Hezký den přeju a dobrý den,
dnešní přednášku věnuji zavedení transformace, která se dotýká,
dotýká diskrétních systémů,
která tedy na rozdíl od Laplasovy transformace manipuluje nikoliv s funkcemi,
ale s posloupnostmi a tuto transformaci
ukážu vám jako zdůvodnění proč takovouto transformaci budeme používat,
nadefinujeme si transformaci
a ukážeme si pár základních vlastností,
pokusím se vám vysvětlit,
vznik konvoluce respektive tedy jakým způsobem
se transformuje konvoluce
což jsem vám sliboval u Laplasovy transformace,
zkrátka a dobře se pokusím vám říci
maximum kolem zavedení takzvané transformace Z.
Původ transformace pro diskrétní systémy,
lze spatřovat asi takovýto:
když jsme měli ten spojitý systém
a chtěli jsme přejít na diskrétní systém,
tak jsme se dopustili takové záležitosti, že jsme ony funkce, které jsme tam měli,
jakožto nějaké vstupy nebo nějaké pozorované výstupy,
zkrátka a dobře, že jsme je takzvaně začali vzorkovat.
A tak dál.
Ono vzorkování
není nic jiného než tedy používání,
v podstatě naší lokalizační funkce v příslušných bodech,
které náleží násobku té periody čili tahleta vzdálenost je vždy T
a tady prostě začnu počítat, že toto je tedy jednou T, dvě T, tři T a tak dále.
Což se tam v podstatě nevejde, ale podstatný je,
aby bylo jasné, že tedy vzorkovací perioda
se zobrazí v podstatě v té naší lokalizační delta funkci
a abychom dokázali
přejít celý svět tak samozřejmě musíme s tím "n"
běhat minimálně přes stejnou vzdálenost jako běhá to T.
A to vzorkování tedy říká, že prostě z týhletý f (T) uděláme takovéto nějaké vzorky
a my si potom řekneme takovou jednoduchou úvahu: No dobře,
když ta naše funkce podléhala Laplasově transformaci
tak jsme s ní dělali prosím toto
a říkali jsme ona je slušně vychovaná
a můžeme teda prostě najít k ní Laplasovský obraz,
když do tohoto Laplasovského obrazu dosadíme teď
tuto vlastnost to znamená, že ta funkce
nebude jenom spojitá, ale bude to takováto posloupnost, která vznikla
prostě vzorkováním tohoto spojitého signálu,
tak jí nezapíšu pomocí té mé lokalizační funkce
a pak tady musím mít zpátky ten integrál. To je jasné.
A teď nastává jednoduchá úvaha,
protože tahleta funkce byla dobře vychovaná a ten integrál prostě konvergoval
dokonce tak, že byl nezávisle na tom parametru "p",
tak můžeme celkem bez potíží zaměnit sumu a integraci.
A když to uděláme, tak tedy budeme mít, že integrujeme přes dt funkce,
která vypadá tímto způsobem f(t) e-pt a mám jí integrovat,
když tam máme pod integrálem tu lokalizační funkci, jo,
tuto naší delta funkci, která má tu vlastnost, že prostě, trhá z těch funkcí právě nT.
Jinými slovy je dostanu nakonec, tady dle to budu psát takhle, že tam je suma n=0 do nekonečna a
budu tam mít napsáno, že to je f(nT) e na - pnT .
A teď, když za e na pT zavedu označení takovouhle substituci Z,
tak dostávám, že to je f(nT) Z na -n .
A občas v těch našich, našich úvahách jsme rádi, že nemusíme se trápit s tím zápisem n(T),
ale prostě rozumíme, že tam je samozřejmě perioda a píšeme to ve zjednodušeném tvaru takto.
A toto je prosím cesta, toto je prosím cesta k transformaci,
která z posloupnosti tohoto typu
vytvoří nějaký obraz v proměnné "z"
a my tuhletu proměnu nazveme transformací Z.
F(z) je suma "n" se rovná do nekonečna F(n) Z na -n
a o takové transformaci bude dnešní přednáška.
Dřív než ještě teda spustím pár "slajdů" tak bych rád řekl něco takového jako je zdůvodnění proč,
takovouhle transformaci používat.
Myslím si, že člověk má vědět, když teda se začneme bavit o něčem takovém jako je nářadí,
tak k čemu, že to nářadí budeme používat.
Použití Z-transformace opět má jakýsi dvojí charakter.
