1
00:00:01,200 --> 00:00:01,600
Dobrý den,

2
00:00:01,700 --> 00:00:03,600
Já bych Vás chtěl přivítat na dnešní přednášce,

3
00:00:03,600 --> 00:00:06,100
která je poslední v tomto semestru,

4
00:00:06,100 --> 00:00:10,400
protože příští týden touto dobou proběhne před termín z tohoto předmětu.

5
00:00:10,400 --> 00:00:13,700
To, co vám budu povídat na dnešní přednášce v podstatě už znáte

6
00:00:13,700 --> 00:00:17,100
jedná se o určité shrnutí věcí,

7
00:00:17,200 --> 00:00:19,500
které jste slyšeli na posledních 3 přednáškách

8
00:00:19,600 --> 00:00:23,000
a upozornění na některé zajímavé aspekty,

9
00:00:23,100 --> 00:00:26,900
které jste ještě buďto neslyšeli nebo jste si je neuvědomili.

10
00:00:28,300 --> 00:00:31,200
Přednáška bude rozdělena do dvou částí.

11
00:00:31,300 --> 00:00:38,200
První část bude věnována stavovému popisu

12
00:00:41,700 --> 00:00:44,500
diskrétních systémů.

13
00:00:46,200 --> 00:00:47,700
Podíváme se na to,

14
00:00:47,800 --> 00:00:50,200
jak z diferenční rovnice, kterou nadefinujeme,

15
00:00:50,300 --> 00:00:55,200
můžeme najít stavový popis takového systému,

16
00:00:55,300 --> 00:01:00,400
podíváme se na to, jak se z takového stavového popisu

17
00:01:00,500 --> 00:01:02,600
se můžeme dostat na přenosovou funkci

18
00:01:02,700 --> 00:01:07,200
a jak na základě parametru přenosové funkce rozhodneme o stabilitě.

19
00:01:08,800 --> 00:01:13,800
V druhé části přednášky se podíváme na to,

20
00:01:13,900 --> 00:01:24,300
jak je možné spojitý systém převést na diskrétní,

21
00:01:28,300 --> 00:01:31,500
jaké matematické metody se k tomu používají,

22
00:01:31,600 --> 00:01:34,900
co nám to přinese a k čemu je to dobré použít.

23
00:01:38,100 --> 00:01:44,800
Začneme tedy stavovým popisem diskrétního systému

24
00:01:44,900 --> 00:01:47,700
nadefinujeme si diferenční rovnici n-tého řádu,

25
00:01:47,800 --> 00:01:49,500
která je zadaná

26
00:01:49,500 --> 00:02:49,300
y(n)=b0*u(n)+.....

27
00:02:50,600 --> 00:02:54,200
Převod do stavového popisu probíhá stejně,

28
00:02:54,300 --> 00:02:56,700
jako v případě spojitých systémů

29
00:02:56,800 --> 00:03:00,300
nejprve si zvolíte vhodný stavový vektor

30
00:03:00,400 --> 00:03:03,800
a jeho dosazením do zadané diferenční rovnice

31
00:03:03,900 --> 00:03:07,700
rovnici převedete do stavového popisu.

32
00:03:08,300 --> 00:03:14,600
Podrobně to najdete ve skriptech "modelování systémů a procesů"

33
00:03:14,700 --> 00:03:20,900
zhruba okolo str. 89.

34
00:03:21,200 --> 00:03:24,500
Protože program dnešní přednášky je podstatně rozsáhlý,

35
00:03:24,600 --> 00:03:26,700
tak tuto část přeskočím.

36
00:03:26,800 --> 00:03:29,300
A budeme předpokládat, že pomocí metod,

37
00:03:29,400 --> 00:03:32,400
které jste si nastudovali ve skriptech

38
00:03:32,500 --> 00:03:37,500
jste zadanou diferenční rovnici převedli do tvaru

39
00:03:37,600 --> 00:03:57,600
X(n+1)=A*x(n)+B*u(n)

40
00:04:00,100 --> 00:04:04,900
tato rovnice v podstatě nám umožňuje pomocí stavového vektoru "x"

41
00:04:05,000 --> 00:04:12,200
v okamžiku "n" vyjádřit stavový vektor "X" v okamžiku "n+1" rekurentně.

42
00:04:12,300 --> 00:04:17,800
Druhá rovnice, rovnice výstupu, která je

43
00:04:17,800 --> 00:04:29,300
y(n)=C*x(n)+D*u(n)

44
00:04:30,400 --> 00:04:37,700
přičemž A,B,C a D jsou koeficienty stavového popisu

45
00:04:37,800 --> 00:04:43,900
A je matice, B je sloupcový vektor, C je vektor, D je skalár,

46
00:04:44,000 --> 00:04:47,800
jak už jsem říkal je stavový vektor,

47
00:04:47,900 --> 00:04:54,200
který vypočítáváme rekurentně na základě předchozích hodnot toho vektoru

48
00:05:20,900 --> 00:05:29,400
Matice A vypadá takto: .....

49
00:05:50,400 --> 00:05:54,400
Podstatný je poslední řádek, kde jsou prvky -a en…

50
00:06:11,100 --> 00:06:15,400
Sloupcový vektor B:

51
00:06:28,900 --> 00:06:34,900
Vektor C obsahuje prvky:...

