Dnešní přednáška bude věnována
Laplaceově transformaci a jejímu použití
a protože mluvím o Laplaceově transformaci,
tak bych chtěl ubezpečit jednu takovou záležitost zcela vážně.
Tak jako netaháte hřebíky zubama, ale taháte je kleštěma,
tak takto já vnímám Laplaceovu transformaci.
Je to nářadí, je to naprosto slušné nářadí.
Já vás také nebudu učit jak se kalí ocel, kvůli tomu abyste věděli jak se udělají kleště,
ale budu vás učit, jak kleště vypadají a jak se používají.
Jinými slovy, budu vás přesvědčovat o tom, že použití Laplaceovy transformace je schůdná záležitost,
že k tomu aby jste ji zvládali potřebujete tak asi 2 základní věci.
Potřebujete umět počítat s komplexními čísly,
to znamená vědět, že jsou komplexní, jak se sčítají a násobí
a pak také možná vědět jak se integruje exponenciela.
To je asi tak všechno co z hlediska techniky používání Laplaceovy transformace potřebujete.
A pak také potřebujete pochopení, které se budu snažit tady vám vpravit do hlavy.
Takže začneme se dneska bavit o matematickém nářadí
a budeme si tuto záležitost opírat v podstatě o zdůvodnění,
proč takovéto nářadí chceme používat.
První takový důvod,
čili řekneme si nějaké zdůvodnění použití.
Jeden z prvních důvodů, který už možná vám dochází je to,
že když jsme si zavedli lineárně časově invariantní systém
a řekli jsme si, tady je nějaký vstup
a tady je výstup
ve spojité oblasti tedy v oblasti spojitého času,
tak jsme si dospěli k tomu, že získáme něco jako jsou diferenciální rovnice.
Ta diferenciální rovnice velmi často má třeba tvar,
tady třeba napíšu diferenciální rovnici druhého řádu v tomto tvaru.
Je jasné, že ta diferenciální rovnice,
která přísluší lineárně časově invariantnímu systému,
tak má ty vlastnosti, které má mít.
To znamená má konstantní koeficienty,
které naznačují prostě to, že ten systém nestárne.
Má pravou stranu,
to znamená, že z hlediska té diferenciální rovnice je to tak zvaná nehomogenní diferenciální rovnice
a když se vrátíte k základnímu kurzu matematiky,
tak si určitě vzpomenete jak se diferenciální rovnice mají řešit.
No když je máte s pravou stranou,
tak se říkalo ano, nejdřív najdeme co?
… najdeme fundamentální prostě té homogenní rovnice
a potom se snažíme uhádnout partikulární integrál.
Že to hádání partikulárního integrálu občas může být obtížné,
to víte sami moc dobře.
Takže ta Laplaceova transformace,
kterou já mám na mysli, ta odstraňuje to hádání partikulárních integrálů,
tedy ve smyslu matematického uhádnutí, že ….prostě myslím to takto.
To je jeden z prvních důvodů.
Druhý důvod byl ten, že jsme si říkali,
no pro ten náš lineárně časově invariantní systém jsme si dovodili,
že platí vztah pro konvoluci.
Jinými slovy, že jsme si nalezli
takovýto výraz
a říkali jsme, to je konvoluce
a vztahuje podstatě tedy vstup a výstup,
pokud umíme spočítat nebo pokud umíme nalézt impulsní odezvu.
A pokud umím nalézt impulsní odezvu
a respektive vůbec manipulace s takovýmto integrálem je docela komplikovaná záležitost.
Jinými slovy zjednodušuje ta transformace
počítání konvoluce ve smyslu vstup, výstup.
A to jsou dva podstatné důvody
pro které má smysl příslušné nářadí,
které se nazývá Laplaceova transformace zavést.
Teď přistoupíme k tomu zavedení Laplaceovy transformace,
řekneme si o jejich vlastnostech, ukážeme si jak s Laplaceovou transferormací počítáme,
pokud zbude nějaký čas,
tak předvedu nějaký příklad,
pokud nezbude pokračování bude samozřejmě příště.
Začneme tak jak ve slušném světě se začíná,
že si nejdříve domluvíme, jaké výrazy používáme,
jaká slova používáme a pak začneme s těmito výrazy, s definičními vztahy pracovat.
Takže vězte,
že Laplaceova transformace funkce f(t),
která se chová, matematici říkají, že je slušně vychovaná.
To že je tedy nanejvýš polynomiálního růstu znamená,
že do toho nekonečna neroste příliš rychle.
Pokud ta funkce má slušné vychování,
to znamená že jsou zde konečné mocniny toho času spojitého,
pak je definována Laplaceova transformace integrálem,
který říká:
vezmi funkci, vynásob ji exponencielou,
kde "p" je prosím komplexní proměnná,
péčko je komplexní veličina,
"t" je reálná veličina
a obdržíme tak vztah,
který občas označujeme také takovým ozdobným písmenkem " L".
