Přestaňte mlsat a jdeme pracovat, dobrý den.
Minule jsem skončil na úrovni, která říkala,
že potřebuji-li popsat systém z hlediska vstupu a výstupu ve spojité oblasti,
musím si velmi dobře zadefinovat, co je to krátké kopnutí do systému, to znamená jakým způsobem jsem schopen realizovat onu funkci,
kterou jsem v diskrétní oblasti nazýval jednotkový impuls.
Čili první taková záležitost, která je
vnější popis
ve spojitém čase.
Tak jsme si říkali, že pro
onu otázku jak realizovat ten vstup,
který by byl jednotkovým impulsem
tak abychom mohli dostat na výstupu
impulsní odezvu,
takže se přichylujeme k formalismu, který říká, že budeme používat
Diracovu funkci
delta(t)
a já říkám funkce, ale měl bych říkat funkce v uvozovkách
z toho prostého důvodu, že tento jednotkový impuls
ve spojité oblasti má určité zvláštnosti,
zvláštnosti v tom, co jste možná slyšeli už ve fyzice,
ale nicméně tady si to alespoň v jednoduchých rysech zopakujeme.
Na té funkci je pozoruhodné to, že
ona je nula skoro všude
pro všechna "t", která jsou různá od toho "tau".
A pak také o ní platí tolik,
že když tu funkci
zintegruji přes celý svět
tak obdržím právě onu jedničku,
která mi říká, že to je jednotkový impuls.
Co znamená integrace? Integrace znamená v podstatě plocha pod tou funkcí.
V tomto smyslu je to právě docela potíž s touto deltou,
kterou můžeme spíše definovat jakožto takovouto funkci, kterou tedy nazývám delta epsilon té mínus tau
a to v tomto smyslu.
Budu mít kolem bodu tau, budu mít nějaké malé okolí,
které prostě bych nazval, nazval právě epsilonové okolí.
Všude v tom okolí, na vnějšku toho okolí, prostě ta funkce je rovna nule, to platí.
že plocha,
která je vždycky dána součinem šířka krát výška.
Takže šířka je epsilon a výška musí být 1 lomeno epsilon (1/epsilon), aby to dávalo právě jedničku,že ano.
To je prostě ta plocha.
A to je tento integrál.
jinými slovy ta funkce delta epsilon je taková podivná,
nespojitá funkce, která čím je menší to epsilon,
tím je vyšší ta její hodnota, tak aby prostě ta plocha pod tím byla právě ta jednotková.
A my můžeme napsat takovou formální záležitost,
že prostě naše delta
je limitou takovýchto
definovaných, nespojitých funkcí
a právě proto, že je to limita nespojité funkce,
tak je to svým způsobem, ne úplně v pořádku říkat, že tato delta je delta funkce.
Ale fyzici si na to zvykli a říkají, že to je delta funkce,
my teda budeme říkat, že je to jednotkový impuls,
ale budeme si pod tím představovat takovouto veličinu.
V poctivé matematice se říká těmto funkcím funkcionály právě proto,
že oni mají, začnou mít význam jenom pod tím integrálem.
Ona totiž dále platí taková jedna z věcí, takzvaná lokalizační vlastnost této delta funkce,
která říká, že když budete mít jakýkoliv průběh
nějaké funkce,
třeba je to tedy x(t),
a když tu funkci přes celý svět budete takto integrovat
s delta funkcí,
tak ta delta funkce vám právě v bodě tau takhle řekne, že to je právě tato hodnota, která je prostě x(tau),
respektive, že je to právě ta hodnota, tady napíšeme, že to je tedy nějaké t1, ano?
Že to je prostě v tomto bodě t1.
Čili takto platí lokalizační vlastnost.
Jinými slovy, to je něco podobného, co jsme měli,
měli v tom diskrétním světě, kde jsem říkal,
že celou tu posloupnost jsem schopen realizovat v podstatě jakožto tedy vzorky těch jednotlivých, jednotlivých částí toho signálu
a jsem schopen v podstatě realizovat přes sumu, kdežto tady je to prostě přes integrál a delta funkci.
Je to prostě jakási abstrakce navíc, ale podstatné je,
že tuto vlastnost a tuto vlastnost potom použijeme v okamžiku, kdy chceme prostě korektně definovat vstup a výstup systému,
který je popsán ve spojité oblasti a ve kterém máme k dispozici trošku jiné vlastnosti toho jednotkového, jednotkového impulsu.
Takže já bych tohle smazal.
A budeme říkat tedy,
tak jako v souladu s předchozími úvahami o diskrétním systému,
že tedy na jednotkový impuls
ve smyslu tedy té naší delty, ten systém odpoví veličinou, která se nazývá impulsní odezva.
Čili vy tady do toho vpustíte onu ne příliš jednoduše definovatelnou funkci
a tady na tom koncii se vám prostě objeví, objeví průběh,
který prostě třeba bude vypadat takovýmto způsobem,
tohleto bude třeba to h (t).
Jo, vy do toho strčíte a ono to na konci udělá ňňň ňň ň ň ň ň ň
Jo třeba takovýmto způsobem se to bude chovat.
Čili tady do toho pustíte onu, onu deltu.
