Přeji vám dobrý den, v dnešní přednášce si ukážeme další důsledky toho, že známe laplaceovu transformaci a jakým způsobem
tedy můžeme oceňovat dynamiku systémů z hlediska tzv. stability
a ukážeme si také vztah mezi popisem stavovým a přenosovou funkcí, pokud prostě zase umíme vlastnosti laplaceovy transformace.
Ta přednáška je tedy prostě rozdělena na dvě části,
ta první část se týká problému stability systému.
My moc dobře víme, že když systém, který popisujeme je tedy lineární, časově
invariantní, takže je to systém pro který můžeme velmi snadno napsat vztahy mezi vstupem a výstupem.
Protože umíme napsat takovou záležitost jako je příslušný konvoluční integrál.
Dokonce i víme, jakým způsobem tenhle ten konvoluční integrál díky laplaceově transformaci se zjednodušuje na algebraický výraz,
který vypadá...tímto způsobem.
A samozřejmě zopakuji, že tedy há malé je impulzní odezva, há velké příslušná laplaceovsky zobrazená impulzní odezva
je přenosová funkce.
Pojem stability se týká v podstatě omezenosti, v podstatě výstupního signálu vzhledem
k tomu, zda je tedy ten vstupní signál také rozumně se chovající.
My velmi často tedy používáme pojem omezená funkce času.
V tom smyslu, že tedy její absolutní hodnota je menší než nějaká konstanta.
Prostě je to funkce, která nikam neutíká, která prostě se chová relativně velmi rozumně.
A pojem stability říká, jak u takovéhoto lineárně časově invariantního systému z toho vyplývá omezenost toho výstupu.
Tzn., že to y(t) je menší než nějaká jiná konstanta k2, když bych to namaloval graficky tak tadyhle bych prostě maloval
průběh takto omezené funkce, která se prostě nějakým způsobem chová,
- telefonujte někde jinde prosím není to úplně dobře -
a na tom výstupu potom dostanete, že prostě ten výstupní signál je také omezený a všechny tyhle podmínky,
tzn. omezenost na vstupu omezenost na výstupu, kladou nějaké podmínky na popis toho systému na vlastní popis toho systému.
My si ukážeme, že se to velmi dobře interpretuje právě v té rovině pé tzn., že se to velmi dobře interpretuje v podstatě v té přenosové funkci,
stabilita se týká nakonec přenosové funkce.
Ano?
A teď si trošku uděláme jakýsi exkurz v jakém smyslu asi toto chápat..my jsme začínali, tak jsme si psali diferenciální rovnici úplně nejjednoduššího typu.
Prostě diferenciální rovnici prvního řádu.
Já říkám, když umíme používat laplaceovu transformaci, tak otázka, zda tento systém nebo systém popsaný touto diferenciální rovnicí je
stabilní nebo nestabilní to prostě z tohohle na první pohled vidět není.
Zvláště, když ta diferenciální rovnice bude rozsáhlejší, komplikovanější tak to prostě z toho ani náhodou vidět není.
Nicméně tedy použiji Laplaceovu transformaci tak moc dobře už umíme takovou záležitost, že tedy prostě dostaneme rovnici tohohle typu.
To je jasné.
Tu algebraickou rovnici můžeme zapsat třeba i takto.
To všechno umíme.
Pak také víme, že když děláme nebo když chceme získat z tohoto zápisu algebraického přenosovou funkci, tak položíme prostě y(0)=0 a dostaneme, že
Y(p) ku U(p)
což je právě ta naše přenosová funkce je v tomto případě takováto racionální lomená funkce.
Úplně jednoduchá.
Ano?
A teď
tady si namalujeme takovou jednoduchou tabulku, kde zde bude přenosová funkce,
tady bude příslušná impulzní odezva,
a tady budou vždycky nějaké obrázky, které přísluší obrázkům přenosové funkce
respektive poloha pólů a příslušný vztah pro impulzní odezvu,
jestliže tedy ten-
ta přenosová funkce bude vypadat takto,
tak my umíme
nalézt zpětnou transformací umíme nalézt impulzní odezvu, že?
Kolikpak to je?
Ano...Je to é na mínus at.
Pokud to "a" bude kladné
a bude reálné,
prostě bude to reálné kladné,
tak ta charakteristika tzn. to jak bude vypadat příslušná impulzní odezva
bude srozumitelně exponenciála tohohle typu, která se bude chovat jako e na -at
z hlediska pólů tzn. ,že pól je v bodě -a.
Když si ho namaluji,
tak kde ten -a bude?