První je, že jsme schopní, takzvaně algebraizovat diferenční rovnice,
že jsme schopni rovnice tohohle typu,
což je diferenční rovnice,
ke které jsme dospěli někdy v druhé přenášce,
tak jak takovéto rovnice lze převést na algebraické rovnice.
To je první důvod, tak jako Laplasova transformace nám z diferenciálních rovnic dělala
algebraické rovnice, tak ta Z-transformace má tu vlastnost,
že z rovnic tohoto typu těch diferenčních rovnic
pro jejich řešení můžeme využít v podstatě algebraické vlastnosti
a jinými slovy tedy prostě převádí rovnice tohohle toho typu na algebraické rovnice.
A druhý takový důvod
pro použití Z-transformace je onen vztah mezi vstupem a výstupem
lineárního časově invariantního systému.
My jsme si už je to také chvíli odvodili, že pro lineární časově invariantní systém
ten vztah je dán takzvanou konvolucí.
A toto je tedy konvoluční suma.
My si opět ukážeme tu vlastnost, že Z- transformace z té konvoluční sumy vytvoří součin,
ta konvoluce přejde na součin příslušných obrazů těchto veličin.
Než k tomu dojdeme, tak si jenom pamatujte, že toto jsou ty dva hlavní důvody
proč nářadí typu Z- transformace používáme.
Otázka řešení diferenčních rovnic,
otázka analýzy vztahů vstup-výstup pro lineární časově invariantní systémy
se pokusím rozsvítit, svítí, svítí, svítí, jo svítí.
Máme moc světla koukám, ale snad to bude lepší.
Takže začneme poctivě, tak jak je teda Z-transformace definována.
Ta definice říká, že mluvíme o takzvané jednostranné transformace postoupnosti.
Jednostranná Z- transformace z toho prostého důvodu,
že zase dáváme přednost těm postoupnostem, které mají definovaný začátek
to znamená před tím počátkem všechny ostatní hodnoty jsou nulové.
Tu postoupnost označujeme malým písmenem n je celé číslo,
které běží od nuly do nekonečna, to znamená v celé té pravé části poloroviny času.
Velkým písmenkem označujeme obraz, toto je tedy vzor, toto je obraz
a velmi často zase si píšeme nějakou zkratku,
když tedy Z- transformace, tak ozdobné písmenko Z,
které působí na příslušnou posloupnost f(n) právě tímto předpisem, ano?
Ta transformace transformuje z oblasti diskrétního času, kde prostě ty jednotlivé procesy můžeme měřit
kde prostě můžeme cosi naměřit v diskrétním, diskrétním čase
a transformuje všechny ty naše objekty do roviny Z.
Což je tentokrát opět nějaká pomocná, pomocná veličina.
My v budoucnosti zjistíme, že ta veličina je komplexní,ona koneckonců je viditelně komplexní,
když to "pé" bylo komplexní, tak proč by Z nebylo komplexní.
To je naprosto celkem srozumitelná záležitost.
A jak se vlastně to Z chová, to vysvitne v dalších debatách.
Pro úplnost je dobré říci, že tedy zpětnou transformaci
počítáme ve tvaru jaksi integrálu podél uzavřené křivky v té komplexní rovině.
Nebudu to více specifikovat, protože my si opět ukážeme,
že místo tohohletoho, ne příliš jasného integrování,
protože jste neměli komplexní proměnnou,
tak jak pro lineární časově invariantní systémy ta zpětná transformace
totiž z té pomocné roviny, roviny Z se vrátíme zpátky do roviny času,
kde prostě ten reálný svět náš funguje.
Ukážeme si, že tahleta zpětná transformace se dá opět nalézt
pomocí jednoduchých algebraických úprav,
které samozřejmě souvisejí s touhletou komplexní reprezentací, ale
nicméně tedy ukážeme si, že pro lineárně časově invariantní systémy
to bude celkem jednoduchá záležitost.
Čili tohle je první takový úvodní "slide",
k tomu bych chtěl dále ještě říci,
to že Z transformace někdy se taky v učebnicích ukazují,
ta jaksi přes celý svět to znamená dvoustranná samozřejmě
otázky konvergence takovéto transformace jsou podstatně složitější,
opět já se tady omezuju na tento jednoduchý typ Z- transformace.
Transformace Z musí tak jako všechny ostatní transformace, které
chceme používat na lineární systémy, mít tu vlastnost,
že nám tu linearitu nezničí.