Když to uděláte v čase posunutém,
když to prostě uděláte
takto,
že strkáte do toho, kopete do té bedny, v čase posunutém,
tak pokud ten systém má tu vlastnost,
že bude časově invariantní (time invariant),
to znamená, že se bude chovat stejně, v jakémkoliv
posunutém čase, to znamená celý tento průběh, se prostě pouze posune
a nic jiného se nestane, tak také říkáme,
že pro ten stacionární systém, prostě ten time invariant system
prostě dostaneme posunutou impulsní odezvu, tak jak to má býti.
A teď, protože nám platí
teď si to představte jako bych rolovat dál,
protože nám platí taková vlastnost
že x(t) mohu napsat jako integrál přes celý svět
v této podobě,
tak já mohu
na tom vstupu mohu prostě reprezentovat každý takovýto vstupní, každý,
každý vstup bude díky linearitě a časové invarianci,
linearita z toho důvodu, že můžu také sčítat na tom výstupu
a sčítat znamená v tomto smyslu, že můžu, jestliže na vstupu je integrál tak na výstupu bude také integrál,
tak v tomto smyslu, tady na tom výstupu
dostanete
příslušnou posunutou deltu,
respektive ta teda způsobí, že tam bude tedy impulsní odezva posunutá
a tady budete mít x(tau) d(tau)
a to bude prosím náš výstup.
Obdrželi jsme totéž, co v tom diskrétním světě, obdrželi jsme v podstatě tedy konvoluční integrál.
Zdůvodnění je velmi podobné jako v tom diskrétním provedení,
postupuji tak, že nejdříve si musím ten systém otestovat,
musím ho prostě podrobit oné zkoušce, že do něj jednoduše kopnu,
proměřím že je lineární, proměřím že je časově invariantní,
a pak tedy dostávám, že tedy prostě lineární a časově invariantní odezva na jakýkoliv signál je prostě dána tímto způsobem.
A to je vlastně zpráva o systémech, které jsou
lineární, časově invariantní a my si tady ukážeme pár, řekl bych obrázků, které tady mám na slidu.
Říkám tam z nějakého důvodu, že ten systém je také analogový,
to prosím se také velmi často používá, protože my ten spojitý svět vnímáme, vnímáme z podstatě analogií,
že slyšíme, že vidíme a myslíme si, že toto jsou prostě signály, signály, které umíme v podstatě chápat a vnímat.
Podstatné je, že tedy dostávám konvoluční integrál, takže to není žádná, žádné zvláštní zvíře,
to je prostě odůvodněná, odůvodněný vztah mezi vstupem a výstupem ve spojité oblasti.
Ten konvoluční integrál se také občas značí s hvězdičkou, což je tedy běžná možnost jak tedy prostě takovouhle záležitost používat.
Jak již jsem řekl, ta funkce h(t) se nazývá impulsní odezva.
Jedná se o výstupní signál, prostě když si do téhleté rovnice původní dosadíme prostě tu delta funkci
tak samozřejmě dostaneme, dostaneme takovýto jednoduchý tvar a z definice delta funkce zjistíme,
že prostě opravdu vstoupíme tím jednotkovým impulsem tak dostaneme na výstupu impulsní odezvu.
To je potvrzení, že to prostě je v pořádku popis.
No tady vlastně řeknu ten vstup, nechť je posunutá, posunutá delta,
napíšu to takto,
a pak použiju vlastnost příslušné delta funkce a řeknu:"Aha, je to v pořádku
když do toho strčím tímto způsobem dostanu na výstupu impulsní odezvu".
Je to OK.
No pak nakonec ještě, bychom si měli říci něco o
kauzálním systému,
to znamená systému, který
který v tomto integrálu, který tady máme napsán,
bude mít tu vlastnost, že tedy
bude mít tu vlastnost na výstupu, že
na výstupu se neobjeví cosi,
co by předcházelo na vstupu, jinými slovy prostě nenastane tam situace,
která na ten vstup přijde až pozítří a teď by vlastně se objevovala na výstupu,
čili jinými slovy, nebude se přecházet ta záležitost.
Čili když si rozdělíme ten integrál na dvě takové části a jednou budeme integrovat od nuly do nekonečna
a podruhé budeme integrovat od mínus nekonečna do nuly,
tak je celkem zjevné,
že když tohleto tau
když tohleto tau
běhá přes všechny záporné veličiny,
tak tadyhle budu mít prostě časy typu t+jakési třeba tau1
Jinými slovy budu tam později
na tom vstupu, prostě zítra, pozítří,
kdežto tady prostě na tom vstupu
na tom výstupu budou pořád jenom veličiny pozorovatelné třeba právě dneska.
Jinými slovy veličiny tohoto typu nemohou přispívat výstupu tak, aby to byl kauzální systém.
Toto jsou přesně ty nekauzální veličiny, které se tam objevují a prostě aby to byl kauzální systém, tak tuto část musím vyloučit.
Jo, důvod je v tom, že prostě na tom vstupu se objevují události,
které by to popoháněly dřív nebo tedy do budoucna,
přičemž zatím mám čas jenom dnešek
No je to stejný princip, jakože tedy
se zhasne tady v této místnosti než-li já dojdu k vypínači a zhasnu, že jo?
Prostě to holt jako nevychází, to bohužel nevychází.
A toto je stejná událost, jo. Nějaká událost v čase x(t+tau) nějaké 0,
je událostí pozdější vzhledem k x(t).
Ale protože já mám t veličinu na tom vstupu, tak prostě to holt nemůže být tak,
že ten výstup ovlivňuje ze zítřka, prostě ovlivňuje ten dnešní výstup.