52
00:07:00,100 --> 00:07:19,100
Skalár D: D=b0

53
00:07:20,900 --> 00:07:23,300
Znovu zopakuji zápis,

54
00:07:23,400 --> 00:07:30,700
kdy hodnotu stavového vektoru v okamžiku "n+1" vyjádříme jako:

55
00:07:30,700 --> 00:07:36,400
X(n+1)=A*x(n)+B*u(n)

56
00:07:36,400 --> 00:07:39,400
a vektor výstupu

57
00:07:39,400 --> 00:07:51,300
y(n)=C*x(n)+D*u(n)

58
00:08:04,200 --> 00:08:13,100
Pokud budeme znát stavový vektor v okamžiku nula,

59
00:08:13,200 --> 00:08:18,200
tak pomocí rekurze můžeme vyjádřit všechny následující stavové vektory,

60
00:08:18,300 --> 00:08:29,600
to znamená můžeme vyjádřit x(0) --- x(n), n>1

61
00:09:01,200 --> 00:09:07,900
Předpokládejme tedy, že stavový vektor x(0) je známý, takže když:

62
00:09:08,200 --> 00:09:11,900
n=0 tak známe stavový vektor x(0)

63
00:09:12,000 --> 00:09:34,400
n = 1, tak x(1)=A*x(0)+B*u(0)

64
00:09:43,700 --> 00:09:55,800
samozřejmě pokud n=2 tak stejným způsobem,

65
00:09:55,900 --> 00:10:02,200
stejným dosazením do obecné rovnice stavového vektoru dostáváme:

66
00:10:02,200 --> 00:10:28,500
x(2)=A*x(1)+B*u(1).....a dosadíme z první rovnice x(1), který jsme si vypočetli

67
00:10:28,600 --> 00:10:35,500
a dostáváme tedy A*( A*x(0)...

68
00:11:15,000 --> 00:11:15,700
Pro n=3	=>x(3)=A*x(2)+B*u(2)=......

69
00:11:35,700 --> 00:11:41,300
stojí vektor odvozený v předchozím kroku, pak opět dosadili, roznásobili

70
00:11:41,300 --> 00:11:52,000
a dostali výraz, pak bychom mohli pokračovat dál

71
00:11:52,100 --> 00:11:57,400
V případě, že n=A tak by jsme dostali stavový vektor x(n),

72
00:12:03,900 --> 00:12:10,100
který obecně můžeme zapsat x)n)=.....

73
00:12:33,500 --> 00:12:39,500
kde Ana0 je jednotková matice.

74
00:13:01,200 --> 00:13:05,700
Tento obecný vztah pro stavový vektor v okamžiku "n"

75
00:13:05,800 --> 00:13:20,700
můžeme dosadit do stavové rovnice výstupu

76
00:13:49,800 --> 00:13:52,700
a dostáváme : y(n)=...

77
00:14:02,000 --> 00:14:06,600
n=0 je to zápis, který odpovídá počáteční podmínce,

78
00:14:06,700 --> 00:14:11,000
že známe stavový vektor v okamžiku 0.

79
00:14:11,400 --> 00:14:17,200
a pro ostatní případy pouhým dosazením

80
00:14:17,300 --> 00:14:21,500
obecného zápisu do stavové rovnice výstupu.

81
00:14:21,600 --> 00:14:25,900
Výstup dostáváme C*a…..

82
00:15:03,200 --> 00:15:10,100
Tato rovnice na rozdíl od té první platí pokud n>0.

83
00:15:34,700 --> 00:15:39,900
Může nastat i speciální případ a ten vypadá tak,

84
00:15:40,000 --> 00:15:47,100
že stavový vektor v okamžiku nula je nulový,

85
00:15:47,200 --> 00:15:57,800
potom je zřejmé, že první dva členy toho zápisu

86
00:15:57,800 --> 00:16:05,700
stavového popisu výstupu vypadnou a dostaneme tedy zápis, že :y(n)=...

87
00:17:07,700 --> 00:17:10,400
Pokud si vzpomenete na předchozí přednášky,

88
00:17:10,500 --> 00:17:19,600
a vzpomenete si dobře, tak víte,

89
00:17:10,500 --> 00:17:14,800
na to, jak se vyšetřovala stabilita spojitých systémů

90
00:17:14,800 --> 00:17:24,800
že stabilitu spojitých systémů vyšetřujeme pomocí

91
00:17:24,900 --> 00:17:29,800
přenosové funkce a proto se budeme snažit dostat

92
00:17:29,900 --> 00:17:33,600
se z rovnice výstupu nějakým způsobem na rovnici,

93
00:17:33,700 --> 00:17:37,300
která by nám popsala přenosovou funkci.

94
00:17:43,100 --> 00:17:47,800
K přenosové funkci se dostaneme pomocí impulsní odezvy

95
00:17:57,000 --> 00:18:02,400
a to tak, že nadefinujeme výstup v okamžiku nula

96
00:18:02,500 --> 00:18:09,600
y(0)=h(0)=D*dirakův impluls.

97
00:18:09,700 --> 00:18:15,800
kde " ". dirakův impuls v nule je roven jedné proto výsledek je D

98
00:18:17,500 --> 00:18:22,500
a když se podíváte o půl stránky nahoru najdete, že

99
00:18:22,800 --> 00:18:28,700
koeficient stavového popisu D je roven b0.

100
00:18:28,800 --> 00:18:33,700
y(0)=h(0)=D*dirakův impuls=D=b0

101
00:18:50,300 --> 00:18:58,700
Tak pokud tyto počáteční podmínky dosadíme do předpisu,

102
00:18:58,800 --> 00:19:04,600
který jsme před chvílí získali,

103
00:19:04,700 --> 00:19:32,200
tak dostáváme pouhým dosazením do této sumy y(n)=h(n)=C*A…..

104
00:19:32,300 --> 00:19:35,700
protože ká je v prvním případě rovna nule

105
00:19:41,700 --> 00:19:48,400
a za vstup jsme brali dirakův impuls v okamžiku nula.

106
00:19:49,400 --> 00:19:57,200
Což je rozpis, který odpovídá prvnímu kroku koeficientu k=0.

107
00:19:58,200 --> 00:20:03,000
stejným způsobem dál když k=1, dostáváme

108
00:20:03,100 --> 00:20:13,400
…+ C*A^(n-2)*B*dirakův impulz v jedničce

109
00:20:13,500 --> 00:20:31,100
+…..+až poslední člen D*dir.imp. v (n).

110
00:20:51,100 --> 00:20:59,300
Pokud tuto řadu sečteme

111
00:21:09,300 --> 00:21:11,500
tak dostáváme 2 možnosti,

112
00:21:11,600 --> 00:21:17,500
v případě že n=0 tak potom součet té řady je roven D.

113
00:21:25,700 --> 00:21:39,900
A v případě, že  n>0 dostáváme součet C*A^(n-1)*B.

