Přeji vám dobrý den.
V dnešní přednášce si ukážeme, jak celý ten vnitřní popis používat
a jakým způsobem tedy se dá některé relativně i složitější systémy uchopit a pochopit,
jak vlastně fungují, které prostě za normálních okolností třeba si vám připadají naprosto jako těžko srozumitelné.
Chci tím říci tolik, že se pokusím vám předvést jeden klasický příklad z oblasti řízení školy,
kdy jsme před nějakými 11 nebo 12 lety s kolegou Svítkem dali dohromady model,
kterému říkáme model FAKULTA
a tento model vám ukážu,
prostě vám se pokusím na něm reprezentovat prostě všechny ty okolnosti,
které do jisté míry jsou zatím z toho popisu jenom obecně viditelné.
Čili budeme se dneska zabývat vnitřním popisem
a ten náš příklad,
který nazýváme
FAKULTA - má opravdu téměř historickou hodnotu
v době, kdy jsme mnoho nevěděli o potřebných počtech studentů,
kolik prostě budeme potřebovat místností, kolik budeme potřebovat věcí typu jako je poslucháren,
mluvím tedy o roku 1994, 1995,
tak jsme vlastně si řekli dobře, my si to zkusíme
a tehdy samozřejmě to studium bylo pětileté
a v tomto smyslu já se pokusím vám ukázat,jak ten příklad FAKULTA,
jakožto tedy jako diskrétní systém,
jak jsme k tomu přišli.
Říkali jsme si zaprvé tedy, že máme 5 ročníků studia.
Mluvím o době, kdy teda to studium bylo opravdu pětileté.
Pak jsme si říkali no dobře, takže ten počet těch stavových proměnných
bude za každý ten ročník
x jedna,
x dva,
x tři,
x čtyři
a x pět
a bude říkat, že to je tedy, ty stavové proměnné reprezentují
prostě to "x" s indexem "i"
reprezentuje
počet zapsaných studentů.
A když se na to podíváte, tak to si říkáte no dobře,
ten celý systém běží v letech.
Ty roky označujeme písmenkem "n"
nemíním tím říkat, že prostě mám školní rok 1995, 1996,
budu říkat, že to je prostě dejme tomu druhý rok, třetí rok, čtvrtý rok, pátý rok existence té instituce. Ano ?
A pokud si vzpomínáte, tak ten stavový popis
neboli ten vnitřní popis,
měl onen tvar, který jsme říkali, že tedy vývoj té stavové proměnné
v tom smyslu vektor
je charakterizován nějakou maticí,
které říkáme matice systému
a maticí vstupů v případě, když ten systém je lineární a časově invariantní, ano?
Tak, ten model té fakulty jsme začali modelovat v této podobě,
to znamená, že jsme si říkali, my potřebujeme napsat nějaké takovéto rovnice,
kde x (n) je vektor,
třeba ten vektor napíšu v takovéto podobě,
je to prostě x 1(n), x 2(n),
x3(n), x4(n), x5(n),
je to sloupcový vektor,
který má pět složek,
pět komponent a každá reprezentuje počet studentů v jednotlivých ročnících.
A my se budeme ptát, jak se celý tento systém v průběhu let vyvíjí
a jakým způsobem prostě ho můžeme jakoby slušně charakterizovat.
Podíváme se třeba na
zatím jen tyto dva ročníky takto,
protože všechny ostatní třeba prostě budou odpovídat podobné jaksi situaci.
Když si to představíte, jak to vlastně v tom našem světě funguje.
No je jasný,
že jakýsi počet studentů úspěšně končí ten ročník,
pak je jakýsi počet studentů,
kteří prostě se recyklují,
kteří prostě neúspěšně jaksi zvládnou kredity předepsané v tom druhém ročníku,
takže se do toho druhého ročníku zase vrátí
a pak je určitá skupina studentů,
která řekne sorry,
já prostě takhle studovat nemůžu
a já jdu pryč, já prostě končím.
Když si tyto lidi nezávisle na jakémkoliv vlastně tom ročníku
když si je prostě takhle označím, prostě bude to nějaký í-tý ročník,
tak pokud jich je 100%,
tak je nějaké číslo studentů, kteří pokračují, to je třeba a1,
počet studentů, který se recyklují,
to znamená vracejí se zpátky do toho ročníku je a2
a ty co prostě ten systém opouští nechť je teda a3.
Je jasný, je jasný, že takhle když jdu přes ty jednotlivé ročníky,
tak platí v principu podobná jaksi struktura,
podobná struktura chování.
My jsme tehdy neuvažovali takový detail,
že by prostě do toho ročníku ještě vždycky někdo přišel, někdo z vnějšku.
Byl to tehdy jakýsi okrajový problém, ale to se dá všechno do tohoto modelu zahrnout.
Co chci říci - jako důležitou věc je,
že platí nějaký zákon zachování
počtu studentů.
Může to být jednička, může to být sto procent,
může to být, prostě říkejme toho zákon zachování.
A ten neříká nic jiného, nežli když do toho ročníku se kdosi zapíše,
tak po roce se to prostě bude chovat takovýmto, po tom studiu se to bude chovat takovýmto způsobem.
