Rád bych vám popřál dobrý den,
moje jméno je Vlček, jsem tedy profesorem na matematice - na počtech
a budu s váma mít předmět, který se nazývá modelování systémů a procesů.
Rád bych vás v tomto předmětu velmi, jaksi,
spíš zabavil nežli prostě otrávil počty.
Já si totiž myslím, že matematika dokáže být i pěkná a
chtěl bych, aby vy jste měli pocit, že to není jenom zbytná záležitost.
Rád bych, kdyby jste tento předmět chápali jako integraci všech minulých znalostí,
které jste ne této fakultě případně v minulosti dosáhli,
a abyste takto vnímali celý tento předmět.
Předmět tedy přednáším ve čtvrtek s vámi jsem tady 9:45-11:15. Cvičící jsou moji mladší kolegové
s katedry, všichni máme emailové adresy, jak sami můžete zpozorovat
a co je důležité - existuje domovská stránka na našem serveru euler.fd.cvut.cz
Tahleta stránka vám může dát informace jak tedy o průběhu cvičení,
tak jsou tam umístěny souhrny přednášek, které přednáším.
Zkrátka a dobře je to docela plnohodnotná stránka tohoto předmětu.
Chtěl bych zdůraznit jednu zcela vážnou věc.
Že z hlediska literatury, kterou máme k dispozici tak samozřejmě jsou klasicky různé knížky z oblasti,
kterou bych mohl nazvat oblast teorie řízení.
Pod pojmem teorie řízení nemyslím managment ale myslím Control Theory .
Nebo z oblasti zpracování signálu, z těchto různých poloh, z oblasti automatizace.
Zkrátka a dobře, všechny tyhle oblasti jsou jakýmsi způsobem pokryty.
A já bych byl docela rád kdyby jste si také všimli,
že konec konců ekonomie má také svůj základ v matematické ekonomii,
jinými slovy kus těch přednášek
je také věnován tomu, že se dají modelovat systémy,
které prostě v zásadě leckde ani nejsou vidět, že jsou k modelování.
Co se týká knížek, tak existuje jich mnoho, tady jsou řádově dvě tři, které máme někde k dispozici
resp.jsou na katedře nebo jsou v nějakém blízkém okolí katedry,
popř. jsou prostě na pracovišti ČVUT.
Co se týká skript, tak samozřejmě jsme vydali před lety skriptum,
které (bych zdůraznil) se týká hlavně cvičení.
Není to skriptum, které by obsahovalo mnoho věcí z přednášek,
je to prostě velmi důsledně věnováno cvičení.
Vzhledem k tomu, že naše dotace na cvičení je jen jedna, jinými slovy
cvičení se konají jen jednou za 14 dnů, tak bych chtěl velmi výrazně říci,
že pro úspěšné absolvování tohoto předmětu, znamená to také práci z vaší strany.
Přípravu na cvičení a budete žádáni cvičícími, abyste si připravili zcela konkrétní přípravu na cvičení tak,
aby cvičení nebylo One Men Show (van men šou),
ale aby to byla otázka, kdy přicházíte s relevantními otázkami
a s relevantními problémy. Čili jinými slovy - na cvičení budete mít vždy na webu zadání,
co si máte připravit
a vyžaduje to od vás dost velkou část práce před cvičením nikoliv v oblasti
až poté. To bych chtěl zdůraznit. Je to jedna vážná připomínka - důvod je celkem srozumitelný,
máme polovinu času k dispozici
než jsem mívali doposud, Co se týká dalších skript - jsou to standardní skripta,
která můžete najít jak na fakultě elektrotechnické, tak na fakultě strojní.
Zkrátka a dobře jsou to skripta, která se zaobírají teorií dynamických systémů
nebo matematické simulační modely. Zkrátka a dobře je to z této kategorie předmět .
Co se týká vlastního pojetí, chtěl bych velmi zdůraznit jednu takovou záležitost.
Předpokládám a to, že tedy předpokládám, jakési znalosti,
tak rád bych je tady zopakoval v tom smyslu,
že o těchto znalostech se nebudeme v tomto předmětu dohadovat.
Jinými slovy se o nich nebudeme zmiňovat více.
Chtěl bych, abyste vnímali, že prostě abyste úspěšně absolvovali tento předmět,
potřebujete umět základní znalosti z oblasti lineární algebry tzn.
pojmy a operace, operace s vektory
a maticemi. Jinými slovy, když řeknu tohle je maticová rovnice a potřebujete udělat inverzi matice,
tak víte, jak inverzi matice se udělá, znáte něco takového, jako jsou vlastní čísla matice.
Zkrátka a dobře, toto je znalost, kterou
tady nebudu opakovat - budu jí tady používat.
Stejně tak předpokládám, že znáte základy komplexní proměnné, víte, co je komplexní číslo,
komplexní funkce, zkrátka a dobře víte základní informace tohohle typu.
Další takovou neodiskutovatelnou znalostí, by měly být
že znáte trigonometrické funkce, hypergeometrické funkce že znáte exponenciální funkci,
jinými slovy znáte jejich vlastnosti, znáte jejich,
řekl bych, průběhy umíte namalovat průběh, zkrátka a dobře toto umíte.
Stejně tak předpokládám, že umíte sčítat řady,
že umíte jednoduché integrály, že máte znalosti na úrovni Matematika 1.
Naprosto standardní znalosti.
A nebudu příliš snad daleko, že pokud
neumíte počítat, řekl bych s algebraickými výrazy nebo potřebujete si něco zopakovat kolem
středoškolské matematiky, tak prosím udělejte to včas.