Tedy velmi často rozumíme tomuto vztahu
v následující podobě.
Prosím u značení dodržujte takovou záležitost,
že
tu funkci v čase budeme označovat malými písmenky.
Funkce v proměnné "p" budeme označovat velkými písmenky.
Ta funkce v čase se velmi často nazývá VZOR
a ta funkce v proměnné "p" se nazývá OBRAZ.
Jedná se vlastně o dvě roviny.
Jedna je rovina času,
což je reálná proměnná
a toto je rovina komplexní proměnné
a ta transformace tedy říká, vezmu funkci, která je slušně vychovaná
a ztransformuju jí do té pomocné roviny "p".
V té rovině "p", která má samozřejmě reálnou a imaginární osu.
Tak v této rovině "p" provedu nějaké operace
a pak se snažím hledat cestu zpátky.
Ta cesta zpátky se nazývá inverzní Laplaceova transformace
a má tvar
integrace podél imaginární osy v tomto smyslu.
Tady je nějaká rovnoběžka,
která protíná reálnou osu v bodě C.
To C je kladné číslo třeba
a zde je naznačeno formálně směřování paralelně podél té imaginární osy,
směr integrace.
Toto je vzoreček, který je známý z teorie
funkcí komplexních proměnných.
Já vás tím nebudu trápit, chci jenom říci, že je slušné abyste věděli,
že existuje jakási definice, která celou tuhletu matematiku vztahuje k celé partii,
která se nazývá funkce komplexní proměnné.
My se naopak naučíme způsob, jak tu inverzní transformaci počítat algoritmicky,
podstatně jednoduššími prostředky, nežli integrací v komplexní rovině.
Čili já vám předvedu způsob,
který je starý už skoro 100 let.
Nicméně je velmi účinný a velmi schopný při práci s inverzní transformací.
Specielně pro naše systémy, pro naše lineární časově invariantní systémy.
Chci dále říci, že ta funkce
že ta funkce f(t)
krát e na mínus pé té
má takovou vlastnost,
myslím ta podintegrální funkce,
že pro reálnou hodnotu p > 0
platí, že limita
téhleté funkce, když "t" jde do nekonečna je nula.
Jinými slovy, ta exponenciela jakoukoliv funkci v tom nekonečnu, zatlumí úplně do nuly.
Má dostatečně velkou reálnou část,
tak aby v podstatě došlo k tomu,
že tedy ten integrál, který tady máme, abychom s ním mohli rozumně manipulovat.
Čili to je důvod
proč říkáme, že ta funkce má nanejvýš polynomiální růst,
protože každý polynom ta exponenciela prostě dostatečně zabije.
Nyní si začneme říkat takové základní vlastnosti Laplaceovy transformace,které budeme potřebovat.
Ta první velmi vážná vlastnost je,
že celá ta transformace je lineární.
Je to úplně přirozený požadavek,
protože my ji používáme na lineární systémy,
tak nechceme, aby nám to ta transformace celé nějakým způsobem poničila.
Takže vlastnost linearity je vám asi jasná, nicméně si představte takovou záležitost,
že prostě chcete udělat transformaci třeba od dvou funkcí,
které takto sčítáte.
Což neznamená nic jiného, než že dělám integrál
od funkce a1f(t) + a2g(t)
toto je v závorce e na mínus pété dété.
A je jasné, že sčítat pod integrálem mohu libovolně
a násobit konstantou také, takže dostanu, že to je a1 krát integrál od nuly f(t) e na nínus pété dété
plus a2 integrál od nuly do nekonečna g(t) e na mínus pété dété.
A protože mám nějaké definice, tak je jasné, že tohle je F(p)
a tenhle ten integrál je nějaká G(p)
a ten princip linearity neříká nic jiného, než tuto vlastnost.
Když sčítám na úrovni těch vzorů,
tak stejně tak sčítám na úrovni těch obrazů.
Obecně tu linearitu můžete napsat v takovém to tvaru,
to znamená, že těch funkcí, které sčítáte může být jisté množství
konečné, konečná suma
a tak jako tedy označujeme
písmenkem "L" transformaci dopřednou,
prostě tedy tu původní tak tedy ta zpětná inverzní se označuje "L na mínus 1".
Toto je tedy označení pro inverzní transformaci.
písmenko L na mínus 1 označuje
inverzní transformaci
Důležitá vlastnost, která je pro všechny transformace tohoto typu
Laplaceovu transformaci, Fourierovu transformaci
Z-transformaci - je vlastnost, které se říká: věta o změně měřítka.
Co se tím chce říci?