No a když teda máme takto naznačený jak to prostě třeba bude vypadat v druhém, nebo třeba ve třetím ročníku,
ty co jsou uprostřed, tak můžeme začít psát nějaké rovnice, že ?
Takže když si řeknu,
že tady budu mít x3n
a tady prostě budu mít opět nějaký a1
z toho druhého ročníku,
tak si prostě můžu napsat, jak že se chová stavová proměnná,
která charakterizuje počty studentů zapsaných ve třetím ročníku v čase.
Jak ona se vyvíjí?
A ona se vyvíjí tak, že
za prvé se tam objeví studenti z toho ročníku druhého,
ty co tam takhle přicházejí, že jo?
Pak se tam objeví studenti recyklovaní
a to je asi všechno, protože tato část se projevuje v x4
a tito, ty nejsou zapsáni, takže a3 tam žádný nebude.
Čili toto je základní rovnice pro chování jednotlivého ročníku
vzhledem k tomu, že prostě nějací studenti prostě přicházejí,
protože úspěšně absolvují z předcházejícího ročníku,
a nějací se tam prostě vrací, protože holt ten řekl bych
počet kreditů, které získají, prostě jim nestačí k tomu, aby mohli dále vesele pokračovat.
Takto můžu samozřejmě napsat asi i rovnici pro x2
a formálně ji můžu napsat úplně stejně.
Takže já ji takto napíšu, že to je a1 x 1(n)
plus a2 x2(n).
A podobně bych asi mohl napsat i x 4.
A podobně pravděpodobně můžu napsat i x5.
Ten první ročník je trošku jiný.
Ten je takový, že vlastně do toho systému přicházejí studenti pomocí přijímacího řízení.
Čili prostě pokud označíme u(n)
je počet přijatých studentů,
tak ten první ročník
se vyvíjí dynamicky takovým způsobem,
že tam samozřejmě budou recyklovaní
prváci,
ale bude tam v podstatě jakýsi vstup,
počet 250, 350, prostě vstupní veličina.
Takhle vlastně
jsem schopen napsat rovnice, u kterých říkám,
že ten systém se prakticky v průběhu ročníků nemění.
Kdybych si začal uvažovat o takových detailech,
jako je obtížnost nějakého ročníku, že se to prostě liší,
tak bych pravděpodobně musel,
když si vezmu takhle ty dva ročníky x2 a x3 za sebou,
tak bych pravděpodobně musel říkat takové záležitosti,
jako že tento má třeba nějaký b2
a b1 a b3 a platí pro ně tedy
b1 plus b2 plus b3 se rovná jedné.
Prostě na tom jediném ročníku platí tato jediná rovnice
a ten druhý prostě je takový, že tam jsou ty číslíčka, tedy prostě ty písmenka jako a1, a2 a a3,
pro které také platí a1 plus a2 plus a3 je rovno jedné,
chci tím říci, že když bych chtěl odlišit chování,
respektive schopnost absolvovat předměty,
prostě řekl bych neopakovat předměty v každém ročníku,
tak bych musel ty písmenka tady takto si rozlišit.
To je celkem srozumitelné.
Jak se to objeví v té rovnici? No pokusím se to vám tady napsat prostě pro ty první dva ročníky,
které jsem tady takto napsal, takže pro ten x3 platí,
že tam je a1 x2,
ale že tam je prostě b2 x3, že jo?
To je viditelné.
A x4 prostě bude mít ne a1, ale bude mít b1
a pravděpodobně bude mít nějaký c, c2. Jo?
Prostě pokud bych říkal, že prostě v každém tom bodě,
čili toto červené znamená,
jakým způsobem se změní ten popis v okamžiku,
kdy prostě řeknete, že prostě v každém tom ročníku je trošku jiný charakter toho chování, ano?
Což je možné, ale já z důvodu v podstatě zjednodušeného popisu zatím budu používat to původní značení
tak abych prostě dospěl k nějakému jednotnému výrazu, jak se vlastně celý ten systém chová.
Čili vrátím písmenka který jsem tam měl
to červené tím jsem chtěl jenom říci že prostě takto by se chovalo prostě v případě, že tedy
by každý ten ročník byl trošku jaksi jiný z hlediska toho chování
teď se teda zadíváme na tyhlety rovnice
a pokusíme se ten popis napsat
v tomhle tvaru
Jak to tedy uděláme? Takže řekneme tak máme
x1 (n+1)
x2 (n+1)
x3 (n+1)
x4 (n+1)
x5 (n+1)
a teď
tady je jednoznačně takováto čtvercová matice,
která to vztahuje k vektoru který je x1(n)
x2(n) x3(n)
x4(n) x5(n)
a pokusíme se z těchto rovnic vydedukovat, jak že to teda má vypadat
tak začneme tou x2,
která je srozumitelná tadyhle budeme mít a1
krát x1plus a2
krát x2
a tadyhle prostě budou takhle třikrát nuly,
který odpovídají násobení těchto veličin. Je to vidět, jo?