To říkám s odpovědností toho, co tedy tento předmět znamená.
Chtěl bych, abyste šli se mnou. Ne abyste byli století za mnou, protože neznáte
některé z těchto základních záležitostí.
Toto je předpoklad k úspěšnému absolvování předmětu .
Z této oblasti ještě takovou jednu poznámku čistě administrativní.
Předmět končí samozřejmě zkouškou a ta zkouška probíhá takovým způsobem, že tedy
je na začátku je takzvaný rozstřel, který říká jestli jsem schopen a jestli vnímám tento předmět,
a poté následují počítání 4 příkladů.Tomuto výpočtu, k této části písemky
můžete si přinést své vlastní poznámky, nic jiného než poznámky z těchto přednášek.
Říkám celkem srozumitelně: Piště si poznámky, zapisujte si to, co se dovíte v tomto předmětu,
protože jakmile máte své vlastní poznámky, tak během té hodiny zkouškové
se dokážete v nich orientovat, máte tam různě namalované kočičky
a kytičky a máte tam namalovaný různý fleky a víte, že ne této stránce máte to a to.
Zkrátka a dobře, pište si poznámky. To je první taková záležitost. Nespoléhejte na to,
že vám někdo takové poznámky napíše, protože to je u zkoušky taková koule u nohy.
Když budete mít cizí poznámky, nedokážete se v nich tak rychle orientovat. Toto je srozumitelný
průběh našich zkoušek. Toto vnímejte jako dobrou radu.
A co se týká předpokládaných znalostí, samozřejmě dále zase já vám dokážu slíbit, co se se mnou naučíte.
Se mnou se naučíte používat Laplaceovu transformaci na řešení diferenciálních rovnic
které popisují spojité lineárně časové invariantní systémy.
Nučíte se používat Z-transformaci pro podobná řešení diferenčních rovnic
příslušných diskrétních systémů.
Také vás přivedu k tomu, jak máte nalézt ze slovní úlohy,
ze slovního zadání, jak máte zkonstruovat v podstatě příslušný systémový popis.
Dále pravděpodobně budete umět velmi dobře spočítat, případně být si vědomi, co je tzv. stabilita řešení
nebo nestabilita řešení.
Vězte, že to není nic takového zase z jiného světa. Stabilita nebo nestabilita je prostě z denního
života. Známá záležitost.
Když někdo volá do jednoho z těch FM rádií a volá tam prostě na odpověď,
na nějakou inteligentní otázku, tak samozřejmě nastává situace,
že mu příslušný moderátor říká: Běžte kousek dál od toho rozhlasového přijímače,
protože nám tam děláte zpětnou vazbu.
A to je prosím systém přijímač a zároveň vysílač,
které jsou blízko sebe, takže zpoždění způsobuje v podstatě kladnou zpětnou vazbu,
a najednou tam ten systém začne být nestabilní a tato nestabilita je typickou záležitostí.
Budeme umět si říci, co je nestabilita, a budeme umět s tím zacházet, s tím to pojmem.
A nakonec, smyslem těch cvičení je naučit vás používat v podstatě Matlab a Simuling.
Simuling je velmi významným nářadím pro modelování systému a řešení diferenciálních rovnic,
které v podstatě můžeme velmi často nazvat jako nelineární diferenciální
a diferenční rovnice.
A takovéto rovnice běžně vedou k tomu, že je potřeba pro ně numerické metody,
já vás naučím aspoň to na cvičeních
nebo moji kolegové. Aspoň to, jak takovéto nelineární diferenciální nebo
diferenční rovnice modelovat a řešit.
A teď trochu pojmosloví.
Než začneme trošku jako víc si říkat, o čem je vlastně tento předmět.
Pojem systém je velmi často frekventovaný
a ne úplně často chápaný správným způsobem.
Já tady vnímám systém jako část tohoto našeho světa, všehomíra,
kterou mohu oddělit jak fyzickou, tak myšlenkovou hranicí.
Když tedy říkám to oddělení, tak si představte,
že začnu mluvit o městském dopravním systému.
To je systém v podstatě velmi rozsáhlý, těžko řeknu, co je to za správnou
definici, ale nicméně můžu říci,
Dobře, tak já se tedy budu bavit o systému třeba podzemní dráhy, tedy metra.
A už tam máte fyzické vyznačení, velmi srozumitelné, protože to fyzické vyznačení
jsou prostě vstupy a výstupy do toho systému metra.
Ten systém sám o sobě má svoje jakési podsystémy, má jednotlivé linie,
jinými slovy, ten systém jako takový se skládá z podsystémů,
které jsou vzájemně propojeny - Linka C, B, A.
Zkrátka a dobře, jsou srozumitelné podsystémy systému metra, systém metra je v podstatě systémem uzavřeným,
protože má velmi dobře definované hranice.
Je to dopravní systém se vším všudy, jak s tím zabezpečovacím zařízením,
tak s těmi záležitostmi kolem krizového řízení, ve smyslu,
že se prostě něco přihodí na některé stanici.
Zkrátka a dobře, je to klasický velmi rozsáhlý
a velmi komplikovaný systém,
U kterého třeba se můžete ptát jenom na jednoduchosti typu,
třeba na směrové vztahy, jinými slovy, můžete se třeba ptát,
kolik pasažérů, kteří nastupují na konečné Háje skončí na konečné v Dejvicích.
Co se týká dalšího atributu systému,
tak jsme si tedy řekli, že ho lze rozdělit na podsystémy,
a tyto podsystémy mají svá definovaná rozhraní.
