Přeji vám dobrý den.
Dnešní přednášku věnuji otázce laplaceovy transformace.
ve smyslu zpětném nebo-li inverzní laplaceovy transformace
jak jsme si v minulé přednášce ukázali
jsou dobré důvody proč používat laplaceovu transformaci a
my si ty důvody dokončíme v tom smyslu
že si řekneme jak s tou rovinou pomocnou
tzn ve které můžeme manipulovat třeba s diferenciálními rovnicemi
tak jak z téhleté pomocné roviny se dostanu zpátky do oblasti
tohoto reálného světa prostě času, ve kterém prostě příslušné objekty
systémy pozoruji a protože si myslím, že je docela dobře pracovat s příkladem
tak začneme s tím že tedy si povíme (píše)
Ukážeme si příklad na použití laplaceovy transforamce
a pokusím se vám naznačit jak vlastně ta zpětná transformace funguje
začneme tím co jsem vám říkal již v jisté minulosti
když jsem mluvil o tom že tedy budete mít třeba svoji baterii od mobilu
kterou skoro vybijete, že tam bude nějaké zbytkové napětí
které označím nějaké Ua což bude dejme tomu veličina v počátku nějakého systému
tedy moje baterka a budu se ptát co se stane když prostě na tom vstupu připojím něco takového
jako tedy stejnosměrné napětí (píše) je jasné že tadyhle tedy budu připojovat prostě tedy to stejnosměrné napětí respektive nějaký průběh Ut
a ta baterie toho vašeho mobilu v nejjednodušším případě se dá modelovat tak, že je to prostě tedy ten náš jednoduchý RC článek
v tomto smyslu nás zajímá tedy nás zajímá
jak se rychle se tedy nabije a jakým způsobem se nabije jinými slovy prostě toto je tedy napětí na té baterce respektive na tom kapacitoru
my jsme si ukazovali, že tedy pokud tady označím tyhle veličiny odporu R a kapacitoru C takže vlastně tady mám jednoduchý vlastnosti
že tedy to napětí na vstupu
je rovno úbytku napětí na tom odporu a úbytku napětí na tom kapacitoru.
To je srozumitelné takhle se to krásně posčítá pak jsem vám říkal že musí platit ohmův zákon
Který mě přisoudí v podstatě k téhle veličině napětí mi přisoudí nějaký proud
já tu rovnici opět opíšu tak jako bych tedy říkal prostě používám obvodové informace
a pak také platí jedna taková srozumitelná věc tzn jak se to má s proudem
(píše) na nějaké kapacitě nebo nějakou kapacitou když na ní mám nějakou změnu příslušného napětí
tahle rovnice jenom říká, že existuje jakási úměrnost mezi napětím a nábojem
a ta změna je dána právě touto rovnicí (ukazuje jí)
A pokud tuto rovnici dosadím tak mám (píše)
typickou diferenciální rovnici prvního řádu pro veličinu Uc a když Uc v souladu s těmito našimi předpoklady (maže)
nazvu ypsilon tak se dostanu k rovnici která je prostě podle mého soudu téměř standardní
a která říká (píše jí pod nadpis)
říká toto
vstup je U výstup je Y
je svázán diferenciální rovnicí prvního řádu
ta diferenciální rovnice má konstantní koeficienty
protože nepředpokládáme, že ta baterie schnije během prvních několika cyklů
za 4 roky jí tak vyhodíte čili prostě to je velká perioda vůči tomu jak často jí musíte nabíjet
chci říct ty veličiny R a C jsou v podstatě konstantami
nezávislými na čase.
Za těchto okolností ať je ta pravá strana jakákoli, ale my víme že tam připneme to stejnosměrné napětí
ať se to zdá k nevíře, protože to strkáme do síťového zdroje tam je ale vězte usměrňovač
zkrátka a dobře tam bude stejnosměrné napětí
a toto je vlastně definice té úlohy tak jak by byla (maže tabuli)
zapsána pouze diferenciální rovnicí a příslušnými podmínkami tzn. co je U a co je příslušné počáteční hodnota toho napětí
Když budeme řešit tuto rovnici laplaceovy transformace
tak (dělá závorku na tabuli) víme že tedy máme lineární diferenciální rovnici
máme jí s konstantními koeficienty máme ji nehomogenní
můžeme na to (napsala velký L) pustit laplaceovu transformaci v tomto smyslu
tzn, že budeme laplacovat tedy použijeme laplace na jednotlivé členy
protože ta transformace je lineární takže mohu (píše velké L)
laplacovat jak tuhletu derivaci tak tu vlastní neznámou funkci
i tu známou funkci na pravé straně takto odděleně prostě je to linearita.
Protože umíme, že jsem si ukázali v minulosti jak tedy počítat derivace
obrazy derivace jak počítat obrazy v podstatě některých dalších speciálních průběhů funkcí
tak si dokážeme takovouto rovnici tedy trasformovat do proměnné p(pé)
celá ta transformace proběhne (bere si jinou fixu(černou)) tak tady budu mít (píše vzoreček)
za tuto první transformaci tam budu mít pé ypsilon pé mínus ypsilon0
tady budu mít tady budu mít ypsilon p a tady budu mít u0 lomeno pé.
Neznámou je to ypsilon respektive obraz toho ypsilonu ypsilon pé.