Bude někde tady že jo, protože to á je kladné čili tady v tomto bodě je -a a tady právě leží,
když toto je prostě výřez z pé roviny,
toto je tedy imaginární část a toto je imaginární osa a toto je reálná osa,
tak ten pól leží v levé polorovině,
prostě pól ,který je komplexní jeho reálná část je taková ,že je právě rovna -a a to je prosím menší než 0,
takže ekvivalence mezi tím, když
á respektive, když ten pól leží v levé polorovině tak ta odezva vypadá tímto způsobem, jestliže vypadá tímto způsobem,
tak je také jasné, že ona sama o sobě bude omezenou funkcí.
A tím pádem nezpůsobí, tím pádem vztah mezi vstupem a výstupem
pro omezený vstup bude samozřejmě i omezený výstup,
protože ten samotný, bude také nějaká omezená funkce,
takže se prostě dá ten integrál po kusech majorizovat nějakými konstantami, které dají vlastně příspěvek který prostě bude omezený.
Čili jinými slovy, jestliže pól příslušné jednoduché přenosové funkce leží v levé polorovině, tak to odpovídá stabilnímu chování toho systému
Čili toto je prostě stabilní,
stabilní odezva.
Když postupně s tím pólem
v té komplexní rovině,
když se budu blížit imaginární ose, když prostě jako se postěhuji k této ose
tzn. takhle polezu po tom..
po té reálné ose, tak se tahle exponenciála bude postupně narovnávat až se narovná na hodnotu, kdy reálná část
toho pólu bude právě nula.
Jo?
A v tom okamžiku dostanete něco takového, čemu se říká odezva, která je na mezi stability,
čili toto je mez stability,
mechanicky mez stability je něco takového, když máte kuličku na kopci,
že jo?
Prostě budete ji mít právě na tohle místě a když do té kuličky libovolně strčíte
malinko,
tak už prostě se dostane do nestabilního stavu prostě změní polohu dramaticky.
Jinými slovy, tady jakákoliv drobná změna v poloze toho pólu
ještě více doprava znamená,
že prostě přejdete do té pravé poloroviny a teď si teda namalujte
čili tadyhle přenosová funkce 1/p, že jo?
H(p)
a to samozřejmě víme, že to není nic jiného než jednotkový skok,
to víme,
teď celý jako pokračuje dál a já tady nemůžu rolovat na tabuli, takže já tady udělám takový jako,
že umažu tenhle první
řádek a představte si, že s tím pólem já docestuju až někam takto doprava.
Abych odlišil tu záležitost tak budu značit tuto vzdálenost b.
Ta přenosová funkce v daným okamžiku bude p-b, že jo?
To je viditelné,
prostě to "a" se změní na -b, jednoduchá záležitost,
příslušná odezva bude prosím takováto.
Znovu, to bé je prostě reálné
a kladné.
A pokud je takto, tak samozřejmě odezva bude exponenciála, leč
takováto,
takže příslušnost pólů k pravé polorovině
znamená, odezvy které jsou nestabilní
je jasné, že k omezené nenalezneme omezenou ypsilon pokud toto jde nade všechny meze
to prostě nejde, to i z toho integrálu je viditelné, že nic takového nepůjde.
Čili chci říci, že stabilita se nakonec redukuje na to, že když já tadyhle řeknu, že reálná část toho pólu,
který je ten pól, je v podstatě v tomto případě pól, je právě béčko
je b a to je větší než nula
tak to odpovídá této nestabilní odezvě.
Když bych to shrnul celé
všechno se to týká přenosové funkce a týká se to tedy příslušné polohy
pólů jejich reálných částí,
jestliže reálná část je záporná, pak ten systém je nazván
systém je stabilní,
pokud ta reálná část
je právě rovna nule,
tak je to na mezi stability
a v případě reálné části pólů větší než nula
je ten systém nestabilní.
Viz. tady ty obrázky, které jsem maloval před tím
ukázali jsme si to na úplně jednoduchém příkladu
takovéto nejjednodušší diferenciální rovnice, ,které jsme měli, rozebrali jsme si je z hlediska přenosové funkce
a bavili jsme se v podstatě o nulových bodech ve jmenovateli, čili o pólech té přenosové funkce
a pokud ty póly umíme klasifikovat v tomto smyslu tzn. umíme je umístit v komplexní rovině,
tak také umíme rozhodnout, zda ten systém popsaný takovouto diferenciální rovnicí je prostě stabilní nebo nestabilní,
takže celá ta debata spočívá v podstatě na reálných částech pólů o kterých samozřejmě my všichni víme,
že jsou to právě ty části odezev, které prostě zodpovídají za tlumené nebo naopak neomezeně rostoucí odezvy.