Mají prostě způsob, jak spolu navzájem interagují.
Tahleta záležitost není úplně triviální.
Když třeba začneme (zase se vrátím k systému metra),
není úplně jasné, jestli můžu studovat jen linku C nebo linku A
a pak je nějakým způsobem propojit.
Jinými slovy, pokud neumím ten interface na přestupní stanici,
tak nedokážu tenhle podsystém správně popsat.
Chci tím říci, že každé rozčlenění systému na podsystémy znamená
úlohu o tzv. rozhraní a to rozhraní vlastně musí dobře definovat vlastnosti,
které při případném zase zpátky kompozici
toho systému vedou k naprosto stejným výsledkům.
Co se týká pozorovatelnosti toho systému,
respektive nahlížení na ten systém, to je další atribut.
Ten systém jako takový interaguje s vnějším okolím.
Buďto jsou to počty pasažéru, mohou to být třeba, řekl bych, takové záležitosti jako informační systém.
To znamená, dává vám informace o nějakém konkrétním jevu
a vy na základě těchto informací se prostě do toho systému zase zpátky vracíte.
Jinými slovy systém jako takový má smysl jen tehdy, pokud existuje
ten interface na vnějšek. Řekl bych, ta interakce s vnějším světem.
Schopnost pozorovat tento svět, případně ho ovlivňovat vstupy nebo výstupy.
Já teď asi udělám takovou věc, že teď zhasnu a budu malovat na tabuli. Takže …..
A budeme si říkat některé základní pojmy trošku více a podrobněji.
První taková důležitá záležitost kolem systému
je schopnost je nějakým způsobem popsat.
Systémy popisuji buďto v tzv. spojitém čase,
což tedy označuji jako parametr t nebo v diskrétním čase,
což můžu označovat parametry typu n nebo ukazovátky typu n. Velmi rychle se pokusím vysvětlit oč mi běží.
Spojitý systém nebo spojitý čas vnímáme tak, že to je prostě naše každodennost. Ale vězte,
že to není zas tak úplně triviální záležitost. Prostě u spojitého času vždycky potřebujete všechny ty nekonečné limity - co je nejmenší okamžik,
který se prostě přičítá. Jinými slovy, my velmi často nahrazujeme spojitý svět diskrétním světem.
Tedy ukazujeme tohle se stalo v první minutě, tohle se stalo ve 2 minutě, ve 3 minutě. Jinými slovy,
když měříme cokoliv děláme, tak velmi často ten náš spojitý svět diskretizujeme.
Větší idealizace je ten spojitý svět. Nicméně ve vývoji, v průběhu staletí, to vždycky chodilo tak,
že nejdřív se vědělo o těch diskrétních číslech, pak se prostě našly dobré
důvody, proč popisovat svět spojitě. Protože se potom
našly příslušné funkce, kterými to popisuji, čili jinými slovy, prostě
budu mít příslušné funkce, které popisují ten
můj svět, tak budou argumentu příslušného spojitého času. Takže toto jsou funkce.
V oblasti diskrétního času, tam se spíš jedná o něco takového jako
jsou posloupnosti. Představte si - diskrétní čas je naprosto srozumitelná třeba debata o události na burze.
Začnete jenom odčítat ranní a odpolední hodnoty a nic jiného tam není.
ráno - odpoledne (řekne to asi 3x). A konec. Naprosto diskretizovaný svět.
Přesto, že tam běží čas, běží tam to drámo jak prostě někdo
prohrává velký peníze, prostě podstatný je začátek
a konec toho obchodování - typický diskrétní údaj toho spojitého světa.
Spoustu věcí vnímáme takto.
Vnímáme třeba prostě pokud se začneme bavit o událostech, které prostě souvisejí se dny, říkáme
že pokud to n je dneska a dnes je čtvrtek, tak samozřejmě zítra je prostě n+1
a teď to bude v tom případě pátek a n-1 je včera.
Jinými slovy, každé to slovo, které se tady budu snažit říkat, má jakýsi matematický obraz v tom malování na tabuli.
Takže v diskrétní čase budu mít události, které samozřejmě budou posloupnostmi
a budu je značit formálně podobně. Bude to posloupnost x a bude to posloupnost y
a posloupnost třeba u. Zkrátka a dobře budou to posloupnosti. Jinými slovy, budu malovat
v tom našem světě takto diskrétní hodnoty 0,1, 2…… a bude to třeba
5 den nebo 7 den. Je to úplně jedno a nad nimi budou hodnoty posloupnosti, které vypadají takovýmto způsobem.
Jo? A budou prostě hodnoty takovýchto nějakých veličin. Není to funkce - je to prostě posloupnost.
Co se popisu systému dále týká (maže tabuli), řekli jsme si teda že čas může být spojitý nebo diskrétní
a k tomu spojitému času (píše) my pro popis používáme v podstatě diferenciální rovnice (píše)
Zatímco v tom diskrétním čase, který označujeme třeba písmenkem n, může to být i k,l,m. Prostě písmenka
tohohle typu, tak ty rovnice budou mít charakter tzv. diferenčích rovnic.
Obě dvě tyto záležitosti si dneska
ukážeme. Aspoň jednoduchý příklad na diferenciální rovnici na systém popsaný ve spojitém čase
a diferenční rovnci na systém popsaný v diskrétním čase.
Z hlediska proměnných rozpoznáváme nebo vůbec v pozorování toho systému rozpoznáváme tzv.
vnější a vnitřní popis systému
Jestliže tedy říkáme, že ten svět musíme nějakým způsobem vymezit,
tak si namaluje nějakou černou krabici (black box-BB) a k tomu BB pravděpodobně můžeme namalovat
něco takového, že cosi je jako vstup do toho světa, do toho mého systému. Toto je prosím systém.