Chci tím tedy říci, že lineární, časově invariantní, kauzální a spojitý systém
má prakticky formálně stejný popis jako ten diskrétní,
s tím rozdílem, že všude tam kde byly sumy, tak jsou prostě integrály.
A tento jediný rozdíl uvidíte, jak způsobuje v podstatě rozdíl i v uchopení,
to znamená použití nářadí na takovéto systémy, zkrátka a dobře uvidíte, že tento jediný rozdíl znamená mnoho.
A zatím tedy opustíme vztah vstupu a výstupu a pokusím se vám tady říci pár slov o druhém typu popisu,
který jsem zmiňoval v první přednášce.
Budeme se zabývat takzvaným vnitřním popisem.
Já jsem vám na úvodní přednášce říkal,
že na rozdíl od toho vnějšího, kde teda prostě se bavím výrazně o vstupu a výstupu,
tady jsou řídícími veličinami, respektive tím,
čím se zaobírám u toho systému, jsou vnitřní proměnné toho systému.
Ty hrají významnou úlohu.
Velmi často se nazývají - stavová proměnná.
Nazývá se z toho důvodu, že veličiny tohoto typu
určují něco takového jako stavy.
Představte si stav třeba hladiny
vody na přehradě Vltavské kaskády.
Čili budete vyhodnocovat dejme tomu takovou záležitost jako je třeba průtok Vltavy na soutoku s Labem,
vyhodnocovat z toho, že prostě budete mít vnitřní proměnné stavové veličiny,
to znamená výšky hladiny na přehradní kaskádě vltavské.
Typická záležitost, to je vnitřní proměnná
vy samozřejmě prostě můžete podle toho jak se ty vnitřní proměnné budou měnit,
podle toho můžete regulovat, regulovat v podstatě ten průtok na soutoku,
zkrátka a dobře můžete těmito veličinami velmi ovlivňovat to, jak se vlastně chová celý ten systém. Stavové
Stavové veličiny jsou ty veličiny, které do jisté míry veličiny, které určují celou dynamiku toho systému.
Velmi často se snažím něco pozorovat, to znamená jakési kombinace těch stavových veličin na nějakém výstupu.
Ten výstup běžně také značím písmenkem "y" a já jsem to začal označovat to písmenkem "t".
Vězte, že ten popis může být jak spojitý, tak diskrétní.
Obě dvě ty možnosti jsou možné.
Ukážeme si, že jsou velmi podobné v jistém slova smyslu.
Co je podstatné je tedy, že mám nějaké stavové veličiny
mám nějaký výstup a k teorii řízení se ještě přidává k tomu veličina, která se nazývá
řízení,
což je vlastně jakýsi jiný vstup.
Tahleta veličina v teorii řízení, míním tím ještě jednou opakuji Control theory,
to jsou veličiny, které se v podstatě běžně k tomu,
k přehradě nehodí úplně, ale hodí se v podstatě když máte nějakou výrobní linku
a řídíte jednotlivé kroky
a vlastně nějakými vstupy můžete vstupovat a ovlivňovat dejme tomu produkci na určitém výstupu určité linky.
Čili chci říci, je to vždycky tam, kde máte nějakou produkční charakteristiku toho systému.
Ty stavové proměnné samozřejmě se takto používají a my si ukážeme nejprve na jednoduchém příkladu,
jak vlastně takovýto stavový popis vypadá
a jak ho můžeme prostě uchopit
a pak si ukážeme po tom příkladu jakýsi zobecněný popis,
jak vlastně můžeme všechny, jak ty spojité tak ty nespojité diskrétní systémy popsat.
Čili začneme příkladem, který možná osvětlí mnoho těch konkrétních bodů.
Budeme se bavit
o příkladu, který je klasickým modelem
predator-prey model
je to tedy lovec a oběť,
je to klasický model z oblasti nelineárních modelů
a ukážeme si to, já ho mám rád, když se to jmenuje model ovečky a vlci.
Představte si, že máte dvě populace.
Tady máte takhle ovečky
a tady budete mít vlky
a ty dvě populace jsou oddělené v nějaké oboře
a tady je prostě nějaký klasický velký plot,
který neumožňuje těm vlkům zatím ohrožovat ovečky.
A když budete mít takovýto systém, takto oddělenou oboru,
tak samozřejmě
ta populace oveček ,
tu budeme označovat nějakou stavovou proměnnou, bude to prostě stav té populace.
A ta populace oveček za těchto okolností prostě poroste.
Říkám-li, že roste ta populace,
říkám něco takového, že
v nejlepším případě by to mohlo být tak,
že ta populace oveček roste exponenciálně.
Tady jsem namaloval funkci, která je vlastně jakousi "e" na alfa "t"
já to namaluji tadyhle, napíšu, že x1(t)=e na alfa t,
přičemž to alfa je kladné.
Prostě sluníčko svítí, prší, tráva roste,
ovce mají docela pohodu, žádného nepřítele tam nemají, prima život.
U těch..... (Smích na celou třídu)
Cože nemají? Nemají barák? …berana.
No jó, no tak já ho tam přimaluju.
Tak jo.
A teď si představte, že budeme sledovat tu populaci vlků,
zase si jí označíte nějakou stavovou proměnnou x2(t)
tentokrát a ty vlci prostě strádají,
trávu nežerou prostě coby
ty prostě strádají a ta populace hyne.