Vrátíme se k tomu, co jsme si říkali minule tzn., že jsme si ukazovali jak můžeme různě spojovat systémy.
A ukážeme si, tohle je, řekl bych konec minulé přednášky a ukážeme si na dynamických vlastnostech těch spojovaných subsystémů,
jakým způsobem oni vlastně reagují na tu celou záležitost z hlediska právě stability.
Představte si, že máme tu první záležitost, kaskádní spojení-
týká se dvou přenosových fcí. nebo více, které jsou takto za sebou řazeny,
my jsme si ukázali, že ta výsledná přenosová fce. je dána součinem těchto dvou fcí.,
respektivě více fcí.,
jestliže ta přenosová fce. se dá zapsat ve tvaru :
Q1(p) ku N1(p)
a H2(p) = Q2(p) ku N2(p).
Je také jasné, že když to napíšu do tohodle toho vzorečku, tak tady budu mít ve jmenovateli:
N1(p) krát N2(p)
a v čitateli budu mít příslušný Q-čka,
a je také jasné, že když póly H2 budou mít reálné části záporné
a póly toho H1 budou mít reálné části také záporné,
jinýmy slovy H1 a H2 budou stabilní,
tak je zjevné, že prostým vynásobením těch jmenovatelů, které definují polohy polů, prostě se vůbec nic nestane,
výrok tedy, že pro kaskádní systém se poloha polů nemění je srozumitelný z tohoto zápisu
a on navíc znamená to, že když je jeden z těch prvků příslušného řetězce nestabilní, tak celý ten systém se začne chovat nestabilně
a naopak...platí, že prostě když všechny ty členy, subčleny, subsystémy jsou stabilní systémy, tak celý ten řetězec se chová jako stabilní systém.
Podobně je tomu u paralelního systému
u toho paralelního systému
jsme si dovodili minule, že ten...,
že příslušná přenosová fce. je dána součtem těch dílčích přenosových fcí...to víme z minula...
no a když tedy ten součet zkusíme takto rozepsat, tak dostanete ,že je to tedy [Q1(p) / N1(p)] + [Q2(p) / N2(p)]
a dostanete...protože to musíte uvést do společného jmenovatele...
opět ve jmenovateli součin těch dílčích jmenovatelů, tady dostanete Q1N2 + Q2N1 nějaký čitatel....,
ale podstatné je, že tedy póly, toho celého systému jsou v podstaně identické s póly těch jednotlivých dílčích fcí.
a výrok, který říká, že při paralelním spojení subsystémů se poloha polů opět nemění,
opět zůstává stejnou distribucí jako byla v těch původních dvou systémech,
tím se chce také říci, že když budete mít v paralelním systému jeden jediný systém nestabilní tak celý ten systém se stane nestabilním.
To je prosím jako docela vážná věc jo, že tedy u těch zabezpečených systémů musíte prostě také dbát, aby ty jednotlivé systémy
měli dostatečnou rezervu v té stabilitě tzn., aby jejich póly byly dostatečně vzdálené od imaginární osy , pokud jsou to tedy systémy
ve spojitém čase pracující tzn. analogové systémy.
V posledním případě u té zpětné vazby se ta situace výrazně změní,
u té zpětné vazby celý ten problém začne vypadat trošku jinak,
u toho zpětnovazebního systému jsme si říkali, že tam máme něco jako produkční linku, která najednou třeba začne vyskakovat ze všech ložisek a...
prostě potřebujeme s ní něco udělat a...
to co s ní uděláme, je tedy zpětná vazba přes přenosovou fci. H2(p), která se chová na tom vstupu takovým způsobem
,že tady je prostě záporně vzata,
takto jaksi jde signál
a tady jde vlastně ze vstupu nějaký konkrétní vstup a tady máme výstup
a celá ta přenosová fce.
-jsme si minule odvodili- je dána vzorečkem, který říká...
toto
a já dodávám, že když tam dosadíme ty naše ůvodní přenosové fce.
a to naprosto jednoduše takto jo?
A když upravíme ten vzoreček tzn. upravíme.... - tady to musim smazat, abych se sem vešel -
tak vynásobíme toho jmenovatele součinem N1N2
a dostaneme...ač to uděláme v čitateli i ve jmenovateli, tak dostaneme H(p) ve tvaru Q1(p) krát N2(p)
a ve jmenovateli dostanete N1(p) N2(p) + Q1(p) Q2(p) jako konkrétní výsledek toho našeho počítání.
