám se, já to tady ještě nechám, aby to bylo jasnější.

304
00:55:48,700 --> 00:55:56,200
Tady máme vzoreček z1 násobím a tady mám z1-z, což je

305
00:55:56,300 --> 00:56:05,600
jako by to áčko bylo z1, to znamená, že dostanu z1 na n-tou ...

306
00:56:16,600 --> 00:56:22,800
Takže, když to přepíšu, tak dostanu, že tu mám ...

307
00:56:44,700 --> 00:56:48,200
Tak to se rovná?

308
00:56:48,300 --> 00:56:55,200
... (dosazuje za z1 a z2)

309
00:57:43,500 --> 00:57:45,700
a tohle je výsledek.

310
00:57:45,800 --> 00:57:53,800
Takže n-tý prvek Fibonacciho posloupnosti spočítáte tak, že dosadíte
do tohodle vzorce.

311
00:58:07,800 --> 00:58:10,900
Věříte tomu, že to bude celý čísto?

312
00:58:17,800 --> 00:58:26,500
Musí být, jestli to máme dobře. Důkaz je poměrně složitej, pokud sami jste nevěřící,

313
00:58:26,600 --> 00:58:32,400
udělejte si v Excelu sloupeček, přidejte tuhle funkci a vyzkoušejte.

314
00:58:38,500 --> 00:58:42,100
Důkaz na to, že to je celý číslo je, ale je poměrně složitej.

315
00:58:48,900 --> 00:58:55,100
Důležitý pro nás je, že takovýmhle nějakým způsobem se řeší obecně Z-transformace,

316
00:58:55,200 --> 00:59:03,800
to znamená převod do Z-prostoru, vyřešení kvadratické rovnice v našem případě,

317
00:59:03,900 --> 00:59:08,100
rozklad na parciální zlomky, dopočítání těch koeficientů a

318
00:59:08,200 --> 00:59:14,700
pak pomocí tabulky Z-transformace převod zpátky s využitím linearity.

319
00:59:14,800 --> 00:59:19,300
To znamená, násobím koeficientem a bez problémů sčítám.

320
00:59:21,400 --> 00:59:23,300
Dotaz k tomuhle?

321
00:59:26,700 --> 00:59:29,400
Jo ty limity ještě.

322
00:59:29,500 --> 00:59:30,800
Ještě půl hodiny.

323
00:59:44,200 --> 00:59:52,600
Pokud máme nějakej ten obecnej polynom jako tady y(z)

324
01:00:00,800 --> 01:00:13,000
Prostě zkusme najít limitu pro z jdoucí k z1

325
01:00:17,300 --> 01:00:20,500
pro  ...

326
01:00:25,700 --> 01:00:27,900
krát ten náš polynom ...

327
01:00:43,400 --> 01:00:46,700
což se rovná: tohle se mi zkrátí a dostanu

328
01:00:46,800 --> 01:00:54,700
a dostanu limitu pro z jdoucí k z1 pro 1/(1-z2...)

329
01:00:54,800 --> 01:01:00,700
A stejně tak dostanu limitu pro z jdoucí k z2 ...

330
01:01:13,100 --> 01:01:16,900
A to je k1 a k2

331
01:01:17,000 --> 01:01:20,100
Takže pokud jsou někomu milejší limity, dá se to dělat takto.

332
01:01:24,100 --> 01:01:25,900
Spokojenej?

333
01:02:19,100 --> 01:02:21,500
Tak ten vzorec jak tam byl, kdyby jsme to počítali na počítači,

334
01:02:21,600 --> 01:02:28,000
tak je poměrně složitý, nebo spíš tam nastane nepřesnost pro ty větší n.

335
01:02:28,100 --> 01:02:34,900
Pokud se to počítá skutečně, tak je potřeba počítat, že se sčítaj poslední dva prvky,

336
01:02:35,000 --> 01:02:37,900
není to zase až tak náročný na paměť,

337
01:02:38,000 --> 01:02:44,800
protože vám stačí si pamatovat ty poslední dva prvky v té posloupnosti.

338
01:02:44,900 --> 01:02:52,200
Nebo existuje maticový zápis, pokud by byla potřeba Fibonacciho posloupnost počítat.

339
01:02:54,200 --> 01:02:56,900
Nějakej dotaz k tomuto.

340
01:03:00,900 --> 01:03:01,700
Není tomu tak.

341
01:03:03,700 --> 01:03:11,600
Zkusíme ještě další příklad. Zkusme Chebyshevovy (Čebyševovy) polynomy.

342
01:03:11,700 --> 01:03:18,800
Ty jsou dány rekurentní rovnicí, který mají takový to tvar

343
01:03:18,900 --> 01:03:33,800
...

344
01:03:34,000 --> 01:03:39,900
A ty Chebyshevovy polynomy jsou dvojího druhu.

345
01:03:40,000 --> 01:03:47,300
Pokud jsou prvního, tak mají počáteční podmínku

346
01:03:47,400 --> 01:03:59,300
f v nule (x)=1 a f v jedný (x)=x

347
01:04:00,000 --> 01:04:04,300
Pak jsou ještě Chebyshevovy polynomy druhýho druhu,

348
01:04:04,500 --> 01:04:06,800
Ty mají počáteční podmínku

349
01:04:06,900 --> 01:04:13,800
f v nule (x)=1 a f v jedný (x)=2x

350
01:04:28,500 --> 01:04:38,100
Pokud se to rozepíše, pro vaši informaci, jak takový polynomy vypadají.

351
01:04:48,100 --> 01:04:52,000
Prvního druhu ...

352
01:05:07,100 --> 01:05:12,100
a my si tady odvodíme vzorec, jak počítat pro T(n).