Jestliže hyne, tak ten průběh v principu
mohu namalovat tak, že tedy z nějaké hodnoty takto exponenciálně uhyne.
Když bych to napsal jako nějakou vážnou funkci,
tak to je x2(t)=e na mínus beta t
a tady je prostě to beta je opět kladnou veličinou.
Kdybych to chtěl napsat úplně v pořádku
tak tady ještě napíšu jakýsi x dva nula,
které by odpovídalo tomu, že těch vlků bylo na začátku nějaký počet.
A totéž by mělo platit i o těch ovečkách takže tady budu psát x1t se rovná x jedna nula10 e na alfa t.
A teď si vezmeme, jak se bude chovat něco jako je změna té populace
Jak určíme změnu? No velmi často si řekneme jaká je směrnice, že ano, prostě jakým způsobem se to vyvíjí.
Čili řekneme co je derivace?
Derivace v čase.
No tady je jasné, že je to dopadne tak, že to je nějaké mínus beta x2(0) e na mínus beta t
a když se podíváte na tu původní rovnici a když jí vynásobíte právě tou betou,
tak můžete celkem bez obtíží napsat že x2t s tečkou
se rovná mínus B krát x2(t).
Je to vidět jo?
Podobně u těch oveček ta změna je taková,
že to je derivace, která má alfa x1(0) e na alfa t
a zase jednoduchým vynásobením této rovnice alfou nalevo i napravo tak dostávám,
že tedy x1 (t) s tečkou se rovná alfa x1(t).
Mám dvě, téměř charakteristické rovnice,
které říkají, je-li alfa kladné a beta kladné,
tak pohyb té populace nebo změna té populace nebo změna té populace je taková,
že tato diferenciální rovnice
odpovídá růstu té populace,
tato diferenciální rovnice odpovídá úhynu té populace.
A teď,
protože to takto máme,
tady si napíšeme ,
si opíšeme že alfa je větší než 0 a že to odpovídá růstu populace.
A tady to také zase umažeme, abych mohl kde psát.
Tady je to tedy při beta kladném,
je to populace hyne
a teď udělám takovouto záležitost, že prostě ten plot zruším.
A nastane dramatická změna.
Občas se nějaký ten vlk potká s ovečkou a ta pravděpodobnost, že se potkají
ta je úměrná součinu těch dvou populací.
Když bude ta jedna skoro nulová tak ta pravděpodobnost že se potkají je hrozně malá na nějakém konkrétním území.
A jakmile tedy řekneme, že toto je
ona pravděpodobnost potkání těchto dvou nesmiřitelných zvířátek,
tak je jasné, že
pro ty ovečky
ta rovnice diferenciální,
prostě se tam musí objevit jakési znaménko mínus,
které říká, musí to hynout,
musí tam být nějaká konstanta, která dává té úměrnosti toho setkání tento charakter.
Čili toto je rovnice, která říká:
"Pro ty ovečky je to fatální malér prostě potkat vlka".
Ta populace půjde dolů za těchto okolností.
Kdežto pro ty vlky nastává gaudeum.
Oni prostě, když potkají tu ovečku,
tak tady se prostě projeví, že se zvýší jejich potravinový přístup
a tady se objeví v podstatě ten růstový faktor.
Obdrželi jsme 2 rovnice,
které se nazývají znovu opakuji "Volterra predator prey model"
je to klasický příklad v modelování některých biologických populací,
a teď si tu celou soustavu rovnic,
trošku se na ní podíváme z hlediska toho, co jsem říkal,
že něco má stavový popis a jakým způsobem se na to budeme dívat.
Takže tady si takto napíšeme ty dvě rovnice pod sebe.
Píši x1 (t) s tečkou=alfa x1(t)
mínus gama x1(t)x2(t)
a x2(t) s tečkou= mínus beta x2(t)+
delta x1(t)x2(t).
Tak zaprvé
pracujeme se spojitým časem, čili to je spojitý popis, že jo.
Popis ve spojitém čase.
Za druhé
jsme si řekli, že toto je stav oveček, toto je stav vlků,
je to pravděpodobně tedy stavový popis.
A pak je tam velmi vážná veličina,
totiž ta, která způsobuje
tuto část těch rovnic, kde se vyskytují dvě neznámé v součinu.
Vzpomínáte si když jsem říkal, že jakmile
v tom popisu systému najednou začnete mít součiny, podíly, mocniny, odmocniny
v tom okamžiku ten popis evidentně odpovídá nelineárnímu systému, vzpomínáte?
Tak v tomto smyslu je tento popis je prostě nelineární.
Z těchto důvodů, jo?
Z důvodu těchto členů.
Ty, které znázorňují, že neznámé se tam vyskytují v podstatě v součinech.
Pokud máme takovouto soustavu rovnic
a ona je nelineární, tak to samozřejmě vede k tomu,
že musíme používat numerickou matematiku.
Vy jste z numerické matematiky měli pokud já vím hodně málo,
takže já se vám tady pokusím ukázat,
že existuje nářadí, které se nazývá simulink,
které bude součástí toho, co se budete učit ve cvičení
a já se vám tady pokusím předvést, jak simulink lze použít na řešení takovéto soustavy rovnic,
která je nelineární a je to stavový popis.
Že si ještě nejdřív než se začneme bavit formálně o tom stavovém popisu
tak si ukážeme jak funguje nářadí, které se nazývá simulink.
Čili si řekneme něco o
O tom jak použít simulink pro řešení takovéto, takovéto soustavy.
