Přeji vám dobrý den , zase jsme se tady sešli ve čtvrtek, takže doufám, že to zvládáte .
Odkud jezdíte? Můžu se zeptat ?
Á vy spinkáte ještě po ránu. Dobře , tak já vás nebudu zase tolik trápit.
Dneska si budeme povídat o takzvaném vnějším popisu systému
a na tomhletom popisu systému, který jsem už naznačil minule si ukážeme další takové pojmy,
které jsou velmi významné v našem vlastně matematickém popisu.
Budeme si definovat pojmy
jako je linearita.
Stejně tak si budeme hovořit o časově invariantním systému
a také si něco řekneme jak slovo typu kauzalita
souvisí s tím , co jsme schopni o systému říci.
Čili dnešní přednáška se týká jak ten matematický popis dokážeme zjednodušovat díky tomu,
že jsme o nějakém systému schopni říci , že je lineární, že jsme o nějakém systému schopni říci že je stacionární neboli časově invariantní .
Nebo, že jsme o tom systému schopni říci, že tedy vyjadřuje kauzalitu nebo je-li ten systém kauzální .
Obecně vzato : minule jsme si říkali ,
že náš systém je černá skříňka , černá bedýnka .
Tady napíšu tedy, že to je black box
a ten systém jsme si charakterizovali tak, že bude popsán nějakými vstupy a nějakým výstupem .
Jakmile jsme řekli , že tedy nás nezajímá vnitřní struktura toho systému,
ale zajímá nás jak se ozývá na vstupy a výstupy , tak jsme říkali ANO to je takzvaný vnější popis systému.
Říkali jsme si , že tedy ty veličiny vstupu budeme označovat písmenkem u nebo x ,
malé písmenko u nebo malé písmenko x a ty výstupy ypsilonem .
Čili jinými slovy : někdy taky uvidíte , že tedy prostě používám písmenko x ,
zkrátka a dobře je to otázka v podstatě formalizmu , který potom budeme používat.
Já bych vám chtěl nejprve říci jednu takovou záležitost , která se týká:
vlastně v jakém čase ten systém budeme pozorovat .
Minule jsme si říkali , že prostě můžeme mít spojitý čas nebo diskrétní čas , diskrétní ukazovátko .
Já bych vás rád jaksi ubezpečil , že tedy dnešní povídání bude hlavně o těch diskrétních veličinách .
Z toho prostého důvodu , že ten náš popis bude prostě jednodušší.
Čili budeme se bavit o diskrétním světě, diskrétním popisu
a budeme se ptát na otázku jak všechny tyhlety zvláštní slova nám ovlivní v podstatě popis
tak, abychom dokázali najít na základě znalostí o tom systému,
abychom dokázali najít funkci toho vstupu tak, abychom mohli dohledat výstupní veličinu.
Z hlediska našeho světa samozřejmě spojité veličiny hrají takovou podstatnější roli,
ale nicméně, když se prostě podíváte na ten svět a začnete ho třeba reprezentovat ve svém počítadle,
tak jinými slovy představte si, že si vezmu takhle obyčejnou sinusovku
a že tedy tohleto bude taky nějaká moje funkce x(t) je sinus omega t
a já samozřejmě nemůžu v tom počítači reprezentovat nebo prostě v tom svém zařízení reprezentovat sinusovku jakožto spojitou funkci.
Já velmi často používám takovou, takový proces, kterému říkám vzorkování.
Když se prostě na tu sinusovku dívám v ekvidistantních bodech
a to že říkám dívám, znamená, že tedy mám,
že mám nějakou periodu,
což je tato vzdálenost, která se prostě pravidelně opakuje .
A to vzorkování má také říkáme, má nějaký příslušný charakteristický kmitočet,
nějaké omega nula a ten vztah mezi periodou a kmitočtem je standartní vztah mezi tedy těmito dvěma veličinami.
Jenom aby vám bylo jasný o čem mluvím, koneckonců i ten váš počítač má nějaké takzvané hodiny
a říká se prostě tedy jsou to 2MHz prostě procesory,
tak abyste věděli, to že to je 2MHz procesor, to se týká v podstatě téhleté veličiny.
Jak často se prostě na ty vaše vstupní data dívá tak je to vlastně daný
tímto vztahem T= 2pí : omega 0 . A tomuto procesu se v základech elektrotechniky jste se možná dozvěděli
, že tomu se říká prostě ideální vzorkování
a že to ideální vzorkování znamená
, že si vlastně odečtu hodnotu
té funkce v jednotlivých bodech
a v tom mým celým světě nakonec mi zbyde
jenom
posloupnost příslušných vzorků
, tak jak se to snažím tady umazat
Možná , že by stálo za to když si to namalujete jako druhý obrázek těsně pod tím
Ve vašem sešitě se možná lépe malujou prostě související
hodnoty tak abyste dostali takovýto
, takovýto nějaký srozumitelný
, srozumitelnou posloupnost vzorků, která do jisté míry celkem věrohodně reprezentuje funkci sinus
Ta reprezentace , že je věrohodná ta také souvisí s něčím takovým co jste někdy slyšeli
, takzvaným Shanonův teorém . Slyšeli jste někdy o takové věci ?