Jinými slovy transformace Z jest lineární, co se tím chce říci?
Že když máte dvě posloupnosti
a chcete k této posloupnosti nalézt příslušnou Z- transformaci,
pak máte ještě druhou posloupnost
a ptáte se co se stane, když tuhletu posloupnost jednu a tu druhou takto sečtete
tak co že se stane, když budete chtít počítat příslušnou Z- transformaci k tomuto součtu.
A ta celá diskuze vede k tomu, že tedy můžete díky linearitě,
tuhletu závorku takto roznásobit a napsat to ve tvaru
"b" krát a tadyhle "b" krát "n" od 0 do nekonečna g(n) z na -n
a z toho je prostě vidět, že díky těmto definicím,
prostě platí, že to je a.F(z)+b.G(z) ,
jinými slovy sčítání a násobení číslem v těch vzorech vede k sčítání
a násobení číslem v těch obrazech.
Tady je to napsané pro mnohé součty, respektive mnohé funkce,
ale nicméně je to jenom zobecnění těchletěch dvou funkcí, dvou posloupností.
Když sečtu posloupnosti, tak jejich výsledek je v podstatě součtem obrazů, že jo.
Linearita je samozřejmě neskutečně důležitá vlastnost.
Sami uvidíte, že když vlastně budeme používat,
Z -transformaci pro ty diferenční rovnice, že
tedy zásadně používáme linearitu, jinými slovy libovolně sčítáme,
libovolně tedy násobíme číslem, což je tady namalováno ve vzorečku tři.
Druhá taková významná vlastnost je vlastnost,
kterou jsme nazývali už pro Laplasovu transformaci změnou měřítka.
Ta změna měřítka se týká situace, kdy máte posloupnost
a ta posloupnost tedy jest f(n) a vy teď každý z těch členů,
každý z těch členů násobíte nějakou konstantou "a",
dejme tomu, že to "a" bude třeba 3/4 nebo nějaký takovýhle číslo.
Cože to bude dávat pro posloupnost a na n-tou.f(n)?
No, u té 0 to zůstane stejné, čili ta velikost zůstane stejná.
Bude to prostě a0 je jednička krát f(n) je stejná.
U té jedničkové místo téhleté veličiny to budeme mít 3/4 z ní. Ano?
Místo této veličiny budeme mít 3 krát 3, čili 9/16 z té veličiny.
Čili budeme mít nějakou takovou to v podstatě polovinu z ní, že jo?
Zkrátka a dobře ta posloupnost způsobí, že dojde k jakémusi, anebo to násobení,
to škálování způsobuje v podstatě zmenšení,
zmenšení rozměrů měřítka v té původní posloupnosti.
A když takovéto funkci se snažím nalézt k ní obraz,
tak mohu libovolně přeskupovat tyhlety veličiny a mohu to napsat jako f(n) a na n-tou z na -n-tou
nebo chcete-li ve tvaru f(n) a teď nějaké cosi na mínus entou a to cosi bude a na -1 krát z.
A když to budete chtít napsat ještě nějak jako kultivovaně tak prostě napíšete že
to je od 0 do nekonečna f(n) a teď nějaké zéta na -n, že jo?
A to už není nic jiného než F v nějakém bodě zéta, že jo?
No a když nakonec za to zeta dosadíte,
tak zjistíte, že to je tedy a na-1 rovná se Z transformaci a na n-tou f(n).
Což je prosím tento vzoreček.
Neznamená to, nic jiného než, že
když jsme v té rovině diskrétního času,
jako měnili měřítka, jako směrem k malým hodntám,
takže v tom opačném, respektive v té Z rovině dojde naopak k natažení,
protože a-1 je prostě 4/3 toho původního argumentu
Je to opět stejná písnička, jako v jakékoliv jiné transformaci,
která říká, že když v jedné rovině dochází ke zmenšování měřítka,
tak v té druhé adekvátně k natahování toho měřítka.
Říkal jsem vám, že takto se chová Laplasova transformace,
takto se chová Z transformace, takto se chovají všechny spektrální transformace,
které máme, které máme k dispozici.
Máte problém s řeckým písmenkem zéta, jo? Viděli jste ho poprvé? Nepovídejte,nelžete, nelžete.
Řeckou abecedu jste se fakt nikdy jako… ale jó, ale už dávno.