Takže já s touto rovnicí zacházím jako s algebraickou čili hledám algebraické řešení. (píše na tabuli za prvé)
ALGEBRAICKÉ ŘEŠENÍ
a to je velmi jednoduché zacházím s tím jako s algebraickou rovnicí
to co znám to se octne na straně pravé to co neznám zůstane na straně levé
takže (píše) toto je strana levá (pRC+1)Y(p)
kde jsem pouze jenom vytknul pRC
od toho ypsilonu tady mám jedničku takže mám to takto a na pravé straně budu mít u0 lomeno pé plus RC ypsilon nula
(maže tabuli) moje algebraické řešení dopadne tedy tak že řeknu že tedy ypsilon pé (píše)
se rovná u0plus péRC za ypsilon nula dosadím UA
tady budu mít (píše dolu do zlomku) pé krát pRC plus jedna.
A toto je toto nazývám algebraické řešení. (píše)
všimněte si že jsem nemusel hádat pravou stranu nemusel jsem vůbec nic dělat
jenom jsem počítal počítal prostě protože umím spočítat laplace derivace umím spočítat laplace pravé strany jenom jsem algebraicky manipuloval s tou rovnicí.
Teď nezbývá nic jiného než to algebraické řešení (píše)
hledat zpětnou transformaci (píše)
tím chci říci, že chci nalézt vzor proto ypsilon pé pro právě takovéto ypsilon pé.
Jak to udělám ?(maže tabuli)
První čeho si všimnu,
že pro tento náš zcela konkrétní lineární, časově invariantní systém to algebraické řešení má tvar (ukazuje na tabuli), kterému říkáme racionální lomená funkce.
Ta definice říká to , že jak v čitateli tak ve jmenovateli se vyskytuje polynom v proměnné pé.
Čili je to v principu to ypsilon pé (píše) je v principu polynom v proměnné pé ku jinému polynomu v proměnné pé.
to je výrokově jak to je míněný je to prostě podíl dvou polynomů
a to je ona racionální lomená funkce.
Čím je charakterizován polynom. (kouká do třídy)
Nějaký názor chci slyšet co je to polynom?
jestliže tedy mluvím o polynomu v proměnné pé nějakém (píše) N(p) tak on vypadá třeba tak má nějaký a2 pé na druhou plus a1 pé plus a0
jinými slovy polynom je charakterizován koeficienty toho polynomu u jednotlivých mocnin.
a nebo je charakterizován čím? Co má ještě , jaká je charakteristická vlastnost nějakého polynomu? Stupněm správně a ještě ?
kořeny respektive nulovými body
jinými slovy velmi důležitou veličinou je kdy (píše).
Toto jsou tak zvané nulové body
nebo chcete-li kořeny (píše)
ale kořeny jsou to v případě když tuto rovnici opravdu napíšu
Čili by to byli kořeny kvadratické rovnice a ty tvoří nulové body polynomu druhého řádu.
Čili důležitou veličinou jsou nulové body.
jaké jsou nulové body jmenovatele v této racionální lomené funkci?
Kdy že to bude 0 tento čitatel (ukazuje na tabuli) teda tento jmenovatel.
Čili jedna ta nula bude právě v nule, že jo?
a druhá v mínus jedna lomeno RC je to tak jo?
A teď (ukazováček ve vzduchu) jestliže ten polynom je ve jmenovateli (ukazuje)
tak těmto charakteristickým bodům se říká póly.
(píše) ano?
A ty póly občas značím takovým to malým nekonečném aby bylo jasné, že to přísluší jmenovateli racionální lomená funkce.
Ale v tomto smyslu jsou to stejné kořeny(ukazuje na tabuli), o kterých prostě mluvíte v přídadě polynomu respektive příslušné rovnici polynom rovná se nule ano?
Čili důležitou veličinou kterou my budeme používat nadále jsou pojmy to je póly racionální lomené funkce.
Ten pól má tu vlastnost, že ta funkce když se blíži k tomu to bodu tak prostě takto utíká ke všem čertům, tedy do nekonečna. Ano?
takže umíne póly téhle naší rovnice téhleté naší racionální lomené funkce první je v nule druhý ten pól (píše) je v bodě mínus 1 lomeno RC.
Čili to (píše 2a) ta inverzní transformace začíná tím, že si určíme (píše) póly racionální lomené funkce.
2b je to že tedy prostě si představíme že tu ypsilon pé (píše) můžeme rozložit na parciální zlomky.
V našem případě (píše vzorec) je to tak, že použijeme kořenové činitele, kořenové součinitele a prostě uděláme z nich tedy parciální zlomky. Čili rozklad (píše) na parciální zlomky.
A teď může nastat otázka jak s této funkce (ukazuje) naleznu k1 a k2
Což jsou tzv k1 všechny ty ki do budoucna se budou nazývat rezidua (píše)
To je z teorie funkcím komplexních proměnných. Termín, který se prostě používá jsou to tedy tzv rezidua.
Může to být vnímáno že to je ten vedoucí člen který to táhne celou tu funkci k nekonečnu.