114
00:21:56,700 --> 00:22:04,700
Předpis, který máme dán pro h(n) můžeme řešit pomocí "z-transformace".

115
00:22:07,400 --> 00:22:11,700
Pokud bychom ji na tuto obecnou rovnici pomocí sumy

116
00:22:12,000 --> 00:22:21,700
použili z-transformaci, dostáváte výsledek, že h(z)=C*...

117
00:22:21,800 --> 00:22:25,700
kde "J" je jednotková matice;

118
00:22:52,300 --> 00:22:55,300
(dotaz od studentů)

119
00:23:40,000 --> 00:23:47,800
h(t) přenosovou funkci jsme řešili pomocí Laplaceovy transformace

120
00:23:49,500 --> 00:23:51,800
a převedli jsme na H(p)

121
00:23:51,900 --> 00:23:56,500
a na základě pólů ve jmenovateli přenosové funkce jsme rozhodovali o stabilitě.

122
00:23:56,700 --> 00:24:02,600
To byl ale zápis, který byl dán diferenciální rovnicí.

123
00:24:02,900 --> 00:24:07,800
V tomto případě, všechny kroky, které jsme prováděli před tím

124
00:24:07,900 --> 00:24:10,800
vedli k tomu, že jsme diferenční rovnici druhého řádu

125
00:24:10,900 --> 00:24:13,500
převedli do stavového popisu

126
00:24:13,600 --> 00:24:21,900
a postupně jsme se dostali k vyjádření přenosové funkce,

127
00:24:22,000 --> 00:24:24,500
který je dán takto.

128
00:24:24,600 --> 00:24:27,100
Dostali jsme k tomu tak, že na ten zápis,

129
00:24:27,200 --> 00:24:32,300
který tady byl uveden jsme použili z-transformaci a vyšel nám tento výsledek.

130
00:24:32,400 --> 00:24:37,100
Můžete si to vyzkoušet vypočítat, každopádně to je uvedeno ve skriptech.

131
00:24:40,300 --> 00:24:44,600
Důvod byl, nebo ten postup, který jsem uváděl před chvílí,

132
00:24:44,800 --> 00:24:48,400
vede k tomu, že buď můžeme postupovat klasickým způsobem, že

133
00:24:48,500 --> 00:24:52,800
by jsme tu diferenční rovnici, kterou jsme měli zadanou vyřešili,

134
00:24:52,900 --> 00:24:55,400
dostali by jsme k přenosové funkci,

135
00:24:55,600 --> 00:25:07,700
která by byla vyjádřená, nějakým čitatelem, jmenovatelem

136
00:25:07,800 --> 00:25:14,300
a na základě 2 kořenů ve  jmenovateli přenosové funkce a použitím kritéria

137
00:25:14,400 --> 00:25:17,000
pro stabilitu diskrétních systémů

138
00:25:17,100 --> 00:25:19,500
by jsme mohli rozhodnou o stabilitě.

139
00:25:19,600 --> 00:25:23,200
Naznačený alternativní způsob umožňuje zadanou složitou rovnici

140
00:25:23,300 --> 00:25:27,200
mechanickým postupem, v podstatě zadáním do vzorečku

141
00:25:27,300 --> 00:25:31,500
přepíšeme do stavového popisu a

142
00:25:31,600 --> 00:25:38,800
získáváme okamžitě koeficienty A, B, C a D,

143
00:25:38,900 --> 00:25:40,300
na jejichž základě pak rozhodujeme o stabilitě systému,

144
00:25:40,600 --> 00:25:46,900
zda je systém stabilní či nestabilní.

145
00:25:47,100 --> 00:25:53,300
Tento způsob je výhodný zejména proto, že

146
00:25:53,400 --> 00:25:58,400
pokud při vyhodnocování tohoto sytému máte možnost využít počítač,

147
00:25:58,500 --> 00:26:06,900
máte nainstalovaný Matlab tak se velice rychle dostanete k přenosové funkci,

148
00:26:07,000 --> 00:26:10,500
která má tedy nějaký čitatel a jmenovatel.

149
00:26:10,600 --> 00:26:15,000
a v Matlabu použijete jednoduchý příkaz,

150
00:26:16,900 --> 00:26:31,200
který se jmenuje >>tf2ss... (transfer).

151
00:26:31,300 --> 00:26:36,200
Jako parametry zadáte vektor čitatele a jmenovatele

152
00:26:36,300 --> 00:26:45,700
a Matlab Vám automaticky vrací parametry popisu A,B,C,D.

153
00:26:45,800 --> 00:26:50,200
Vyjádření h(n) je velice jednoduché pomocí z-transformace

154
00:26:50,300 --> 00:26:53,300
za použití počátečních podmínek,

155
00:26:53,600 --> 00:26:57,600
Matlab vám sám napožítá parametry A,B,C,D

156
00:26:57,700 --> 00:27:01,400
a na základě těchto parametrů můžete na základě jednoduché metody

157
00:27:01,500 --> 00:27:04,700
rozhodnout o tom jestli ten systém je stabilní, nebo není stabilní

158
00:27:04,800 --> 00:27:06,900
bez dalšího složitého počítání.

159
00:27:08,400 --> 00:27:15,600
Pro stabilitu systému má největší význam parametr A,

160
00:27:15,700 --> 00:27:19,300
který v podstatě určuje stabilitu celého systému.

161
00:27:22,600 --> 00:27:33,200
Pravděpodobně jste v algebře slyšeli o tzv. kurvicově kriteriu stability,

162
00:27:33,300 --> 00:27:39,600
které říká, že pokud jsou všechny rohové determinanty

163
00:27:39,700 --> 00:27:43,200
matice A jsou kladné, tak potom je systém stabilní.

164
00:27:43,500 --> 00:27:54,900
To znamená, že pokud bych znova napsal matici A ....

165
00:28:09,600 --> 00:28:14,600
tak pokud by všechny tyto determinanty byly kladné,

166
00:28:14,700 --> 00:28:18,200
můžete ten systém označit jako stabilní.

167
00:28:46,200 --> 00:28:49,200
Takže tím jsme v podstatě doplnili to, co už jste slyšeli

168
00:28:49,300 --> 00:28:51,400
na předchozích přednáškách.