Když půjdu k tomu x3 tady budu mít
a1 krát x2 plus
a2 krát x3 a nula a nula za 4 a 5
je také jasné, že totéž symetricky bude platit pro x4
a takto nakonec to dopadne ten poslední řádek
První řádek je trochu trošku jiný, protože tam jsou studenti kteří prostě přicházejí, ano?
jinými slovy tady ještě musím přičíst
matici, která je takto degenerovaná
krát u(n), kde u(n) je ten počet zapsaných studentů
Čili tady vlastně budu mít jenom rovnici, která říká
že tadyhle mám a2 krát x1
tadyhle mám takhle nuly
a to že tam je plus u(n) je vyjádřeno touhle další maticí
Jinými slovy matice M
je tato
matice N
je prosím tato, ano?
Takže vidíte, že z toho vnitřního stavového popisu máme
máme k dispozici jak matici M tak matici N,
která popisuje v podstatě ten systém FAKULTA v takovéto podobě
protože jsme dovodili rovnice, které teď tady takhle mažu
A teď, může být, když si představíte, znovu si tady takhle namalujeme
náš systém v podstatě prvního ročníku, druhého ročníku, třetího ročníku, čtvrtého ročníku, pátého ročníku
a teď můžete mít mnoho otázek
co to vlastně, co vlastně od toho chcete očekávat
můžete se třeba ptát
můžete se třeba ptát, kolik tady bude absolventů
y(n) je počet absolventů, počet absolventů
po státní závěrečné zkoušce.
Jak bude vypadat, když prostě se budete ptát tímto způsobem, jak bude vypadat v podstatě ten výstup?
No, on zase musí mít takovou tu správnou charakteristiku
to znamená, že si vezmeme stavový vektor
a vynásobíme ho tedy nějakou srozumitelnou maticí,
která řekne, že vezmu asi
tomhle v našem případě, že prostě to bude nějaký alfa krát x5(n), že jo?
Že to bude prostě jistý počet studentů,
kteří úspěšně absolvují tohle je úspěšnost, úspěšnost při státnicích, že jo?
To nemusí být 100% ,že?
Opět to může být nějaký číslo
Takže, když chcete takto napsat tu rovnici, tak tu matici uděláte takovým způsobem, že tadyhle prostě dosadíte alfu, že jo?
Vynásobíte y(n) krát tenhle vektor tak dostanete skutečně že je to y(n) se rovná alfa x5(n).
To je v případě, že se ptáte počet absolventů .
Ta otázka může být úplně jinak.
Ta může být, kolik máme celkový počet studentů?
Kolik je celkový počet studentů?
Když teda prostě se zeptám,
Tady modře, modře se zeptám.
y(n), ono to asi nebude psát.
Je celkový počet studentů.
kteří
kteří studují na fakultě.
No tak ten výstup bude tentokrát vypadat jinak.
Jak bude vypadat? Na co se vlastně ptám?
Na sumu Na sumu správně x1 plus x2 plus x3 plus x4 plus x5
Jak tu sumu udělám v takovémhle případě?
No budu tady mít samý jedničky ne?
takže dostanu,
že prostě y(n) je tentokrát x1 plus x2 plus x3 plus x4 plus x5
Takže to jak vypadá matice C
- to je velmi variabilní
To je daný otázkou, kterou si prostě na ten model kladete.
Vy si prostě řeknete: chci vědět toto
a potom podle toho se vlastně začne formovat ta matice, kterou nazýváme maticí C, ano?
To je důležité si prosím pamatovat.
To co pozorujete, to co chcete vědět od toho vašeho modelu,
to se prostě skrývá
v této operaci a ta operace je do jisté míry na vaší libovůli
to co vlastně opravdu z toho modelu chcete obdržet.
je tam jedna velmi vážná věc, protože vy si vzpomenete na obecný zápis
obecný zápis výstupu který říká, že tedy máme y(n)
a máme tady nějakou C krát x(n) plus D krát u(n)
Tak v systémech, které máme jakožto tedy FAKULTA
Tak samozřejmě neexistuje žádná vazba
která by mě jakožto studenta, který přichází
a zapisuje se na tu fakultu, okamžitě ze mě udělala inženýra.
Tak to nefunguje.
Jinými slovy v mnohých systémech,
které odpovídají docela slušné realitě, prostě tyhle
matice D, se prostě neobjevují.
Ty systémy se nazývají regulární.
jinými slovy prostě je to situace,
kdy prostě nelze přímo ze vstupu dosáhnout výstup.
Musíte tím systémem nějakým způsobem probublat.
Čili za těchto okolností prostě matice D v tom obecném popisu se prostě nevyskytuje a takový systém se nazývá regulární.
Prostě je to poctivý systém.
Není tam žádný úhybný manévr.
Co se
používání třeba simulinku týká, tak se vám pokusím ukázat, jak takovouhle věc v podstatě nasimulovat v prostředí simulink.
Když se vrátíte k tomu
k tomu původnímu mému zápisu,
kdy jsme tady napsal, že prostě x3(n+1)
je a1 x2(n)
plus a2 x3(n)
tak si ukážeme jak v Simulinku takovouhle věc realizovat. Takovouto rovnici.
V Simulinku je velmi významný blok takzvaný blok zpoždění
anglicky se tomu říká Delay
občas je taky takto značen
a ten blok má za úkol následující operaci.
Jestliže na jeho vstup přivedete proměnnou, která je takto
posunutá v čase dopředu tak on jí zase zpátky vrátí
k dnešnímu dni, ano?