A my si tedy ukážeme jak spočítat k1 a k2 aniž bychom manipulovali příliš s tou řekl bych s porovnáváním vstupů což je také možnost,
ale pokud budete mít tu racionální lomenou funkci rozloženou do více parciálních zlomků tak tyhlety různý křížový manipulace nevedou příliš k cíli
já vám ukážu jak to udělat řekl bych trošku kultivovaněji a chytřeji
Teď jsem si to smazal to jsem udělal chybu tak si to musím napsat tady vedle abych měl prostor
ypsilon pé jako algebraické řešení je U0 plus péRC (píše) UA
lomeno pé krát péRC plus 1,
když teda máme určené póly (maže)
tak si teď ukážeme jak teoreticky můžeme s touhle funkcí zacházet jak spočítat třeba k1 když budeme chtít spočítat k1
ak uděláme takovou věc že obě dvě strany rovnice vynásobíme péčkem.
Když to udělám tak tady budu mít pé krát ypsilon pé
a tady budu mít k1plus k2pé
(píše) lomeno péRC plus 1
a když si řeknu dobře já potřebuju spočítat jenom to k1 tak (píše) udělám limitu, když to pé běží právě k tomu prvnímu pólu respektive v tomto případě ten první pól byl zrovna ta nula. Ano?
Nejde to přečíst tak já to napíšu ještě jednou (a píše)
a toto je tedy limita když pé jde do nuly z výrazu, který jsem tady měl napsaný k1 plus K2 pé lomeno pé RC plus 1
je jasný, že tady tohle to skončí jako k1
a tadyhle ta levá strana říká že k1 spočítám tak
čili k1 spočítám tak, že vezmu limitu, když pé jde do nuly z výrazu pé krát a teď tam za to ypsilon pé prost docela natvrdo dosadím napíšu že to je U0 plus pRC(píše) UA lomeno pé krát péRC plus 1a to se rovná. Čemu?
péčka se takto zruší a když dosadím tam za pé rovno nule, protože limituju do nuly, tak mi to skončí jako U0.
Takže k1 tadyhle si někam napíšu že k1 mi vyšlo jako U0.
Podobnou proceduru (maže)
s tou racionální lomenou funkcí udělám v případě když budu chtít spočítat prostě to k2.
Co provedu? No (píše) vynásobím to celé péRC plus 1na levé i pravé straně.
Když to provedu (maže)
Když to provedu tak (píše) tady budu mít že musím provést limitu pé jde právě k tomu druhému pólu
z výrazu pé RC plus 1 krát ypsilon pé a tady budu mít
tyto dva výrazy se zruší tady se to dostane do čitatele a to se zanuluje a dostanu, že to je prostě právě to k2. Úplně ze stejného důvodu.
Je to srozumitelné prosím, Jo? Co páchám. Není?
(píše) když máte takovouto funkci kterou říkáte ona k1 ku pé plus k2 lomeno pé RC plus jedna
a na tý levý straně víte, že to je tahleta algebraická funkce toto to co nám vyšlo.
Takže tady napíšete že to je u0 plus pé RC UA lomeno
pé krát pé RC plus 1a tady říká musí se to rovnat K1 ku pé plus k2 ku pé RC plus 1 .
Abych na této straně osvobodil to k1 tak to prostě celé - celou tu rovnici vynásobit péčkem
když to udělám tak se mi tady (píše) objeví péčko tady se mi objeví tady se mi objeví péčko . Ano?
nad kterým to prostě dělám tak tady dostanu - tady se také elegantně zruší
a říkám tak udělám limitu že p jde k tomu pólu z výrazu u0 plus pé RCUA lomeno pRC plus 1
a na tý pravý straně mě zůstane prostě že to je právě k1tohleto zmizí . Že?
To prostě zmizí.
Protože pé jde k nule.
Tohle zmizí (ukazuje)
a tady se to všechno docela slušně pokrátí a ten konec je prostě takový jaký už jsem tady napsal to k1 je samozřejmě rovno U0. Z tohohle toho procesu.
a teď když udělám úplně stejnou debatu s tím druhým pólem (maže péčka)
tak musím násobit obě dvě strany rovnice. Tímto výrazem. Ne?
prostě potřebuju osvobodit to k2 .
A to osvobození znamená (maže)
A to osvobození znamená (píše) že i tadyhle budu mít péRC plus 1tadyhle budu mít péRC plus 1a tady budu mít pé RC plus 1krát. Jo?
a teď zde se to zruší tady se to také zruší a dostanete, že v případě,
že to pé půjde právě k tomuto pólu čili pé jde k mínus 1lomeno RC
a teď tady budete psát tento výraz u0 plus péRC UA lomeno p,
protože tohle se už zrušilo a to skončí tak, že to je k2, protože tady tento výraz prostě zase zanuluje a tohle zůstane osvobozené.
A když teda to dopočítáte tak zjistíte že k2 (píše) se rovná mínus 1 lomeno RC tady budete mít U0 mínus UA (záběr na vzorec)
Je to vidět? Vidíte to všichni? Jo? Souhlas? Opravdu?
No? Takže mám k2, které si tady takhle dopíšu, protože jsem si ho tady takhle hezky spočítal,
že tedy k2 se rovná U0mínus UA lomeno mínus 1 lomeno RC
Jinými slovy, napsal jsem, že tedy ypsilon pé se rovná U0 lomeno p mínus U0 mínus UA
a tady napíšu že to je tedy RC krát, ano?
protože tohle to můžu napsat že to tedy RC se záporným znamínkem U0 mínus UA. To tak je.