V simulinku se vyskytují, to je prostě prostředí ve kterém pracujete s bloky.
Ty bloky mají jakési vlastnosti
a uvedené některé vlastnosti jsou velmi, velmi jaksi typické.
Jednou s takovým typickým blokem
je blok integrace,
který když si najdete, tak zjistíte že
tedy pokud máte na vstupu nějakou veličinu x s tečkou
tak na výstupu budete mít x.
Myslím tím tedy x s tečkou v čase (t)a x je výstup.
Tenhleten integrátor
je značený různě, buďto je značený prostě integrálem nebo je tady napsáno 1/S nebo 1/p,
záleží na tom jakou verzi simulinku zrovna máte.
Podstatné je, že tedy tento blok prostě integruje.
Já mám radši, když je tam ten integrál, protože to je takové srozumitelné co se tam děje.
Druhým takovým typickým blokem
je blok násobení konstantou.
To je blok, který v tom anglickém jazyce má název většinou "gain"
jako zisk
a znamená, že když přivedete jakýsi signál na jeho vstup,
tak na jeho výstupu, pokud zde máte uloženou nějakou číselnou konstantu "a"
to číslo může být prostě konkrétní číslo třeba 1,4
tak tady dostanete - konstanta 1, 4 krát x(t)
prostě násobí zcela konkrétní konstantou, která je uložená v tom bloku.
Tady u toho integrátoru jsem ještě zapomněl poznamenat,
že vy si tady volíte ještě počáteční podmínku.
To je to x(0), které jsem tady měl jako jo, to x1(0) nebo x2(0),
které jsem tady měl na začátku.
Pak je další blok,
který je násobení vzájemně.
Jmenuje se, pokud já vím, tak se jmenuje "product".
A je to blok s takovouto tečkou, který říká:
"Když sem přivedeš takové dva signály x1(t) a x2(t)
tak tady na tom výstupu budeš mít součin
těchto dvou veličin.
Dalším blokem, který je velmi vážný… zase roluju…
nezbývá mi nic jiného než mazat…
tak je blok sčítání.
To je blok, který s nějakými znaménky plus
z přivedených hodnot udělá prostě součet,
jinými slovy, když tady přivedu takhle dvě veličiny
tak tady dostanu prostě x1(t)+x2(t).
Šipky znamenají v podstatě směr od vstupu k výstupu.
Myslím si, že v zásadě až tedy na další blok, který se tam vyskytuje třeba blok zobrazení,
to je blok, který se nazývá blok typu osciloskop,
který vypadá tak, že tedy přivedený signál vám prostě zobrazí,
většinou to je napsané, že je to scope.
Jinými slovy, když prostě potřebujete zobrazit x1(t) tak vám ho tady takto namaluje.
Jako kdybyste se dívali v laboratoři na osciloskop.
Je tam řekl bych celá řada dalších a dalších bloků.
Pro účely, které bych považoval na tomto začátku dobré vám vysvětlit,
to znamená ukázat si, jak tedy uděláme ovečky a vlky,
tyto bloky by nám měli bohatě stačit k tomu, abychom to zvládli.
Takže teď si zkusíme,
zkusíme na základě toho, co jsme tedy si tady řekli, zkusíme si začít malovat.
Nejdřív si zkusíme jednoduchou integraci, to znamená, si zkusíme rovnici jak vypadá rovnice typu tohohletoho,
to znamená, která říká: mám samotné ovečky.
A pak toto zopakujeme, protože, když to budeme umět pro tuto záležitost,
tak to budeme umět i pro ty vlky a budeme to umět i dál.
Je jasné, že toto je diferenciální rovnice prvního řádu,
a protože to je diferenciální rovnice prvního řádu, tak v tom popisu, který máme k dispozici,
potřebujeme právě jeden integrátor, abychom to zintegrovali.
Čili potřebujeme řekl bych krok, který říká, že z x1(t) s tečkou
prostě udělám x1(t),
čili udělám to prostě integrátorem.
Pak to x1 vezmu
a proženu to ziskem
a když do toho zisku vložím z klávesnice odněkud hodnotu alfa,
naťukám, že alfa rovná se cosi
tak se mi tady objeví prostě alfa, a když tady je prostě x1(t),
tak tady bude alfa x1(t).
A z důvodů čistě praktických tady použiju sčítací člen,
který bude mít zatím jenom jedno sčítadlo,
který říká, že přesně v tomto místě
se realizuje rovnice, která říká, že
x1(t) se rovná alfa x1(t), je to vidět, jo?
Prostě toto je vstup, toto je výstup.
Čili tady přesně v tom místě je přesně splněna tato rovnice.
A když chci vědět, jak vypadá to x1(t),
tak si tady takto pod to sáhnu tím osciloskopem
a ono by mi to pravděpodobně namalovalo nějakou takovouto exponenciálu rostoucí nahoru, tedy vzhůru.
Samozřejmě zase musíte tady nezapomenout zvolit nějakou počáteční podmínku,
prostě, že těch oveček je nějaký počet a prostě spustit simulaci a dostanete takovýto obrázek.
Když si principielně tento obrázek
překreslíme jak pro x1(t), tak pro x2(t),
tak si můžeme namalovat ty populace odděleně.
Takže to pojďme zkusit znovu pořádně,
říct, že tady budu integrovat takto ovečky, abych tady měl místo,
tak to integruju směrem nahoru raději, abych se sem vešel.