A co platí?...To původní rozložení pólů je v tomto součinu, jenže já k tomu přičtu nějaký součet,
neboli nějaké polynomy a celý to rozložení se prostě dost dramaticky změní.
Přitom zpětnovazebním zapojení dochází, k velmi výrazné změně té polohy příslušných polů a této okolnosti se dá velmi dobře využít,
dá se využít v tom smyslu, že pokud třeba tento jmenovatel bude mít póly v pravé polorovině tzn. bude odpovídat nestabilní soustavě,
tak celý tenhleten výsledek už může být stabilní. Je to proces jak stabilizovat některé nestabilní systémy.
Ukážeme si teď na jednoduchém příkladu postup jak k takovéto stabilizaci dochází,
takže nejprve máme danou...Máme LTI systém s přenosovou fcí., která vypadá takovýmto způsobem:
je to nějaký H(p)= (p^2 + 3p + 2) / (p^2 - p + 1)
takže první otázka zní : Je tento systém stabilní ?
Kudy do toho?
No budeme hledat nuly toho jmenovatele ne?
Čili jinými slovy ta odpověď spočívá v tom, že nalezneme póly,
no a protože máme kvadratickou rovnici tak pravděpodobně jí umíme vyřešit...
a tady to bude 1 + - odmocnidlo (1 - 4) čili to je "i" krát 3 a tady bude prostě takhle 2, takže když to napíšeme v kultivovaném tvaru, tak je to 1/2
+ - i krát odmocnina ze 3 půl,
když si ty póly namaluji, tak tady bude 1/2 ...tady bude nějaká "i" krát odmocnina ze 3 půl
a tady bude nějaké - "i" krát odmocnina ze 3 půl,
takže ten pól bude tady a někde tady...jo?
Neboli chcete reálné části toho (p1,2) jsou právě 1/2 a to je větší než 0
támhle jsme měli napsáno před chvílí, že to odpovídá situaci, kdy ten systém je nestabilní,
důvod je tento prosím....jo?
A teď zní otázka za 2) lze zpětnovazebním připojením přivodit, aby tento systém byl stabilní ?
Nebo chcete-li pojďme nalézt zapojení, ve kterém ve zpětné vazbě bude jednoduše jenom nějaký zisk, zesilovač s konstantním A
a tady bude tedy klasická záporná zpětná vazba...čili nalezněme tadydle nějakou H(p) třeba s vlnkou nebo s pruhem to je jedno,
prostě výslednou,
čili naším úkolem je najít toto...
Takže máme zatím nestabilní systém a nutíme ho do situace, kdy ho zapojujeme do takového tvaru , který vede na přenosovou fci. tohoto typu,
takže k čemu bude rovný H s pruhem?
Spinkáte ještě, nebo?..tak trošku aktivity, trošku nějakýho duchovního konání :-)
No kolik že to bude ?
No ta H
tady bude H(p) a co bude ve jmenovateli?... 1+ A krát H (p)...děkuju.
No a pak už nezbývá nic jiného, než do příslušné rovnice dosazovat..takže tam dosadíme
(p^2 + 3p + 2) / (p^2 - p + 1) / {1 + A krát [(p^2 + 3p + 2)/(p^2 -p + 1)]}
a když to pěkně roznásobíme, tak dostaneme tady, že je:
p^2 + 3p + 2 a tady budete mít p^2 - p + 1 + A p^2 + 3Ap + 2A
No a to můžete ještě napsat tak, že posbíráte koeficienty u všech mocnin a napíšete to ve tvaru (1 + A)p^2 + (3A - 1)p + 1 + 2A
a vidíte jednu celkem srozumitelnou věc, když tady byl záporný koeficient tak to vedlo na nestabilní systém..je docelá dobrá hypotéza říci, že když bude :
3A - 1 větší než 0 tak že určitě najdu hodnoty A takové kdy tento koeficient bude nejen kladný, ale celý ten výsledek bude dávat póly, které budou ležet
v levé polorovině.
Třeba si zkusíme A = 1,
takovou jednoduchou věc...tzn. že v tom zapojení tady vlastně neděláte nic, máte tam prostě natvrdo 1,
úplně ten nejtriviálnější případ....a dostaneme přenosovou fci. v takovémto tvaru 2p^2 + 2p + 3. Je to dobře jo?
No a teď si zkusíme, kdeže leží póly, že jo?