Jestliže máme
máme vztah mezi obrazem
vztah mezi vzorem a obrazem v tomto smyslu,
tak je otázka co se stane,
když té funkci f(t) prostě změníme měření času.
Prostě třeba z milisekund na sekundy,
čili vynásobíme tisícovkou.
Tak je otázka co se stane, jinými slovy, jak bude vypadat integrál,
jehož podintegrální funkce bude f(at),
jak bude vypadat příslušný obraz?
Tak celá ta záležitost spočívá v tom,
že zavedu substituci typu,
že at se rovná nějaké tau.
A když to udělám,
tak je jasné že tady budu mít f(tau)
tady budu mít e na mínus
teď "t" se rovná "tau" lomeno "a"
čili tedy tady bude "p" lomeno "a" krát "tau"
a tady budu mít
"d tau" lomeno "a"
prootže ten diferenciál bude "a" krát jiný
a protože když "t" bude v nekonečnu
Tak i "tau" bude v nekonečnu
a "t" když bude také v nule tak dostávám takovýto integrál
který velmi snadno přepíšu na 1 lomeno "a"
krát integrál od nuly do nekonečna f(tau)
"e" na nějaké mínus "s" "tau"
"dtau"
a když to porovnám s tou původní definicí
tak je jasné že je to nějaká 1 lomeno "a" krát F(s).
A když za tu "s" dosadím zpátky,
tak dostanu, že to "F"
bude v proměnné "p" lomeno "a"
a to bude prosím Laplaceův obraz
té funkce se změněným měřítkem.
A toto je výsledek.
Protože mohu natahovat také v té rovině "p",
tak platí vzorečky, které jsem uvedl takto dohromady,
takže si je celkem snadno zapíšete,
na nich je podstatná jedna záležitost,
která je třeba známá lidem, kteří se u pana profesora Nováka zabývají analýzou EEG signálu.
Tak prostě moc dobře vědí, že když někde změní měřítko v jejich krátké Fourierovy transformace
tak se jim naopak jiné měřítko zvětší.
Čili jinými slovy to je typická vlastnost,
která souvisí v podstatě s Heisenbergovým principem neurčitosti.
Pokud jste někdy slyšeli v úvodu do kvantové fyziky tuto záležitost,
Tedy když v jedné rovině dramaticky změníte měřítko,
tak v té druhé se vám to měřítko naopak zhorší.
Čili jinými slovy rozlišení v jedné rovině je za cenu těžkého rozlišení v rovině druhé.
To je vlastnost Laplaceovy transformace,
všechny ostatní transformace mají naprosto stejnou vlastnost.
Další taková vážná věta je věta o posunutí.
Zase vycházím z toho, že vím, že mám takovýto
vztah mezi originálem,
tím vzorem a obrazem, který je dán prostě Laplaceovou transformací
a ptám se, co se stane
když ta f(t) přejde na nějakou posunutou hodnotu.
Jinými slovy co se stane, když ten počátek posunu do nějakého bodu "tau".
Takže se zeptám, jak tu transformaci provedu.
Takže udělám "t" mínus "tau"
"e" na mínus "pt" "dt"
a opět zase použiji substituci,
která říká "t" mínus "tau" nechť je nějaké "t" s čárkou .
Prostě jiný čas s jiným počátkem.
Když to udělám, tak tady budu mít f(t´)
v exponenciele budu mít "e" na mínus "p" a teď tam za to "t" musím dosadit
že to je "t´" plus "tau",
"tau" je konstanta prosím
a vím že se to leskne. Neumím to prostě natočit obecně všemi směry.
A budu přirozeně integrovat přes "dt´",
protože holt toto je konstanta,
takže přírůstek tento i tento jsou stejné.
Co se mezí toho integrálu týká, tak tam ta úvaha je trošku složitější.
Za prvé: Je jasné, že když přičítám odčítám k nekonečnu, tak dostanu nekonečno, tam se nic nestane.
Čili když bylo "t" nekonečno, tak je i "t´" nekonečno.
Když ovšem "t" byla nula, tak to "t´" je mínus "tau".
Tak a teď si musíme něco říci o tom, jaké ty funkce vlastně používáme v Laplaceově transformaci.
Tak jako s těmi systémy zápolíme, tak stejným způsobem my pracujeme s našimi funkcemi,
to znamená, ty naše funkce jsou takové,
že když tady takto běhá čas,
tady je počátek,
tak ta funkce f(t)
má tu vlastnost, že ona je nulová
a až teprve od nějakého počátku nula se nějak třeba začne chovat.
Prostě je to funkce f(t) je různý od nuly pro "t" větší nebo rovno nule.
A všude jinde je nula.
To jsou takové ty naše funkce, které jsem říkal, existuje začátek,
spustím a pak mě zajímají, zajímá mě polosvět.