O vzorkovacím teorému? Takže jinými slovy :
všechny ty kmitočty , které tam jsou
tyhlety sinusový kmitočty musí být
minimálně dvakrát menší než tenhleten vzorkovací kmitočet .
Prostě musím dost často vzorkovat,
abych prostě měl dostatečnou hustou síť,
abych mohl tu sinusoidu zreprodukovat .
To znamená , abych jí dokázal v podstatě reprodukovat zpátky .
Ale to bychom se dostali někam jinam, tam já se nechci dostat,
já jenom chci říci, že tohleto
vzorné vzorkování
má předpoklad v jedné takové docela srozumitelné funkci,
která se říká jednotkový impuls .
Ten jednotkový impuls má vlastnost,
kterou už jsem vám tady minule se trošku maloval
Jinými slovy je to veličinka,
která je s posloupností právě jedničkou v bodě n se rovná m a
já jí označím tedy delta ( n - m ) .
Tady mám prostě posloupnost jednotlivých bodů .
Chci říci já se přestanu zabývat tím,
že budu psát že nebudu psát n ( t ) ale budu psát jenom n,
ale nicméně koneckonců zatím vždycky musíte vidět tu periodu, jo ?
A já budu jenom ukazovat,
ukazovat na pátý den v týdnu
a nebudu říkat , že jsou to dny , budu říkat pátý .
Jinými slovy : takto je to míněné , takto je míněné celé vzorkování .
A takto je míněný ten matematický zápis.
Čili v nějakém dni , kdy prostě ten argument je
nulový je to akorát jednička a všude jinde je to prostě nula
Jakmile se n nerovná m ,tak délta( n - m ) je prostě rovno nule.
Čili je to takováto funkce velmi idealizovaná , ale velmi užitečná.
Ukážeme si jakým způsobem je užitečná tváří v tvář tomuto ideálnímu vzorkování.
Takže když si to domalujete ….
Já bych ještě zkusil v podstatě znovu překreslit ten zdiskretizovaný sinus
to znamená sinus , který má takovéto nějaké hodnoty ,
to by mohlo stačit,
čili tady tedy běhá teď nyní n moje , tady mám funkci , která je diskrétní funkce nebo diskrétní posloupnost,
která odpovídá tomu navzorkovanému světu
a teď bych jako chtěl jenom říci jak se tam projevuje tahleta moje idealizovaná délta.
Představte si , že tadyhle někde je prostě jednička , že jo?
toto je právě jedna.
Když si ve stejných bodech takhle vztyčím tu mojí déltu,
čili tadyhle prostě bude delta ( n ) , tadyhle bude prostě delta ( n - 1 ),
tady bude delta ( n - 2 )
a tak dále, tak si prostě tady udělám takovouhle síť
nebo takovouhle posloupnost
těch delt a tu můžu charakterizovat takovýmto průběhem
začnu tady a takhle běžím až do nekonečna .
A takhle tam naskládám všechny jedničky.
A pak neudělám nic jiného , než že ty jedničky vynásobím nějakým zcela konkrétním číslem
Tady ho vynásobím nějakým číslem x(0)
a tohleto musím trošku umáznout.
Tady to vynásobím nějakým číslem , které odpovídá téhleté vzdálenosti
a to je nějaké x ( 1 ) , tady to vynásobím nějakou vzdáleností x ( 2 ) ,
tady to vynásobím nějakou vzdáleností x ( 3 ) ,
tedy vlastně to vynásobím konkrétními hodnotami celé té posloupnosti .
A když to tak udělám, tak jsem neudělal vlastně nic jiného, než že takto reprezentuji celý ten svůj signál.
Když prostě budu chtít jenom ten n-tý vzorek tak to napíšu takto
a mám definici mého vstupního, mé vstupní veličiny
případně naše vstupní data.
Čili já budu charakterizovat můj svět tím, že mám svoje jedničky
pak je zmenším nebo otočím, zkrátka a dobře vynásobím je nějakými hodnotami
a vlastně mám celý ten signál reprezentovaný vlastně jakýmsi takovýmto formálním zápisem
a ten formální zápis budu i nadále používat.