A tento blok se někdy označuje písmenkem "z" na mínus první
což není tak úplně korektní
protože to souvisí se Z-transformací
a Delay není zrovna tahleta proměnná,
ale bohužel oni občas ty technici jaksi takhle trošku hazardují s pojmy.
Zkrátka a dobře podstatný je, že to je zpoždění, který zpozdí o jeden krok vstupní veličinu.
A jestliže máme takovýto blok
a vzpomeneme si na naše řekl bych na naše ovečky a vlky,
kde jsem si říkali že prostě máme násobení v podstatě pomocí bloků Gain
tak jsme schopní i takovouto rovnici si zapsat a pojďme to zkusit.
Když
na toto místo přivádím x3(n+1)
tak tadyhle budu mít x3(n), ano?
Když toto bude naše zpoždění.
Já mohu s tím x3
tady vstoupit do nějakého násobení.
Tady mám x3(n)
a tady můžu mít právě ten parametr a2, tento
A mohu to přivést sem
jako sečtenou veličinu a2 x3(n)
a říkám:
x3(n+1) se rovná a2 x3(n) plus
a1 x2(n)
a mám tuto rovnici,
která říká že tady za ním,
když si ten blok také třeba ohraničím
tady mám výstup x3(n)
a tady do něj vstupuje x2(n)
a takhle mohu zopakovat prostě
kopíruju vložím, vložím a tak dále
a můžu prostě vytvořit takovouto strukturu
postupně stejných bloků
s tím, že si dokonce můžu potom pohrát
s těmi konstantami a2, a1
a mohu v podstatě udělat realistický obrázek
toho, jak se pětiletá fakulta, pokud to prostě udělám jako tak jako jsem to tedy zavedl na začátku
musím udělat realistický obrázek a hledat třeba stacionární počet studentů poté co prostě proběhne několik školních roků
mohu na tom konci si zkrátka a dobře to celé naskládat do takovýchto pěti
pěti bloků, kde tadyhle prostě bude x1(n) tadyhle poběží x2(n) tadyhle poběží x3(n) a tak dále
tadyhle bude u(n)
tadyhle bude x4(n)
tady bude x5(n)
a mohu si celou tu strukturu takto popsat a mohu si v podstatě nalézt
odpovědi na moje všetečné otázky typu
když budu chtít tak mohu třeba například tadyhle takto
mohu takto pětkrát sčítat
a tady budu mít
počet všech studentů na fakultě v každém akademickém roce
například
pokud budu chtít třeba vědět, kolik potřebuji velkých poslucháren
tak se prostě musím samozřejmě ptát na hodnoty studentů v těchto prvních 3 ročnících
ováhovat si je počtem takových těch velkých předmětů
a dostanu v podstatě tady bych měl nějaký ještě ty váhy.
Váha velkých předmětů.
a mohu zase
si odpovědět na otázku
na otázku v podstatě, kolik potřebuji, tadyhle by mi to y(n) dávalo odpověď, kolik potřebuji velkých poslucháren
Chci vám říci, že jsme opravdu tento model použili
na spoustu odpovědí tohoto typu
a velmi dobře dobře jsme se trefovali prvních 6 let, to vycházelo než nastali ty změny jako, že se přidal obor.
než se prostě celá ta instituce začala měnit své parametry
a vycházelo to velmi dobře, vycházelo to prostě naprosto teda takovým způsobem,
že když jsem řekli, že když na začátku tady budu nějakých 250 studentů přijímaných pravidelně
s tím že jsme v prvním roce přijali jenom nějakých 170 nebo něco takového
tak když budeme takovýto proces postupně konat,
tak že prostě budeme mít celkový počet studentů někde na úrovni 1200 až 1300
a to opravdu tak někdy v tom roce 1998, 1999 prostě platilo
Pak ovšem nastali takový další změny, které jsou podstatně dramatičtější
změny jsou v tom smyslu, že místo toho
abychom měli jenom pětileté studium, tak najednou se prostě ukázalo, že prostě jsme udělali Boloňskou deklaraci
a tadyhle se končí prostě bakalářským studiem
a tadyhle vlastně se skoro přidělal ještě jeden ročník
a tomu se říká: magisterské studium. Takže je vám úplně jasné například,
že třeba modelovat počet studentů právě proto,
že tadyhle je jakýsi rozhodovací místo,
který je prostě velmi vážný dokonce a málokdo si uvědomuje jak je to vážný a možná že si to uvědomujete teprve vy dneska, zítra, za chvíli
že to že ten systém vlastně tady má, prostě je takhle rozstřihnutý
a prostě je přeorganizovaný tohle to studium a tohle to studium ,
takže nastává obrovská změna
třeba v počtu absolventů
těch co třeba dosáhnou inženýrského diplomu.
Důvodů může být mnoho, například jeden z nich je ten, že vy na tomto konci
jako absolvent řeknete OK já jdu pracovat, já mám svůj titul, já mám co jsem chtěl
pak už mě to vůbec skoro nezajímá nashledanou,
pak si to po 5 letech rozmyslíte a řeknete no já bych si možná toho inženýra prostě jo a
to je první řekl bych způsob chování nashledanou a po několika letech prostě zpátky do vstupu tady, jo?