A tady hle napíšu prostě ten druhý jmenovatel a mám rozklad na parciální zlomky konkrétní . Ano?
A teď nezbývá nic jiného než si všimnout jedné prostinké věci, totiž toho (maže), že umím integrovat pouze exponenciálu. Jak jsem vám říkal vystačíte si v tom světě laplaceovy transformace, když umíte udělat laplaceovu transforamci (píše) exponenciály
tj prosím integrál tototo typu
který vede na výraz 1 lomeno pé plus alfa
Když tady v tomto výrazu ještě formálně uděláte žo to je U lomeno U0 lomeno p
a řeknete že RC že jedna lomeno RC je nějaké alfa (dopsal)
tak můžete ještě podělit tím RC a psát U0 mínus UA a tady budete mít pé jste vydělili 1 lomeno RC což je právě to alfa
a máte veličinu kterou konec konců znáte z tabulek (ukazuje na tabuli)
také znáte z tabulek a to už jsem si tady jednou použili že prostě tedy jednotkový skok je prostě jedna lomeno p
to jsem si tady již jednou zopakovali takže cesta od této veličiny
k (píše) ypsilon t je skoro jasná ne?
Protože umím, že jsou to tyhle funkce a protože teda laplaceova transforamce je opět lineární
no tak prostě po částech zpětně transformuji a prostě ten první člen skončí tak že to je tedy U0 krát jednička a ten druhý člen je tedy u0 mínus UA krát e na mínus alfa t kde samozřejmě to alfa je nějaký RC čili prostě je to nějaká časová konstanta která je charakteristická pro tu dobu nabíjení.
Toto (píše) je výsledek vašeho počítání který říká, že pokud řeknete, že to prostě platí jenom prostě pro t větší nebo rovno 0
tak tady nemusíte psát ani tu ozdobnou jedničku protože to je pořád jednička
a pak tedy budete mít že to je v podstatě tenhle jednoduchý a elegantní vzoreček.
A pokud by jste si to chtěli namalovat (maže)
tak vaše nabíjecí procedura vypadá asi tak, (maluje graf), že tady je nějaká ideální hodnota toho U0 kterou tam připínáte.
A ten faktický průběh bude probíhat tak, že záleží velmi na tom jakou tu hodnotu zbytkového napětí máte
a jaká je vlastně ta časová konstanta čili prostě takto nějak bude probíhat (kreslí) nabíjení je jasný že když budete mít nižší tak prostě to nabíjení adekvátně prostě jako zpozdí protože bude probíhat třeba nějakým takovýmto způsobem.
Ano? No a když to budete mít skoro nulový tak to bude prostě standardní průběh typu, když to UA je rovno nule tak budete mít průběh ypsilon t, který je roven U0 krát 1 mínus e na mínus alfa t. Což je jako jasný obrázek, že to v nějakém hodně velkém čase dospěje k hodnotě U0.
Všimněte si, že jsem nehádal pravou stanu že jsem jenom počítal.
Jo? Co může být občas kritické je nalezení těch (ukazuje) nulových bodů jmenovatele jinými slovy nalezení těch pólů
měli byste možná vědět, že kvadratickou rovnici pravděpodobně umíte to znamená vyřešit druhýho řádu to jde v ruce.
Měli byste vědět že 3 řádu rovnici dokážete v podstatě také v ruce tzn algebraickými metodami vyřešit.
Dokonce se ví že i 4 řád lze takto zvládnout
a také se ví v matematice že algebraické řešení rovnic pátého a vyššího řádu prostě není možné. Prostě nelze.
to se ví už několik skoro spíš více než 150 let .
Takže byste to mohli vědět i vy. A kdysi před těmi mnoha a mnoha lety to dokázal francouzský matematik Galois. (http://dagles.klenot.cz/rihova/hist.html),
který to dokonce udělal tak že tedy prostě ten hlavní důkaz provedl v předvečer svého souboje
a pak na souboj šel a nechal se zabít, takže chci říci matematici taky nejsou žádný suchaři taky se dokážou bít pro čest a spravedlnost
Je to tak že i slavní matematici mohli skončit tímto způsobem, ale vězte je to opravdu takže do 4 řádu to jakž takž jde v ruce a všechno ostatní pak už je numerika .
Proto také v matlabu jsou metody na řešení nulových bodů polynomu zero (zerous – nulové body) prostě, když hledáte nějakého vektoru tak to je přesně ten algoritmus je tam prostě numerický algoritmus jak najít nulové body polynomu jak najít kořeny rovnice n-tého stupně.
Taky byste měli vědět . Budoucí páni inženýři, že každá ta rovnice s reálnými koeficienty
pokud je n-tého ho řádu tak má právě n řešení v komplexní rovině.
Jo? Čili ty nulové body respektive ty póly obecně nejsou takhle čistě hezky reálné jo?
Prostě obecně jsou to komplexní veličiny. Ty póly jsou rozprostřeny v komplexní rovině.
takže to byste také měli vědět, protože to je součást takové té základní věty algebry, která říká, že tedy každý pól je jen n-tého stupně má právě n kořenů. Ve smyslu tedy řešení příslušné rovnice.