Jestliže tomu tak je, tak tenhleten integrál
se rozpadne na dva integrály jeden od mínus "tau" do nuly
a druhý od nuly do nekonečna,
přičemž tady
bude nula krát, v téhle té oblasti ta funkce, prostě jako z definice je prostě nulová.
A tady samozřejmě mi zbude f (t´)
"e" na mínus "p(t´ + tau)" "dt´"
a už jsem skoro hotov.
Čili z těchto důvodů tento integrál,
tato část vypadne
a skončím
tak, že říkám,že věta o posunutí
dává výsledek "e" na mínus "p tau"
to je prostě konstanta, kterou můžu před ten integrál vypustit
no a skončí tam že je to F(p), že jo.
Tím jsem hotov.
Věta o posunutí tedy říká,
že posunutá funkce je v obraze násobena právě o to exponencielo, o to posunutí.
Tato vlastnost se dá využívat třeba při počítání
jak uvidíme třeba tabulkových integrálů, zkrátka a dobře jak vznikají tabulky.
Nyní k docela důležitému integrálu,
totiž jak dopadne tzv. konvoluce.
Prosím opište si tento vzoreček a poslouchejte mě, co vám řeknu.
Ta věta o konvoluci říká,
jak se změní integrál, který jsme měli v případě vztahu vstup, výstup,
jak jsem vám tady maloval již na tabuli.
Ta konvoluce se změní na obyčejný součin,
algebraický součin těch funkcí, které v té konvoluci vystupují.
V oblasti spojitého času se důkaz, že k tomu tak dochází
vede přes trojité integrály a zkrátka a dobře není to nic pěkného, když se to maluje na tabuli.
Já vám to ukáži v oblasti diskrétního času, kde je to podstatě srozumitelnější a jednodušší formalismus,
který je potřeba použít.
Napište si poznámku důkaz viz. diskrétní svět nebo diskrétní čas.
A přijde adekvátně později, kdy se budeme bavit o tzv. transformaci Z.
V tomto smyslu,
tedy ve smyslu tedy té věty o konvoluci, jsme si ukázali,
že ten důvod proč používat Laplaceovu transformaci je opravdu vážný.
My prostě místo integrálu a integrace, né příliš úplně srozumitelné integrace
máme docela obyčejné součiny,
jako bychom odstranili ten problém číslo dvě, který jsem říkal,
to je důvod proč používat Laplaceovu transformaci.
Ta druhá záležitost se týká diferenciálních rovnic,
týká se situace, kdy se budu bavit o derivaci nebo o obrazu derivace funkce.
Začneme opět stejným způsobem a budeme říkat tedy,
že takovýto integrál
je vlastně tedy tento první řádek, ano.
A teď se ptáme co se tedy stane, když já se budu ptát,
jak transformuji první derivaci,
jinými slovy, toto je ona otázka.
Tečka je derivace podle času, prostě pak tam budou obecné derivace,
ale nicméně jestli jsme si řekli, že tedy derivujeme podle času, tak tam píšeme tečku.
Jak budeme s takovýmto integrálem zápolit?
Nějaký názor? Co s tím?
No máte tam derivaci a potřebujete to dostrkat k tomu, aby tam ta derivace jako nebyla.
Vzpomínáte si co jste dělávali, no integrovali jste per partes, že jo? Že?
Takže budeme integrovat per partes, tady budeme mít "u´ v" ,
takže budu mít "uv" jako integrál,
což je tedy f(t) "e" na mínus "pt"
a musím tam dosadit dolní a horní mez
a pak tady musím mít mínus integrál od nuly do nekonečna "u" a "v´", že jo.
Je to tak, ne ?
se rovná "uv" mínus "uv´".
To tak je,
to je otázka derivace součinu.
Tak co dál?
No tady se opět uplatní taková ta vlastnost,
kterou jsem říkal na začátku, to znamená, že ta funkce v nekonečnu, má tu vlastnost,
že reálná část toho "p" dostatečná,
aby celá tahle veličinka šla prostě k nule, ano.
Čili jinými slovy, já tady v nekonečnu budu mít nulu mínus
a pak tam budu mít f(0) "e" na mínus "p" krát nula
to je z toho integrování
a pak tady budu mít mínus derivace exponenciely,
to bychom mohli všichni vědět, to je mínus "p"
tak tadyhle to dopadne jako "p" krát integrál od nuly do nekonečna f(t) "e" na mínus "pt" "dt".
A jsem skoro hotov, protože toto
je můj začátek, takže tady napíšu že je to "p" krát F(p)
a tady odečtu mínus f(0) krát 1, že jo.
Takže odpověď na tuto otázku je taková, že je to "p" krát F(p) - f(0).
Kdyby jste se ptali na otázku typu a co se stane,
co se stane že
že když tam budu mít druhou derivaci,
tak je to tak jako kdybyste vnořili znovu a znovu stejnou záležitost.