353
01:05:16,100 --> 01:05:23,300
Tak ty polynomy, pokud jsou, tak se nám dostanou do takovýchto křivek,

354
01:05:24,000 --> 01:05:34,300
ale to jenom pro zajímavost, aby jsme věděli, co počítáme.

355
01:05:46,300 --> 01:05:53,400
Takže dělám Z-obraz týhletý funkce, diktujte mi.

356
01:06:08,400 --> 01:06:18,200
pro n+2 dva to bude z na druhou ...

357
01:07:12,200 --> 01:07:17,200
tak mínus 2x zet ....

358
01:07:38,200 --> 01:07:39,600
Jo? Souhlas?

359
01:07:44,500 --> 01:07:50,700
Roznásobím, vytknu nebo zrovna doplním počáteční podmínky a roznásobím.

360
01:07:55,700 --> 01:07:58,600
Takže tady bude ...

361
01:08:43,600 --> 01:08:48,300
Vytknu f(z)...

362
01:09:44,300 --> 01:09:46,500
A to je všechno.

363
01:09:46,600 --> 01:09:50,800
Takže řeknu, že f(z)= ...

364
01:10:00,100 --> 01:10:04,000
Můžu to celý vydělit z na druhou a dostanu ...

365
01:10:30,000 --> 01:10:36,200
Což potřebuju rozložit na dva parciální zlomky

366
01:10:36,600 --> 01:10:54,200
k1/... + k2/...

367
01:11:02,200 --> 01:11:06,400
Zpočítám z1 a z2,

368
01:11:14,300 --> 01:11:21,300
z1,2= ... což je ...

369
01:12:11,600 --> 01:12:15,300
Může být? Nějaký dotaz?

370
01:13:20,300 --> 01:13:23,500
Tak k1 a k2. Mám to počítat přes limitu nebo jak?

371
01:13:23,600 --> 01:13:25,600
(dav: Jó, nó.)

372
01:13:25,700 --> 01:13:40,600
Takže limita pro z jdoucí k z1

373
01:13:40,700 --> 01:14:02,600
vynásobím (1-....) krát .../...

374
01:14:13,600 --> 01:14:27,800
což je .../...

375
01:14:34,800 --> 01:14:36,000
To není moc hezký.

376
01:14:43,000 --> 01:15:01,200
k1=1/2 a k2=1/2

377
01:15:01,300 --> 01:15:16,200
(opravují)

378
01:15:46,500 --> 01:15:48,100
A když to dopočítáte, tak dostanete

379
01:15:48,200 --> 01:15:50,600
k1=1/2 a k2=1/2

380
01:15:50,700 --> 01:16:04,600
což, když sem dosadím a použiju zpětnou Z-transformaci

381
01:16:04,700 --> 01:16:16,900
tak dostanu, k tomu, že T(x)= ta moje zpětná Z-transformace

382
01:16:17,000 --> 01:16:23,200
z týhle mý funkce f(z), což se rovná ...

383
01:17:50,200 --> 01:17:59,400
Touhle tou formulkou spočítáte pro libovolné n

384
01:17:59,500 --> 01:18:09,500
ten n-tý Chebyshevův polynom prvního druhu, protože jsme za
počáteční podmínku za f1(x) dosadili x.

385
01:18:49,400 --> 01:18:51,900
Tak nějaký dotaz k tomuto příkladu?

386
01:18:56,000 --> 01:19:03,600
Takže zase platí, obecně, to co jsme si ukázali na těch přechozích dvou příkladech.

387
01:19:03,700 --> 01:19:16,200
Převedeme pomocí vlastnosti (linearita) do Z-prostoru, pomocí tabulek,

388
01:19:16,300 --> 01:19:20,100
popřípadě pomocí té sumy, kterou jsme si ukázali tady na začátku,

389
01:19:20,200 --> 01:19:24,700
velmi často v těch příkladech budete potřebovat větu o posunutí, takže

390
01:19:24,800 --> 01:19:27,100
tyhlety dva vzorečku budete taky používat velmi často.

391
01:19:29,100 --> 01:19:40,100
Tam spočítáte klasicky nějakou polynomální rovnici, doufejme nejčastěji druhého řádu,

392
01:19:40,200 --> 01:19:49,900
tzn. kvadratickou rovnici, spočtete kořeny, koeficienty a vrátíte nazpátek pomocí tabulek.

393
01:19:52,900 --> 01:20:02,700
Tak, co se týče stability, co s týče přenosu, se dozvíte na další přednášce.

394
01:20:02,800 --> 01:20:09,200
Vy asi tušíte, že ten Z-obrazec bude asi souviset s přenosovou funkcí, protože

395
01:20:09,300 --> 01:20:21,900
prostě pak, když dostaneme, že H(z)= obraz výstupu ku vstupu

396
01:20:22,000 --> 01:20:31,700
takže, když tam tohle to budete mít, tušíte, že se tomu bude říkat přenosová funkce,

397
01:20:31,800 --> 01:20:34,500
Bude to v tomhle případě přenosová funkce v diskrétním světě,

398
01:20:34,600 --> 01:20:41,600
na základě těch pólů si pak povíte, jakej mají rozměr.

399
01:20:41,700 --> 01:20:48,900
Obecně to jsou komplexní čísla, takže na základě polohy toho pólu v komplexní rovině

400
01:20:49,000 --> 01:20:52,600
si povíte něco o stabilitě takového systému.

401
01:20:52,700 --> 01:20:58,900
Tak to by asi bylo ode mne pro dnešek všechno, pokud nemáte nějakej dotaz.

402
01:20:59,000 --> 01:21:03,300
Takže děkuju a hezký zbytek dne.