A teď tedy na základě toho co jsem si tady ukázali na základě postupu, který jsem se vám tady snažil ukázat na nejjednodušším případu diferenciální rovnice prvního řádu. Teď bych vám chtěl říci několik obecnějších závěrů pro inverzní laplaceovu transformaci
Tedy jak se inverzní laplaceova transformace chová jaký má nějaký definiční pojmy a zkrátka a dobře jak to vlastně vypadá v obecném případě. (spouští plátno)
To co jsem zdůrazňoval na začátku. Máme pojmy jako jsou póly, které jsou opravdu relevantní vzhledem k tomu celému dalšímu počítání.
Racionální lomená funkce, ještě jednou opakuji je to tedy podíl polynomu (ukazuje na tabuli) v čitateli polynomu ve jmenovateli
polynomu v proměnné pé v té pomocné proměnné pé
A říkáme že tedy existují nějaké nulové body o ty se příliš teď jako nestaráme a že existují póly , které jsou dány jednoduchou algebraickou rovnicí, že tedy polynom rovná se nule a ty póly označujeme
Jaksi nekonečnem jenom aby jste odlišili od dalších charakteristických bodů té racionální lomené funkce.
Pak přichází další taková základní diskuze totiž, že ty póly mohou být jednoduché nebo násobné.
Pokud jsou jenom jednoduché.
Tak existuje jednoznačný a jednoduchý rozklad toho polynomu na kořenové činitele.
Těch součinitelů tady bude právě tolik kolik je stupeň toho polynomu.
A potom jsme schopni udělat rozklad na parciální zlomky
a to tak, že každý ten součin se vyskytuje ve jmenovateli jednotlivého parciálního zlomku
vidíte že se tady o nuly té racionální lomené funkce prakticky nestaráme, staráme se jen o ty póly. Jak jsem říkal se nazývají rezidua.
a předmětem další úvahy jak tato rezidua spočítat systematicky spočítat znovu upozorňuju takový to když máte kvadratický členy takovýto křížový spočítání to je prima , ale jakmile budete mít těch členů víc tak skončíte u soustavy lineárních i nelineárních algebraických rovnic a v podstatě to nevyřešíte.
Chci říci používejte prosím metodu kterou vám tady se snažím vyložit tzn přes jednoduché limitní vztahy .
Takže toto je rozklad na parciální zlomky důvod proč to rozkládáme snad vám je patrný teď totiž že každý takovýto člen potom můžeme podrobit té zpětné laplace protože víme , že jedna lomeno pé plus cosi vede na exponenciálu . Ano?
A to je podstata celého tohohle toho rozkladu podstata tohohle výkladu čili jediné co zbývá pokud jsem se vypořádali s nalezením nulových bodu polynomu vyššího řádu což teda musí být numerická záležitost, mnohdy
Tak postup jak počítáme rezidua je následující
jak jsem ukazoval tak stačí vynásobit ten příslušný člen nad kterým stojí řekl to bych to ká příslušné mí
tak vynásobit tím příslušným rozkladovým činitelem a provézt limitu když teda prostě pé jde právě k mí
je to logický je to v podstatě ta logika kterou jsem se snažil objasnit v tom jednoduchém případě tady je to tak když si představíte třeba že chcete kalkulovat to ká 2
tak prostě musíte říct tento součinitel vynásobit levou i pravou stranu a tímto členem tímto jmenovatelem tím ho osvobodíte tyhle ty všechny zatížíte veličinou která potom se budu blížit nule čili prostě tam osvobodíte to ká 2 a tadyhle vám zůstane pouze ona limita .
Celá tahle procedura se dá jakoby zobecnit na derivaci
já nedoporučuju derivovat, protože dělat limitu je trošku snažší, ale záleží na vás chcete-li počítejte jak chcete.
ale nicméně doporučuju spíš ten limitní proces, který je okatý a v podstatě se tam nedá udělat chyba. Takto.
No né tak jako (do pléna) já jsem vám říkal na (hrozí prstem) začátku že musíte umět algebraický výrazy upravovat to je jediný co se po vás chce . Všechno ostatní je jednoduchost .
takže zpátky do osmé třídy sedněte a počítejte jo? a prostě pak jako pak začne ta debata.
A protože platí tento jednotlivý konkrétní vzoreček tzn protože platí, že jsme schopni zpětně transformovat
výraz jedna lomeno pé mínus alfa třeba teď to máme takto (ukazuje) je jedno jestli tady mám plus pak by tady objevilo mínus.
tak protože platí toto, tak pro každý ten člen, můžeme napsat příslušný součet
který říká že racionální lomenou funkci u které znám jak rezidua tak póly tak jsem schopen zpětně transformovat laplace tak že vlastně ty póly se vyskytují prostě jako exponenty příslušných exponenciel
a rezidua se vyskytují jako koeficienty sčítání těch exponenciel prostě příspěvku těch jednotlivých exponenciel .