169
00:28:51,500 --> 00:28:55,400
Jedná se o alternativní způsob vyšetřování stability systémů,

170
00:28:55,500 --> 00:29:00,400
který je vhodný zejména v případě, kdy máme k ruce nějaké technické prostředky,

171
00:29:00,500 --> 00:29:11,400
nebo vzorce, pomocí kterých můžeme rychle získat parametry stavového popisu.

172
00:29:17,900 --> 00:29:27,900
Ve zbytku času se podíváme na to, jakými prostředky

173
00:29:28,000 --> 00:29:37,900
jakými metodami, můžeme spojitý systém

174
00:29:38,000 --> 00:29:50,900
převést na systém diskrétní a proč je to dobré provádět.

175
00:29:51,000 --> 00:29:58,200
Většina systémů a signálů, se kterými se v životě setkáváme,

176
00:29:58,300 --> 00:30:08,400
má jednak spojité vstupy a samozřejmě spojité výstupy

177
00:30:08,500 --> 00:30:12,200
a my si ukážeme metody, které umožňují

178
00:30:12,300 --> 00:30:23,100
takovýto spojitý systém převést na systém diskrétní,

179
00:30:23,300 --> 00:30:33,400
kdy získáváme posloupnost vstupů a posloupnost výstupů

180
00:30:40,100 --> 00:30:44,400
Důvod, proč to používat je v podstatě zřejmý

181
00:30:44,500 --> 00:30:50,700
existuje velice málo signálů, které mají spojité

182
00:30:50,800 --> 00:30:55,700
s diskrétními vstupy a výstupy

183
00:30:55,800 --> 00:31:26,300
(např. meteorologická měření, ekonomické či burzovní informace, většina systémů je tedy spojitá)

184
00:31:26,400 --> 00:31:31,200
Pokud se tedy bavíme o převodu spojitého systému na diskrétní systém

185
00:31:31,300 --> 00:31:38,200
tak v podstatě se více méně bavíme o vzorkování,

186
00:31:38,300 --> 00:31:45,800
kdy signál buďto vstupní nebo výstupní, který je v čase

187
00:31:45,900 --> 00:31:50,600
spojitý tak zavedením vhodného vzorkování převádíme

188
00:31:50,700 --> 00:32:03,300
na posloupnost vstupů nebo výstupů.

189
00:32:03,400 --> 00:32:06,700
Nepracujeme tedy s celým signálem, ale pouze

190
00:32:06,800 --> 00:32:12,300
s jeho hodnotami s předem definovaných časových okamžicích.

191
00:32:14,300 --> 00:32:18,400
V dnešní přednášce pro jednoduchost budeme počítat s tím, že

192
00:32:18,500 --> 00:32:22,900
ty časové okamžiky mají stejné rozestupy,

193
00:32:23,100 --> 00:32:30,700
označíme "T" a nazveme jej vzorkovací periodou.

194
00:32:31,700 --> 00:32:35,900
Nebudu tedy pracovat se spojitým signálem, ale pouze

195
00:32:36,000 --> 00:32:46,900
s konkrétními hodnotami u1, u2, u3, u4, ...

196
00:32:48,700 --> 00:32:52,900
Další důvod, proč takto postupujeme si můžete představit tím,

197
00:32:53,000 --> 00:32:55,200
že v podstatě analogové počítače už neexistují,

198
00:32:55,300 --> 00:32:58,400
nebo je nikdo nepoužívá, že využíváme digitální počítače

199
00:32:58,500 --> 00:33:02,700
a tedy analogový signál, který získáváme na vstupu

200
00:33:02,800 --> 00:33:06,600
musíme převést na číslicový diskrétní signál,

201
00:33:06,700 --> 00:33:10,600
který můžeme na daném počítači dále zpracovávat.

202
00:33:13,200 --> 00:33:18,500
To na co si musíme dát pozor při volbě vzorkovací periody

203
00:33:18,600 --> 00:33:22,900
je frekvenční dynamika signálu, případně v případě,

204
00:33:23,000 --> 00:33:29,800
že by ten signál měl v podstatě velkou dynamiku,

205
00:33:29,900 --> 00:33:31,900
tak by se nám mohlo stát,

206
00:33:32,000 --> 00:33:36,200
že pokud zvolíme nevhodnou vzorkovací periodu

207
00:33:36,400 --> 00:33:39,600
zanášíme do vzorkovacích dat velkou chybu.

208
00:33:40,600 --> 00:33:44,000
Je to mimo tuto přednášku a předpokládám, že jste to minimálně 10 už slyšeli

209
00:33:44,000 --> 00:33:45,900
v předchozích předmětech.

210
00:33:46,000 --> 00:33:50,700
O tom jak je dobré a jakým způsobem volíme vzorkovací periodu

211
00:33:50,800 --> 00:33:55,200
abychom dostávali signál, který v podstatě odpovídá signálu, který máme zadaný.

212
00:34:12,200 --> 00:34:19,900
Začneme jednoduchým příkladem,ten model jste určitě slyšeli na první přednášce,

213
00:34:20,000 --> 00:34:26,500
možná i na cvičení, bude se jednat o R-C článek v té nejjednodušší variantě:

214
00:34:30,800 --> 00:34:40,500
Ten RC článek vypadá tak, že bude mít rezistor a kondenzátor,

215
00:34:44,800 --> 00:34:58,300
napětí na vstupu bude u1(t) a na výstupu uc(t).

216
00:35:14,600 --> 00:35:18,700
Pokud byste nalistovali první přednášku, tak zjistíte,

217
00:35:18,800 --> 00:35:26,900
že takovýto systém můžeme popsat pomocí diferenciální rovnice 1. řádu, RC...

218
00:36:09,200 --> 00:36:13,500
Před chvilkou jsem tu měl takový ilustrativní obrázek,

219
00:36:13,600 --> 00:36:18,700
který v podstatě ukazoval, co je to vzorkování zač, jak vypadá.