No tak ty jsou tentokrát v takovéto poloze dané jmenovatelem téhleté nové přenosové fce., tzn. H(p) s pruhem kdežto A bylo rovno 1,
no a když umíme počítat tak spočítáme nové pruhované p1,2 a dostaneme, že to je -2 + - odmocnina ze (4 - "4 krát 2 je 8 krát 3 je 24 že jo?")
ku 4
když to ještě malinko upravíte tak to skončí tak, že tedy p1,2 pruh je prostě - 1/2 +- "i" krát odmocnina z 5 půl
ty póly tentokrát se z té 1/2 odstěhovaly do -1/2 a tady mají nějakou imaginární část, která odpovídá "i" krát odmocnina z 5 půl
tadyhleta odpovídá - "i" krát odmocnina z 5 půl a zkrátka a dobře pro ty póly platí, že reálná část pruhovaných pólů = -1/2 a to je menší než 0
a my máme co do činění se stabilním systémem,
čili takovou v podstaně jednoduchou operací získáte cosi, co funguje jakožto stabiní systém v trošku jiné podobě, ale funguje jako stabilní
a co je podstatné je, že to vlastně nestálo ani mnoho řekl bych prvků, které potřebujete k tomu
samozřejmě ve složitějších systémech, když máte jak jsem říkal, třeba výrobní linku, tak najednou to začne vyskakovat z ložisek a prostě začne se to chovat
nějakým nemravným způsobem, tak celý ten zásah jak zavazbyt některé ty výstupní veličiny může být v podstatě složitější.
Toto je princip, toto je prostě způsob jak se v této oblasti pracuje a celá tato oblast se nazývá teorie řízení ve smyslu control theory,
ve smyslu řídit a automaticky dokázat některé procesy, které jsou z principu nestabilní, udržet v nějakých mezích
a tenhleten zpětnovazební proces to je jedna z takových těch velmi významných a velmi důležitých otázek se kterými se prostě můžete ve svých budoucích
pracech kdykoli střetnout.
Takže já bych rád, kdyby jste z tohodletoho 1. povídání dospěli k názoru, že použití laplaceovy transformace vede k tomu, že jsme schopni
vyhodnocovat stabilitu systémů
a že tu stabilitu systémů umíme do jisté míry také malinko ovládat pomocí zpětovazebních zapojení.
To by měla být jakási zpráva z tédleté první části přednášky,
ta druhá část přednášky se bude týkat věcí kolem použití laplaceovy transformace a vztahu mezi stavovým popisem a přenosovou fcí...
Co tedy bude naším zájmem ?...ukážeme si, jakým způsobem popis systému pomocí stavové proměnné tzn. pomocí matic A, B, C, D,
lze zpětně převést na vztah mezi vstupem a výstupem, jinými slovy, jak ten vnější popis vidět z toho vnějšího světa.
Začneme tam, kde jsme už byli tzn. že si řekneme, že máme model lineárního časově invariantního systému, kde veličiny typu x jsou stavové veličiny,
vektory stavových veličin..a říkám-li vektor, tak rozumím tím, že x(t) je vektor...takže on má nějaký sloupec...sloupcový vektor a tady jsou prostě
ty jeho složky x1(t), x2(t)...mohl bych jich tady mít víc..dejme tomu, že skončím třeba na ....x3(t) , že to bude jenom 3 složkový vektor,
jinými slovy říkám tím, že mám 3 stavové veličiny a ten X, který je tady namalovaný je prostě vektorem
z toho také důvodu je y(t) vektor a samozřejmě také to u(t) je vektor
podobného tvaru
a protože teda se bavíme o vektorech, tak tyto veličiny A, B, C, a D jsou maticemi,
že A, B, C, D jsou obecně matice takže musíme s těmi výrazy, které prostě nám vyjdou, pracovat jako s algebraickými výrazy, s maticovými výrazy,
tím chci říci, že se třeba nedá dělit maticí musíme násobit inverzní maticí,
násobení matic není komutativní není jakkoliv libovoně zaměnitelné, zkrátka a dobře musíte s tím zacházet jako s klasickou algebraickou strukturou,
kde máte maticový zápis,
když na tyto rovnice, které jsou 1. řádu použijete laplaceovu transformaci
tak dostanete tvar, ve kterém, protože x(t) byl vektor tak samozřejmě i x(p) je vektor
a on bude mít opět odpovídající složky tak jak to odpovídá v té časové rovině,
příslušné x(0) jako počáteční podmínky jsou také vektorem,
jo prostě pro každou z těchto veličin mohu stanovit jednu počáteční podmínku..takže tam budu mít pokud ten vektor x bude 3 složkový,
tak samozřejmě i vektor počátečních podmínek bude mít 3 složky obecně,
a co teď potřebuji s tou rovnicí udělat?