Toto je vzoreček který před - už to bude skoro 100 let
odvodil pan Heavisid( HIVIZAID) který laplace nazýval tehdy operátorový počet
a předváděl to způsobem zhruba blízkým tomu co se vám tady snažím říkat já
tzn nemluvit tolik o komplexní proměnné nemluvit v podstatě o Loránových rozvojích
nemluvit o té matematice, která za tím je, ale prostě metodika srozumitelná a jednoduchá k výpočtu zpětné laplaceovy transformace
takže na počest toho pana Heavisida (HIVIZAIDA) existuje několik vzorečků, které to do jisté míry zjednodušují
prostě kompletují celou tuhle záležitost podstatné je aby jste věděli, že tyto dvě veličiny řídí v podstatě odezvy toho systému
Pokud ten pól bude komplexní tak je jasné, že se tam prosazují, že se tam začnou prosazovat ty trigonometrické fuknce
Viz minulé povídání .
Čili chci říci toto je zcela obecný vztah pro lineární časově invariantní systém
pro který umíme najít algebraické řešení (ukazuje) metodou racionální lomené funkce.
Všimněte si nepočítám prakticky žádný integrál. Ano? Nedělám žádnou integraci jak jsem říkal že toto je korektní definice zpětné laplaceovy transformace
toto je metodika jak zpětným laplacem napočítat na základě znalostí téměř triviálního integrálu tohohle typu.
Čili podstata zpětné laplaceovy transformace a vůbec laplaceovy transformace je ve znalosti práce s exponenciálami
víc nepotřebujete všechno ostatní je vlastně jenom důsledek této záležitosti. (střih)
Teď si ještě ukážeme případ kdy rozklad na ty nebo kdy ten příslušný jmenovatel
nemá jednoduché součinitele má tedy součinitele prostě s mocninou kdy prostě racionální lomená funkce má násobné póly takzvaně
a ukážeme si jak s touto funkcí můžeme dále manipulovat (dal slide)
čili začínáme diskusí která říká, že pro inverzní transformaci není příliš důležité co se děje s tím čitatelem
protože on nějak vyjde on skutečně jaksi v daném okamžiku nějak vyjde
prostě ty řídící veličiny jsou póly
takže pro další výklad si vystačím že prostě budu říkat že v tom čitateli je jednička
a že ta že ta racionální lomená funkce typu 1 lomeno polynom.
A teď, jestliže ten předpoklad jednoduchosti není splněn
tzn ty jednotlivé póly můžou mít nějakou násobnost
dejme tomu tohle bude jednička čili tohle jako kdyby tam nebylo tohle bude třeba 2 tohle na konci bude třeba bude 3, zkrátka a dobře budou mít jakousi násobnost.
tak ty naše vzorečky inverzní transformace se změní já bych chtěl abyste se na tu změnu dívali v logice toho co jsme si doposud říkali
nenechali se odradit tím jak to vypadá a dívali se na to s logikou toho co jsme si zatím řekli
totiž když budu mít násobnost jedničkovou tak tam budou prostě akorát ty exponenciely (zakrývá vzorec vlastním tělem)
A teď když by byla násobnost třeba jenom toho prvního dva
toho prvního pólu, tak si představte co tam bude?
Jestli si vzpomínáte já jsem vám v minulé přednášce říkal že násobení téčkem (ukazuje) vede k mocnině typu jedna lomena p na nplus prvou,
té na entou transformace je typu jedna lomeno pé na en plus prvou .
Jinými slovy já vlastně (ukazuje) tam od každé té další násobnosti budu mít jakési mocniny té .
Normované v podstatě faktoriálem nic víc tam nebude.
A ta logika je prosím zde takto napsaná. Čili toto znáte nebo toto si uvědomte, že jsem si ukazovali minule když jsme si konstruovali tabulky.
A tohle je prostě ten začátek, to je vlastně to co jsme si říkali dneska.
A ten zbytek je jenom zobecňování tak aby to platilo pro libovolnou násobnost jiný i slovy aby ten vzoreček byl jako úplný.
Způsob jak se počítají ty jednotlivé ká 11 ká 12 (ukazuje) si ukážeme. Existuje samozřejmě obecný výraz, který je docela takový nepříliš hezký
ukážeme si to na konkrétním případě jak s tím můžeme manipulovat prostě s touhle celou záležitostí dokážeme pracovat.
Ukážeme si to na nejjednodušším možném příkladu tzn že máme racionální lomenou funkci, která má 3 reálné póly, což se málokdy vstává, ale dobře může být.
A jeden z těch pólů je dvojnásobný. (slide).
Ten rozklad na parciální zlomky hledáme v logickém tvaru kdy použijeme
jak tu druhou (ukazuje) ten druhý řád tak i ten lineární člen jinými slovy oba dva se tam vyskytují
a našim úkolem nejprve odstranit tuto veličinu (ukazuje)
protože pak ten zbytek je počítání které známe.
čili jak v principu to můžeme udělat? Celý ten postup je vlastně velmi jasný
prostě opět to musím vynásobit tímhle kvadratickým členem
obě dvě strany tý rovnice tak abych na té pravé straně (ukazuje)
zanechal členy které z těchto koeficientů nadělají při limitní procesu k pé jde k dvojce nuly. Že jo?
Když to tedy udělám tak naleznu (posunul papír) to ká jedna dva.
Jako limitní proces že pé jde k dvojce je jasné že tady dojde k tomu že se tyto dva členy zkrátí
tady na té pravé straně tyto členy vymizí a budeme mít že ká jedna se právě rovná jedna lomeno a teď dosazujeme za péčko dvojku čili 2+5, 2+7 to je nějakých 7 krát 9 to je 63 takže ten ká jedna dva je 1/63
a pak co uděláme v okamžiku kdy známe to ká jedna dva tak se pokusíme tento člen (ukazuje) odečíst od obou stran těch rovnic tak aby prostě na této straně už nebyl. Jo?
