Já vám přeji dobrý den
Dneska ač se to zdá k nevíře už jsem tak daleko, že byste měli umět jak se používá laplaceova transformace , že?
A dneska si tedy povíme, když teda umíme tu Laplacku používat jak vlastně vlastnosti laplaceovy transformace vyplývají různé důsledky, pro takovou funkci jako je třeba přenosová funkce, jako přechodová odezva,
zkrátka a dobře si ukážeme jak laplaceova transformace ovlivňuje celý tento soubor informací
a dále v přednášce si povíme něco o spojování systému, kdy teda popis lineárně časově invariantního systému nám umožňuje kompletovat větší a rozsáhlejší systémy.
A začneme tam , kde jsem minule přestal a konec konců je to i tedy na internetu
tam je ukázána jak se řeší diferenciální rovnice druhého řádu,
já to mám trošku oprýskané tento slide, protože jsem ho dělal někdy asi před dvěma nebo třemi lety
a bylo to na nekvalitním tisku. na tom internetu to máte lépe . To bych tím chtěl říci.
(nějaký dotaz ze třídy) No ne. Tři roky, že jo prostě zhruba to používám v této podobě.
Tak minule jsem si ukázali že když máme diferenciální rovnici druhého řádu
jak tedy na ní použijeme laplaceovu transformaci, laplaceovu transformaci derivace, druhé derivace,
jak z ní, z těchto vlastností jednoduchých sestavíme v podstatě příslušnou algebraickou rovnici
respektive jak dostaneme algebraický tvar, když na tuto diferenciální rovnici zaúčinkujeme laplaceovou transformací.
dostaneme rovnici, která to jsem si minule ukazovali, a dospěli jsme do stavů, kdy jsem říkal tak a takovéhle budete mít příslušné řešení.
A to řešení jak se sluší a patří je racionální lomenou funkcí
ta racionálnost se vyznačuje tím, že tedy to ypsilon pé má jmenovatele a má samozřejmě tedy pravou stranu a díky počátečním podmínkám jsou tam ještě hodnoty tohohle typu.
A my si ukážemejak s takovéhoto vztahu (píše), který já bych tady ještě jednou opsal.
A napíšu ho tam úmyslně zjednodušeném tvaru tzn. pé na druhou plus dvě alfa pé plus alfa na druhou plus beta na druhou.
tak jak z tohohle tvaru získáme přenosovou funkci?
ANo? (otázka z davu)
Tam není cé na druhou to je špatně že jo?
Děkuji za poznámku je to takto. Jo?
a tu přenosovou funkci získáte právě tak , že si představujete, že ten váš systém.
tadyhle je vstup a tadyhle je výstup takže ten systém má tzv nulové počáteční podmínky (píše)
představte si to asi tak, že žádný náboj tam není, není tam žádná voda na těch přehradách, není tam prostě nic, je tam prostě prázdno.
A to že tedy říkám že cé jedna se rovná cé dva a kdyby byl vyššího řádu tak by tam byli i další cé 3 cé 4 ty jsou všechny nulové.
A jestliže tomu tak je tak potom to ypsilon pé má tvar
který se dá zapsat tak to (píše)
krát U(p)
a veličina která nám tady takto zbyde (zarámoval to) tu nazýváme právě přenosovou funkcí.
To je přenosová funkce. (píše) Označujeme ji písmenkem velké H.
A to velké H označujeme z jednoho velmi vážného důvodu.
Totiž, že (rovná slide)
že ta přenosová funkce vztahuje pomocí
pouhého součinu obraz vstupu a obraz výstupu toho lineárního časově invariantního systému.
Jinými velmi často můžeme připisovat že tady máme nějakou H(p) a
když si vzpomenete na naši původní úvahu tak víte moc dobře, že v tom čase, v tom reálném čase,
tam kde se všechny děje uskutečňují, tak tam vlastně máme onu konvuluci
tam máme vztah který říká že (maže)
že to Y(t) je integrálem od nuly do nekonečna há té mínus tau x tau dé tau,
která říká, že když toto je impulsní odezva (píše) Takže vztah mezi tím vstupem a výstupem a já tady radši napíšu u když tady jsem psal u .
tak tento vztah souvisí s tímto vztahem
Tehdy a jenom tehdy, když (ukazuje na tabuli) laplaceovým obrazem ypsilonu (t) bude ypsilon (p), když laplaceovým obrazem impulzní odezvy bude přenosová funkce
a když laplaceovým obrazem toho vstupu bude U(p) .
A toto je věta o konvoluci a toto je vlastně debata o přenosové funkci.
Čili ta přenosová funkce vzniká za prvé jako podíl obrazu (ukazuje) výstupu ku vstupu
Protože tuhle algebraickou rovnici můžu takhle napsat tak že tadyhle napíšu (píše) že H(p) se rovná Y(p) ku U(p), že jo?
To mohu klidně napsat to není problém. A toto je ten základní vzoreček o kterým se budeme vlastně dost dlouhou dobu dneska bavit.