Takže teď se budeme snažit nalézt popis toho celého mého systému tak,
abych používal znalosti o vzorkování, používal zápisy, které prostě jsem si zatím zavedl,
ale na druhé straně abych použil ty slova na tom úplném začátku,
čili začnu tím, že si nadefinujeme, že budeme označovat vstup jakožto tedy posloupnost x(n),
budeme označovat někdy také jako u(n), ale záleží na tom jestli se prostě bavíme o vnějším nebo o vnitřním popisu
a výstup bude samozřejmě malé písmenko ypsilon od argumentu n.
Jestliže budeme mít
tady na tom vstupu
nějakou funkci jednotkového skoku,
respektive posunutého jednotkového skoku,
tak na výstupu toho systému, což je řekl bych tady označené písmenkem T,
což je černá bedna, bude veličina, kterou nazýváme impulsní odezva.
Toto je jednotkový impuls
-je na vstupu
a na výstupu je prostě impulsní odezva.
Ta veličina obecně dává pro každý řádek prostě jinou sloupcovou hodnotu.
Je to prostě matice. h(n,m) je prostě obecně maticová veličina.
My si ukážeme, jak se tahle maticová veličina dokáže změnit jenom třeba takovým pojmem jako je linearita.
Tady mám nějaké geometrické potíže s tím, že tu je podlaha křivě nebo je to celý, celé všechno divně.
No tak si tedy musím s tím trošku vyhrát, ale to já zvládnu.
Čili první pocit, který máme je ten, že tedy pro ten náš systém platí,
že tahleta veličina je v podstatě odezvou toho systému na posunutý jednotkový skok.
Čili je to odezva
a my si tedy řekneme co se stane, když z těhletěch odezev zkonstruujeme celý vstupní signál.
Když zkonstruujeme, to co jsem se tady na té tabuli trošku snažil naznačit.
Řekneme si, že tenhleten náš sinus bude taky mít i tu levou část,
to znamená, že bude od mínus nekonečna do plus nekonečna, ano?
Čili tady nebude sčítání od nuly jak jsem to tam původně měl, že jsem to začal malovat od počátku,
bude to prostě přes celý svět. Není problém.
Jinými slovy:celý ten zápis vzniká z těch jedniček, které prostě zkrátím, prodloužím, zkrátím, prodloužím
podle toho jak ten konkrétní typ toho signálu vypadá
a pak říkám
Co se stane, když ten systém je lineární?
Chci upozornit, že pojem linearita je neskutečně vážnou veličinou vážným pojmem v teorii systémů.
Linearita celou tuhletu záležitost zjednodušuje
v jakémsi srozumitelném rytmu.
Ona totiž říká, že když máte
Když máte na tom vstupu nějaký
řekněme jedno konkrétní kopnutí,
tak dostanete nějakou konkrétní hodnotu té impulsní odezvy.
A já říkám jednu takovou strašně vážnou věc,
že do toho světa, do týhletý mý bedny, můžu kopat
jednou nohou, levou nohou, ozve se i nějak,
druhou nohou-pravou nohou, ozve se mi nějak
a když prostě dokážu kopnout oběma nohama,
což je trošku ekvilibristika, ale ono to asi jde,
tak on se ozve v podstatě jakoby součtem těch dvou veličin.
Platí princip superpozice na tom výstupu co se stane na tom vstupu bude také se podobat ve smyslu vyskládání těch odezev i na tom výstupu
a v tom okamžiku já můžu tuhletu sumu takto zaměnit.
To je zvláštní, já v okamžiku, kdy platí princip superpozice tak to můžu vyskládat z těch jednotlivých čutanců -
- z těch jednotlivých delt
a v tom okamžiku a jenom v tomhle okamžiku prostě toto je princip linearity
a jenom v tomto okamžiku najednou napíšu naprosto náramnou věc.
Vstup a výstup,
vstup a výstup
jsou svázány takovýmto maticovým násobením, měl bych to spíš napsat matice krát vektor,
ale ono je to jedno celkem. Prostě tady mám sčítací index naznačený, takže je to v pořádku
a je to tak, že mě stačí pouze znát impulsní odezvu, to znamená odezvu na tyhlety jednotlivé jedničky
a pak jsem schopen na jakékoliv vstupní data nalézt příslušný výstup.
Linearita říká, že toto je možné
a dokonce naopak. Jestliže máte nelineární systém tak nic takového nenapíšete, v životě nenapíšete.
Chci jenom říci, že nelineárních jevů se kolem nás vyskytuje dostatečné množství.
Například ti co létají letadlem by mohli vědět třeba, že veškeré turbulence,
myslím tím tedy turbulence za křídlem jsou způsobeny nelinearitou proudění vzduchu.
Jinými slovy problémy,
které nás prostě obklopují, se kterými žijeme, se kterými se prostě jaksi potýkáme
nejsou všechny lineární.