A samozřejmě také mohu říkat, můžu se ptát, co je výstup.
Z hlediska formálního, čistě formálního, ty vstupy označujeme velmi často písmenkem u a
ty výstupy označuje písmenkem y.
To abychom se v tom dlouhodobě orientovali.
A pokud ten systém je spojitý,
tak tadyhle budou funkce, a pokud ten systém bude diskrétní,
tak tady budou posloupnosti.
Buď to bude spojitý nebo diskrétní. Zkrátka a dobře, vždycky je to charakteristika vstup - výstup
a je to tzv. vnější popis toho systému.
My se na ty systémy taky můžeme dívat tak, že velmi důležité jsou veličiny uvnitř toho systému.
To jsou tzv. stavové veličiny,
ty označujeme písmenkem x opět jistého argumentu
a velmi často zde máme k dispozici výstup
a méně často je zde vstup.
Ten není tak častý. Podstatný je, že u toho vnitřního popisu se soustřeďujeme na to,
že umíme popsat ty jednotlivé části toho celku.
Takže to je o terminologii, kterou používáme. Ještě bych rád řekl
několik slov o matematice jako takové .
Tady je zopakování toho, co jsme si teď říkali, že existuje vnitřní a vnější popis. To není teď tak relevantní.
Podstatný je, že bych vám rád řekl něco o počtech jakožto nářadí,
které prostě má docela vážný a docela zvláštní roli hraje roli v této záležitosti.
Nevím, patříte ke generaci, která samozřejmě používá výpočetní techniku horem pádem,
a má tedy znalosti kolem procesorů a máte bůhvíkolikátou generaci pentia ve svém pc,
ale vězte, že na začátku přechodu od 486ky k pentiu byla taková
docela vzrušená doba. Ten příběh je docela zvláštní, je docela typický a nicméně je docela pro matematiku obrovskou ozdobou.
V tom 95 roce Intel vypustil první pentium a několik šťouralů, když už si
koupilo první pentia říkalo, že tam je nějaká chyba, tam se něco děje špatně.
Ale to byli prostě jednotlivci a Intel prostě říkal, na to zapomeňte, taková chyba
se stane jednou za 10na9 let. Tam nic zvláštního se neděje.
No, kdyby nebylo jednoho
prima matematika, jmenoval se TOM NICELY a zabýval se něčím, čemu byste řekli, Tome dělej
něco užitečnějšího, než abys se bavil něčím takovým, jako jsou prvočísla. Já vám ten příběh
zkusím tak v krátkosti říci.
Určitě víte z matematiky, že sumě nekonečné tohohle
toho typu, se říká harmonická řada, a že tahleta řada prostě diverguje. To se
dokazuje v prvním kurzu matematiky, zkrátka a dobře, vy sčítáte všechny přirozená čísla 1/1 +1/2+1/3….
dostanete prostě nekonečno. Důkazy, jsou velmi jednoduchý, jsou prostě srozumitelně
definovány v matematice. Je to o seskupování čísel, který jsou vždycky větší nežli 1/2
a ono jich je prostě nekonečně mnoho a když vynásobíte 1/2 nekonečně mockrát, tak vám vyjde prostě nekonečno.
To je základní kurz matematiky, už je míň kurzem matematiky, to co jsou prvočísla
nicméně pravděpodobně víte, že jsou to čísla, která jsou dělitelná sebou samým nebo jedničkou.
Když z těchto čísel sestavíte řadu, která je podobná té harmonické řadě,
ale budete sčítat jenom přes všechna prvočísla, tak se dostaváte do prvního problému - totiž,
že neumíte ty prvočísla všechny nagenerovat. Jenom víte, že jich je nekonečně mnoho,
ale nemáte obecnou formulku, jak negenerovat prvočísla. Tedy už tady začíná trošku problém, nicméně existuje důkaz,
který říká, že těch prvočísel je dostatečný počet tak, aby tato harmonická řada stále ještě divergovala.
Ale pak nastane jakási dramatická změna v okamžiku,
kdy s těch prvočísel vyberete jenom takzvaná párová prvočísla. To jsou čísla,
která se liší o dvojku.
Najednou tu skupinu prvočísel vyředíte,
prostě budete mít 11, 13 a pak tam budete mít 17, 19 ale pak už tam některá prvočísla najednou nemají
svýho do páru. Jo a jsou to přesto prvočísla. Takže ty vypadnou.
A když tohleto začnete sčítat, tak nastane právě ta debata, k čemu vlastně takováhle suma konverguje,
a teoreticky není známo, jak ta limita, jak tu limitu lze dokázat. Jediné
co se v daném okamžiku umí, že se používá tzv. experimentální matematika,
kdy se prostě experimentuje s různými dlouhými součty a zkrátka
a dobře se pracuje tímto způsobem. A ten Tom Nicely právě s takovýmito záležitosti operoval
a stala hrozně špatná věc. Měl algoritmy na 486,
které mu konvergovaly k nějakému rozumnému součtu. Měl algoritmy, měl
v podstatě zobrazení těch čísel, zkrátka a dobře, měl celý softwarevý balíček,
který si sám vyrobil, a když přesedlal na pentium, tak se zhrozil - ono mu to začlo prostě courat, ty sumy prostě nebyly.