Obecně ať máte jakýkoliv lineárně časově invariantní systém
a jakýkoliv vstup ve kterým tedy ovládá vztah výstup ku vstupu příslušná impulzní odezva.
Tak obecně říkáme, že přenosová funkce lineární časově invariantního systému je dána podílem laplaceova obrazu výstupu ku vstupu
za předpokladu nulových počátečních podmínek. Viz. (ukazuje) ten systém druhého řádu, vždycky musím mít nulové počáteční podmínky, ano?
A pak jak jsem říkal (maže tabuli)
Jestliže umím pro ten můj systém
nalézt vztah mezi vstupem a výstupem pomocí příslušného konvolučního integrálu
Tak potom laplaceovu transformací
získám vztah mezi Y(p) přenosovou funkcí H(p) a vstupem U(p) tohohle typu a já mám vlastně ekvivalentní zápisy,
přičemž znovu opakuji že platí Y(p) je laplaceovu transformací toho y(t)
U(p) je laplaceovu transformací toho u(t)
a ex definicio je H(p) laplaceovu transformací impulzní odezvy
a když toto říkám tak tím myslím tolik, že je úplně jedno co mám na tom vstupu
Nemusím tam mít právě tu delta funkci kterou když jí tam dosadím tak dostanu že prostě dostanu příslušnou impulzní odezvu
je vám jasné, že když
u(t) bude právě delta té tak dostanete z tohohle y(t) (píše) se rovná prostě h(t)
Je vám to zřejmé z vlastností delta funkce jak jsme si říkali, budeme lokalizovat to právě v příslušném bodě, kde se tady ta záležitost jaksi začne chovat takto .
Čili jinými slovy
Když budete mít na té pravé straně prostě něco tak podivného jako je delta funkce
tak řešit tu příslušnou diferenciální rovnici to je naprosto nejednoduchá záležitost,
ale jakmile máte tuto záležitost i laplaceovu transformaci, tak samozřejmě k takovému to u(t) je příslušná U(p) právě rovna jedné
a celý tenhle vztah skončí že tadyhle bude napsáno že teda za těchto okolností bude ta Y(p) právě takováto
Jinými slovy v okamžiku kdy tady dosadíte (ukazuje) tady za to u(t) dosadíte takovouhle podivnou funkci prosím tu Diracovu funkci
dostanete že na tom výstupu v reálném čase získáte něco jako impulzní odezva
a já říkám ano a takto dostanete také příslušnou H(p)
pomocí laplaceovy transformace.
Co se tím chce zdůraznit je tolik, že i ty těžko technicky realizovatelné vstupy,
protože není tak úplně jednoduché realizovat jednoduché krátké kopnutí z definovanou amplitudou s definovanou hodnotou
takže tuto záležitost není tak jednoduché technicky zajistit a právě proto že to není tak jednoduché technicky zajistit
my spoléháme na to že můžeme mít jakékoliv to U(p) jakýkoliv vstup
a tu přenosovou funkci která takto souvisí s impulzmí odezvou vždycky jako naměřit , vždycky jsem jí schopenej v podstatě napočítat.
S Y(p) a U(p) .
To je vážná věc při identifikaci toho systému nemusím do něj definitoricky dobře strkat,
stačí když do něj umím strčit správným signálem, ke kterému umím spočítat laplaceovu transformaci,
naměřit výstup spočítat laplaceovu transformaci
a z jejich podílu dohledat příslušnou přenosovou funkci.
Jo? To je podstata téhle vlastnosti
další taková veličina, která nás bude zajímat je tzv. přechodová odezva
než k ní cosi řeknu
tak bych se vrátil (maže) zase k definicím
Jestliže tedy mě tento vztah reprezentuje v té kmitočtové (píše vzorec) nebo v té rovině pé me reprezentuje tuto vlastnost
tzn. že tedy obraz výstupu je roven součin přenosová funkce krát obraz vstupu,
tak je také jasné že jsem schopen třeba zadefinovat třeba něco takového jako je přechodová odezva
kteroužto přechodovou odezvu reprezentuji, že na tom vstupu. budu mít příslušný jednotkový skok.
a ptám se
co je na tom výstupu. Já říkám, že na tom výstupu bude funkce kterou budeme nazývat s(t)
budeme ji nazývat přechodovou odezvou
a to es se používá z toho prostého důvodu že tedy
jak v němčině tak v angličtině, v angličtině se tomu říká step response a v němčině Sprungantwort
zkrátka a dobře to s tam je, takže se používá prostě písmenko es pro tu přechodovou odezvu
a protože mi už umíme počítat něco z oblasti laplaceovy transformace
a umíme napsat, že tedy laplaceova transformace jednotkového skoku
je jedna lomeno pé (1/p)
a to je v našem případě naše U(p)
tak když to sem dosadíme tak tedy to Y(p) v tomto případě se rovná H(p) krát jedna lomeno pé.