Dokonce kdyby to tak bylo třeba co se týče těch Navierovy-Stokesových rovnic,
kdybychom je uměli třeba řešit,
který popisují právě proudění takovýchto kapalin,
tak v zásadě bychom mohli třeba rozumět tomu proč
takový delfín umí těch padesát pět kilometrů v hodině,
protože on má prostě takový jaksi kožich kolem sebe těch malých vírů,
že prostě úplně zmenšuje viskozitu, že prostě to pálí tou vodou podstatně snáze.
Zkrátka a dobře umět některý nelineární věci řešit znamená v podstatě velký technologický pokrok,
ale prostě chci říci: nelinearita je něco co se nám vymyká z rukou.
Lineární je svět, který prostě najednou dokážeme uchopit.
Strčíme do něj, definovaně do něj strkáme a pak jsme schopni říci
a když do něj strčím cokoliv tak prostě platí princip superpozice a já to umím popsat.
Což vůbec není pravda pro ten nelineární svět prostě.
Ukážeme si jednoduché příklady, protože si myslím, že nejlépe je mluvit o příkladech než mluvit o takových věcech obecně.
Vzpomínáte si, že jsme si minule tady ukazovali diferenční rovnici, která vypadala tak, že tedy je to diferenční rovnice prvního řádu,
má dva posunuté členy jako neznámou veličinu
tedy něco jako výstup a já teda říkám,
já tedy říkám, že systém popsaný takovouto diferenční rovnicí,
takovýmto popisem je systém lineární.
A teď si formálně ukážeme, jak že to je.
No já říkám,
že jestliže tady budu mít nějaký jeden vstup
a jemu bude odpovídat nějaký výstup,
přičemž ten vztah mezi nimi bude dán touto rovnicí
obecně ...
…. a pak mám druhý nějaký jiný signál,
jiná data,
která systémově vlastně odpovídají stejnému systému, tak dostávám v podstatě jakési y2(n).
Princip superpozice respektive linearita, to že tedy tento systém je lineární neříká nic jiného
než že když realizuji na vstupu
jakousi kombinaci
těchto předešlých elementárních vstupních dat,
tak na tom výstupu budu mít odpovídajícím způsobem a1y1(n) plus a2y2(n)
jinými slovy, že součet na vstupu se reprodukuje součtem na výstupu ve smyslu systému.
To znamená tady se prostě objeví výstupní veličiny odpovídajícím způsobem.
Když to chcete úplně dobře namalovat, tak to samozřejmě namalujete v takovémto kontextu,
tak jak to mám tady na slidu (slajdu), že řeknete
že v podstatě ty dvě rovnice vynásobíte a1,a2,
sečtete a v podstatě na levé straně budete mít takovouto veličinu
a v zásadě dostanete že prostě i ten součet splňuje tu příslušnou původní diferenční rovnici.
Jinými slovy ta diferenční rovnice generuje systém, který je lineární.
Aby bylo jasné
existují velmi jednoduché, řekl bych popisy, na nelineární systém, který třeba umíme velmi srozumitelně si nadefinovat.
Čili teď se budeme zabývat opakem
nelinearita.
Určitě to nebude tenhleten systém, který jsme si tady takhle namalovali
a určitě nebude platit tahleta záležitost.
Ukážeme si jak ten nelineární systém v konkrétním případě
a třeba teda si řekneme nelinearita je prostě odmocnina,
tedy systém odmocniny, to znamená část nějaké aritmetické jednotky,
která do které prostě vstupuje hodnota a vystupuje odmocnina.
Čili se budeme bavit o systému odmocnina jakožto o typicky nelineárním systému.
Nejdřív si to ukážeme konkrétně, pak si ukážeme jak takovýto systém popsat nějakou diferenční rovnicí,
která prostě samozřejmě vypadá jinak
a ukážeme si ten velký dramatický rozdíl mezi těma dvěma rovnicemi.
Je jasné že když prostě budeme chytře říkat a budeme si říkat dobře já potřebuju udělat třeba odmocninu z devíti,
čili nějaké x1(n) bude právě devět.
Tak na tom výstupu by samozřejmě mělo být
Tak na tom výstupu by mělo být samozřejmě tři,
protože odmocnina z devíti umíme, víme, že to jsou tři.
Když totéž uděláme s další veličinou,
když řekneme že x2(n) je nějakých zase šikovných šestnáct,
taková veličina, kterou umíme ovládat,
tak ten výstup tady samozřejmě bude čtyři.
A teď si zkusíme trivialitu.
Řekneme, tady na vstupu dáme součet těhletěch dvou veličin
což je dvacetpět.
Odmocnina by samozřejmě měla dávat pět, že?
Jenže to ani náhodou!
No to nepíše dobře, takže to můžu zahodit.