Tom nebyl žádný naivní chlapík, on předloubal paměti a myslel si,
že jsou to paměti, pak přepsal celý ten kód a pracoval s tím kódem než nakonec
tak jemně naznačil, tehdy už vlastně fungoval internet, tak poslal po internetu zprávu,
hele zkuste si třeba takovýhle podíly. A nastala smršť - těch matematiků, co se bavěj reprezentací prvočísel
a takovými věcmi, není málo - jen tak mimochodem 50% kryptologů se baví prvočísly jen tak mimochodem, toto
je podstata, proč ty prvočísla hrajou dost významnou roli,
Ale zjistili neskutečnou záležitost, prostě podíly takovýchto čísel,
který odpovídají reprezentaci tohohle toho typu, tak podíly takových to čísel končí naprosto
podivným výsledkem s pentiem, s prvním pentiem se to začalo courat na čtvrtém desetinném místě.
A ta smršť těch různých jiných pokusů, jak to prostě nefunguje, jak to prostě funguje špatně v tom pentiu,
způsobila jednoduchou věc - Intel se zastyděl, přestal hrát prostě sebejistého
dominantního hráče na poli prostě mikroprocesorů, vrátil všechny pentia zpátky, respektive odkoupil je zpátky,
přepek = udělal redesign tý aritmetický jednotky specielně v týhle oblati reprezentace binárních numer
a vrátil v podstatě tu záležitost do korektní podoby. Já tvrdím,
že tohle je největší zpráva, skutečně jedna z největších zpráv, v podstatě od dávných dob kolem matematiky,
kdy prostě matematika čistá matematika, opravdu čistá matematika, zastaví průmyslového giganta,
aby nepředstíral.
Představte si takovou úplně jednoduchou věc - nebyli by matici, naivní matematici,
co prostě dělají něco, o čem si říkáte v současné době - proboha dělej něco rozumnějšího,
a Intel by prostě by takovýto procesor dál dělal. Takže otázka, proč se třeba netrefí Pathfinder (vesmírná sonda)
na Mars, by byla přičtena úplně něčemu jinýmu,
než špatně počítajícímu pentiu. Chci říci, to je vážná, to je skutečně vážná věc.
Člověk dělá chyby, nicméně matematika je tady od toho, protože, vlastně od pánaboha, protože je nezávislá
na nás, prostě je tady, tak je od toho, aby prostě ty naše chyby třeba občas zabrzdila
a to je podle mého soudu naprosto nádherná zpráva - prostě existuje cosi, co nás může, já neříkám, že vždycky,
ale prostě může ochránit od produkcí a trvání na nějaké chybě.
A to je jedna z nejhezčích událostí, které já znám kolem počtů, o kterých byste řekli prostě,
to naprostá pitomost, tím se nezabývejte, a pak nakonec se prostě ukáže, že přes tyhle počty
dokážu v podstatě zastavit technickou chybu velkého rozměru.
Takže proto mám rád počty, proto mám rád matematiku
a budu se snažit vás jako přesvědčit, že ty počty, které tady budeme dělat,
mají smysl, mají dobrý smysl, mají i dobré opodstatnění, lze je používat
a ne všechno, co kolem nás je, se musí odhadovat přes palec.
Známí ekonomové říkají, nebo manageři, podívají se z okna - bude to takhle,
a to je jejich řešení, a já tvrdím že takováto řešení se mají opírat o to,
že si občas něco spočítám, a pak teprve dělám takového sebejistého člověka.
Chci říci, počty jsou tu od toho, a pokud se jich nebojíte,
a nemusíte se jich bát, tak je dokážete použít přesně dobrým způsobem.
Tak a teď si budeme chvilinku počítat a já vám ukáži jeden obrázek. Namalujte si ho, mezitím já budu zhasínat.
jako příklad si namalujte obrázek prostě RC systému,
který já si tady omaluji.
Budeme se tedy zabývat tím, že budeme si ukazovat na příkladech systému. Tedy v tomto případě
to bude integrační článek, který jste tam měli namalovaný takovým to způsobem.
Já bych chtěl říci, že se budeme na něj dívat tak,
že je to jakýsi systém který má nějaké vstupy to má teda nějaké napětí u1t
a má nějaké výstupy
a to je v podstatě napětí na té výstupní kapacitě
a teď vám ukáži jak takovýto systém
který třeba konec konců podobným způsobem se chová vaše nabíječka prostě do mobilu
je to řekl bych jakýsi vstupní napětí který se prostě v baterii akumuluju
a toto akumulované napětí potom používáte k tomu že můžete chodit v pohodě jaksi nezasíťováni.
Pevnou sítí.
Čili jinými slovy znáte tento příklad prostě z praktického života tady si ukážeme
jak použít základy elektrotechniky jak použít nějaké věci pro další.
a pak ze základu elektrotechniky můžeme malovat pár takových jednoduchostí je jasné
že dojde k poklesu napětí tady na tomto odporu a my můžeme napsat že platí vektorová rovnice
která říká že tohleto (píše) tenhleten pokles na tom odporu
a napětí na tom kapacitoru prostě takto v součtu dávají to vstupní napětí
je to jasný tadyhle je společná nějaké zem což byste ze základů elektrotechniky měli vědět
že tady je 0 že tento vektor dává tyhle dva vektory v součty.
je to jednoduché. A také platí Ohmův zákon
že jinými slovy asi platí to že tedy u...
ano to je skoro jasné pak také byste mohli vědět že to i(t) souvisí nějakým způsobem
s tím uc pokud si vzpomínáte tak jste někde na základní škole možná i na střední škole
měli napsáno, že tedy náboj v kondenzátoru je prostě úměrný napětí a protože náboj je derivací
tak zkrátka a dobře ta úměrnost vypadá tímto způsobem.