A je pravděpodobně jasné, z toho, že tu přechodovou odezvu (píše pod nadpis)
což je tedy identický v našem případě takovéhlemu y(t)
musím spočítat zpětnou laplaceovu transformací H(p) lomeno pé.
Tak a teď
tipnete si, jaký že to bude výsledek?
Prosím? Nic? Nic?
no představte si, že máme nějaké vlastnosti
- co já s tím já to asi vypnu a budu to malovat na velkou tabuli
protože si myslím že to je docela vážná věc
Takže otázka je, čemu že se toto rovná?
a zpátky k laplaceově transformaci, jako jo?
když jsem dělali laplaceovu transformaci derivace, my jsem prostě řekli budu mít laplaceovu transformaci
jestliže laplaceova transformace nějaké funkce je tedy F(p)
tak jak to je když tu funkci jednou zderivuji?
to už jsem používali a zjistili jsem že to je pF(p) mínus f(0) že jo?
A víme jak že to má, jak to funguje.
Když naopak bychom se ptali
že uděláme tedy nějakou primitivní funkci
nebo uděláme funkci tedy nějaký integrál prostě od té téhle f(t)
a ptáme se cože by to bylo za hodnotu.
No tak musíme zase podobně, jako v případě té derivace, začít s definicí
takhle namalujeme takhle dvakrát integrál ten bude d(tau) f nějaké (tau)
a pak tohle celé bude nějaké e na mínuspété
dété to je podle definice obraz integrálu, jo?
A zatímco, když jsme integrovali derivaci, tak jsem si říkali, tohle je ú s čarou a tohle je v
tak teď to tady otočíme toto je u a toto vé s čarou
budeme zase integrovat per partes a ta integrace per partes bude vypadat jak?
No to bude nějaké uv v krajních mezích nula nekonečno, že jo?
Mínus a teď tady bude nějaký ten integrál přes u s čarou v
a bude tam prostě samozřejmě ten integrál přes čas.
Integruji per partes.
Teď tam dosadím ty svoje funkce, které tam vlastně mám
Cože bude tady?
no tady bude od nuly do nekonečna teda od nuly do té f tau dé tau to tam zůstane protože to je u
a vé integrál s exponenciely ten byste mohli už umět
protože už ho tady párkrát cvičíme. Kolik je primitivní funkce k exponenciále?
No mínus 1 lomeno p krát e na mínus pt, že jo?
Takže tadyhle bude mínus jedna lomeno pé, é na mínus pé té.
A co bude tady pod tím integrálem?
No ú s čarou, derivace primitivní funkce, bude právě ta funkce, že?
A pak tady bude é na mínus pété.
Teda bude tam mínus 1lomeno pé, e na mínus pété protože tam musím mít to vé, že jo?
Krát dé té.
No pak si už to jenom srovnám v hlavě, jak to vlastně je.
Ta exponenciela ta má ,správnou reálnou část takovou, že jakoukoliv takovou to funkci v součinu to zatlumí v nekonečnu do nuly
čili tam bude první výsledek, tam bude nula.
Protože tahle exponenciela kráčí do nekonečna, do nuly.
Zatím co ten druhý výsledek je takový,
že tam bude mínus jedna lomeno pé, é na mínus pé krát 0
krát integrál on nuly do nuly že jo?
A cože to je když integruju přes nulový interval?
No to je nula ne? Tak to bývá.
Když nemám žádnou délku, tak žádnou plochu tam nebudu mít, že jo?
Tak to je. Čili toto dává opět nulu. Čili tady bude prostě bude nula plus nula, tak to je prostě na tvrdo nula.
A tady dostanu plus 1 lomeno pé, integrál od nuly do nekonečna f(t), e na mínus pété d(t)
a jsem tam kde jsme chtěli být.
Víme, že tohle už je prostě naše f(p)
Takže nakonec
Na konec končím tak že tadyhle budu mít napsáno, že to je 1/pé krát F(p) .
Všimněte si derivace vede k násobení péčkem, integrál vede k 1/p
zatímco tady další a další mocnina ještě přidává ty počáteční podmínky, tady v téhle oblasti se počáteční podmínky jaksi neprojeví.
Co je podstatný, že tedy při integraci dostávám do jmenovatele pé
a teď se podívejte, cože já to mám za problém.
Já prostě vím, že s(t) je zpětná laplaceova transformace H(p)
krát 1/p
Takže co musí platit? No asi musí platit, že s(t) se rovná integrál od nuly do té h(tau) d(tau),
kde há
H(p) a H(tau) souvisí spolu příslušnou laplaceovou transformací.
Takže se tím chce říci tolik , že když zintegrujete impulsní odezvu až do nějakého času té tak dostanete právě příslušnou přechodovou odezvu.
A to je dáno touto vlastností
Čili impulsní odezva souvisí
s přenosovou funkcí takto.
A přechodová odezva souvisí
s tou přenosovou funkcí takto.
A s toho všeho plyne, že s(t) je v tomto smyslu integrálem z impulsní odezvy.