220
00:36:19,100 --> 00:36:22,200
Musíme se zamyslet, pokud chceme spojitý systém, který

221
00:36:22,300 --> 00:36:25,600
je popsaný diferenciální rovnicí převést na

222
00:36:25,700 --> 00:36:28,100
diskrétní systém popsaný diferenční rovnicí,

223
00:36:28,200 --> 00:36:31,000
tak musíme najít nějakou metodu, pomocí které

224
00:36:31,100 --> 00:36:37,100
převedeme numericky derivaci na nějakou diferenci.

225
00:36:37,200 --> 00:36:42,600
Nakreslíme obdobný obrázek, jako předtím:

226
00:36:42,800 --> 00:36:49,700
Původní spojitý signál u(t)

227
00:36:51,700 --> 00:37:05,700
a dejme tomu, že budeme mít dva body, ve kterých vzorkujeme.

228
00:37:09,700 --> 00:37:14,900
Ten první bod bude v časovém okamžiku t(n-1),

229
00:37:15,000 --> 00:37:20,700
ten druhý v časovém okamžiku t(n).

230
00:37:35,700 --> 00:37:37,800
A potom těmto dvěma časovým okamžikům

231
00:37:37,900 --> 00:37:49,400
odpovídají vzorkované hodnoty u(n-1) a u(n).

232
00:37:51,100 --> 00:37:54,400
Když se na ten obrázek podíváte, tak vám určitě bude připomínat obrázek,

233
00:37:54,500 --> 00:37:59,900
pomocí kterého se vysvětluje definice derivace

234
00:38:00,000 --> 00:38:03,600
a protože derivaci chceme nějakým způsobem odvodit, nahradit,

235
00:38:03,700 --> 00:38:06,800
tak použijeme tento přístup.

236
00:38:09,400 --> 00:38:13,800
Derivace je definována jako směrnice tečny v bodě

237
00:38:17,200 --> 00:38:19,700
a ta se rovná tangentě.

238
00:38:19,800 --> 00:38:33,100
Tangenta je definována jako tato odvěsna ku této odvěsně,

239
00:38:34,200 --> 00:38:47,700
to znamená že tato délka či vzdálenost je definována jako u(n)-u(n-1) .

240
00:38:48,500 --> 00:38:54,200
a protože jsme již na začátku řekli, že použijeme konstantní vzorkování,

241
00:38:54,300 --> 00:38:58,500
tak se nemusíme zabývat časovým okamžikem t(n) - t(n-1) protože víme,

242
00:38:58,600 --> 00:39:01,900
že mezi vzorky je vzdálenost T

243
00:39:05,700 --> 00:39:07,700
takže vydělíme téčkem:

244
00:39:11,200 --> 00:39:16,200
Samozřejmě, že čím ta vzorkovací perioda bude menší,

245
00:39:16,300 --> 00:39:20,800
tím víc ta  aproximace derivace bude přesnější.

246
00:39:20,900 --> 00:39:26,800
Souvisí to opět s vhodnou volbou vzorkovací frekvence.

247
00:39:27,100 --> 00:39:37,400
Můžeme tedy napsat, že du c přibližně s určitou chybou,

248
00:39:39,900 --> 00:39:41,400
můžeme napsat jako ....

249
00:39:53,700 --> 00:40:00,400
A tím, že dosadíme do zadané diferenciální rovnice (R.C...),

250
00:40:00,500 --> 00:40:04,400
převedeme v podstatě zadanou diferenciální rovnici

251
00:40:04,500 --> 00:40:11,500
popisující spojitý systém na rovnici diferenční, popisující systém diskrétní:

252
00:40:14,500 --> 00:40:18,700
RC*(....)

253
00:40:36,300 --> 00:40:38,500
Pro jednoduchost opět předpokládejme,

254
00:40:38,600 --> 00:40:50,800
že na vstupu u1(n) bude jednotková funkce.

255
00:40:54,100 --> 00:41:02,000
R, C a T jsou konstanty, pro zjednodušení,

256
00:41:02,100 --> 00:41:11,900
abychom nemuseli pořád opisovat, zavedeme substituci RC/T=alfa

257
00:41:15,000 --> 00:41:17,000
a dostáváme tedy rovnici ...

258
00:41:37,700 --> 00:41:46,100
uc(n) můžeme sloučit dohromady a dále upravíme na:

259
00:41:58,700 --> 00:42:05,300
což je výsledná diferenční rovnice, která s určitou chybou

260
00:42:05,400 --> 00:42:11,600
odpovídá zadané diferenciální rovnici.

261
00:42:35,300 --> 00:42:39,700
Diferenční rovnici budeme řešit pomocí z-transformace

262
00:42:39,800 --> 00:42:42,700
tedy standardní postup, standardní metody

263
00:42:45,100 --> 00:42:50,700
a dostáváme jedna plus alfa ...

264
00:43:41,700 --> 00:43:49,900
(opravuje znaménka)

265
00:44:04,900 --> 00:44:09,900
na pravé straně "z-obraz" jednotkového skoku

266
00:44:37,900 --> 00:44:47,800
Dále vyjádříme uc(z) jako...

267
00:45:38,300 --> 00:45:50,000
Když vezmete tabulky z-transformace, tak tam najdete, že z-transformace (vzorec)...

268
00:46:04,500 --> 00:46:10,800
Další krok, standardní postup, budeme se snažit pomocí

269
00:46:10,900 --> 00:46:14,200
rozkladu na parciální zlomky rozložit tento složitý zlomek

270
00:46:14,100 --> 00:46:19,100
na dva jednodušší a budeme se snažit získané zlomky nějakým způsobem

271
00:46:19,200 --> 00:46:21,500
upravit na tabulkové vzorce.

272
00:46:21,700 --> 00:46:27,600
Na první pohled je vidět, že ten první zlomek vede přímo na tabulkový vzorec:

273
00:46:29,100 --> 00:46:36,300
ale budeme se snažit upravit i zlomek druhý, aby se opět podobal tabulkovému vzorci.

274
00:46:37,900 --> 00:46:40,300
V tom tabulkovém vzorci je jednička tak, že bude dobré

275
00:46:40,400 --> 00:46:43,900
když sem dostaneme jedničku.