To ani náhodou není rovno čtyři plus tři.
Typická záležitost.
Prostě vstup může samozřejmě se tam chovat něco takového, že sčítám,
ale na tom výstupu ani náhodou nedostanu součet těch výstupních veličin.
Čili toto je prostě klasický úplně jednoduchý příklad na nelineární systém.
V aritmetické jednotce prostě každého komputeru se prostě vyskytuje takovýto algoritmus.
Ukážeme si jak může třeba vypadat takový algoritmus
a ukážeme si jak konec konců vypadá diferenční rovnice pro takovýto algoritmus,
který prostě realizuje úplně triviální a okatou věc,
proč něco nemusí být lineární.
Asi potřebuji víc místa tak teď to zase takhle vytáhnu,
zhasnu na chvíli….
Ukážeme si na příkladu
odmocniny, tak si ukážeme v podstatě napíšu to slušně odmocniny.
Tak si ukážeme jak budeme hledat třeba odmocninu z desíti.
Čili vstupním x(n) je prostě deset.
No protože umíme počítat, tak velmi často je dobré si říct cože to udělá v té druhé mocnině
a umíme takto namalovat v podstatě klasický mocninný inteager kolem desítky
prostě to není problém.
Jinými slovy: my víme, že tedy nějaký odhad té mocniny je tohoto typu,
čili toto vezmeme jako odhad
a budeme si tady malovat v podstatě tedy ypsilon nula,
že je tedy prostě tři
a tady budeme malovat ypsilona nula na druhou že je tedy devět. To je prostě jasná věc.
A jak teda získáme nějaké ypsilon jedna.
y1 získám tak, že vezmu těch deset,
vydělím třemi
a spočítám to dejme tomu na
dvě desetinná místa.
Čili vezmu v uvozovkách tuto veličinu
a pak vezmu tu původní
a celé to vydělím dvěma.
Aby bylo jasný - vezmu 10 vydělím 3 a dostanu 3,33.
Vezmu dělitel a podíl, sečtu a vydělím dvěma.
Dostanu 3,165.
Takže první odhad,
který jsem získal tak, že jsem vzal y1 je jedna polovina z
x(n) tedy z x(0) v podstatě, protože tohleto v podstatě tedy taky muselo začínat, čili to je pořád jako ta desítka
děleno y(0) plus y(0), že jo?
a dostal jsem, že je to 3,165
a ypsilon jedna na druhou a já tady někde mám
- tak je to 10,01. Já to musím opsat
sedm, dva, dva, pět
a takhle pokračujeme y(2) vezmu tak, že vezmu jako jedna polovina z x(1) děleno y(1) plus y(1),
jinými slovy:
vezmu deset, vydělím to 3,165 a dostanu to na šest desetinných míst
jako zase dvojnásobek, jako jo?
a takhle dělím a dostanu veličinu 3,16
a teď tady musím to zase tady opsat šest, dva, dva, sedm, osm
a z toho tedy ypsilon dva na druhou už je velmi slušné přiblížení, protože to je 10,0000
kolik je tam nul, čtyři, pět a pak tady je to dvojka,
jo?
Velmi rychle to kráčí k té odmocnině z desítky, jednoduchý algoritmus tohohletoho typu.
Já ho tady obecně napíšu.
Říkám, že tedy y(n+1) vygeneruji tak, že je to jedna polovina z y(n) plus toho původního čísla vyděleného y(n).
Když se to pokusíte napsat do rovnice, kterou jsme tady měli v předchozím tvaru,
tak to prostě vynásobíte dvěma, tady budete mít y(n+1) krát y(n), které jste měli ve jmenovateli
budete tady mít napsáno mínus y(n) krát y(n) se rovná x(n).
Toto je
prosím formálně napsaná diferenční rovnice,
kde na levé straně máme neznámé veličiny na pravé straně máme tu známou veličinu
a tahleta diferenční rovnice realizuje v podstatě odmocninu,
realizuje algoritmus, který jak vidíte docela úspěšně pokračuje a velmi rychle k té odmocnině z desíti dokonverguje,
ale co je podstatné?
Na rozdíl od toho lineárního případu.
Já to takhle přikloním, aby se to tolik nelesklo třeba to bude já nevím čitelnější.
Na rozdíl od toho předcházejícího případu ta neznámá se v rovnici vyskytuje v součinech
a jakmile ta neznámá je tam v součinu není tam svobodná, sama jediná,
tak v tom okamžiku máte co do činění s nelineárním systémem
a ten nelineární systém je pěkné když se dá takhle explicitně zapsat
mnohdy ani takovouhle rovnici kolem toho nenapíšete,
podstatné je, že ten nelineární systém pro něj neplatí princip superpozice
a vlastně je to jakýsi problém sám o sobě.