Já se potřebuji zbavit, abych dosáhl vztahu mezi výstupem a vstupem , tak se potřebuju zbavit těhletěch X, že ano?
Těhletěch veličin..
Prostě, když je tam nebudu mít tak to bude prima
a jak to udělám?
Já upravím tu 1. rovnici, takovýmto jednoduchým způsobem,
tedy převedu...sčítat a odčítát vektory můžu, čili prostě tam nemám žádný..řekl bych kolaps,
takže tento vektor, jakožto známou veličinu na pravou stranu a z pravé strany na levou tento vektor, který je A krát x(p)
a pak vytknu x(p) což mohu,
s tím, že tedy prostě místo jedničky tam píšu v podstatě diagonální matici jedniček jo?...tadleta tlustá 1
znamená, že prostě ty p budu mít naskládaný takhle podél diagonály,
jo ?
A teď..
A teď co udělám?..Teď potřebuji osvobodit to X,
když bych měl skalár tak suše vydělím, ale dělení není možné..já musím násobit zleva
..inverzní maticí..
A když násobím z leva inverzní maticí tak tento součin se stane jedničkou a tady budu mít prostě násobení, jak kolem toho X(0),
tak kolem tédleté veličiny vstupu
a protože já chci spočítat přenosovou fci.,
tak takto vyjádřené X dosadím do této rovnice
a ještě použiji informaci, že dělám přenosovou fci. tzn., že všechny počáteční podmínky budou rovny 0,
takže po tomto kroku dostanu takovýto výsledek..
,který říká..
, který prosím říká jednu docela zajímavou záležitost..totiž, že už mám vztah mezi obrazem
výstupu a obrazem vstupu, který mi zprostředkuje přenosová fce...
s tím, že v té přenosové fci. je prosím takováto, nebo že ta přenosová fce. je takováto matice,
takže já mám vztah, který říká, že tady je [C krát (p krát 1 - A) to celé na -1
krát B + D] krát U(p)
a neříkám tedy nic jiného než moje H(p) se rovná tomuto výrazu
a to je prosím jeden docela vážný výsledek, že jsme na základě znalosti stavového popisu
a konstrukce matic A, B, C, D dosáhli na přenosovou fci.
jenom pokud si uvědomíte, když jsme tady dělali třeba prostě v tom diskrétním světě, když jsme dělali fakultu jakožto rozsáhlejší systém, tak jako říct rovnou
jaký je přenos prostě ve smyslu vztah vstupu, výstupu
no pěkně složitá záležitost..
Toto je prosím cesta..
Ukážeme si, že i v diskrétním světě platí podobné zákonitosti,
no a aby to všechno bylo trošku jasnější, nebo akceptovatelnější tak se vám pokusím ukázat jeden příklad,
který budu spíš promítat, protože toho psaní je tam příliš a pokusím se vám vždycky takový ty kritický místa vysvětlit kudy do toho.
Tady ještě jedna poznámka, že když ten systém je regulární..
pak to D je rovno 0 a celá ta H(p) je jenom součin těhletěch 3 matic,
takže příklad, který je z kategorie trošku jaksi rozsáhlejšího uvažování, ale právě proto vlastně jsme tady, abychom si trošku jako zvykli, že postupně
integrujeme ty znalosti, které máme..
Představte si, že máte dány dvě diferenciální rovnice, které jsou takto různě
svázány
a otázka zní..zda umíme nalézt vztah mezi vstupem a výstupem,
tedy jestliže vstupem je vektor U1 U2..,
máme tedy systém, ve kterém na vstupu je U1(t),U2(t)
a na výstupu jsou, zdá se y1, y2 jsou také dvě veličiny,
nevypadá to na první pohled jako jasný kudy do toho, že?
Ale teď si uvědomíme co vlastně už umíme..my jsme si ukazovali jak z diferenciálních rovnic sestavit stavový popis,
to jsme si ukazovali,
takže tady budeme postupovat stejně..nejdřív si prostě musíme zkonstruovat stavový popis a když budeme mít stavový popis,
tak pak si prostě vypočítáme přenosovou fci. tímto způsobem a jsme hotovi,
takže to je ta cesta..
Takže nejdřív první úlohu kterou, musíme vyřešit je..jak z těhletěch rovnic získat rovnice, které budou 1. řádu,
tzn. jak získat ten stavový popis, vzpomínáte?
Počítali jsme řád těch rovnic a říkali jsme..když je 1. řádu tak prostě bude jedna stavová rovnice, když je 2. řádu budou 2 stavové rovnice,
jak to bude tady?