Čili přechodová
Takže to je další taková vážná vlastnos přenosové funkce
Teď tedy si pokročíme o kousek dál. Je jasné že tedy různé charakteristiky na vstupu a různé charakteristiky na výstupu
lze díky laplaceově transformaci pokud ten systém lineární a časově invariantní
velmi dobře využívat k tomu abychom pracovali s přenosovou funkcí, aby ta přenosová funkce nám zprostředkovala vztah mezi tím vstupem a výstupem.
Další taková zcela
tady jsme tedy u tohohle posledního vzorečku. Další vážná věc je tzv. kmitočtová charakteristika.
Kmitočtovou charakteristiku získáme z té přenosové funkce
operací, která souvisí s prací s komplexními čísly.
Takže chci říci, kolik toho víte o komplexních numerech?
Tak moc?
Takže než začnu pokračovat s touhle záležitostí tak chci říci,
že zde používám vlastnosti komplexních čísel a operace s komplexními čísly.
Pod komplexním číslem
rozumíme dvojici čísel x a y kterou můžeme reprezentovat v Gaussově rovině
kde tadyhle budeme vynášet reálné části a tady budeme vynášet imaginární části.
Reálná část toho zet je právě tahle x
a imaginární toho čísla zet je tedy ypsilon
a my reprezentujem to číslo v komplexní rovině nějakým konkrétním bodem.
A ten bod buďto má ony souřadnice, které jsem tady zapsal.
Čili má x a y podle imaginární osy
Čili tady je vlastně tedy správně řečeno jakési iy aby to bylo úplně správně
a to číslo můžu vyjadřovat v algebraickém tvaru
tomuhle se říká algebraický tvar.
a nebo v goniometrickém tvaru
a ten má tu vlastnost že se tady zavádí modul toho komplexního čísla.
A zavádí se jednoduchou vlastností tedy ten modul
komplexního čísla je v podstatě Pythagorova věta.
Je to vlastně vzdálenost toho bodu o počátku.
A pokud umím zavést modul tak také umím říci jaký je tadyhle nějaký úhel který svírá ten průvodič s reálnou osou.
A když to umím říci tak to komplexní číslo
mohu vyjádřit ve tvaru modul krát, čímže jsem to vynásobil tak tím to také musím vydělit.
Přičemž tahle veličina a tahle veličina odpovídá operaci kosinus fí
- je to prosím přilehlá ku přeponě -
a tahle operace odpovídá sinus fí.
- je to prosím protilehlá ku přeponě.
A když použijete
jaksi znalosti pana Eulera tak víte moc dobře že toto je e na ifí
a celý ten zápis vypadá tak že tadyhle vemete modul krát e na ifí
a máte goniometrický zápis toho komplexního numera.
Čili reprezentace toho čísla může být jak pomocí té reálně a imaginární části
tak pomocí fí a této vzdálenosti toho modulu
obojí jest možné.
Taky byste měli vědět, že když máte číslo 1/(a plus ib)
tak jak z něj dostanete vykutáte reálnou a imaginární část?
(někdo ze třídy) tak komplexně sdruženým tak.
takže dostanu tady dostanu a plus ib krát a mínus ib - to je komplexně sdružené číslo.
a takto se mi objeví v tom čitateli
to komplexně sdružené číslo ve jmenovateli dostanu a na druhou mínus b na druhou
jak vidíte souvisí to v podstatě souvisí to v podstatě s tím příslušným modulem
a tadyhle máte a mínus ib.
Je viditelné, že to v podstatě můžete už velmi snadno převést na příslušnou fázovou respektive v goniometrický tvar
zkrátka a dobře operace s komplexními čísly by měla být co máte jako po ruce
a co prostě víte co s nimi dělat.
Že když je násobíte co s nimi udělat, že když děláte jedna lomeno komplexní číslo co s ním máte udělat
zkrátka a dobře předpokládám, že tohle umíte
A pokud to neumíte tak si to doma trošku zopakujte protože bez toho je všechno dál čínština, jo?
To je na úrovni čínského jazyka.
zpátky k tomu slidu tady
Když do té naší racionální lomené funkce
do téhle té funkce
dosadíte za pé čili za tu komplexní proměnnou
jeho ryze imaginární část pouze tedy tzn nějakou iomega nebo jomega.
Tak tady dostanete mocniny
ty sudé budou dávat prostě reálná čísla ty liché mocniny budou dávat právě imaginární čísla,
čili prostě bude komplexní číslo v čitateli komplexní číslo ve jmenovateli respektive komplexní funkce v čitateli komplexní funkce ve jmenovateli.
Bude to vypadat tak že tady budete mít nějaký u plus i vé lomeno a plus ib
plus mínus, jo?
A ty á bé ú vé všechny budou závislé na tom parametru omega.
Ale bude to stejná matematika, kterou bychom v zásadě měli zvládat.
Co je podstatné?
Že my když s tou funkcí malinko zacvičíme
a řekneme já chci k ní nalézt modul a fázi, což mohu.