Jinými slovy je to jakýmsi skoro rekurentním počítáním tohoto integrálu.
Prostě dál a dál ho počítám, až do té doby, než tam mám prostě ten čistý integrál
a ono to skončí, že tady budu mít "p" na druhou F(p)
pak tam bude mínus "p" krát f(0)
a pak tam bude mínus "f" s tečkou v nule.
Jo prostě když to opravdu vnoříte a vynásobíte "p" tak ono to je jako viditelné.
Takže tohle "p" krát "p" F(p) mínus f(0) ,
to je vlastně tahle veličina
a tady máte ještě to f s tečkou nula, který je od toho že tohle je dvakrát integrovaný.
Takže obecně vzoreček
je tady v této tabulce, jinými slovy můžete dál a dál pokračovat
a ty další a další derivace dopočítat jaksi stejným způsobem počítání.
Co chci říci vážného?
Ta diferenciální rovnice obsahuje právě takové veličiny jako první derivaci, druhou derivaci,
zkrátka a dobře
použitím Laplaceovy transformace na diferenciální rovnice,
dostanete podstatě něco jako algebraické výrazy.
A co je dál důležité je, že si pokaždé použití Laplaceovy transformace řekne,
dobře napsaná, tedy dobře spočítaná Laplacka si řekne prostě o počáteční podmínky.
V případě diferenciální rovnice prvního řádu je jedna počáteční podmínka.
V případě diferenciální rovnice druhého řádu jsou dvě počáteční podmínky.
Zkrátka a jednoduše chci říci,
že použití Laplaceovy transformace velmi dobře odpovídá tomu,
co se na vás chce, když stojíte před diferenciální rovnicí.
Musíte také vědět něco jako jsou to počáteční podmínky,
počet těch počátečních podmínek je vlastně dán způsobem počítání Laplacky.
Zdá se, že jsme tímto
nalezli i druhé zdůvodnění, proč používat Laplaceovu transformaci.
Diferenciální rovnice, lineární diferenciální rovnice se zalgebraizují
a pokud umím spočítat Laplaceovy transformace různých standardních funkcí,
které můžou být na pravé straně,
tak vlastně umím napočítat celý algebraický výraz, který mám tak k dispozici.
Mám tím namysli tolik, že z té rovnice
ještě potřebuji znát co se stane když budu integrovat,
když prostě pustím teda příslušnou Laplaceovu transformaci na diferenciální rovnici,
tak jsme si zatím řekli co se stane s tímto, co se stane s tímto, co se stane s tímto,
to umíme, no a ještě potřebujeme,
když máme zadanou nějakou pravou stranu, tak jak vlastně s tou pravou stranou zacházet.
Jinými slovy, co se stane, když třeba na pravé straně bude mít zcela podivně napsáno, že tam je třeba delta funkce.
V té časový rovnici prakticky s tím nemůžete počítat, to prostě skoro nejde pořádně.
Nebo prostě když to u(t) bude "1" (t)
…prostě zapnul jsem baterku, prostě skok jednotkový.
Teď si ukážeme, jak Laplaceova transformace
působí na funkce tohoto typu, které všechny mají tu vlastnost, že jsou slušně vychované.
To znamená že jsou nanejvýše polynomiálního růstu
a ukážeme si jak takovéto tabulky vznikají.
Doporučuji abyste si to v sešitech psali takovým způsobem,
že si napíšete na jednu stránku, jednu dvojstránku si napíšete , tvorbu takovýchto tabulek ,
Tak já tohle chci mít ještě chvíli zakrytý.
takovouhle strukturu tabulek, na druhou stranu si prostě pište nějaké poznámky,
Protože se budu snažit vám každý ten řádek nějakým způsobem vysvětlit jak to vzniká
Čili organizace sešitu je na vás, ale doporučuju takovouhla nějakou strukturu
Abyste věděli , co ke kterému řádku té tabulky náleží.
Takže začneme u té zmíněné
To nechci, aby to bylo takhle
u té zmíněné delta funkce,
pro kterou připomenu
vlastnosti, které jsme si říkali, to znamená, že integrál přes celý svět je jednička
a že ta funkce má vlastnost, že umí lokalizovat
Takhle to napíšu "t" mínus "tau" f(tau) "d tau"
že umí lokalizovat jednotlivou funkci.
Protože tohle je rovno právě f(tau).
Ne f(t) pardon.
To znamená, že když vezmete součin a integrujete, tak prostě vám to dá právě tu jednu hodnotu,
ve kterém tato veličina má prostě nulový argument.