Ta jedna proměnná je tady zásadně pouze v první derivaci, čili ta prostě bude jakoby rovnice 1 a pak je tam 2. rovnice, která říká, že prostě ta proměnná je
tam prostě 2. řádu...takže kolik bude těch stavových proměnných ?
3.
Takže si zvolíme 3 stavové proměnné
a teď, když to uděláme tak nastává ona...trošku ten..to umění, které prostě potřebujeme,
my potřebujeme 1. derivace všech těhletěch proměnných,
abychom mohli zahájit tadyhletu rovnici tímto způsobem,
že jo?
Takže, když se podíváme třeba na 1. řádek, který říká, že když zderivuju X 1, tak dostanu Y 1 zderivované, ale Y 1 zderivované je X 2,
takže dostanu rovnici, že X 1 se rovná 0 krát X 1, 1 krát X 2, O krát X 2 a není tam žádný vstup,
když zderivuji X2 dostanu Y1 se dvěma a to je podle téhleté 1. rovnice U1-4Y1 s čárkou - 3Y2 s čárkou jo?
Když použiji ty stavové proměnné, tak tady dostanu, že je to -4 krát X2 + 3 krát X3 a je tam jednou krát 1
a podobně derivací X3 dostanu, že je Y2 s čárou a to zase použiji tuto rovnici
a všechny tyto zbylé členy..pomocí nich vyjádřím prostě tuto derivaci a budu mít napsáno že Y2 s čarou je -Y1 s čarou -Y1 - 2Y2 + U2,
to máte tady takto...- 1 X1 je Y1, X2 je Y1 s čárou, X3 je prosím Y2, čili toto je tato rovnice
a pak tam bude 0 krát 0, protože tam bude tento vektor vstupních veličin U, ještě na té pravé straně
takto jsem zkonstruoval a prosím ještě jednou si to projděte sami jestli rozumíte tomu co jsem teď říkal
kudyma to šlo..
Jak jsem zkonstruoval matici A a B,
zkuste si to sami...koukat se do svých papírů a prostě přemýšlet..ano rozumím tomu, vím jak jsem to udělal...
A druhé rovnice mají jednoduchý tvar v podstatě jenom přepíši Y1, Y2, čemu že jsou rovny tváří v tvář tomu stavovému vektoru
a je jasné že Y1 je X1 a Y2 je X3 a že prostě dostanu takovýto maticový zápis,
mám A,B,C, dokonce mám i řečeno že D = 0,
tam neni žádný vztah mezi výstupem a vstupem přímým..tam neni žádná veličina, čili D = 0,
čili nám nezbývá nic jiného než začít počítat, umíme A, B a C
a víme, že přenosovou fci. získáme takovouto operací,
tzn., že naše přenosová fce. tady bude..
C krát (p1 - A) to celé na -1. krát ..D je už rovné 0,
ano?
Čili tadydle nad to si klidně můžete napsat...tohle je prostě matice systému A....todle je matice vstupu B a tohle je matice výstupu C,
a teď už nezbývá nic než použít příslušný vzoreček, který jsme si odvodili jako obecnou záležitost, s vědomím, že vlastně ta přenosová matice
bude vlastně tedy...
...bude mít takovýto tvar..no to znamená, že tam budou vztahy, které říkají jak moc třeba vstup U2 ovlivňuje výstup Y1,
což je dáno tím, že toto je prostě čtvercová matice,
zvykněte si i na to, že přenosová fce. může být i maticí..podle počtu vstupů a výstupů..
Tohle je dobrý vědět na začátku, protože to je jakási kontrola toho co vlastně budeme počítat
první, co musíme zkonstruovat je ta matice
p krát 1 - A,
jak jsem říkal to p krát 1 je v daném případě prostě diagonální matice tří péček takto
a pak tam prostě napíšete koeficienty toho Áčka se záporným znaménkem, čili tady prostě bude -1 nula, tadydle bude +4 - 3 tady bude +2
a tady budou + jedničky a tady bude 0
což je..
když se díváte v podstatě na tu matici A se záporným znaménkem tak vám to takto vyjde..
Tak..
a teď co potřebujem?..Potřebujeme inverzi matice,
říká vám něco pojem inverze matice?
Pro zopakování jednoduchých vlastností...
malá exkurze do inverze matice 2X2,
která se velmi podobá té inverzi matice 3X3... představte si, že budete mít matici A ...... čili inverze matice,
představte si matici A, která má prvky jak správně by měla mít.... takovéto.....je to matice 2 krát 2
a jakže počítáme příslušnou inverzní matici?