Tak příslušnou funkci á budeme nazývat amplitudovou charakteristikou
to je prostě ta amplituda která u toho jednoduchého komplexního čísla odpovídá vzdálenosti od počátku,
ale tamto je prostě, řekl bych velmi složitá funkce.
a bude tam funkce toho parametru omega,
která se bude nazývat fázovou charakteristikou
bude odpovídat této jednoduché fázi,
ale samozřejmě podstatně v složitějším vydání.
A teď si to opište a budeme si povídat trošku něco o tom jak vlastně celá ta funkce, proč to vlastně dělám,
proč dělám celou tuhle zábavu.
Příslušná přenosová funkce je
ještě ne? (chtějí ještě opisovat) Tak ještě ne.
Ta racionální lomená funkce ta bude vypadat asi takovýmto způsobem.
Já se pokusím to tady zachytit všechno aby bylo jasné ,co je tím míněné.
Představte si, že spočítáte jenom tu amplitudu
a ta amplituda díky tomu že je vlastně nad každým tím bodem té komplexní roviny
tak prostě jí spočítáte pokaždý znovu a znovu a znovu a dostanete v podstatě takovou to strukturu, strukturu hory doly černý les.
Tam kde byl pól tam to prostě uteče takhle do nekonečna prostě se to celé odebere pryč.
Tady byl pól uteče to do pryč, ano?
ta amplituda říká, tam mám nekonečnou hodnotu takže do toho nekonečna odsejpám
pak tam taky můžou být nějaké nuly
a ta nadrovina nebo ta plocha se prostě takto zbortí a tadyhle si prostě šáhne, že je nula, jo?
a nechá se chytit prostě tý roviny.
Tahle rovina to je prostě rovina p, jo?
Tady je prostě nějaký pól, který má imaginární část 0,63 a reálnou má mínus 3,92 jako jo?
Prostě leží vlevo v té rovině.
A tenhle ten pól způsobuje takovouhle nehodu.
tenhle ten pól, co je blíž, ten je dramatičtější, ten to tam prostě vyžene takovým velmi rychlým způsobem
a celá ta řekl bych přenosová funkce ve smyslu své amplitudy
má velmi dobrý význam pouze podle té imaginární osy a to je tahle čára, jo?
To je celá ta rovina je takhle položená.
A když celou tu plochu takhle rozřízněte vezmete prostě pilku a takhle to fiknete.
tak tam dostanete jakýsi srozumitelný průběh
a to už je prosím inženýrsky měřitelná veličina.
Vy na té kmitočtové charakteristice můžete od nulových omega kmitočtů
až do nějakých kmitočtů pozorovat,
že ta přenosová funkce, kterou tady máme takhle namalovanou
způsobuje to že vlastně přenáší skoro s jedničkou
a pak řekne a dost nepřenáším a tadyhle už skoro nepřenáším skoro nic.
Ti co rozumí třeba telekomunikacích vědí, že tohle je dolní propust
ona pouští až do nějakého kmitočtu a pak konec.
Ty co používají mobily a používáte je všichni, tak moc dobře víte, že máte vícepásmový třeba příjem
to neznamená nic jiného, než že tam máte na téhle imaginární ose prostě tohle nějaký pásmo pak tam máte zase nic
a pak tam máte zase takovýhle pásmo, že tu přenosovou funkci takhle fiknete.
To jak zkonstruovat tu přenosovou funkci to už je to inženýrský Know-How to je ten inženýrský kumšt.
Co já vám tady chci říci, že jsem začli matematikou
a končíme tam, kde to můžeme v podstatě měřit, jo?
Ti co jako vědí o čem mluvím tak ví že prostě na tom osciloscopu,
když si proženou nějaký takovýto systém takprostě budou mít ten signál pořád stejně velký najednou udělá pink a už nebude, jo?
To prostě samozřejmě dokáží ocenit ti ,kteří trošku vědí o čem mluvím.
Umí to ocenit a ti co se zabývají teorií v podstatě řízení ve smyslu Control Theory
ta celá přenosová funkce chvíli učinkuje z hlediska kmitočtu učinkuje tak že tedy nedělá s tím systémem nic
a pak začne prostě nemilosrdně ten systém tlumit.
Což může znamenat, že teda prostě v nějakým tom zpětnovazebným provozu
prostě zjistíte že tedy prostě v nějaký oblasti ten systém jako umožňuje práci a v nějaký oblasti ani náhodou , že jo?
Čili chci tím říci to co je viditelné podél té imaginární osy
to je něco co je prostě inženýrsky změřitelné, to už změříte, to už prostě když to máte hotové, tak umíte naměřit.
Ta cesta je samozřejmě přes celu tuhle matematiku, za tím jsou celý ty počty, ano?
Zatím je to umění jak příslušné póly tady rozprostřít, aby se vám to chovalo takto.
Zatím je umění v podstatě jak tohle rozprostření těhle pólů technologicky zajistit
aby to bylo něco, co vrazíte do toho mobilu a ono to funguje
Čili je tam spoustu práce která je srozumitelná která je těm kteří chtějí něco dělat
tak je jasné, že tady někde začíná ta opravdu inženýrská práce tohle je přesně to místo.