276
00:46:44,000 --> 00:46:50,600
Tu jedničku tam dostaneme pokud z celého zlomku vytkneme (1+alfa).

277
00:46:50,700 --> 00:47:01,000
Nebo-li vytkneme 1/1+alfa což je konstanta a dál dostáváme ...

278
00:47:42,000 --> 00:47:48,300
rozklad na parciální zlomky bude tedy ve tvaru A/1...

279
00:48:12,000 --> 00:48:17,800
Koeficienty rozkladu A a B velice snadno získáte například pomocí zakrývací metody.

280
00:48:18,000 --> 00:48:25,500
Zkuste si je dopočítat sami. Ty dvě jednoduché limity nejsou problém.

281
00:48:27,100 --> 00:48:30,500
Výsledek tedy získáváme ve tvaru ...

282
00:49:10,000 --> 00:49:12,300
Což je výsledek tohoto příkladu.

283
00:49:17,300 --> 00:49:22,800
To, co byste si měli odnést, co byste si měli zapamatovat, je ten trik,

284
00:49:22,900 --> 00:49:26,800
který se používá pro aproximace derivace,

285
00:49:26,900 --> 00:49:30,800
říká se tomu také někdy zpětná diference

286
00:49:30,900 --> 00:49:35,300
a využili jsme k tomu v podstatě Eulerovu metodu, která se běžně používá

287
00:49:35,500 --> 00:49:40,700
při numerickém počítání derivace.

288
00:49:41,900 --> 00:49:45,800
Existují samozřejmě i jiné transformace, složitější,

289
00:49:45,900 --> 00:49:50,500
které umožňují převádět složité spojité systémy na systémy diskrétní,

290
00:49:50,600 --> 00:49:54,500
nebo přímo body v "p" rovině na body v "z" rovině a naopak

291
00:49:54,700 --> 00:50:07,500
a ve zbytku času se pokusíme odvodit bilineární transformaci.

292
00:50:18,000 --> 00:50:25,500
V podstatě se dá říct, že způsobů pro odvození bilineární transformace je několik.

293
00:50:27,800 --> 00:50:32,600
Na dnešní přednášce Vám ukážu dva způsoby.

294
00:50:32,700 --> 00:50:37,100
Oba dva způsoby by měli být zřejmé,

295
00:50:37,200 --> 00:50:43,300
protože vše co budu říkat jste slyšeli na některé z prvních přednášek.

296
00:50:45,100 --> 00:50:48,300
Začneme tím způsobem, který je složitější.

297
00:50:55,100 --> 00:51:00,600
A to tím, že zavedeme, jaký je vztah mezi spojitou funkcí

298
00:51:05,000 --> 00:51:18,700
a ideálně vzorkovanou spojitou funkcí:

299
00:51:20,100 --> 00:51:27,100
Teď se budu trochu opakovat, protože to co tady budu říkat,

300
00:51:27,200 --> 00:51:34,100
psát, vám říkal pan profesor Vlček na začátku osmé přednášky, takže už to znáte.

301
00:51:34,200 --> 00:51:37,300
Ale pro zopakování.

302
00:51:37,400 --> 00:51:42,600
Vztah mezi spojitou funkcí, kterou označím f*(t) a

303
00:51:42,700 --> 00:51:50,400
ideálně vzorkovanou spojitou funkcí je suma ...

304
00:52:18,100 --> 00:52:22,600
Pokud spočítáme Laplaceovu transformaci této funkce,

305
00:52:30,100 --> 00:52:35,400
tak z definice Laplaceovy transformace pro spojitou funkci vyplývá,

306
00:52:38,400 --> 00:52:45,400
že je dána jako integrál od nuly do nekonečna ...

307
00:53:02,800 --> 00:53:06,300
Pokud za f* dosadíme ten předpis pro ideálně

308
00:53:06,400 --> 00:53:16,300
vzorkovanou spojitou funkci dostáváme ...(viz. výpočet)

309
00:56:05,200 --> 00:56:13,300
První část té sumy i druhá část té sumy je stejná a dostáváme tedy ekvivalenci ...

310
00:56:42,200 --> 00:56:48,800
Tuto rovnici dále řešíme tím, že ji zlogaritmujeme.

311
00:57:02,500 --> 00:57:27,500
A dostáváme logaritmus p*T*lne=lnz=p=1/T*lnz, protože ln e = 1

312
00:57:36,100 --> 00:57:42,700
Pro další zjednodušení výpočtu je vhodné ln z aproximovat pomocí nekonečné řady.

313
00:57:42,800 --> 00:57:50,100
Když si vezmete nějakou vhodnou knížku, kde jsou aproximace uvedeny,

314
00:57:50,200 --> 00:57:54,500
tak zjistíte, že logaritmus se dá aproximovat pomocí tří řad:

315
00:58:02,000 --> 00:58:06,200
První možnost je, že použijete aproximaci, že

316
00:58:06,400 --> 00:58:27,400
ln=((z-1)/1)+(1/2(z-1)^2)+(1/3(z-1)^3+...atd.

317
00:58:28,100 --> 00:58:36,500
tato aproximace platí tehdy pokud 0<z<=2.

318
00:58:37,500 --> 00:59:02,400
Druhá aproximace je z-1/z ... a platí pokud je z>1/2.

319
00:59:04,300 --> 00:59:35,500
A třetí taková neuniverzálnější 2*((z-1)/ (z+1)... platí tehdy pokud z>0.

320
00:59:46,500 --> 00:59:51,100
Když se na ty aproximace logaritmu podíváte,

321
00:59:51,200 --> 00:59:56,300
tak na hodnotu logaritmu z bude mít určitě největší vliv ten první člen.

322
00:59:56,400 --> 01:00:00,300
Ty další členy budou pouze tu aproximaci zpřesňovat.

323
01:00:00,400 --> 01:00:05,000
Proto v dalších úvahách budeme pracovat pouze

324
01:00:05,500 --> 01:00:13,600
s prvním členem jednotlivých aproximací a zbytek nebudeme používat.