Typické chování
který opravdu do budoucna nastane o tom jsme hluboce přesvědčený.
Další typické chování je toho typu olé milá ČVUT
já prostě Techniche Univerzite Dreden nebo prostě TU München
to jsou prostě místa tak jdu já a najednou na tom vstupu
úplně na jiných školách budou studenti, kteří přicházejí od někud
do toho jakoby pátého ročníku přijdou, prostě začnou vandrovat
a naprosto logicky, já dokonce tvrdím, že to, že nastalo tohle rozdělení
že bude téměř ekvivalentní zrušení nevolnictví
protože studenti vlastně, jako v okamžiku, kdy zjistí, že se mohou sebrat
a jít prostě dodělat si pořádný kus jaksi vzdělání někde jinde
tak to prostě udělají.
A teď ta hra je o tom aby prostě, aby taky někdo chodil k nám
a to je velká hra, to je velký problém
takže to co se tady děje
to mnohým lidem ještě zatím není jasný
já už jsem si to začal modelovat a nevypadá to moc nádherně
ale nechci strašit a nechci dělat bubáky, který nejsou,
ale to, že nastane jiný charakter toho chování, to je prostě typický
a to je viditelný a že prostě celý ten proces, jak získat inženýrský titul
může být úplně jinýho charakteru než doposavad na ČVUT přes staletí bylo, prostě absolvuje nějakých 40 procent studentů tečka.
35 až 40 a může to být úplně jiný číslo
může to být třeba 15 z tohohle začátku
protože tady tenhle GAP (mezera) řekne: logicky - já prostě ne
já jdu pracovat, já přijdu až někdy později
Čili chci říci,
zkuste si, protože máte svoje zkušenosti, svoji hlavu, svoje nápady
zkuste si prostě z toho mého vlídného modelu
udělat to drámo, že tadyhle je prostě končí státní závěrečnou zkouškou bakalář
a prostě má několik rozhodovacích možností několik jako cest můžu být dovnitř
a když si to oceníte, tak zjistíte, že existují docela tmavý scénáře jako jo?
Který můžou vést k tomu, že tahle instituce, myslím ČVUT, bude dobrým dvorním dodavatelem bakalářů do celé Evropy třeba, jo?
a to je vážná věc prosím to není legrace.
Takže o tom ten současný svět je prostě a tadyhle nemyslím si, že si mnoho lidí uvědomuje,
když si prostě značne hrát s takovouhle věcí, jak vážný to může mít důsledky
já chci říci - běda všem experimentátorům
my jsme si tehdy zkoušeli takový věci, jako že že tadyhle úplně skončí přijímání studentů
že prostě nepřijmete nikoho
za jak dlouho se to projeví v tom systému
Není to prosím 5 let, je to podstatně delší čas
je to někdy mezi 7, 8 lety, 9 lety, kdy najednou se zjistí, že prostě ten celkový se začne propadat
ty zpoždění v takovýmhle systému, který má sám za sebou ty zpětný vazby
ty jsou děsivý, nemůžete je předpokládat, proto to modelování
proto si to máte namodelovat prostě není to přespalcových metodách,
je to o tom, že cosi co má dost do činění s realitou
můžete z jednoduchých principů, který se vám tady snažím předvést dát do hromady, sednout si k Simulinku
a prostě si ten model vytvořit
a někdy vám to budu říkat věci, které jste netušili
třeba vám to řekne, že když se budete chovat jako barbar tadyhle na tom začátku
takže vás to překvapí až po několika jiných sezónách,
že prostě bude podstatně později než když by to byla okamžitá odezva
prostě konáte-li nějak, tak velmi často nad tím systém mnoho věcí nevidíte.
Poznáte to, pozná toto až další generace třeba jako jo?
To prostě je pravda u všech těchto systémů, který mají zpoždění, jakousi akumulaci toho procesu
všechny se chovají podobným způsobem
a jakési, prostě proto já jsem nepřítelem přespalcových metod,
protože přespalcový metody jsou příliš optimistický velmi často
a tohle říká podstatně víc o mechanizmu -jak se ten svět kolem nás chová
i když neříkám, že to je úplně přesně tak
ale dá se to velmi dobře takovýto jednoduchý model naladit k té realitě, jo?
Přitom je lineární, jenom je rozsáhlý tím pádem nejste schopni říct
když prostě vám řekne tadyhle bude 250 studentů, tak kolik bude absolventů?
To se dá těžká přes ten palec říkat, ale tadyhle prostě ty parametry
které jsem tam maloval ty souvisejí v podstatě s obtížností některých předmětů.
Jestli to uděláte s tou svojí vlastní zkušeností,
tak zjistíte, že dojdete k velmi realistickýmu modelu
co se na této instituci děje
a to je to co jsem chtěl říci
myslím si že to je vážná záležitost
a byl bych rád, kdyby jste si uvědomili, proč vlastně modelovat a proč tedy něco dělat trošku korektněji než tedy jenom přes tak zvanou Fensrtmetode.
Manažeři to rádi používají. Podívají se z okna a řeknou bude to 150 studentů
a je hotovo
a nikdy nevědí proč. Já chci říct, má to za sebou docela slušné modely
a ty modely mohou vést k určitému i dobrému cíli.