Kdy příslušná přenosová funkce má konkrétní interpretaci
a zatím je docela bohatá a slušná matematika,
která třeba umožňuje v podstatě srozumitelnou konstrukci takovéto přenosové funkce.
No a pak jsou technologové, kteří říkají, no jo hochu, ale tu integraci prostě v těchto kmitočtech, to já ti neumím udělat kondenzátorem.
Já to musím udělat jinak, jinými slovy najednou začnou všechny ty debaty, jak to vlastně udělat a to je o technologiích.
A některé technologie umožňují, řekl bych jednoduchá hovorová pásma zvládnout
jiné technologie neumožňují ani náhodou, třeba kolem dejme tomu družicový komunikace
kde by se to dalo udělat stejným způsobem, nejde to.
Každá ta technologie používá naprosto stejnou filozofii,
v tom smyslu, že to je přenosová funkce, že tam prostě musím rozprostřít příslušné póly a nuly
a na druhou stranu technologicky to může být velmi široké pole působnosti
takže chtěl bych jenom, aby jste si uvědomili, že počty tu nejsou jen tak
že nakonec vedou k tomu, kde prostě ta inženýrská praxe začne téměř jednoznačně fungovat
a celá ta debata je vlastně někde na té úrovni imaginární osy příslušné kmitočtové charakteristiky.
Tak to je kolem přenosové funkce
druhou část přednášky se dotkneme toho jak tedy vlastně pracovat v oblasti spojování systému.
jestliže máme znalost přenosové funkce
jestliže jí umíme přisoudit vztah mezi vstupem a výstupem příslušného systému,
který se chová jako lineární a časově invariantní
tak také se můžeme ptát na otázky cože se stane když takovýto systémy třeba zařadíme
začneme takto řadit třeba kaskádně
nemaluje mi to musím, si dojít, támhle jsem je nechal
První
možnost je tedy jak tedy řadit ty systémy takto za sebou kaskádně
jakožto kaskádu třeba na Vltavě a kdy o každém tom systému řekneme on má nějaký vstup
a má taky nějaký výstup
a tenhle má zase nějaký vstup. Zase jsem ho namaloval moc blízko.
a to je nějaký X2(p) a tenhle má opět svůj nějaký výstup Y2(p)
a vzápětí tady je nějaký vstup X3(p)
do systému, který je třetí a tadyhle je třeba Y3(p)
Systémy jsou postupně 1, 2, 3
a může jich být samozřejmě kolik chceme
a co je důležité je že tedy prostě pro každý ten sytém máme nějakou přenosovou funkci
(píše Hi(p)) a každá ta přenosová funkce způsobuje to, že tedy vztah mezi vstupem a výstupem je zprostředkováván touhle funkci
čili tady platí Y1(p) se rovná H1(p) krát X1(p)
tady platí Y2(P) se rovná H2(p) X2(p)
a tady budeme mít zapsáno Y3(p) se rovná H3(p) X3(p) .
V teorii sytému jste si říkali, že je velmi důležitá otázka při dekompozici systému
tak prostě vložit správné rozhraní, že?
tady to rozhraní musíme charakterizovat matematicky, musíme prostě říci co platí
tady v tomto případě platí jednoduché rovnice typu že Y1 se rovná X2 například.
To je typická rovnice pro rozhraní. Všechny výstupy tady odtud se trefí do vstupů toho následujícího.
totéž bude platit tady. Tady bude Y2 se rovná X3.
Čili to je z takové té klasické úlohy o rozhraní
a teď z hlediska našich úvah my se ptáme jaká že
bude přenosová funkce taková kde tadyhle prostě bude nějaký X(p)
a tadyhle bude prostě Y(p) na výstupu
A jaká že bude ta funkce H(p)?
Pokud známe tyhle jednotlivé H1 H2 H3?
No protože
H(p) se má k Y(p) a X(P) takto
no tak se budeme snažit začít od toho konce a začneme psát tadyhle prostě, že Y3
se rovná H3(p) krát X3(p)
a tohle Y3 je pravděpodobně rovno tomu Y(P) že jo?
Čili tohle to je Y(p).
A když začneme od toho konce tak píšeme, že teda Y(p) se rovná H3(p) krát X3(p)
a teď tady dosadíme tuhle tu hraniční podmínku, tuhle podmínku na rozhraní.
A napíšu, že to je tedy H3(p) krát Y2(p)
a pak můžu psát, že to je H3(p) a za tohle Y2 tam napíšu tuto rovnici.
Čili napíši tam H2(p) X2(P).
A pak zase
mohu psát, že Y(p) se rovná H3(p)H2(p)krát X2(p) a to se rovná Y1(p) že?
Díky této podmínce. Na rozhraní.
A nakonec tedy tam dosadím a dostanu že to H3(p)
H2(p) a tadyhle bude H1(p) krát X1(p)
a jsem skoro hotov, protože tadyhle vlastně říkám, že Y(p)
se rovná nějaké H(p) kterážto je tato závorka
a X(p) je prostě X1(p) to je tadyhle napsáno, že to tomu tak je, že jo?