Když bych se vrátil zpátky třeba k těm Navier–Stokesovým rovnicím,
tak kolem nich se rozvinula celá numerická matematika,
takzvaný "Finite element method" (fainait element metod)
to znamená metody konečných prvků, které se prostě matematicky řeší prostě velmi složité diferenciální rovnice,
ale bez toho to prosím nejde jo, prostě všechny designy auťáků vlastně se dělají prostě v umělých tunelech,
kde prostě je to otázka proudění a zase se to počítá pomocí podobných rovnic.
Když se prostě dělá letadlo nic jiného nezbývá, než to křídlo takhle otestovat než tam toho pilota posadíte.
Zkrátka a dobře bez toho to nejde, ten život nejde.
Ale já vám chci říct není to to, čím se budeme my zabývat.
Já jenom chci říct, že je to obrovský místo na světě nelineární diferenciální rovnice,
nelineární systémy, ve kterých prostě co kus to jiný výsledek.
Bohužel tak to je a nelineární systémy, my prostě říkáme: ano ať jsou
ale prostě trošku bez nás.
Takže tady bude shrnutí příslušné rovnice , kterou jsem napsal támhle už na tabuli,
ale nicméně jí mám napsanou v posunuté verzi, ale to nic nemění na tom, že je prostě, že je to prostě platné.
Čili numerický výpočet odmocniny je generován takovouto rovnicí
nebo takovýmto algoritmem a ta rovnice v podstatě dává tušit,
že prostě s nelineárními systémy je to podstatně složitější hra nežli s těmi lineárními.
Velmi vážnou veličinou a vážným pojmem se kterým se nyní budeme zabývat
je prosím časová , časová proměnnost nebo časová neproměnnost toho systému.
Co se týká tohoto konceptu
představte si zase zpátky mě jako když kopu do toho systému a dělám to dneska, zítra, pak to udělám za týden,
udělám to za dva roky a dostávám pořád stejný výsledek
ať to dělám kdykoliv.
Jinými slovy ten systém v dlouhém čase nestárne.
Má-li to být třeba systém třeba přehrad na vltavské kaskádě,
tak prostě ty přehrady se neodrolují, jo?
nebo má-li to být systém metra, tak prostě ty vagóny prostě se časem nenafukují nevejde se čím dál tím větší počet pasažérů,
prostě jsou to veličiny, které prostě charakterizují ten systém jako časově neproměnný v tom smyslu,
že prostě se nemění jeho parametry.
Čili stacionarita, čili časová invariance říká,
říká že to co se stalo dneska , včera, prostě je ekvivalentní
je pořád stejná nebo vychází pořád stejná hodnota.
Z toho nakonec vyplyne jedna vážná věc:
ty události, které měříme nebo které pozorujeme
jsou takové, že když se posunou na tom vstupu ze čtvrtka na pondělí,
tak o tyhlety čtyři dny se také změní na tom výstupu.
Jinými slovy celé ty procesy už nejsou takový , že prostě tam musím mít všechny události i mezi tím,
ale stačí mi prostě vzdálenost mezi těmi jednotlivými časovými, časovými body,
čili prostě bavím se o intervalech.
A v tom okamžiku celý ten můj popis najednou dostane docela rozum.
Onen maticový popis, to znamená matice impulsní odezvy
se zjednodušší na vektor, ztratí jednu dimenzi.
Zcela náramná veličina počítat s maticemi , počítat s vektory je přece jenom jednodušší zábava.
Takže ta matice, která původně byla n,m závisí pouze na rozdílu n-m.
To je vážná věc.
Takže mě stačí naměřit to pouze jednou,
nemusím to měřit pozítří a popozítří a pořád vždycky na ten jednoduchý impuls,
ale stačí mi to naměřit jednou a pak pokud ten systém je stacionární to znamená nestárne v průběhu času,
tak vždycky pro něj bude ta konvoluční suma vypadat takovýmto způsobem.
Řekl jsem konvoluční suma , čili odtud vychází ….
Posledním takovým
velkým slovem je kauzalita.
Jak vnímáte vy pojem kauzality? Co je to kauzalita?
Je to příčinnost. Je to prostě následná příčinnost.
Jak jinak tedy prostě vnímat příčinnost?
Představte si, že si usmyslím, že by se tady mělo zhasnout
a než tam dojdu k tomu vypínači, tak se zhasne.
Takže to je asi něco co příčinně není dobře, že jo?
Nejsem schopen v podstatě zhasínat zrovna tady světlo v této místnosti tím, že si jenom na to pomyslím.
Prostě musím k tomu vypínači dojít, až teprve poté co na něj sáhnu, tak se vypne.
Jinými slovy: následnost jevů v tom našem světě je něco co velmi potřebujeme.