To co jsem vám tady teď říkal, bych rád shrnul do takovéhoto obrázku
který snad bude i vidět a pokud nebude, tak se omlouvám
ale protože mě tady vyhořel projektor
tak jsem si sem dal ten náš, který je míň výkonný, ale víc s tím nenadělám
Chtěl bych říci, že celá ta naše struktura, všechno co jsme zatím dělali
co jsme malovali na úrovni Simulinku, má principielně takovýto charakter.
Jsem-li ve spojitém systému, tak ta jeho dynamika je dána diferenciálními rovnicemi prvního řádu
stavovými rovnicemi prvního řádu
Potřebuju tam na každou tu stavovou proměnnou jeden integrál.
Nic víc.
Potřebuju x1 zintegrovat, x2 zintegrovat, ovečky jednou integrovat, holky jednou zintegrovat
Poté dostanu vektor, který říká: ano, tady mám nederivované veličiny,
když je vynásobím maticí A, tak říkám v tomto místě, že x s tečkou se rovná a krát x(t)
plus B krát u(t)
tahle část
toho formálního diagramu splňuje tu první rovnici, která říká:
x s tečkou se rovná A krát x(t) plus B krát u(t)
a když se podívám na ten výstup, tak mám podobnou záležitost
vezmu všechny kombinace stavových proměnných
C krát x(t) a k tomu přičtu D krát u(t)
v případě, že ten systém mám trošku takový křáplý
v tom smyslu, že prostě není regulární.
Podobně,
podobně v případě
systému diskrétního, který jsme si dneska tady trošku ukázali s větším jaksi rozjezdem
Tady je namalovaný to ten Delay s tím, že tam je ještě matice, že to prostě není jen číslo
ale že to funguje na vektory
Čili tam je důležitá tahle záležitost.
Čili chci říci
zde z komponent vektorů "x" v bodě k+1
se stanou komponenty vektoru x(k)
v bodě tedy "k", v časovém okamžiku "k"
a tady píšu, že tedy prostě M krát x(k)
se rovná x(k+1)
a k tomu když přičtu B-krát u(k)
tak mám prostě tu první rovnici, kterou jsem támhle měl na tý, ještě tam možná je na tý tabuli anebo jsem jí už umazal
a ta druhá rovnice říká že tedy mám y(k) rovno
C krát x(k) plus D krát u(k)
Jak jsme si ho ukazovali v tom našem případě FAKULTY, my jsme tam tento blok neměli
podstatné je, že v principu jsem schopen
namalovat blokové schéma jak se mi ten systém vyvíjí
a jsem schopen napsat i takové věci, jak vypadají příslušné rovnice pokud znám počet neznámých stavových proměnných
A takhle jsme také postupovali.
Tohle je jenom blokové vyjádření, které nakonec do jisté míry odpovídá tomu, co malujeme v tom Simulinku.
My jsme to akorát malovali takhle za sebou, ale vlastně bysme to tam mohli mít namalovaný všechno v jednom bloku
My jsme si ukazovali,
jak tedy jeden klasický model v oblasti spojitého světa
tak jeden docela hezký model v oblasti toho diskrétního světa
teď si ukážeme jak tyhle dva světy lze skamarádit
a jak ten popis stavový lze propojit. Ať je tedy spojitý nebo diskrétní.
Já jsem vám na úplném začátku říkal, to bych možná mohl zopakovat
já jsem úplně na začátku říkal, když jsem vám ukazoval stavový systém
tak jsem vám říkal: tady nenazývám matice M a N. Matici M nenazývám jako A a N nenazývám jako B, jak jsem to dělal v tom spojitém stavu
a po čase vám vysvitne proč tomu tak je.
Tak teď je to místo, proč tyhle dvě matice jsou v tom diskrétním světě značeny jinak. Teď právě nastává ta chvíle.
týká se tedy převodu
spojitého systému na diskrétní
jestliže ten náš systém bude lineární časově invariantní
tak ten popis bude vypadat, tak jak je zde naznačeno v rovnicích 1 a 2
který říká, že teda máme
rovnici pro systémy x s tečkou t se rovná A krát x(t) plus B krát u(t)
pak tam máme rovnici pro výstup tam je y(t) se rovná C krát x(t) plus D krát u(t)
a tuhle rovnici
nebo tyhle stavové rovnice my se budeme snažit převést
Na
diskrétní popis
budeme postupovat takovým způsobem, že řekneme,
že budeme ten náš systém vzorkovat
a budeme prostě vzorkovat všechny veličiny
a to takovým způsobem,
velké T
a řekneme, že všechny ty veličiny, které se vyskytují tady na pravé straně i tahle ypsilon
prostě poctivě nahradíme jenom těmi hodnotami na vzorkovaných hodnot
To je v pořádku jediný problém zbývá co udělat s tou derivací
Máte nějaký názor?
Co z derivací?
No ona musí být diskrétní, musím jí nějakým způsobem zdiskretizovat.
Co s tím provedeme?