Čili kaskádní řazení tedy takovéto řazení
končí tím, že říkám, že ta přenosová funkce, ta celá přenosová funkce
je dána součinem těch jednotlivých dílčích bloků.
U kaskádního řazení z hlediska vyššího principu mravního
je trošku nehoda ta, že když jeden z těch
činitelů, jedna z těch přenosových funkcí, prostě zkolabuje
není, tak celá ta přenosová cesta prostě skončí
jinými slovy, citlivost na spolehlivost jednotlivých členů je obrovská
nebo nároky na spolehlivost těch jednotlivých členů jakmile jeden z nich
bude mít nulový přenos tak samozřejmě tady bude nula
a celkový přenos bude nula a zkrátka a dobře celý ten systém z hlediska přenosu třeba energie z hlediska přenosu informací není funkční .
Čili funkčnost takového to systému je velmi závislá na jednotlivost, na jednotlivém bloku, aby byl funkční .
U paralelního spojení uvažujeme dejme tomu jenom dva systémy nicméně můžeme zase uvažovat 3,
podstata je taková, že na vstup
všech těch systémů je přiveden stejný typ signálu
zatímco na výstupu se objevuje klasicky jejich součet,
Když bych to maloval jak vám se to stane.
v Simulingu tak bych to měl namalovat asi takto.
A otázkou je pokud tento systém je popsán přenosovou funkcí H1 tento je popsán přenosovou funkcí H2
tak jaký bude?
Jaká bude výsledná přenosová funkce, která bude vztahovat Y(p) a X(p) takto na vnějšku .
Když se zase rozhlédneme tady, tak je jasné, že tady bude nějaké X1(p), že tady bude X2(p),
Že tady bude příslušné Y1(p) a tadyhle bude příslušné Y2(p)
ze Simulingu znáte, že tedy tady v tomto místě je jasné že Y(p) se rovná Y1(p) plus Y2(p) .
Díky tomu, že platí Y1(p) se rovná H1(p) krát X1(p)
a tady je H2(p) krát X2(p) to je také jasné
a vzhledem k tomu, že tady na tomto rozhraní říkám, že tedy X(p) se rovná X1(p)
a X(p) se rovná také X2(p)
tak mohu napsat že to je tedy H1(p) plus H2(p)
krát X(p) a to je prosím Y(p)
nebo chcete-li H(p) se rovná H1(p) plus H2(p).
U paralelního spojení tedy ty jednotlivé přenosové funkce se sčítají
To mimo jiné znamená jednu docela užitečnou věc
paralelní spojování nebo paralelní zapojení se používá ve všech systémech, ve kterých potřebujeme velmi dobrou bezpečnost toho celého systému.
kde tedy spolehlivost těch jednotlivých členů je vždycky nějaká konečná
ale pravdou je že tedy každého jinak
každého za jiných okolností. Čili paralelním spojením se dociluje, že prostě máte zdvojnásobené, ztrojnásobené funkčnosti.
Typickou záležitostí jsou zabezpečovací systémy na železnici.
velmi jasný jsou prostě dejme tomu jakýkoliv systémy třeba na kosmických tělesech kosmických tedy Space Shuttle (speisšatlech) a podobných zařízeních.
Velmi jasný je to na jaderných elektrárnách kde prostě musíte tedy mít ty různý informační a zabezpečovací systémy několikrát zdvojený, ztrojený
a to je všechno o paralelních systémech.
Tam teda pokud selže jeden z těch subsystémů,
tak neustále pořád jeden ten člen tady zůstává.
Nebo chcete-li funkčnost toho systému zůstává zachována.
Samozřejmě není to plnohodnotná funkčnost
velmi často, protože pokud by se jednalo o dodávku energií
tak je jasné, že když tady dodávám nějakých nebo mám kapacitu nějakou 50% a tadyhle mám taky 50%
nebo mám v podstatě víc s maximální 50% kapacitou,
takže prostě nedodám dostatečný množství energie v případě výpadku, jo?
Čili prostě chci říct z energetického hlediska, že to jenom může znamenat, že nedojde k něčemu takovému jako je black out, že jo?
Totální vypadnutí viz Kalifornie nebo Itálie. Že to prostě zhasne.všechno.
dotaz z pléna -prosím vás mám takový dotaz z čeho jsem tam vyšli když jsem uvažovali že to X(p) se rovná
Že přivedu na všechny ty systémy stejnou vstupní informaci
prostě z hlediska konkrétní aplikace, já nevím třeba prostě teplotu toho reaktoru snímá, stejnou teplotu snímá několik typů snímačů.
To je prostě podstata toho čili přivádím na všechny ty systémy stejnou informaci.
Posledním takovým typem zapojení je zapojení zpětné vazby.