Když použijete tyto vlastnosti na definici Laplaceovy transformace,
čili budeme odpovídat na otázku co se stane s deltou,
no tak dle definice je to tak, že počítám integrál od nuly do nekonečna z delta (t)
"e" na mínus "pt" delta (t)
a protože platí tahle lokalizační vlastnost,
tak ona jí zlokalizuje právě tu exponencielu do bodu nula.
Jinými slovy bude to "e" na mínus "p" krát nula,
což není nic jiného než jednička.
Takže Laplaceova transformace delty je jedna.
Podobná otázka nastává, když na té pravé straně budu mít ten onen jednotkový skok ,
který se podobá situaci, že připnu stejnosměrné napětí nebo prostě udělám nějaký takovýto krok.
Čili se ptám
na otázku, co se stane,
když na tom vstupu bude jednotkový skok,
tedy funkce, která vypadá tak, že je pořád nula a tady v nule udělá hop
a takhle prostě skočí a je to právě jednička,
takže ten jednotkový skok tam opět napíšu,
napíšu to formálně takto
a je jasné, že když tohle je rovno jedné pro t>0,
tak je srozumitelné, že to můžu napsat i bez té jedničky
a skončím u problému, jak zintegrovat exponencielu.
Proto jsem říkal, že musíte umět integrovat exponencielu, nic jiného.
Kolik že to je?
No kolik je integrál z exponenciely?
Tedy primitivní funkce z exponenciely.
Nic? Nic?
Když derivuji exponencielu, tak mi upadne z toho exponentu konstanta dolu, nic víc.
Když jí tedy integruji, tak co se tedy musí stát?
No musím toutéž konstantou dělit, né?
Je to tak? Zdá se, že ano.
Takže tady bude mínus jedna lomeno "p"
krát "e" na mínus "pt", že jo.
To je prosím tento integrál.
A jak ten integrál dopadne?
No v nekonečnu, prostě tahleta funkce má tu vlastnost,
že prostě reálnou část má kladnou, tím pádem to celé shnije do nuly
a v nule to skončí tak, že tam bude tedy, že to je 0 mínus
a teď tam bude plus jedna lomeno "p", tu nulu tam nebudu psát.
Protože "e" na "p" krát 0 dává jedničku, že jo?
Čili Laplaceova transformace jednotky,
tedy jednotkového skoku je jedna lomeno "p".
Prosím pamatujte si to, protože všechno co následuje, vychází z toho,
že integrál exponenciely je jedna lomeno exponent
s příslušným znamínkem krát ta exponenciela.
Tak to prostě je.
Tak je definována exponeciela už od pana EULERA, nějakých 300 let.
Takže platí toto,
a protože jsem říkal, že byste si měli pamatovat jak se integruje exponenciela, tak začneme odtud.
Co se stane, když
když se budu ptát na otázku, jak
Jak bude vypadat obraz takovéto exponenciály?
Tam mám možná alfa, budeme tam psát alfa, ale ono to je jedno,
takže opět píšeme definici
a protože si myslím, že to alfa je reálné
a že je větší než nula
tam můžu celkem bez potíží si myslet,
že i ten integrál bude existovat a napíšu ho ve tvaru ...
Který jenom říká, že umím pracovat s exponenciálou,
to znamená, že násobení dvou exponenciál je prostě součet exponentů
nebo je dán jaksi exponencielou se součtem exponentů.
No a pak už je to opakování předešlého,
tedy jaký bude výsledek?
Když tam to alfa nebylo, tak to bylo 1 lomeno "p"
a když je tam to alfa, tak jak to bude?
Tak správně,
má to prosím tuto logiku.
Kdo nevěří, tak ať si to dopočítá.
Tak a teď nastane
variace na dané téma, to znamená přichází otázka, co s funkcemi,
které se na té pravé straně můžou vyskytnout, jako je třeba nějaké sinus, nějaké harmonické buzení,
zkrátka a dobře, když na té pravé straně prostě bude něco složitějšího.
A to už je docela problém, když byste měli hádat ten partikulární integrál.
To snad jako chápete.
Když už tam na té pravé straně bude sinusovky, kosinusovky a jejich kombinace, tak to už je docela zajímavé.
Takže teď zpátky k tomuto.
Jakže můžeme reprezentovat sinus a kosinus.
Pokud umíme
Pokud umíme takovéto věci,
tak jak musíme udělat sinus a kosinus, tak aby ta integrace exponenciely nám tam hrála nějakou roli.
No to je taky ten pan EULER, taky prostě už skoro 3 století se dokazuje,
že sudé části exponenciely
se vytváří takto
kde "i" je tedy imaginární jednotka této vlastnosti
a když to vydělím dvěma, tak dostanu právě ten kosinus.
To jste nikdy neviděli?
Ale měli byste si to pamatovat kolegové,
protože vlastnost "e" na "ix"= cos x + "i" sin x,
znovu opakuju to už je několik století.