No když si
takhle tadyhle budu malovat čas a tadyhle si budu malovat x(t)
a to x(t) dejme tomu bude nějaká takováhle veličina
a já si na ní tedy vzorkováním budu dívat
nějakých takovýchto bodech
a budu říkat no dobře tohle nechť je nějaký bod n a tohle je bod n+1 ve smyslu tý vzorkovací periody
A co je derivací?
V tomto bodě
No derivace
derivace je směrnice tečny, že jo?
To je dle definice to snad byste i snad mohli tušit
A je-li tomu tak
a já tedy jsem tak nešťastný chlapec, že prostě mám jenom ten diskrétní svět
Mám svět, který říká já mám jenom tyto body, tyto body, tyto body, tyto body.
Tak co musím udělat?
No já jediné co mám k dispozici
Jediné co mám k dispozici, jsou dva následující body a jejich spojnice, že jo?
dva následující body jsou v x((n+1)T)
a tento má hodnotu v x(nT)
a směrnice této, vlastně je to směrnice sečny
a tohle to je sečna
směrnice prostě tento tangent
Tak tangens alfa je směrnice sečny
no tak zkrátka a dobře tu tangentu
vyjádřím jak?
No je to protilehlá ku přilehlý, že?
Protilehlá, když tam nebudu psát ty téčka, tak to bude x(n+1) mínus x(n) ne?
Tenhle rozdíl je prostě rozdíl těchto dvou veličin.
A tahle veličina to je zase rozdíl těchto dvou veličin
to je prostě (n+1)T minus nT - takže ta tangenta
je prostě rovna x(n+1) mínus x(n) lomeno T
a já neříkám nic jiného než ta derivace
že tu derivaci nahradím
touto diferencí
A kdo si vzpomene na to jak je definovaná derivace tak také pochopí, že čím budu mít menší tu vzorkovací periodu
tak tím blíž ty hodnoty jsou identické a zkrátka a dobře když udělám tu limitu do nuly
tak mám vlastně zpátky definici tý derivace
v této podobě to spolu souvisí
a já nedělám nic jinýho, než že řeknu, já nemám, žádný limitní proces
já to jen musím dobře navzorkovat, abych se
aby odchylky těchto modrých a červených přímek nebyli příliš velký
a pokud se mi to tak podaří, tak často se podívat na ten spojitý systém
tak mohu vlastně nahradit
provést tuto náhradu
a když tuto náhradu dosadím. Tuto rovnici 3 dosadím do té první rovnice
tak po menší organizaci reorganizaci
dosáhnu tvaru, který říká:
že x(n+1) se rovná 1 plus T krát A toho původního spojitého popisu
a proto my jsme používali jakýsi písmenko M místo této veličiny
A tady se vyskytuje T krát ta původní matice B,
kterou označujeme jako N v tom diskrétním světě
Čili takto souvisí spojitý a
nespojitý svět z hlediska vztahového popisu
Ten stavový popis lze vzájemně identifikovat
pokud použijete tuhle konvenci
že tedy prostě derivaci nahradíte první diferencí
a ta první diference vám způsobí, že tedy jenom za určitých rozumných okolností reprezentuje správně ten spojitý systém
poslední část dnešní přednášky bych rád věnoval jakémusi začátku diskuze o tom
jak ty systémy můžeme vzájemně převádět
když známe příslušné rovnice
tedy nyní se budeme nebo si ukážeme na příkladu, jednoduchém příkladu si ukážeme
jak z rovnice, která popisuje systém v té oblasti vstupů - výstupů
jak získáme třeba stavový popis jakým způsobem zrekonstruujeme v podstatě co je bližší celému modelování toho systému
bavíme se tedy o otázce
jak vlastně souvisí v jistým slova smyslu impulzní odezva
respektive popis v té časové oblasti s
popisem lineárního časově invariantního spojitého systému
a ukážeme si to na napříkladu, nejdříve si to ukážeme na příkladu na diferenciální rovnici druhého řádu
která má nějaké počáteční podmínky,
který si prostě samozřejmě musíme nejdřív ujasnit
ta rovnice, kterou tady předkládám je druhého řádu
je to diferenciální rovnice ,
která říká, že tedy prostě mám nějaký vstup "u"
že mám nějaký výstup "y"
a že mezitím vstupem a výstupem, protože to je lineárně časově invariantní systém platí v podstatě vztah konvoluce
že tedy prostě může napsat něco takového jako je
tedy když znám příslušnou impulzní odezvu tak můžu napsat konvoluční integrál
ypsilon se rovná integrování od nuly do nekonečna h(t) mínus tau u(tau) "d tau"
to můžu napsat, snadno
a teď já říkám, teď já říkám a co mohu napsat o témže systému z hlediska teda popisu diferenciálními rovnicemi prvního řádu?
To znamená ty rovnice které souvisejí s tím tak zvaným vnitřním popisem.
Čili první otázka zní, když mám rovnici řádu druhého, kolik budu potřebovat těch stavových proměnných?
Nee O jednu míň Dvě
Za každý ten řád tady
prostě potřebuju po jedné stavové proměnné
protože ty stavové proměnný jsou svázány diferenciálními rovnicemi prvního řádu
první řád a první řád dohromady dva čili druhýho řádu můžu reprezentovat
Čili kdykoliv máte popis, když budete mít diferenciální rovnici 3 řádu tak potřebujete 3 stavové proměnné
a když budete mít 4 řádu potřebujete 4 proměnné
nebo když budete mít dvě rovnice druhého řádu tak potřebujete opět 4 stavové proměnné
jakmile bude ten systém popsán složitějšími rovnicemi typu
jak jsem říkal třeba dvě rovnice druhého řádu
tak se dobrat k tomu co je vstup a výstup to je velmi těžká zábava.