Ano, všechno je dávno, dávinko. Hele, vy musíte být starší než třetihory.
Když jako je to dávno všechno.
Tak je také jasné, že když to otočíte, tak platí samozřejmě jakýkoliv zápis,
který má tuto vlastnost.
Teď vám promítnu jeden celý "slide", ze kterého si prosím opište,
zatím jenom tu první část, která se týká věty o posunutí.
Důležité vlastnosti, které mají velký význam pro
diferenční rovnice.
Představte si, že máte opět tu naší posloupnost.
Já jí teď zkusím namalovat, tak aby byla taková jako úhlednější,
skoro nějaká kosinusová funkce nebo něco takového,
A o té říkáte, že to je naše f(n), když tady takto běhá "n",
tady je n=0 a tady pro všechny hodnoty, předcházející dejme tomu,
že jsou už nulové hodnoty,že je to funkce
takovou jakou ji chceme mít.
A teď, když s tou funkcí řekneme dobře, ale já teď budu hledat,
hledat kdy se to posune, právě třeba o jedničku.
Cože to je posunutí o jedničku?
Znamená to, že počátek se posune do n=1.
Toto je posunutí počátku.
Takže já jsem posunul tuhletu první do tohoto počátku, jo?
a tady prostě budu mít takovéto posunuté veličiny právě o tu jedničku, celé ano?
A teď je otázka, co se stane když na tuto funkci
budu se ptát, jaká je její transformace Z?
Tedy toto je otázka.
Když zavedu jednoduchou substituci,
že n-1=m, tak budu mít, že to je f(m),
tady je z- za "n" tam budu mít m+1,
když "n" bylo rovno 0, tak m=-1, tady mám napsáno "m", že ano?
a nekonečno se vůbec nic nestane, protože sčítání přes nekonečno je,
no to je jedno jestli posunu o jedno míň, nebo o jedno víc.
Když to napíšu ještě ve tvaru tak, že tedy tady napíšu f(m) z-(m+1),
tak jsem říkal, že k tomu musím ještě přičíst tu hodnotu -1 a
tady to je prostě z na -0, že?
No a nakonec mám tedy výsledek, který říká, že to je
tedy z na -1 krát suma m=0 do nekonečna f(m) zet na -n-tou + f(-1).
což je jakási počáteční podmínka tohoto případu.
A f(-1), který se transformuje sem do tohoto bodu, tak to je prostě nula.
Takže f(-1), je tady už nula a toto f(-1) je tedy rovno také nule a já skončím u takovéhoto vzorce. Ano?
Čili zobecněním toho vzorečku je to, že tedy pro každé
každé posunutí toho počátku směrem dopředu znamená,
že budete mít zpoždění toho celého systému.
To Z vlastně reprezentuje něco jako jednotková zpoždění,
čili jinými slovy: budete mít výraz, který říká,
že Z- transformace posloupnosti n-m je z na -mtou krát originální transformace té posloupnosti.
V případě opačného směru posouvání počátku
ta situace je následující.
Představte si, že tedy budete mít f(n+1) a budete chtít k ní spočítat příslušnou transformaci Z.
Takže opět budete používat substituci, která říká,
že n+1=m a dostanete, že to je f(m) z na -(m-1).
To je asi viditelné, že?
A tady bude nekonečno a tady bude index "m",
který když "n" bylo=0, tak m=1.
No a pokračujeme dál,
musíme umět sčítat přes m=0 až nekonečno
abychom mohli tam donutit tu posloupnost, že
teda se chová tak jako při Z- transformaci
a když jsme to tam jaksi přidali tak to musíme také odečíst
a odečíst prvek, který je f(0) z na -(0-1) .
Ještě trošku to upravíme, vytkneme Z
tady z této sumy a dostanete f(m) z na -mtou
a tady budete mít -f(0) krát z.
Celé to počítání nakonec skončí tak, že můžete tvrdit,
že to je z krát F(z) - z krát f(0) nebo chcete-li, že to je Z krát (F(z)-f(0)).
Když se zahledíte na tento vzorec,
tak zjistíte, že jeho dalším a dalším opakováním,
to znamená dalším a dalším zpožďováním
dokážete jaksi nalézt, nalézt vztah pro f(n+m)
tedy posunutí o "m" ve směru plus a to takové, že tady
prostě je výsledek z na mtou krát ta původní funkce a teď tady je minus
a jsou tam naskládány takto vlastně počáteční podmínky toho posouvání.