Či tady mám x1(t) s tečkou tady mám x1(t) a tady mám alfa x1(t).
Čili mám tuto část té rovnice.
Protože tam mám druhou proměnnou, tak jí namaluju symetricky podél téhle osy
a tady budu mít zase integraci
a budu integrovat ten x2(t) s tečkou, že jo?
A ten x2(t) s tečkou tady, bude tady už x2(t) po integraci,
opět
tady bude mínus beta,
čili tady budu mít mínus beta x2(t).
A tady v tomto místě mám splněnou
tuto rovnici.
No a teď
musím tady odtud z tohoto místa
a tady z tohoto místa
vytáhnout jak x1(t) tak x2(t)
do bloku, který jsme si nazvali násobením, productem.
Protože tam mám veličiny tohoto typu.
Čili tady na tomto výstupu budu mít onen součin.
No a teď
musí nastat ona záležitost, která říká,
že pro ovečku je to neštěstí, mínus gama, jo?
Čili když tady mám x1(t) x2(t),
tak tady mám mínus gama x1(t) x2(t)
a tato rovnice tady v tomto místě
je splněno x1(t) se rovná alfa x1(t) mínus gama x1(t) x2(t).
To mám splněno v tomto místě.
Vidíte, že jsem zmáknul tuto rovnici.
A podobně tady odtud,
protože tady mám x1(t) x2(t),
tak tady vynásobením deltou budu mít delta x1(t) x2(t)
a
tady to takto přičtu.
Rovnice, kterou mám splněnou v tomto bodě říká
a teď se dívejte jak to prostě interpretuji
a prostě tak to přesně je,
že x2(t) na tom výstupu je rovno mínus beta x2(t) plus delta x1(t) x2(t).
A vlastně jsem splnil i tuto druhou rovnici.
V okamžiku, kdy spustím simulaci tohoto celého procesu,
ještě se musím někde podívat na veličiny typu x1(t) a x2(t),
jak se budou chovat, můžu je pustit každou zvlášť do jednoho scopu,
můžu tam udělat také nějaké jiné, jiné řekl bych záležitosti,
tohle bude tedy scope2 a tohle bude tedy scope1
a dokázal bych tedy si prostě namalovat průběhy jednotlivých populací
těch vlků a oveček.
Čili to je princip, jak se vlastně dá pomocí prostředí,
které se vás pokusíme naučit v simulinku,
jak se dá né příliš jednoduché diferenciální rovnice,
které v našem modelování vždycky vzniknou,
prostě nic jiného nezbývá, jakmile začnete trošku něco dělat
tak dostanete některé typy rovnic, které mohou být nelineární,
některé typy rovnic, které mohou být dostatečně složité
a simulink vám umožňuje velmi srozumitelně si udělat názor.
Já vám teď předvedu jak vypadá takový, jako konkrétně prostředí toho simulinku,
nemám to samozřejmě tady na computeru, ale mám to na slidu.
Takto zcela realisticky na ploše prostě toho prostředí vám dopadne
dopadne to co já jsem se vám tady snažil malovat postupně.
Tady je jenom jakási úlitba a tento ???(mus) znamená,
že když máte dva vstupy, tak do jednoho grafu vám to, vám to namaluje do jednoho grafu, prostě on multiplexuje v podstatě vstupy, že jo?
A když to opravdu namalujete, tak dostanete pro různé typy veličin,
které máte, dostanete průběhy tohoto charakteru.
Drobný komentář:
Protože těch vlků je hodně, víc než prostě třeba bylo těch oveček na začátku,
tak prostě holt mají docela problém se uživit a začnou hynout,
a jakmile začnou hynout, tak ty ovečky začnou dramaticky, dramaticky jejich populace růst
a než se ty vlci vzpamatují tak to chvilinku trvá,
a jakmile se začnou vzpamatovávat tak prostě začnou vybíjet tu populaci
a takto celý ten systém jakoby dostanete do jakéhosi periodického stavu.
Upozorňuji, že toto je trvalý život, jo?
Prostě v realitě můžete způsobit jednoduchou změnou toho prostředí,
typu že zmenšíte tu oboru
nebo že zkrátka a dobře prostě bude sucho,
zkrátka a dobře můžete způsobit spoustu věcí,
které vedou k tomu, že prostě tu populaci vybijete po dvou cyklech a je konec.
Chci tím říci, že nelineární systémy jsou velmi citlivé
na to jak mají nastavené podmínky, jaké máte nastavené počáteční podmínky, počáteční hodnoty.
Nicméně tento klasický model vyjadřuje nejjednodušší skutečně nejjednodušší biologickou rovnováhu,
anebo nerovnováhu v jednoduchém modelu typu,
prostě budete mít třeba akvárium a budete tam mít nějakou žravou rybičku
a prostě najednou dostanete celý ten systém do stavu,
kdy to prostě vybije ta jedna a pak vyhyne i ona, čili chci říci také, to je prostě také možnost.
Úplně možná eventualita, která nastává prostě v realitě našeho běžného života,
prostě běžného života jsou modely tohoto typu zcela běžnou součástí toho,
jakým způsobem se člověk a příroda prostě chovají.
Chtěl bych říci, že na tomto příkladu jsem se pokusil vám vysvětlit hlavně používání simulinku
a za druhé, že mnoho těch vašich nebo našich úvah velmi často povede k tomu,
kdy prostě se musíte rozhodnout, jakým způsobem si uděláte názor nad tím modelem,
jakým způsobem to uděláte.