No 1. co musíme spočítat je determinant, který je podle sárrusova pravidla A11 A22
- A12 A21,
jo?
Pro matici 3. řádu sárrus ještě platí,
pro matici 4. řádu tam už ne!
Takže ta matice...za 1. tedy má 1/deltu a pak má tzv.doplňky
, že spočítám doplněk K11 a to je prostě A22, že spočítám doplněk k tomuto prvku a dostanu, že je to A11
a pak tam počítám doplňky transponované matice a ještě se správným znaménkem, takže je tam takhle napíšu a jsem hotov.
Takže pokud rozumíte tomuto, dokážete i dát dohromady 3. řád,
tady počítám prosím neustále tzv. doplňky
a důvalovu matici tzv.
no kdo nevěří tak...když se to vynásobí, tak dostanete opravdu, že je to krásná jednotková matice, že to je správná inverze.
Je to vidět z toho, že tedy A11 krát A22 - A12 krát A21 to je právě ten determinant, který tadyhle dává tu jedničku
Zejména v těhletěch mimodiagonálních prvcích se to prostě zruší, ty hodnoty,
čili to je prostě inverze matice 2. řádu, 3. řádu budu používat jenom výsledky nicméně bych vám doporučoval, abyste si to doma zkusili, že tomu
opravdu rozumíte,
doporučuji!
Determinant té matice jak jsem říkal tady platí ještě sárrus tzn. sárrusovo pravidlo takle hezky po těchto směrech s kladným znaménkem,
ve směrech opačných se záporným znaménkem, správně vynásobit a vždycky si doplnit tu matici, takže dostanete výraz, který vede na determinant
té matice, který při inverzi budeme počítat.
Tady je napsáno a to je důležité vědět, že prostě ten determinant bude jmenovatelem všech těch dílčích přenosových fcí..jinýmy slovy...,
ten determinant jako takový je zodpovědný za to, jestli je to stabilní systém , ten determinant je zodpovědný prostě za to, kde leží ty póly příslušné přenosové fce.,
no a když si zkonstruujeme tu matici doplňků tu tzv. adjungovanou matici,
tak dostaneme prosím takovýto výraz.
Znovu opakuji, to si prosím opravdu zkuste sami doma, jakožto řekl bych nějaký vzorový příklad..jestli umíte spočítat doplňky ze správným znaménkem,
zakrýt si takhle tu matici, spočítat determinant a dát mu správné znaménko,
to je prosím tahleta úloha..
Nic jiného tam není,
no a pak musíte vynásobit tenhleten výsledek zleva maticí C, zprava maticí B a vydělit to determinantem a jsme hotovi.
Ten výsledek velmi...jaksi...kultivovaně,
je to prosím přenos,
uvedený na tomto posledním slajdu,
takže tohleto počítání udělejte si tam takhle hezky vykřičník ->"sám si zkusím doma, že mi to funguje",
a pak už je to prostínké násobení..zleva maticí C, která byla 2 krát 3 a zprava maticí B, která byla 2 krát 3
a je hotovo.
A to, že je hotovo velmi dobře naznačuje, že máme různé vztahy mezi různými vstupy a výstupy...jinými slovy v tom prostředí popsaným diferenciálními
rovnicemi, se prostě ta informace šíří ze vstupu jak na výstup 1 tak i na výstup 2 a podle toho, jak moc to je dané v podstatě tou přenosovou fcí. konkrétní.
Myslím si, že toto je dobrá tečka za dnešním povídáním, já si dokonce myslím, že takto byste měli vnímat používání laplaceovy transformace,
tzn. že laplaceova transformace vám umožňuje v podstatě velmi robustním způsobem, zvládat ne příliš jednoduché úlohy, jo?
Tzn. ne přiliš triviální úlohy, protože když jsme začli těmi dvěmi diferenciálními rovnicemi, tak jsme si říkali, no a jako jak z toho udělat přenosovou fci.,
třeba, jo?...jak udělat vztah mezi vstupem a výstupem,
čili chci říci, toto je celý postup jak se dá do standardní podoby dostrkat v podstatě ne příliš jednoduchý zápis, který vám prostě vyjde z nějakých..dejme tomu..
modelovacích procesů. Kdy se prostě pokoušíte cosi namodelovat a máte potom soustavu rovnic, která prostě vypadá na první pohled nepřehledně,
tak ta přehlednost se získá v podstatě takovýmto..., vlastně je to, kuchařka jak to udělat.
Přeji vám hezký den a za týden nashledanou.