325
01:00:14,200 --> 01:00:19,800
Pokud tyto první členy aproximací dosadíme za ln

326
01:00:19,900 --> 01:00:24,100
v tomto odvozeném vztahu, tak dostáváme tři druhy transformací,

327
01:00:24,200 --> 01:00:31,400
které nám umožní na základě známé polohy bodu v z-rovině

328
01:00:31,500 --> 01:00:36,700
spočítat odpovídající polohu bodu v p-rovině.

329
01:00:40,700 --> 01:00:47,300
Té první z výše uvedených aproximací je v literatuře

330
01:00:48,600 --> 01:01:01,200
označována jako FD (forward diference),

331
01:01:01,400 --> 01:01:17,900
druhá je označována jako BD (backward diference)

332
01:01:18,000 --> 01:01:21,500
a našim cílem bylo odvodit bilineární transformaci

333
01:01:21,600 --> 01:01:30,800
a to je právě ta třetí, když se ln nahradí 2*z^-1*(z+1)

334
01:01:30,900 --> 01:01:40,800
a to je bilineární transformace.

335
01:02:03,100 --> 01:02:07,800
Tuto tedy dosadíme do vztahu...

336
01:02:46,600 --> 01:02:52,900
Tato transformace nám tedy dovoluje pokud známé polohy bodu v z-rovině

337
01:02:53,000 --> 01:03:00,800
můžeme pomocí tohoto vztahu určit polohu odpovídajícího bodu v p-rovině.

338
01:03:01,800 --> 01:03:04,800
Samozřejmě se nám může hodit i inverzní operace,

339
01:03:05,000 --> 01:03:08,400
tedy pokud budeme znát polohu bodu v p-rovině,

340
01:03:08,500 --> 01:03:11,900
protože systém budeme mít zadaný pomocí diferencální rovnice,

341
01:03:12,000 --> 01:03:15,800
tak nás bude zajímat při použití této transformace

342
01:03:15,900 --> 01:03:18,800
jak bude vypadat poloha bodu v z-rovině.

343
01:03:19,200 --> 01:03:28,400
Ten předpis získáme jednoduše p*T/2= ...

344
01:04:41,200 --> 01:04:45,600
Opět, pokud známe polohu bodu v p-rovině,

345
01:04:45,700 --> 01:04:50,600
pomocí tohoto vztahu (transformace) tak můžeme dopočítat polohu bodu v z-rovině.

346
01:04:53,100 --> 01:04:57,600
Pokud jste neměli na přednášce, tak si určitě pamatujete ze cvičení,

347
01:05:01,800 --> 01:05:13,800
kde jsme si říkali, že systém je spojitý tehdy,

348
01:05:13,900 --> 01:05:20,300
pokud póly přenosové funkce leží v levé části p-roviny:

349
01:05:32,000 --> 01:05:34,500
Pokud použijeme výše uvedené kriterium,

350
01:05:37,900 --> 01:05:55,400
tak se nám levá část p-roviny v z-rovině transformuje do vnitřku jednotkové kružnice:

351
01:05:55,800 --> 01:06:01,900
Můžete si to zkusit spočítat například z tohoto vztahu pomocí Z-transformace.

352
01:06:02,100 --> 01:06:05,900
To znamená, že pokud znáte jedno kriterium, pak

353
01:06:06,000 --> 01:06:11,300
této transformace si můžete napočítat kriterium, které platí pro diskrétní systémy.

354
01:06:12,200 --> 01:06:15,100
Zajímavé je, jak se transformuje imaginární osa, která

355
01:06:15,200 --> 01:06:18,900
v podstatě vymezuje mez stability systému.

356
01:06:23,700 --> 01:06:33,400
Tato osa se transformuje do této části jednotkové kružnice,

357
01:06:33,500 --> 01:06:37,400
stejně tak jako ta druhá část té osy.

358
01:06:40,500 --> 01:06:44,900
Tedy toto byl první způsob jak odvodit binární transformaci,

359
01:06:45,000 --> 01:06:49,800
tím, že jsme vyšli z definice nebo z toho jak si představujeme

360
01:06:49,900 --> 01:06:53,100
ideálně vzorkovanou spojitou funkci.

361
01:06:53,200 --> 01:06:55,200
Použili jsme Laplaceovu transformaci,

362
01:06:55,300 --> 01:06:59,700
aproximovali jsme výsledný logaritmus rozvojem řady

363
01:06:59,800 --> 01:07:03,900
nebo jeho prvním členem, protože je nejdůležitější, a odvodili jsme

364
01:07:04,000 --> 01:07:10,700
bilineární transformaci z p-roviny do z-roviny a naopak ze z-roviny do p-roviny.

365
01:07:11,000 --> 01:07:21,100
Druhý způsob, který je jednodušší, spočívá v tom, že se podíváme na to,

366
01:07:21,200 --> 01:07:24,900
jak  by se řešila diferenciální rovnice

367
01:07:25,000 --> 01:07:31,700
a jí odpovídající numerická aproximace v diskrétní oblasti,

368
01:07:31,800 --> 01:07:40,400
a velice rychle se dostaneme opět na vztah pro

369
01:07:44,400 --> 01:07:46,300
bilineární transformaci s tím, že

370
01:07:46,400 --> 01:07:54,000
tentokrát se nám ale nepodaří odvodit i ostatní transformace, jako zpětnou diferenci apod.

371
01:07:54,200 --> 01:08:02,400
Vyjdeme z toho, že budeme mít diferenciální rovnici:

372
01:08:13,100 --> 01:08:21,400
Tuto rovnici můžeme řešit např. pomocí integrace tím,

373
01:08:21,500 --> 01:08:25,500
že zintegrujeme levou a pravou část té rovnice

374
01:08:25,600 --> 01:08:33,300
a vhodně zvolíme integrační meze, protože to "d podle dt"

375
01:08:33,400 --> 01:08:40,900
v podstatě vymezuje nějaký rozdíl hodnoty y(t) za časový okamžik dt,

376
01:08:41,000 --> 01:08:45,000
tak pokud ten časový okamžik vhodně zvolíme,

377
01:08:45,100 --> 01:08:48,900
tedy tak, aby odpovídal tomu předchozímu odvození,

378
01:08:49,000 --> 01:08:55,700
tedy dolní mez toho integrálu bude (n-1)T a horní mez nT.