A když prostě tam dáte záporný znamínko a sečtete, dostanete kosiny
a když tam dáte záporný znamínko a odečtete, tak dostanete až na tu imaginární konstantu sinusovku
a z těchto důvodů
platí následující vztahy.
A protože platí tyhle vztahy
a protože vím jak se integruje exponenciela,
tak také vím jak to udělat s kosinem nebo se sinem.
Je to srozumitelné? Prostě řeknu, že Laplac
kosinus
není nic jiného než 1 polovina a protože to je lineární,
tak to můžu roztrhat
a je to Laplac tadyhle té exponenciely
plus 1 polovina Laplac komplexně sdružené exponenciely.
No a protože umím
tuto, to jsme si řekli, že už umíme integrovat exponencielu.
Tak integruji exponencielu a napíšu že to je 1 lomeno 2
a tady bude 1 lomeno "p" mínus "i" omega
plus 1 polovina krát 1 lomeno "p" plus "i" omega
Je to vidět?
Je to srozumitelné, co dělám?
Netahám králíčky z klobouku prostě počítám.
A protože tohle umím,
tak teď už zbývá jenom umět počítat s těmi komplexními čísly.
A skončím někde tady,
že říkám, že to je 1 polovina
uvedu na společného jmenovatele.
Uvedení na společného jmenovatele tady znamená
něco jako rozdíl čtverců, že jo (a+b) krát (a-b)
což je "a" na druhou mínus "b" na druhou
a protože to "b" má čistě imaginární část, tak se tam prostě objeví že to je "a" na druhou + "b" na druhou , že jo.
Jinými slovy, tady dostanu že to je "p" na druhou plus omega na druhou
nemusím ani násobit, prostě uvažuji
a pak už je tam jenom, že to dopočítám "p"+"i" omega + "p" - "i" omega,
to je prostě uvedení na společného jmenovatele,
"i" omega se zruší
a nakonec dostanu že to je "p" lomeno "p" na druhou plus omega na druhou.
Tak a teď si pro vlastní jistotu v to co děláme, zkuste ten sinus, sami.
No šup, jedem jedem, tužku a píšu.
Kdo má výsledek?
Ruce vzhůru.
Ano, kolik to bude?
(student) mně to vyšlo omega lomeno "p" na druhou + omega na druhou ….. perfektní.
A teď si ukážeme, všichni ostatní prostě, správně to je
….. se přesvědčí jak to vlastně vzniklo tento výsledek.
Já tady umažu to co zatím není pravda,
je jasné že tadyhle byl mínus
a takhle byl rozdíl a bylo tady 1 lomeno 2"i", že jo.
Čili ten sinus je 1 lomeno 2"i" s rozdílem.
Tady je 2"i" a tady je prostě takto rozdíl.
A když to uvedete na společného jmenovatele, dostanete rozdíl těchto dvou veličin
a v tom čitateli zbude 2 krát "i" omega dělěno 2"i",
takže tady to skutečně skončí jako omega lomeno "p" na druhou + omega na druhou.
Sinus a kosinus se prostě sobě podobají, právě tímto způsobem.
Tak aby ten svět byl ještě trošku komplikovaný,
tak se budeme ještě bavit o dalším typu funkcí,
které se pokusíme nalézt nebo prostě odvodit jak má vypadat jejich Laplaceova transformace.
Představte si, že máte sinus krát
…. že máte otázku jak udělat Laplac od "e" na mínus alfa "t"
cosinus omega "t" respektive sinus omega "t".
Takže budeme postupovat velmi podobným způsobem,
jako jsme postupovali v předchozím případě.
Bude tam určitě 1 polovina, protože tam je reprezentace toho cosinu přes exponenciely
v té první bude "e" na +"i" omega "t"
krát ta exponenciela a v tom druhém bude
A protože umíme integrovat exponencielu,
tak se to jenom malinko zkomplikuje v tom smyslu,
že když to přepíšu do
tvaru se společnou exponencielou tak to napíšu jako minus (alfa -i omega) krát "t"
A druhý bude 1 polovina Laplac "e" na mínus(alfa + "i" omega) "t"
a jak říkám, exponencielu už umíme integrovat,
takže není složité
napsat, že tedy ten
se rovná
tato eponenciela, která říká že tam je 1 lomeno "p" +(alfa - "i" omega)
tadyhle je 1 polovna a tadyhle je další 1 polovina
z výrazu "p" + (alfa + "i" omega)
to je dáno z těchto výrazů
a pokračuji dál.
Uvedu to na společného jmenovatele a opět stejným způsobem
tedy stejným způsobem
tedy si představím, že tam nejsou ty závorky
a že ty závorky si myslím takto a takto,
abych tam dostal (a+b) krát (a-b),
a pak tady mám že to jedna ne není to jedna
1 polovina a tady budu mít ("p" +alfa ) na druhou + omega na druhou
no a pak tady bude v čitateli bude "p"+alfa+"i"omega+ "p"+alfa-"i" omega
opět se "i" omega zruší
a dostanu tedy nakonec, že to je p+alfa / (p+alfa) na druhou + omega na druhou .