Čili tady najednou se ukazuje,
že ta věta o posunutí
souvisí s diferenčníma rovnicema.
A to následujícím způsobem
teď já tohleto smáznu, tohle snad máte opsáno.
Nemáte?!
Když se tedy zpátky podíváte na tento zápis
a vzpomenete si jak jsem říkal zdůvodnění proč používáme Z transformaci
lze spatřovat prosím v takovémto typu diferenčních rovnic.
My totiž když umíme spočítat U(z) jakožto transformaci
příslušné pravé strany,
čili pokud umíme, pokud známe,
pak předpokládáme, že Y(z) je transformací té mé neznámé posloupnosti.
A taky umím, co že se stane, když ta posloupnost stojí takto v diferenční rovnici,
Tak pak nezbývá nic jiného, než že říci ta diferenční rovnice je lineární,
má takové vlastnosti, že je dokonce s konstantními koeficienty,
takže je časově invariantní, takže na ní celou
takto mohu použít transformaci Z.
To je paráda,to jsou nové fixy, prosím.
Jsem z toho unešen. Že je to dobře vidět, že jo ta červená…
No já jsem chtěl říci, že tedy na obě dvě ty strany rovnice pustím transformaci Z
a protože vím tyhlety veličiny takto celé umím docela chytře zapsat,
umím to napsat tak, že ta příslušná diferenční rovnice přejde
na rovnici typu Z krát Y(z)-Y(0)+ a krát Y(z) = U(z).
Neznámou jak opakuji je prostě ta Y(Z) a to co znám,
tak to musím jaksi, se musí objevit na pravé straně, že jo té algebraické rovnice,
čili mám již algebraickou rovnici
kterou upravuji do takového jednoduchého tvaru, že říkám, tady je Z, že jo?
A nakonec můžu napsat
a tedy co jsme dosáhli je algebraické řešení té příslušné diferenční rovnice.
Prostě umíme neznámou vyjádřit pomocí známých veličin, ano?
A k tomu vlastně slouží všechny věty o posunutí.
Všimněte si jedné důležité věci, že totiž ta věta o posunutí,
když se dobře použije, tak si prostě zase řekne o počáteční podmínku.
A protože tohle byla diferenční rovnice prvního řádu,
tak si prostě řekla o jednu počáteční podmínku.
Když to bude rovnice vyššího řádu no tak tady prostě těch členů bude o jeden víc,
dva víc, tři víc a tak dále...
čili tam bude prostě příslušný počet počátečních podmínek.
Chci tím říci, že takhle jsme si do jisté míry docela dobře zdůvodnili proč,
že vlastně chceme, chceme tu větu o posunutí.
Věta o posunutí nám zjednodušuje,
algebraizuje v podstatě příslušné diferenční rovnice.
Ten druhý důvod, který jsem tady uváděl, zněl,
že tedy chci
využít Z transformace pro zjednodušení konvoluce.
A já jsem vám slíbil, že vám ukážu jak vlastně konvoluce
se do jisté míry dá dobře vysvětlit v diskrétní oblasti.
čili se věnuju tomuto druhému zdůvodnění,
A bude to asi tak, že budu říkat,
budu mluvit o konvoluci
a násobení polynomů.
Když si označím jako polynom Fn(x) takovouto strukturu
a jako polynom třeba Gm(x) ,
aby bylo jasné co tím míním,
když si třeba označím F2(x) tak myslím tím třeba polynom typu 2,
tady třeba napíšu například
2x^2 + 2x + 1 třeba, jo?
A když tohle bude třeba G3(x)
tak tam bude 8x^3 - 4x^2 + 2x + 1 třeba, jo?
A teď když chci tyhlety dva polynomy navzájem vynásobit
jakže se to dělá?
Každý s každým a posčítám, že?
Nic jiného mi nezbývá.
To, že dělám každý s každým
a posčítám. To se dá docela dobře reprezentovat
v následující tabulce.
Když si uděláte tabulku, že tady poběží koeficienty toho polynomu F2
tak tady bude jednou krát
x^0 + 2x^1 + 2x^2 +
pak tam bude ještě prostě 0x^3,0x^4
to už tam prostě není, že ano?
A tady prostě poběží, takhle poběží F,
takhle poběží G
a bude tam 1x^0, 2x^1, -4x^2,8x^3.