379
01:08:58,900 --> 01:09:07,500
A budeme tedy integrovat derivaci ypsilonu d podle dt*y(t)dt,

380
01:09:07,600 --> 01:09:25,200
což je y(t). A tomu bude odpovídat integrace od (n-1)T do nT  z  x(t)dt.

381
01:09:27,800 --> 01:09:35,000
Pokud bychom tuto rovnici numericky řešili,

382
01:09:35,100 --> 01:09:38,400
můžeme použít buďto Eulerovu metodu, jako v případě RC článku,

383
01:09:38,500 --> 01:09:45,500
nebo přesnější metodu lichoběžníkovou, numerickou metodu pro řešení integrálu.

384
01:09:45,600 --> 01:09:49,000
Tak dostáváme předpis:

385
01:09:49,100 --> 01:10:01,400
Y(nT)-y((n-1)T) což je ta diference, rozdíl dvou hodnot,

386
01:10:01,500 --> 01:10:07,600
které jsou od sebe odděleny tou vzorkovací periodou T.

387
01:10:08,300 --> 01:10:18,200
Pravá strana odpovídá té lichoběžníkové metodě: T*[x(nT)+x((n-1)T)]/2

388
01:10:40,200 --> 01:10:42,600
Takže zatím shrnu ten postup.

389
01:10:42,700 --> 01:10:49,700
Máme diferenciální rovnici, spočítáme nebo vyjádříme integrál její levé a pravé části.

390
01:10:49,800 --> 01:10:55,500
Tomu odpovídá numerické řešení. které je uvedeno na pravé straně.

391
01:10:55,600 --> 01:11:02,200
Takovouto rovnici, pokud byste ji dostali, pravděpodobně byste jí řešili pomocí Laplaceovy transformace,

392
01:11:02,300 --> 01:11:08,900
což je v tomto případě velice snadné p*Y(p)=...

393
01:11:12,600 --> 01:11:16,800
Naopak rovnici, kterou máme napsanou zde, je to diferenční rovnice

394
01:11:17,400 --> 01:11:20,800
bychom řešili pomocí z-transformace.

395
01:11:23,900 --> 01:11:30,200
Mechanicky vyjádříme  y(z)...

396
01:12:02,200 --> 01:12:05,400
Když vytkneme Y(z) tak dostáváme tento výraz,

397
01:12:05,500 --> 01:12:11,600
T/2 je konstanta a vytýkáme před z-transformaci

398
01:12:11,700 --> 01:12:22,600
x(z) opět vytkneme a dostáváme (1+z)^(-1)

399
01:12:31,800 --> 01:12:41,300
a ekvivalentní zápis, který máme na pravé straně tabule v případě diferenční rovnice

400
01:12:41,400 --> 01:12:46,300
....

401
01:13:22,300 --> 01:13:25,600
Tedy toto je ekvivalentní odvození bilineární transformace,

402
01:13:25,700 --> 01:13:28,700
při němž jsme nevycházeli z definic, ale

403
01:13:28,800 --> 01:13:36,100
ze zadání jednoduché diferenciální rovnice,

404
01:13:36,200 --> 01:13:40,800
kterou jsme převedli na její numerickou aproximaci s určitou chybou,

405
01:13:40,900 --> 01:13:45,000
danou vzorkovací periodou T.

406
01:13:46,000 --> 01:13:48,600
Tuto rovnici řešíme pomocí standardní metody

407
01:13:48,700 --> 01:13:53,700
Laplaceova transformace, a tuto rovnici pomocí z-transformace.

408
01:13:55,300 --> 01:14:00,400
Podíl vstupu ku výstupu v p-rovině předpokládáme, že bude

409
01:14:00,500 --> 01:14:03,200
ekvivalentní v z-rovině.

410
01:14:03,300 --> 01:14:06,700
Opět je to podíl vstupu ku výstupu.

411
01:14:06,800 --> 01:14:11,300
A porovnáním x(p)/y(p) a x(z)/y(z) pak získáváme výsledek, že

412
01:14:24,600 --> 01:14:29,600
Tedy vztah, který nám umožňuje převádět body ze z-roviny do p-roviny.

413
01:14:29,700 --> 01:14:36,500
Odvození inverzního vztahu je stejné jako jsme odvozovali předtím.

414
01:14:38,700 --> 01:14:41,600
Takže to, co jsem vám měl ukázat, jsem vám ukázal,

415
01:14:41,700 --> 01:14:44,500
takže dnešní přednáška tím končí.

416
01:14:44,600 --> 01:14:48,500
Pokud budete mít nějaké dotazy buď teď - ticho - můžu se pokusit je zodpovědět,

417
01:14:50,500 --> 01:14:53,800
nebo před zkouškou, až začnete listovat poznámkami,

418
01:14:53,900 --> 01:14:58,400
není problém mě kontaktovat na mail a domluvit si schůzku.

419
01:15:03,300 --> 01:15:08,200
Ještě bych rád připomněl, že příští týden budeme

420
01:15:08,300 --> 01:15:17,000
psát zápočtové testy na Laplaceovu transformaci a z-transformaci.

421
01:15:17,100 --> 01:15:22,600
K tomu jsou na www stránkách předmětu 4 soubory PDF,

422
01:15:22,700 --> 01:15:25,200
kde jsou typové příklady s postupem včetně řešení,

423
01:15:25,300 --> 01:15:29,600
příklady v testu budou obdobné,

424
01:15:29,700 --> 01:15:38,600
pouze s modifikací počátečních podmínek a koeficientů v zadání.

425
01:15:38,700 --> 01:15:40,700
Takže pokud si osvojíte postupy pro řešení těch rovnic, které

426
01:15:40,800 --> 01:15:46,300
jsou uvedeny na webu, neměl by pro vás být problém zápočet získat.

427
01:15:49,900 --> 01:15:52,800
Pokud nejsou žádné dotazy, tak vám děkuji za pozornost

428
01:15:52,900 --> 01:15:55,700
a budu se těšit na cvičení příští týden.