Proud je derivací nábojem tím pádem je to takto zapsatelné
čili jinými slovy mám dvě rovnice a můžu postupně psát tadyhle za ur napíšu r krát it to uc tady nechám
a pak za to i ještě dosadím tu hodnotu takže mám rovnici že u1(t)=... začíná to být dobré
z toho prostého důvodu že tady máme vstup a tady máme veličiny, které nazýváme výstupem.
Už tam nemám žadnou vnitřní veličinu nemám tam to i o kterým nevím vůbec nic
a jsem schopen tedy napsat tu rovnici právě
protože toto indentifikuju ze vstupem a toto z výstupem když si ještě zavedu veličinku typu
že alfa se rovná jedna lomeno RC tak tu mojí charakteristiku
pojetí tedy u(t) a y(t) tedy abych to měl v nějakém standardizovaném tvaru
vstup výstup tak zapíšu takže tedy řeknu že to je tedy dy podle dt,...
je to zřejmé jo že jsem tuto rovnici přepsal v tomto formalizmu do této podoby a co máme?
Máme diferenciální rovnici
a já jí přisuzuji vlastnost, která říká ta diferenciální rovnice popisuje systém,
který se trošku podobá nabíječce je to vlastně integrační RC článek
a ta má tuto diferenciální rovnici já můžu tuto diferenciální rovnici samozřejmě řešit pomocí klasických metod
který znáte ze základního kurzu analýzy
tady si někde poznamenám že to alfa je jedna 1/RC
aby bylo jasné s čím počítám
jak tedy řešíme takovou to rovnici? nehomogenní rovnici?
no musím pravděpodobně vědět co je to u(t) že jo
co je ten vstup čili musím znát tu pravou stranu .
No z hlediska takových těch technických jednoduchostí ten vstup může být takový
že to je funkce která je v čase t<0 tak je nulová
a v čase větší než t vetší než 0 je právě jednotková
respektive je to jakýsi konstantní napětí čili jinými slovy
já když to napíšu v tomhle tvaru že to je u krát jednotková funkce
a tuhle tu funkci nazýváme jednotkový skok.
Prostě připnu, udělám cvak.
A protože tam není 1, ale je tam nějaký u(0) tak to prostě musím vynásobit u(0) to je celá historie na tom vstupu
a na základě této informace tak vím kolik je i alfa
a dejme tomu že si řeknu že y0 v počátku bude nulové tak jsem schopen prostě celý tento systém popsat.
Jednotkový skok prosím nazývá.
Todle to je taková ošklivá jednička dvojitá jednička prostě není to čistá jednička
je to prostě funkce jednička ona prostě jede,
a pak udělá cvak
Když se tedy začneme na tu rovnici dívat tak jako na klasickou diferenciální rovnici tak
jak jí řeším, nejdřív najdu řešení homogenní rovnice takže ta homogenní rovnice vypadá
Tady píšeme řešení .
Nejprve teda homogenní rovnice a ta vypadá tak že to je 1/...
a pokud víte jak vypadá derivace exponenciely
tak je jasné že to ypsilon
jakožto funkce času nebude nic jiného enamínus alfa t kde alfa
je kladna konstanta což kladný je protože tohle jsou kladný veličiny.
Když to tam dosadíte samozřejmě tady dostanete mínus alfa....
čili řešení homogenní rovnice je srozumitelné a teď partikulární integrál
ten budeme hledat pro právě ty t>0 tam je to významné
a napíšeme si opět tu rovnici jak vypadá
je prostě rovno konstantě u že jo.
podél celý tý osy, která dává t rovno nebo větší než nula.
Takže partikulární integrál je v podstatě právě ta konstanta
když to tam dosadíte, tak zjistíte, že tadyhle samozřejmě vám vyjde nula
a tady dostanete u a u se rovna nula tedy (podtrhává) tedy napíšete že tedy řešení
je takovéto, který splňuje že y...
je toto řešení
když byste si to chtěli namalovat tak řešení nebude nikterak zvláštní bude jen mít jakousi asymptotu(kreslí graf)
ta bude odpovídat tomu napětí u0 a tady bude mít nulovou hodnotu
a jako exponenciála se bude blížit té asymptotě.
to jak to bude rychlé souvisí v podstatě s hodnotou toho R a C uvnitř toho systému.
ta rychlost jestli je to takhle pomalé
nebo je to podstatně línější závisí v podstatě na hodnotách součástek uvnitř toho integračního článku .
Chci vám říci že samozřejmě hádání partikulárního integrálu není žádný zázrak
a není to vůbec nic jednoduché pokud máte tu funkci na pravé straně v podstatně složitější, to samozřejmě víte.
My si ukážeme jak rovnici tohoto typu tzn diferenciální rovnice ve spojitém čase s pravou stranou
nehomogenní diferenciální rovnice které popisují systémy tohohle typu vstup výstup řešit pomocí laplace….
kde celý to řešení se té diferenciální rovnice se převádí na algebraizaci celé se to převádí na algebraické rovnice
proto ten první bod tvrdím že vás naučím tzn používat laplace ..
na řešení takových to rovnic
čili to je otázky tedy toho integračního článku jako druhý příklad bych vám ukázal
cosi jiného z oblasti právě ekonomické
čili ten systém bude systém variace ceny
tato úloha má jakýsi dlouhodobý obrázek v různých učebnicích ekonomie
ve kterých najdete ony zázračné křivky které říkají jak se vám v podstatě realizuje trh tím
že se prostě nabídková poptávková křivka takhle potkají, já jsem vám pokusím ukázat že to není králíček z klobouku
že to je prostě cosi co má za sebou jakousi jednoduchou dynamiku jednoduchý v podstatě odůvodnění
proč takto vlastně může fungovat trh není to všeobjímající záležitost je to jenom ukázka toho
že ekonomické řekl bych prohlášení se dá opřít o srozumitelný prostě matematický model.