Čili já vlastně odečtu. A dostávám tento výsledek, tady jsem někde zapomněl 63, tak jsem si to tam loni připsal a ještě jsem si to nepřepsal tam má být 63 prosím jo?
Přitom odčítání. Nevím nějak jsem někde se mi vypařilo.
A teď už je to jenom hra nad těmito třemi veličinkami.
A my si tady dopočítáme kolik jsou ty ká jedna jedna ká dva ká tři.
támhle si to dopočítáme na tabuli. Takže pojďte počítat se mnou kontrolujte mě protože když koukám na tabuli a současně na ten projektor tak můžu udělat někde docela hloupou chybu.
Takže já má tu novou funkci, kterou prostě hledám, tak jí mám ve tvaru.
pé plus 14 (píše) lomeno 63 pé mínus 2 pé plus 5 pé plus 7
to je ta nová funkce a tu bych měl rozkládat na ká jedna jedna pé plus mínus dva plus ká dva pé plus 5 plus ká 3 pé plus 7.
Takže je jasný, že když budu chtít spočítat ká jedna jedna tak to bude teď se dívejte co dělám
vynásobím tuto levou stranu vynásobím pé mínus 2 (píše)
a provedu limitu když pé jde k dvojce že jo?
Takže toto se zruší a tady dostanu pardon já jsem tu zapomněl tady je jestli se nepletu mínus že jo? Tak mě musíte kontrolovat tady musím nezapomenout to mínus (dopisuje ho) a tadyhle ještě těch 63, že jo? Pořád je tam zapomínám.
Jo tady jsou dopsaný takže budu mít že toje toto se zruší a budu tady mít mínus a teď tady bude dvě plus 14 tady budu mít 63 tady budu mít 2+5 tady budu mít 2+7. Čili to je dalších 63 takže 63 na druhou
čili bude to mínus 28 lomeno 63 (někdo z pléna vykřikuje) Zvětšit?
Já vím, ale tak si pište jako, zkoušejte jako sami za sebe já bych řekl, že bych prostě přemýšlejte sami za sebe co tam má být
neopisujte úplně slepě (někdo zase něco vykřikuje) (pokračuje v psaní dopisuje druhou 63 pod lomeno ) To je dobře, konenjte tak.
(Už ho někdo opravuje že v čitateli má být 16 ne 28) Ale no jo 16.
(píše) ká dvě. Píšu větší. Je limita, pé jde k čemu?
do mínus 5 ne?
To je pól a teď zvýrazňuji mínus tady je 63 tady je pé mínus 2, pé plus 5, pé plus 7
a tady je pé plus 14 a tady je vynásobeno pé plus 5. Jo?
Škrt škrt neb se to ruší
a píšu je to mínus tady 63 zůstane tady bude mínus 5 mínus 2, mínus 5 plus 7
a tady bude mínus 5 plus 14.
No a z toho to skončí tak, že to je tedy mínus 9 ne plus 9 pardon
mínus je před celou tím zlomkem tady 63 krát mínus 7
krát 2 (přiblížený záběr)
Takže tady skončí tedy 1 ku 7 čili to dopadne že to je tedy 1 lomeno ká skončí kam to mám napsat ká dva dopadne takže to je 1 lomeno 49 krát 2 je 98. Jedna lomeno 98.
No a ká 3 je podobná záležitost (maže)
Ká 3 je limita když pé jde k mínus 7 z výrazu 63 pé mínus 2, pé plus 5, pé plus 7
v čitateli je pé plus 14 a tím jak jsem to tam násobil tak jsem tam přidal pé plus 7 . Ano?
pé plus 7 se zruší a dostávám že to je limita pé jde do mínus 7
z výrazu mínus ale já to tam budu už rovnou psát
63 tady budu mít mínus 7 mínus 2 krát mínus 7 plus 5 a tyd budu mít mínus 7 plus 14 (záběr na tabuli)
Takže tady skončím tak, že to bude mínus a teď tam bude 7 lomeno 63 krát 9 krát 2 že jo to je 18 je to tak? Říkám to dobře?
18. pokud chcete tak tady to ještě můžete pokrátit
takže to je (nědo se ptá na znamínko, mínus 9 mínus 2 dává plus 18)
a tohle mínus tady zůstane to je tam celou dobu.
Takže ká 3 nakonec skončí, že to je mínus jedna lomeno 162.
Říkám to dobře ne? 9 krát 9 krát 2. (zakroužkoval to)
Čili toto je výsledek.
Tak, tohle už můžu asi zrušit, vypnout a ještě si nakonec řekneme takovou
nebo začátek jednoho dalšího příkladu, který zbytek bude zobrazen na síti takže prostě se pokusím vám vysvětlit. (maže)
jako jsme na to úplném našem dnešním počátku povídali o systému prvního řádu
Tak teď si ukážeme na základním jaksi základním počítání
si ukážeme jak vypadá systém druhého řádu. (píše)
myslím tím lineárně časově invariantní systém.