V našem mikro, jaksi makro světě potřebujeme, aby činy respektive, aby měly každá prostě jaksi, akt měl nějakou příčinu
a ta příčinná souvislost a ta příčinná jaksi následnost je strašně vážnou hodnotou.
Nemáme rádi, když se v našem, v našem obyčejném světě dějou prostě jevy,
které prostě vypadávají z tohohletoho kauzálního řetězce.
I když chci říci, že prostě pokud jste slyšeli něco o kvantové fyzice, tak ten mikrosvět samozřejmě je takový,
že tam kauzalita není tak úplně jaksi zachována.
Dokonce jsou tam takové jevy typu, typu že třeba basketbalový míč může prostě se octnout na druhé straně dveří,
ačkoliv teda má k dispozici jenom klíčovou dírku.
Zkrátka a dobře jsou tam jevy, které v normálním makrosvětě prostě nemají své místo,
ale my se teda pohybujeme v našem světě, ve kterém prostě ty následnosti kauzální prostě posloupnosti jsou zachovány.
A říkám-li jsou zachovány, tak také říkám že něco musí platit o těch našich popisech, které tady máme.
Řekli jsme si, řekli jsme si teda , že vztah mezi vstupem a výstupem
je dán takovouto konvoluční sumou.
A já bych vám teď tady ukázal,
když tuto sumu rozdělím na sčítání od mínus nekonečna do mínus jedné
a potom sčítání od nuly do nekonečna,
tak si vezmeme jenom tu takzvanou řekneme tomu tedy levá část té sumy,
kterou tedy označím že sčítám od
k se rovná mínus nekonečno výraz h(k) x(n-k).
A teď si zkusíme rozebrat co to udělá s prvními dejme tomu dvěma nebo třema členy.
Že si to napíšu tak jak to tedy opravdu vidím,
takže řeknu: dobře tady bude h(-1) x(n+1),
pak tady bude h(-2) s plusem x(n+2),
pak tady bude h(-3) x(n+3).
A teď se ptám,..
plus a tak dále.
A teď se ptám: je na tom něco divného?
Jestliže n označuje výstup dneska, výstup dnes, co znamená x?
No vstup zítra, vstup pozítří.
To je divné né?
Já konstruuji dnešek z událostí zítra, pozítří, popozítří to je špatně,né?
Nebo špatně, to by bylo docela prima takhle umět občas,
ale v tom našem světě to nefunguje,že?
Takže kauzalita, kauzalita nám celkem logicky říká toto ne!
Ještě jednou: ten důvod je, že se na výstupu objeví události, které jsou na vstupu až zítra, pozítří a tak dále.
Objeví se tam cosi jako že byste třeba věděli jaký táhnou teď numera prostě na těch 85 miliónů, jo?
No prostě bylo by to príma, bylo by to báječný, ale to nevede k cíli, tak to nefunguje ten náš život.
Čili z hlediska popisu
mě tam zbývá
prosím jenom tahleta část
a já z toho celého světa sčítání prostě sčítám jenom polosvět.
Sčítám od nuly do nekonečna.
Kauzální systém je popsán vektorem impulsní odezvy
která má nenulové hodnoty pouze pro n je větší nebo rovno nule.
Prostě zkrátka a dobře jenom v té pravé části světa ano?
Tyto hodnoty tam být nemůžou, protože jinak by nám přeorali celý příčinný svět.
A pak ještě jedna taková záležitost.
U těch systémů, které máme k dispozici,
tedy máme tento zápis,
takovouhle konvoluční sumu…
tak velmi často můžeme rozlišit řekl bych ty umělé a přirozené systémy.
U těch umělých tam si prostě ten člověk zahájení toho měření prostě definuje
Vy si spustíte počítadlo, vy začnete měření v nějakém čase konkrétním čase t
a to že začnete takto měřit nakonec znamená, že prostě v umělých systémech
mají definovaný počátek.
Čili co tím chci říci? Chci tím říci, že prostě všechny moje vstupy i výstupy
chci mít takové,
že jsou nula pro všechny n menší než nula.
Jinými slovy řeknu prostě tady je počátek mého světa,
tady před tím není nic a teprve teď to začíná.
Jakmile tohle řeknu,
tak z tuhleté sumy, která je nekonečná se prostě stane konečné sčítání
a jsem úplně přešťastný,
protože konečné sčítání vede ke konečným časům
a algoritmicky je to velmi často to, co vlastně chci od toho mého popisu,
já velmi často potřebuji, abych na základě nějakého měření vstupů dokázal v rozumném čase spočítat jak vypadá ten výstup.
Velmi často tyto definice vedou k tomu, že to může být docela komplikovaná záležitost.