Ten systém bude charakterizován tím že tedy budeme mít nějakou funkci nabídky
a ta fukce bude tedy posloupností bude to tedy prostě jakási událost který prostě probíhají
každý den čili pokud to bude nabídka dneska tak bude charakterizována takto.
Poptávka dneska bude takto, bude posloupnost označená pn
a pak tedy ještě mě zbývá cena což je takováto posloupnost
ještě jednou opakuji že tedy n odpovídá dnes n-1 je včera
a teď se začnu srozumitelně jako dohadovat nad tím jak se vlastně chová jednotlivá komodita prostě na tom trhu
když tedy řeknu, že dneska něco se nabízí tak je jasný, že ten kdo nabízí ten prodává
a ten se dívá jak se vyvíjela cena v minulosti že jo prostě dneska se na tom trhu s kedlubnama prostě budu chovat podle toho
jak to vypadalo včera předevčírem, zkrátka a dobře přinesu jich víc když ta cena rostla jinými slovy
dívám se na cenu do minulosti a nejjednodušší pohled je podívat se včera to je takový krátkozraký
ekonom že jo prostě krátkozraký manager prostě toho podniku zelinářství, ale nicméně dobře.
Podívám se alespoň do včerejška a pak je tam cosi co bych nazval státní plánovací komisí
prostě ta nabídka je definována někým někdo to naplánoval
a prostě nic jiného tady nebude žádný trh žádná variace ceny nezpůsobí nějaký pokles
nebo vzrůst nabídky prostě bude to natvrdo a nikdo nesmí vyrobit víc a nikdo nesmí vyrobit míň všichni to budou mít jasný.
tak vypadal socializmus jen tak mimochodem a konec konců takhle třeba začínala kuponová privatizace protože
když pan Tomáš Ježek a ostatní nevěděli jakou cenu tak tam něco nastřelili a řekli to je ten začátek jo.
takže chci říct výpočet tam musí být je to cosi čím se to liší od toho světa
a světa pohybu, no a poptávka
ta je jasná příjdu na ten trh dneska říkám si hele on to prodává ty kedlubny pěkně draho
tak ať si je nechá že jo?
Jinými slovy já se chovám takovým způsobem
že dneska jdu opačně s tou cenou když ta cena stoupá tak já a naopak jako můj zájem klesá
no pak je tam z formálních důvodů jakýsi zase ten svět.
Svět netrhu a mám dvě rovnice srozumitelné dvě rovnice
pak teda řeknu cosi co odpovídá tomuto bodu nedynamickému bodu prostě co odpovídá
že ten trh se realizuje takovým způsobem že tyhle dvě veličiny se srovnávají že jo?
No a teď zase začnu pracovat s tím co mám k dispozici nejdřív tu rovnici upravím s těmahle starýma veličinama
který tady mám a píšu že .....
všimněte si jednu takovou záležitost že c je citlivost nabídky na ceně
a mínus d je citlivost poptávky na ceně
čili ten parametr c odpovídá citlivost nabídky d je citlivost poptávky
a teď si řekneme kdo je kdo, toto je veličina jasně neznámá
toto je taky neznámá
tohle jsou pravděpodobně veličiny známe takže (podtrhl) tím se mě octnou na pravé straně.
....je pravá strana
na levé straně napíšu cn.....
no a jsem zase na pokraji hotového zápisu
abych zase dodržoval nějaké takové moje značení takže teď budu mít y(n)
to bude vlastně výstup z tý mlýnice bude to ta cena že jo
a u(n) bude onen vstup, který mi tam někdo naplánuje
ten u(n) opět může být někdo něco takového jako je jednotkový -já si to radši namaluju sem
jako jednotkový skok
je to posloupnost, která je neustále 0
a pak to udělá hop na jedničku
a tak toto dělá neustále další jednotky
čili tadyhle prostě 0 tady běhá to moje n0 1 2 3 4 5 tak to běhá n
ten jednotkový skok označujeme
takovýmto symbolem (píše ho na tabuli)
někdy také uvidíte moje značení který prostě jesi myslím si že je dost mnemotechnický že to je prostě jakási
posloupnost jedniček
dobře definovaných jedniček
no a celý ten systém potom napíšu tak, že tedy mám neznámou posloupnost
krát nějaký číslo gama neznámá posloupnost posunutá rovná se beta
krát ten jednotkový skok a když řeknu že to je prostě pro n větší než nebo rovno 0 tak je to beta takto natvrdo .
Přičemž beta a gama jsou tydle ty veličiny gama je prostě tento podíl je to podíl citlivosti nabídky ku citlivosti poptávky
a beta je prostě koeficient u téhle té veličinky .
Tuto rovnici (zaškrtnul jí)
můžeme nazývat já ji teda napíšu nechám tam tu jedničku třeba ať je tam vidět že to je prostě kompletní
tuto rovnici nazýváme diferenční rovnicí.
diferenční v tom smyslu, že zde máme neznámou v několika po sobě
následujících časových bodech
je tam dneska včera mohlo by tam být i předevčírem mohlo by tam být i zítra
zkrátka a dobře ta neznámá která je výstupem z toho
z tý černý bedny je vlastně dána takovým to předpisem
a my známe pravou stranu čili ta diferenční rovnice prvního řádu, protože tady jsou jen dvě
následující hodnoty čili to je první řádu
je nehomogenní
protože má pravou stranu.