Obecně (píše) bude popsán rovnicí která má tento tvar
a říká, že tedy mám vstup nějáký u(t) zde měřím ypsilon t a ten sytém je takový, že tedy prostě to ypsilon t generuje takovouhle diferenciální rovnici, která je druhé řádu , dynamický systém druhýho řádu.
A teď si ukážeme jak s takovou to rovnicí pokud prostě si řekneme, že umíme počáteční podmínky (píše)
to jsou prosím počáteční podmínky
Tak jak s takovou to rovnicí budeme manipulovat?
je viditelné prosím to že je to diferenciální rovnice nehomogenní.
Ta nehomogenita samozřejmě si můžeme to zkusit i pro takové obskurní záležitosti jako je třeba právě delta funkce což je podle mého soudu ta velmi netriviální záležitost
nebo si to můžeme vyzkoušet na jednodušším případě, který je ovšem početně komplikovanější.
tedy Jednotkový skok takový typický co jsem si zkoušeli i v případě tedy prvního řádu
Čili ta pravá strana může být různá může být tohohle typu a my si teď ukážeme jak tedy použijeme laplaceovu transformaci (píše)
na tuto diferenciální rovnici
my už víme, že derivace má obraz péypsilonpé mínus ypsilon 0 to už jsme si to tady jednou zkoušeli nebo ukazovali.
Minule jsem vám ukazoval jak tedy když tohle to použijeme dvakrát tak
druhá derivace skončí tak že to bude pé na druhou ypsilon pé mínus pé krát ypsilon 0 mínus ypsilon s tečkou 0.
takže pokud se zase budeme dívat na tu naši rovnici tak, že teda je s konstantním koeficienty
je to tedy lineárně časově invariantní systém (píše) tak můžeme na celou tu rovnici takto postupně použít laplaceovu transformaci
A za tyhle jednotlivé (maže) za tyhle jednotlivé
funkce které tady mám já si to musím napsat někam jinam, protože se sem nevejdu.
Mohu psát tedy pé na druhou ypsilon pé mínus pé krát ypsilon 0 mínus ypsilon s tečkou 0
pak tady bude plus 2 alfa pé krát ypsilon pé mínus 2 alfa ypsilon 0
plus alfa na druhou plus beta na druhou (maže)
krát ypsilon pé a na pravé straně bude ú pé.
Je to zřejmé jo? Co jsem provedl.
já jsem postupně za ypsilon se dvěma tečkama dosadil toto za ypsilon s tečkou dosadil toto .
Tedy provedl jsem laplaceovu transformaci člen po členu té rovnice.
A pokud to takto udělám
tak jsem schopen si říci neznámou je ypsilon
jinými slovy já nechám na pravá straně pouze to ypsilon
s členy které tam se narodili z té laplaceovy transformace
tzn tady bude nějaké pé na druhou - to je tenhle člen
pak tam bude dvě alfa pé
a pak tam bude alfa na druhou plus beta na druhou
Čili moje neznámá zůstala na levé straně a všechno co znám
se octne na straně pravé ú pé plus dvě alfa plus pé krát ypsilon 0 plus ypsilon s tečkou 0
Když tam dosadím počáteční podmínky
tak jsem schopen napsat řešení myslím to algebraické řešení
ve tvaru ú pé plus 2 alfa plus pé krát c1 plus c2
a tady budu mít jmenovatele pé na druhou plus 2 alfa pé plus alfa na druhou plus beta na druhou
Vidíte ? Jednu zcela vážnou věc, když řešíte běžnou diferenciální rovnici
tak dojdete právě k tomu polynomu ve tvaru, že nemáte žádný rozklad, že si ten rozklad musíte vytvořit.
První taková jakási typická úloha, jakmile prostě řešíte klasickou úlohu tak musíte v podstatě najít příslušné póly racionální lomené funkce.
Čili já jsem dospěl k algebraickému řešení.
a potřebuji nalézt póly že jo?
póly prosím najdu tak, že tedy jak jsme si to říkali na začátku, že budu hledat řešení takovéto kvadratické rovnice
a ty jednotlivé póly už tam nebudu malovat ty nekonečna .
Tak dopadnu tak že tady bude -2alfa plus mínus 4 alfa nadruhou mínus 4 krát alfa nadrbou plus beta na druhou lomeno 2.
To je prosím klasika.
když to dokončíte tak pé 1,2 bude takové že to je mínus alfa a tady dopadne to tak že se tyhle alfy zruší dvojka se také vyruší a bude tam odmocniny mínus beta kvadrát
takže dostanete mínus alfa plus mínus í krát beta.
Ty póly jak jsem už předeslal. Obecně jsou komplexní Ano?
když byste si namalovali tu rovinu pé (maluje) tady je prosím reálná osa a tady je imaginární osa
tak ty ty póly tohohle typu kde je tadyhle mínus alfa tak budou ležet někde v takovýto poloze.
Jo? budou prostě komplexně sdružené. A budou prostě ležet v takových to dvou bodech v té rovině pé.
Tak zbylé počítání prostě tak jak to dál vede k výsledkům že prostě napočítáte hodnoty třeba tzv přenosové funkce nebo prostě impulsní odezvě nebo přechodové odezvy to bude na síti logika věci vysvitne v podstatě z povídáním příští hodiny.
takže vám přeji hezký den a možná třeba i s jarním počasím. Nashledanou