Jedna z možností je jak tady říkám, v okamžiku když máte nelineární systém použít prostě simulink,
použít to, co se budete učit prostě v průběhu cvičení.
A teď
Zpátky k teorii.
Řekli jsme si, že tedy náš popis, kterým se zabýváme se týká, týká stavových veličin.
Když to tady píšu, že jsou to stavové veličiny, tak tím mám na mysli,
že jak to x(t) tak to y(t) tak i to u(t) jsou, jsou prostě vektory,
my jsme viděli v tom našem případě, že tedy vektor populací,
tedy stavů populací prostě měl dvě složky, měl složku ovce a vlky.
Samozřejmě ten vektor stavů může být podstatně větší,
může to být prostě vektor dejme tomu těch přehrad na vltavské kaskádě,
může to být podstatně rozsáhlejší, velmi rozměrná veličina.
Čili ta stavová veličina se označuje písmenkem "x" jak jsme si už umluvili,
"y" budou výstupy a "u" budou řídící, někdy také nazývané vstupní veličiny.
V obecném případě, v obecném případě ty stavové rovnice,
viz. támhleta tabule,
jsou toho typu, že máte
změnu té stavové veličiny vyjádřenou jako funkci těch stavových veličin případně času a vstupů.
V našem případě jsme žádné časy a vstupy neměli,
nicméně tam máme prostě, že to je tedy funkce tohoto typu.
"Y" znamená, že prostě pozoruji někoho,
čili jinými slovy, že pozoruji jak tu populaci x1, tak tu populaci x2,
takže tady vlastně to "y" není tak úplně jednoduše zapsatelné,
prostě je to funkce typu, že se prostě podívám na tu populaci x1 třeba
a budu sledovat, jak se třeba chová populace oveček pod určitým vlivem, ano?
Čili v zásadě tam nebyly žádné vstupy, čili nebyl tam žádný myslivec,
který by prostě třeba střílel ty vlky v případě nějakého přemnožení,
myslivec nemůže být stavovou proměnnou, protože není v tom cyklu.
On je spíše tou řídící veličinou.
Čili chci říci, je tam spoustu možností které by tam byly,
čili obecný popis vždycky vypadá, tak že tedy hledám nějakou funkci,
která je kombinací těch stavových proměnných,
je tam samozřejmě vektor vstupů,
je tam samozřejmě i ta veličina času,
která prostě odpovídá nějakému běhu života.
My máme rádi situaci,
kdy ten systém je lineární.
Už z takového důvodu jak jsme viděli, nemusíme jenom používat numeriku,
ale můžeme také občas něco vyřešit v ruce.
V okamžiku, kdy prostě ten systém je lineární tak ty rovnice,
předvedu zhruba jak,
se redukují na
maticový popis,
představte si, že byste tady třeba měli takovou drobnou změnu,
která by říkala, tady vymažu to x1, tady vymažu to x2
a najednou mám rovnici, která říká,
říká, že v podstatě mám jakýsi vektor
x1 a x2,
k němu jsem našel derivaci
a ta derivace je lineární kombinací toho vektoru x1(t) a x2(t),
tedy je tady nějaké alfa, pak je tady nějaké mínus gama,
pak je tady delta a tady je mínus beta, že jo.
Je to viditelné.
A najednou já jsem dostal, toto je prostě matice, že?
V případě tedy, že ten systém bude lineární,
tak vždycky, vždycky se to rozpadne na takovýto popis,
kde matice A, která vztahuje
derivace stavového vektoru k tomu vektoru
je vždycky čtvercová a je to takzvaná matice systému.
Další ty matice jsou nazývány matice vstupů, což je logické,
je to tedy jakým způsobem ty stavové proměnné ovlivňuje v podstatě nějaká řídící veličina,
také se někdy říká matice řízení.
A potom je tedy klasická matice C, která je klasickou maticí výstupů
a matice D je nejméně frekventovaná matice,
protože ona vyjadřuje jakési okamžité pozorování vstupu na výstupu,
čili je to taková veličina ne příliš zajímavá,
ale nicméně tedy matici D zjistíte, že velmi často se v těch systémech vůbec nevyskytuje.
Pokud
ty matice A, B, C a D jsou proměnné v čase,
tak se jedná o nestacionární systém,
prostě ten systém, ta matice toho systému se mění,
je to jako kdyby se třeba odrolovaly ty přehrady,
zkrátka a dobře celá ta záležitost toho popisu prostě v v každém kroku bude pořád jiná a jiná.
V okamžiku kdy řeknete, že chcete stacionární systém,
v tom okamžiku ty matice budou konstantní.
A pak už je to klasická lineární algebra,
akorát s tím, že musíte umět v lineární algebře integrovat rovnice, to znamená…
Čili chci říci
ve spojité oblasti jsme si ukázali v podstatě tedy ten obecný popis,
a pokud
jsme schopni použít principy zjednodušování,
tak lineární, už je to algebra a ten stacionární už je algebra s konstantními maticemi.
Podobně, nicméně tedy s jedním,
jakýmsi ukročením někam jinam,
je to otázka obecného tvaru stavového popisu pro diskrétní svět.
V diskrétním světě je ta změnová funkce dána prostě krokem dopředu, ano.
Prostě změnu realizuju tím, že tedy prostě nehledám derivaci,
ale hledám v podstatě co se stane o časový krok později.