Je to analogie toho našeho spojitého případu.
ukážeme si celkem jednoduše jak takovouhle rovnici metodou hrubé síly můžeme vyřešit
říkám –li hrubé síly tak tzn si prostě si dosazuju n se rovná 1 2 3 4 5
a pokouším se nalézt nějakou formulku která odpovídá řešení téhleté rovnice
Pojďme to zkusit.
(čili) možné řešení
postupně tedy dosazuji a říkám tedy n=1 s tím že tedy budu předpokládat že y0=0
to je to nejjednodušší co s tím můžu udělat na startuju ji někde.
A řeknu teda ypsilon takže ta rovnice bude.......
ypsilon 0 je 0 takže takto škrtám a dostávám řešení že ypsilon 1 je právě beta
vzorec .....
Z toho plyne co že y .......
je to vidět jo?
dosazuji dále n=3 ......
dostávám
použiji za tohleto ypsilon 2 tento výraz a převedu na stranu druhou.
a když pokračuji dále n=4 dostávám, že to je .......
když se na to zvolna zadíváte tak zjistíte že lze uhádnout
že y(n)........
Říkám to dobře jo?
když je 4 tak je to nevyšší mocnina je ? n-1
Takže kdo umí sumu geometrické řady? Částečný součet geometrické řady?
No? Kdo to umí?
to je prosím základ sčítání řad.
Znovu opakuji nemyslím si že bych se měl k takovým to věcem vracet
prosím nahlédnout dohledat ve svých minulých jaksi poznámkách z počtů
a vědět že ten částečný součet
skončí, takovýmto způsobem, takže jestli chcete tak máme řešení, které můžu z hlediska nějakých estetických důvodů mohu napsat v tomto smyslu.
A máme srozumitelnou hodnotu pro variaci ceny(zaškrtává to )
podíl citlivosti nabídky ku citlivosti poptávky jestliže to gama je menší než 1
ten trh se prostě ustabilizuje
a v limitě skončí někde u hodnoty beta jedna plus gama.
Tahle ta hodnota y(n) má limitu........
jinými slovy existuje cena na které se to zastaví ten trh
a to zastavení toho trhu znamená také
že se prostě zastaví nabídka i poptávka na nějaké konkrétní stejné hodnotě.
Já vám ukáži co z toho dále vyplývá
zkuste si to dopsat a zase spustím plátno a ukážu prostě výsledek toho počítání .
Který vede k tomu že jsme schopni popsat tento diagram,
který támhle máme pořád nepříliš určitě namalovaný, jsme schopni popsat v pojmech nabídka poptávka a cena
a ještě k tomu jsme schopni namalovat ten způsob jak se vlastně ta cena blíží k té rovnovážné hodnotě
ona v podstatě takhle kmitá a tím pádem rozkmitá i ty hodnoty nabídky a poptávky.
takže zkusíme až se to rozsvítí dneska jsem to potejral trochu
Ten celý diagram. Tady je vidět že existuje jakási rovnovážná cena
a kolem té ceny ještě to takhle kmitá to je daný to je viditelný v podstatě z tohohle průběhu
nejdřív se něco odečte pak se zase něco přičte a tohleto kmitání
způsobuje že kmitá i ta nabídka a poptávka
a vlastně vy máte body které odpovídají nabídce jsou tyto rohy toho diagramu
a ty co odpovídají poptávce jsou prosím tyto rohy toho diagramu.
A vy máte srozumitelný že nabídka versus a poptávka versus cena běží po takovým pavučinkovým
jako pavouček si to prostě uplete a skončí v podstatě někde v tom rovnovážným stavu
a toto je dynamika která je zatím a toto je prosím ona zpráva která říká není to tak jak to malují ekonomové
jen tak mimochodem úplně vzhůru nohama dá se :
nejsem schopen dohodnout v celé své historii že prostě tedy nabídky ani poptávka není nezávislá proměnná.Jo?
Prostě tou nezávislou proměnnou je v podstatě v tomto případě srozumitelně cena.
Ale je to složitější prostě ekonomové to malujou opačně takže by to prostě bylo celý takhle vzhůru nohama
ale já to vidím jako srozumitelnou matematickou disciplínu takto takže to je jenom takový komentář
když se podíváte do různých obrázků v podstatě v ekonomických knížkách tak od amerických autorů
až po české je to pořád vzhůru nohama, ale to je jen taková malá poznámka.
Co je podstatné zatím světem je ona dynamika,
onu dynamiku můžete rozšířit v podstatě o další a další dny tohle prostě podstatně hlubší pohled
do té minulosti jste schopni v podstatě říkat něco takového jak vlastně reaguje ten trh
na minulý vývoj on není tak zmatený že by prostě každý den to měnil jo?
Prostě ten reálný trh je samozřejmě trošku línější ve smyslu reálného chováni nicméně toto vám říká
jakým nástrojem do toho můžete jít a jakým způsobem můžete takovýto
fenomén uchopit, není to přes palcový výrobek, není to prostě to co se podíváte z okna
a bude to bude dneska čtrnáctého není to v této podobě.
a já si myslím že už jsem toho dneska řekl dost
a pokud nemáte klasické dotazy tak bych vám poděkoval
a řekl bych vám příště se uvidíme, nashledanou.