To je situace kterou velmi často znají lidé z oblasti Control Theory
to jsou situace, kdy máte
Kdy celý ten systém je charakterizován tím, že máte nějakou konkrétní třeba výrobní jednotku
nebo přenosovou jednotku a ta se dostane do nějakého nestabilního stavu
Čili tahle H1(p) má tu vlastnost že prostě může
velmi často nějakým způsobem změnit skokem svoje hodnoty
a zkrátka a dobře dostat se do nějakého nestabilního stavu.
Takže se v zásadě
zavádí tzv zpětnovazebný člen
a to tak že pokud tady použiji klasické Simulingové značení
tak tady je znaménko mínus tzv záporná zpětná vazba
A požadujeme od toho systému aby se tedy prostě za těchto okolností začal chovat zase mravně
a začal tedy prostě být opět stabilním.
Takovou tou nestabilitou kterou určitě znáte z naší bezprostřední zkušenosti
je už asi jsem jednou už zmiňoval situaci, kdy prostě se pořádá nějaká závratně chytrá soutěž
a prostě na FM rádiu a prostě tam telefonují různí lidé
a ten moderátor říká: Běžte prosím kousek dál o toho přijímače, protože nám děláte velkou vazbu.
To je přesně situace kdy systém telefon jakožto vysílač
a přijímač současně a přijímač rozhlasový vytvářejí v podstatě zpětnou vazbu
a přes vlastně tu obrovskou rychlost tedy prostě komunikace
a ta zpětná vazba způsobuje to, že prostě to celý začne býti nestabilní systémem
začne to hvízdat, pískat a to je prostě stav nestability
vytvořený čistě náhodným způsobem respektive záleží velmi na impedanci toho prostředí,
kdy prostě tahle vazba takto hezky působit a celý ten problém je zcela obecný
a my se snažíme nalézt jaká že bude přenosová funkce takovéhleho zpětnovazebného systému
když tadyhle bude nějaké Y(p) a tady bude příslušné X(p)
Takže si to zase důsledně popíšeme a řekneme že tadyhle bude X1(p)
tady bude Y1(p)
tady bude X2(p), protože ten směr toho signálu je takovýto
a tadyhle bude Y2(p)
A pokusíme se napsat rovnice na těch rozhraních, jo?
Čili tuhle umíme velmi dobře toto poznáme ze Simulingu
takže tady klidně napíšeme že X1(p) se rovná X(p)
mínus Y2(p), že?
Tady to celé znovu opakuji je signálově takto
a tady se dívám, cože tady mi běhá jo?
Čili tady v tomto místě platí, že Y(p)
se určitě rovná Y1(p) a to se taky rovná X2(p).
Tak a teď asi musím zhasnout a psát na tabuli abych to napsal slušně a kultivovaně
Takže si vezmu tuhle rovnici a začnu si s ní malinko hrát
např. napíšu X1(p)
se rovná X(p) mínus Y2(p)
a za to Y2(p) dosadím H2(p) krát X2(p)
a protože platí,
že X2(p) se rovná Y1(p)
tak to napíšu
takto že?
A tadyhle mám X1(p)
Říkám to dobře, jo?
Mám to dobře? X(p) jo, jo. Vypadá to dobře, zatím to vypadá dobře.
Takže tadyhle napíšu, že to je X1(p) krát závorka 1plus H1(p)H2(p)
se rovná X(p).
Je to tak jo?
Teď to ještě celé vynásobím H1(p),
to můžu že jo?
a myslím si, že jsem skoro hotov.
Protože tahle veličina je prosím Y1(p), že jo?
A můžu napsat že to je tedy H1(p) lomeno 1 plus H1(p) H2(p)
krát X(p)
a to Y1(p) je nakonec je vidět že to je Y(p) a jsem hotov.
Dostal jsem tedy vztah, který říká, že přenosová funkce
toho systému se zápornou zpětnou vazbou
je dána takovým to vztahem
a když by tadyhle bylo plus
místo toho mínus
tak by se s tou kladnou zpětnou vazbou to začalo chovat tak,
že tadyhle budete
mít opačné znamínko
Tohle je se zápornou
a tohle je s kladnou
zpětnou vazbou.
Tady je dobré si všimnout jedné věci totiž jakmile tady mám
součin dvou přenosových funkcí
a součet s nějakou konstantou
tak to znamená že pokud třeba ta H1 odpovídala nestabilnímu systému
a my si ukážeme příště jak vlastně to odpovídá, ta nestabilita, prostě rozložení pólů
jenom vězte že tedy tato operace umožňuje v podstatě změnu polohu pólů té celé přenosové funkce vůči téhle původní toho standardního směru tedy té řekněme té výrobní linky.
Příště si tedy ukážeme pár takových záležitostí kolem pojmů stabilita jakým způsobem stabilita souvisí v podstatě s přenosovou funkcí
a ukážeme si několik příkladů které v téhle oblasti platí.
Přeji vám hezký den, krásné Velikonoce
Hezký zážitky s políváním a různých takovýchto radůstek.
Užijte si to moc hezky, tyto svátky a snad to budou opravdu svátky jara, hezký den.