Potom ten stavový popis
používá stejnou symboliku, to znamená, že říká, že má "u" jakožto řídící vektor,
s tím malým rozdílem, že jsou tam všude celá čísla "n" která ukazují na ty časové, jednotlivé okamžiky,
a ten obecný tvar stavových rovnic říká,
že mě zajímá,
jak se stavová veličina nebo vektor stavových proměnných změnil
vzhledem k dnešku, zítra, nebo jak se změní.
Jinými slovy, jak se posune v podstatě celý ten vektor o den později, o krok časový později.
Tedy není zde žádná tečka, žádná derivace, je zde v podstatě diference.
Rozdíl od toho minulého, nebo předchozího stavu.
Pak je to opět obecná funkce,
ta obecná funkce znamená, že tedy prostě to může být i nelineární popis
a ten nelineární popis samozřejmě zase bychom museli řešit pomocí simulinku
nebo pomocí některých numerických metod.
Máme raději ten svět lineární,
který říká,
že zde máme soustavu matic, které opět nazýváme podobně, to znamená matice M je matice systému,
prosím, proč značím jinak matici ve spojitém a diskrétním světě vysvitne o trošku později, jo, ne dneska zrovna.
Ty matice opět jsou závislé na tom časovém ukazovátku
a v tomto smyslu je to popis nestacionárního diskrétního systému.
Ten systém každým krokem mění svoje parametry
nebo může měnit svoje parametry.
Jakmile je to takovýto systém, tak odpovídá nestacionárnímu stavu.
V okamžiku, kdy ty
matice nebudou explicitně závislé na čase,
tak máme stacionární popis
a ta celá algebra je vlastně podobná jednoduché algebře,
kterou máme s rovnicemi tedy prvního řádu ve smyslu diferenčními rovnicemi.
Důležitá informace prosím:
stavové popisy mají vždycky ať je to spojitý nebo diskrétní,
jsou popsány diferenciálními nebo diferenčními rovnicemi prvního řádu, ano?
Tam není vyšší řád, tam je jenom vždycky ta změna.
Směr změny nebo změna, nic jiného tam není.
To má obrovskou výhodu,
protože složitější systémy když si rozeberete na ty stavové veličiny,
tak dokážete ty změnové charakteristiky
prostě pro ty jednotlivé stavové proměnné jakýmsi způsobem buďto odhadnout nebo určit.
Když byste měli určit prostě globální chování toho systému,
napsat rovnici třeba pátého řádu diferenční tak prostě to nedáte dohromady,
jinými slovy stavový popis je také podstatně bližší tomu modelování.
Prostě důvody, proč existuje stavový popis jsou právě v tom,
že ten model, který vytváříte prostě vytváříte krok po kroku,
vy si prostě určíte ty konkrétní komponenty, stavební kroky, nebo stavební bloky,
které v tom světě prostě jsou.
Čili stavová proměnná je velmi významnou součástí popisu systémů
a přináší díky tomu, že tedy prostě jsou tam jenom rovnice prvního řádu,
přináší jakousi schopnost vůbec ty systémy nějakým způsobem uchopit.
Já se vám pokusím příště, dneska už to tedy nebudu začínat
příště se vám pokusím ukázat, jak jsme v dobách velmi počátku této fakulty
třeba odhadovali kolik bude, kolik tady bude studentů
a kolik tady bude v podstatě tedy nutno místností,
a my jsme si tehdy udělali model fakulty,
naprosto standardní model fakulty,
který odpovídá stavovému popisu, je to stavový diskrétní model,
který se vám pokusím tady předvést v takové té plné kráse,
protože si myslím, že patří k takovému srozumitelnému dědictví této instituce, takže vám přeju hezký den.
Jak byl ten model přesný? (Dotaz ze třídy)
Víte, že jsme, že do roku 98, kdy platily pravidla,
které jsme si do jisté míry jako instituce brali za sebe,
tak byl velmi přesný, prostě odhad, prostě že tedy v té době budeme mít nějakých 1200 nebo 1500 studentů,
to prostě vycházelo velmi dobře podle toho kolik jich dáme na vstupu,
jaká bude obtížnost toho celého systému,
to znamená kolik těch studentů jako opouští tu instituci,
zkrátka a dobře ten model vyjadřoval jakýsi velmi dobrou představu,
kolik třeba potřebujeme velkých poslucháren, to se z toho dalo dohledat, jo.
Čili prostě jakmile začnete bádat nad konkrétními věcmi,
tak zjistíte, že teda modelování tohoto typu začne být docela zábavou, jako jo.
A bylo v tom systému jako to, že ty příjmací zkoušky vezmou určitý počet lidí, který si stanovíme nebo vezmeme jenom do několika bodů, které udělali příjmačky? (Dotaz ze třídy)
My jsme tehdy říkali, že prostě chceme brát jakýsi počet lidí na tom začátku,
čili prostě na tom vstupu byl jakýsi předpoklad jo
a pak jsme tedy řekli, obtížnost je nějaká, uvidíte příště, já myslím, že to nemá smysl teď to rozebírat,
jenom chci říci je to součást toho modelovaní,
která prostě má smysl dělat,
a ačkoliv nevíte na začátku skoro nic,
jenom prostě předpokládáte jakési vlastnosti toho systému,
tak vám vycházejí naprosto náramné věci nakonec.
Přeji vám hezký den a za týden nashledanou.