Naopak, když umíte udělat tento převod,
to znamená, když umíte zvládnout jak tedy z diferenciální rovnice vyššího řádu udělat stavové rovnice
tak se v podstatě k tomu cíli vždycky dostanete
je to pracnější, ale je to vždycky to k cíli vede
Čili první věc je jakým způsobem zvolíme - volba počtu stavových proměnných a vůbec volba jejich
volba stavových proměnných
Ten způsob volby je takový, že jsme si řekli, budeme potřebovat dvě ty stavové proměnné
protože máme rovnici druhého řádu
Když uděláme volbu, která je velmi logická, to znamená řekneme, že tedy ta první stavová proměnná je ta neznámá
to znamená, že vlastně ten výstup berem na jedný ze stavových proměnných
tak můžeme také říci, že tu druhou stavovou proměnnou zvolíme jako její derivaci
to je jednoznačná volba a tato jednoznačná volba vede zase k jednoznačnému výsledku
ten postup je takový kdyby tam bylo 3 řádu tak x3 by bylo ypsilon se dvěma tečkama
zkrátka a dobře tu obecnou část si povíme někdy příště
když budu mít takto tu rovnici, tak já potřebuju vědět co je x1 s tečkou a x2 s tečkou
abych mohl napsat příslušné stavové rovnice, že?
x1 s tečkou je dle definice ypsilon s tečkou to je jasný prostě tohleto zderivuji
no a to není nic jiného než x2
použiju tuto rovnici zpátky
takže budu mít, budu mít
x1 s tečkou se rovná x2
bezva
x2 s tečkou
se rovná ypsilon se dvěma tečkama
a to prosím není nic jiného
než že vezmu tuto rovnici a řeknu si ypsilon 2 se dvěma tečkama se rovná
mínus a0 ypsilon(t) mínus a1 ypsilon s tečkou (t) plus u(t)
Čili tadyhle napíšu, že to je
mínus a0 ypsilon (t) mínus a1 ypsilon s tečkou (t)
plus u(t)
Píšu to dobře jo?
a teď, za ty ypsilony dosazuji to co je mi zde nabízeno v té substituci
Čili tu celou debatu skončím tak že napíšu, že to je mínus a0
y(t ) je x1
a1 ypsilon s tečkou (t) je x2
a tadyhle je prostě u(t)
vidíte, mám opět rovnici, která se velmi dobře podobá příslušné stavové reprezentaci
pokud to opravdu tak udělám
pokud to opravdu tak udělám tak to mohu celý přeorganizovat
a celkem snadno napíšu, že x1(t) x2(t)
derivováno
se rovná
tady budu mít
x1(t) x2(t)
a budu tam mít nula, jedna
tady budu mít
mínus a0 mínus a1
a pak tam budu mít
nula jedna krát u(t)
jak vidíte já jsem zdiferenciální rovnice
obdržel
stavový popis
který má tento tvar
Čili na jedné straně jsem měl diferencilání rovnici druhého řádu
a teď mám dvě stavové rovnice prvního řádu.
No a
Můžeme také z té původní substituce, dohledat kolik je ypsilon
to je prostě jednoznačně rovno x1 takže zkrátka a dobře ta druhá stavová rovnice
respektive ta stavová rovnice pro výstup má tento tvar
a je jasný, že tedy prostě matice D je nulová, opět i v tomto případě D je nula
není tady žádný
přeběh ze vstupu na výstup
a co je docela dobré si povšimnout
jak se změní nebo jakým způsobem se promítnou
počáteční podmínky do toho stavového popisu
Potřebovali jsme dvě počáteční podmínky
takže máme samozřejmě dvě stavové proměnné. Každá ta stavová proměnná vlastně má tu hodnotu
takto definovanou.
Takže do každého integrátoru můžete vložit počáteční podmínky a zkrátka a dobře to celé krásně simulovat.
Co bych rád řekl na závěr
Z dnešní přednášky byste si měli odnést
za prvé to, že lze z jednoduchých úvah vytvořit model, který je velmi blízký realitě
a že tady jednoduché úvahy nejsou zas tak složité zapsat do příslušného stavového popisu
máme tím na mysli model FAKULTY,
který prostě bych si docela přál, kdybyste si opravdu vyzkoušeli na úrovni bakalářského a magisterského stupně vzdělání
to bych byl docela rád kdybyste zkusili
zkusili v Simulinku sami
Co se týká obecného pohledu na stavový popis
tak jsme si dále řekli jak spolu souvisí spojitý a diskrétní svět a
také jsme si ukázali, jak ten stavový popis vychází nebo jak může reprezentovat složitější popisy pomocí diferenciálních rovnic
respektive pomocí vztahu vstup - výstup, jak tento vztah převést na stavový popis
Myslím si, že toho bylo tak akorát dnes. Takže přeji vám hezký den a za týden nashledanou