Kdybyste náhodou chtěli, tak se to dá napsat ve tvaru p+alfa / "p" na druhou +2 alfa"p" + alfa na druhou + omega na druhou
to když máte radši mocninný polynomiální zápis.
Tak a protože to umíme pro cosinus tak zkuste dovodit jak vypadá Laplace pro "e" na mínus alfa "t" sinus omega "t"
je to podobná debata, jako v předchozích dvou případech.
Výsledek je takový, že opět se tady vyskytují íčka
a tady je rozdíl … a tím pádem to dává sinus
a ten rozdíl způsobuje, že tady to musím celé takto odečíst,
tady mám to "i"
a nakonec to skončí tak, že tady bude ta omega
a tady nakonec bude taky omega.
Takže sinusovka je celkem jasná
a komu není, tak snad už to pochopil nakonec.
Poslední taková veličina,
která se občas může vyskytovat na té pravé straně,
ale která se může vyskytovat z jiného důvodu, je mocnina času.
To znamená té hodnoty "t".
Nejdříve si ukážeme co to udělá s integrálem,
když tam budu mít jenom lineární závislost.
Jinými slovy, co se stane, když budu hledat integrál
"t" krát "e" na mínus "pt" "dt"
co musím udělat, abych mohl takovouto věc,
abych takovýto integrál mohl nalézt?
No za prvé: ten integrál evidentně existuje ze stejného důvodu,
toto je maximálně polynom přímo lineární,
takže mohu s tím integrálem dělat spoustu věcí
včetně toho, že můžu derivovat takto podél nějakého parametru "p", že jo?
A když to tak udělám a dám tam správné znaménko,
tak vlastně mám takovýto integrál.
A protože můžu derivovat i před znamením toho integrálu podle parametru,
tak se vracím zpátky k tomu, že hledám integrál z exponenciely.
A ten my už umíme, to prostě už tady opakujeme tolikrát,
prostě víme, že je to 1 lomeno p
a když zderivuji péčko, tak dostanu že to je -1 lomeno "p" na druhou
A když je tohle mínus mínus tak to dává znaménko plus
Pokud těch téček bude víc,
tak v tomto smyslu
vznikne z celé té
opakované, respektive znovu a znovu derivace vznikne podstatě faktoriál
"n" faktoriál lomeno "p" na ("n" +1)
to je prostě v případě, že je prostě těch mocnin téček
nebo ty mocniny téček postupně rostou jako n. "t" na "n"
Na závěr si opište zbytek téhle tabulky, která vzniká podobným způsobem, podobnými úvahami.
Nevychází to za rámec toho, co jsem vám tady vykládal
a až si to opíšete, tak bych chtěl říct několik slov
k tomu co jsme si dneska vlastně pověděli.
za prvé tedy k tabulkám,
smyslem toho dnešního povídání bylo, abych vám ukázal jak tabulky vznikají.
To znamená, že nevznikají žádnými těžkými matematickými operacemi,
že to je postupně vyvíjející způsob jak ta tabulka funkcí může vznikat.
Druhá záležitost je ta, že mnohé knížky,
které se zabývají komplexní proměnnou a zabývají se Laplaceovou transformací,
tak mají těchto stránek tabulek desítky.
Lidé, zkrátka a dobře, mají napočítáno, natabelováno podstatě vzory
a obrazy a běžně se používá korespondence mezi těmito dvěma rovinami.
Jinými slovy chci říci, nechci od vás aby jste tabulky uměli nazpaměť,
chci prostě aby jste věděli, jak se jejich členy dají dopočítat,
ale nicméně je běžné používat tabulky pro výpočty dopředné i zpětné transformace.
My jsme si dneska řekli, jak používat nářadí, kterému říkáme Laplaceova transformace
a ukázali jsme si tu cestu z roviny času do té pomocné roviny "p".
V té pomocné rovině "p" si příště ukážeme,
jak vyřešit konkrétní diferenciální rovnici
a pak se budeme starat o to, jak se vrátit do té roviny času,
protože tam se vlastně ten děj děje, ten reálný svět.
Kdežto tohle to je svět našich pomocných komplexních proměnných.
Čili dnešní přednáška měla za účel vás přesvědčit o tom,
že nářadí, které používáme má hlavu a patu
a nejenom to, ale je prostě velmi jednoduše zkonstruovatelné.
A prostě pokud jste pochopili tu konstrukci, tak jste možná pochopili co jsem vám dneska chtěl říci.
Přeji vám hezký den a za týden nashledanou.