Čili chci říct: všechno co tady říkáme, všechny ty slova
linearita, stacionarita nebo časová invariance, kauzalita
a to že to spouští chlap nebo pardon nechci být shovinista nebo může tam být i baba, že jo?
Prostě, že tam je nějaký tlačítko,
vedou k tomu,že vlastně z toho celého téměř neprůstřelného
a ne úplně jednoznačného popisu skončíme u takovéto srozumitelné konečné sumy docela dobrý, né?
To je výsledek, který říká, že ta slova, která používáme, že ta slova která používáme mají neskutečně vážný význam.
To nejsou slova jenom tak aby odplynula,
to jsou slova, která mají.. reprezentují cosi a zcela vážně reprezentují
a já bych byl rád kdybyste z této dnešní přednášky si právě odnesli tuto záležitost,
abyste vnímali, že celá tahleta jaksi popisná část
používá jakési verbální vyjádření a to verbální vyjádření velmi rychle promítá do toho jaký ten zápis matematický má mít k dispozici.
V tomto smyslu ty počty souvisejí bezprostředně
vůbec s uchopením systému jako takového.
A já bych byl rád kdyby tohleto jste si odnesli jako představu z dnešního povídání.
Jak jsme na tom? Ještě dokážu říct pár slov o spojitých systémech.
Já jsem se vám tadyto ukázat jednoznačně celý tento popis a celý tenhleten příběh na systémech nebo na popisu,
který vyplývá z diskrétního,
ale také jsem vám říkal, že existuje možnost spojitého popisu.
K tomu abych se dobral jednoduchého vyjádření v podstatě našich posloupností
jsem potřeboval používat jednotkový impuls.
Chtěl bych říci, že v tom spojitém světě je tento popis podstatně složitější právě proto,
že zde potřebujete funkci,
která vlastně není funkcí,
kterou nazýváme někdy
nebo t mínus t nula,
Diracovou funkcí
a všichni matematici by zapištěli, protože ona to vlastně není funkce,
ona je to z hlediska matematiky něco takového jako je to funkcionál.
Ona má jisté vlastnosti,
představte si, že máte
v bodě t nula máte jakési drobné okolí,
které je takové,
že tam můžete na tuhleté časové ose vztyčit takovouto veličinku,
která má dejme tomu jedna lomeno epsilon šířku
a nebo takhle: epsilon šířku,
tahleta vzdálenost nechť je epsilon
a výšku má právě jedna lomeno epsilon.
Takovouhle funkci nazvu jakousi délta epsilon
v tomhletom okolí.
Ta má vlastnost, že prostě integrál přes celý svět
je samozřejmě jednička, protože je to dáno plochou téhleté funkce
a ta Diracova funkce je vlastně definována jako limita všech takovýchto podivných funkcí.
Jinými slovy: ta funkce má čím dál tím lepší lokalizaci v bodě,
ale má zase tak vysokou amplitudu, aby dávala prostě ten integrál dostatečně, dostatečně řekl bych jedničkový.
To je základní problém, kterým čelíme v podstatě v těch, v tom spojitém popisu.
Matematici říkají těmhletěm funkcím, které jsou dány limitami posloupností neboli limitami podintegrálních funkcí,
říkají jim zobecněné funkce neboli funkcionály
a prostě je celá teorie funkcionálů, která vede k tomu, že se to co se velmi jednoduše říká v tom diskrétním světě
se dá přetlumočit do světa spojitého.
A právě proto, že se to má jenom tlumočit, tak já vám nebudu říkat velké detaily, já se vám pouze pokusím říci,
že ten svět diskrétní a spojitý má cosi společného a má samozřejmě jakési rozdíly mezi sebou,
ale ta podstata té věci je bohužel velmi zapeklitá v tom,
že tenhleten náš svět tuhletu nejjednodušší věc jako je jednotkový impuls
má né příliš dobře uchopitelnou v tom spojitém světě.
Představte si mé jednoduché kopání.
Jak já mám určit jestli tohleto je dostatečně malý anebo tohle je lepší, jao jo?
Jinými slovy tam je velký problém co je vlastně ta lokalizační veličina.
Čili v tom spojitém světě, on je idealizovaný a v tomto smyslu je idealizovaný
že vlastně všechno je to přes nějaké limity, přes nějaké řekl bych zespojitění něčeho co je vlastně spojité koneckonců ani být nemusí.
Takže já se budu věnovat téhleté záležitosti příští hodinu,
jenom jsem chtěl říci úvod rozdílu mezi spojitým a nespojitým světem
a dneska máte odcházet s tím, že víte, že něco je velmi důležitou veličinou,
že je linearita, velmi důležitou veličinou že je časová invariance a velmi důležitým pojmem že je kauzalita.
Mějte se hezky , přeji vám hezký den a nashledanou.