To teď, že říkám, že budeme násobit každý s každým,
tak budeme násobit pouze tyto, tyto čísla tyhlety koeficienty.
A v tabulce se nám octne 1*1, 1*2, 1*2, 0, 0 že ano.
Pak tady budu mít 2, 4, 4, 0, 0. Dva krát dvě jsou 4.
Pak tady budu mít -4, -8, -8, 0, 0.
Pak tady budu mít 8, 16, 16, 0, 0.
Tady už je 0x^4 čili tady už prostě bude nula.
A vlastně můžu skončit.
A teď, když to fakticky vynásobím,
tak jak ono to vlastně funguje,
no takhle vynásobím 2*8 je 16x^5
pak tady budu mít -8x^4+4x3^+2x^2
pak tam budu mít
+16x^4 - 8x^3 + 4x^2 + 2x a tak dále, jo?
A pak nechť se nechovám nijak jinak, než že
u stejných koeficientů prostě přiřadím příslušné součty, že ano.
Čili prostě budu tady mít, že 16x^5 výsledek,
pak tady budu mít +8x^4,
pak tady bude nějaký pravděpodobně ještě něco, tady něco zbyde,
to tam nemám a tak dále, ano?
Čili to musím posčítat.
To posčítání není prosím nic jiného než, že
koukání se na celou tuto strukturu podél,
podél vedlejších diagonál, ano.
Například, když budu potřebovat ux^3 tak, co tam bude
tady u x^3 bude 0+4-8 a +8, jo?
Je to vidět.
Prostě jdu podél této vedlejší diagonály.
Tady je x^3, tady je x^2*x^1, to je taky x^3, tady je x^2*x^1 to je taky x^3,
Čili prostě sbírám koeficienty nebo sbírám hodnoty
koeficientů u stejné mocniny.
To jsem udělal.
A dělám to přesně tímto způsobem.
Kdybych to udělal úplně poctivě, tak celé to násobení ,
teď budu dělat celé to násobení povídám.
Neumíte násobit polynomy?
Já jsem tady měl napsáno
že to je na pátou a pak jsem měl napsáno,
že to je 8x^4 + 4x^3 + 2x^2
a pak jsem tady měl napsáno, že to je
16x^4 - 8x^3 + 4x^2 + 2x a říkal jsem
a pak to takhle posčítám, nic jiného jsem nepovídal,
nic jinýho tam nebylo.
A teď říkám, teď říkám jak já se k těm koeficientům dostanu
relativně systematicky.
Prostě budu v té tabulce, kterou mám napsanou,
začnu sčítat, začnu prostě říkat, co bude u výsledného polynomu,
což je nějaký tedy polynom V(x),
co bude u nultého koeficientu,
tedy u x0, bude tam +1, že jo.
Čili tu už tam máme,
u "x" budou tyhlety dvojky,
čili bude tam 2+2 a to je 4x,
u x^2 bude 2+4-4 čili to je prostě +2x^2.
U x^3 bude 0+4-8+8, čili to je 8 a -8 je 0 čili to budou 4x^3.
U x^4 bude 0+0-8+16 to je +8 , čili to jsme odbyli
tyhlety koeficienty podél té diagonály vedlejší no
a nakonec to je prostě tento 16 čili tam je 16x5
a to je prosím výsledek pomocí takovéto tabulky, jo.
Čili násobit polynom není příliš složité, když
si to napíšeme do takovéhoto, takovéto struktury.
A teď si představte, že já tam nebudu psát tyhlety konkrétní čísla,
že tam prostě napíšu tyto hodnoty.
Čili úplně stejnou tabulku, tohle jsem uváděl jenom jako příklad
a teď si to ukážeme, jak to udělat s čísly.
Jak tedy celou tuhletu tabulku…
tady bude běhat F(x) a takhle bude běhat G(x)
a budeme tam psát f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)
a mohli bychom pokračovat.
A podobně tady napíšeme g(0), g(1), g(2), g(3), g(4)
a zase bychom mohli pokračovat
do nějakého "m" nebo "n" respektive, jo?
A teď uděláme onu operaci, kterou umíte,
násobím každý s každým,
čili teď se tady upíšeme do úplného utrápení.
Každý s každým …
a pak g(1)f(0), g(1)f(1), g(1)f(2), g1(f3),g(1)f(4)
teď jsem udělal tedy každý s každým.
A já teď se ptám, že když moje,
můj výsledný polynom bude mít nějaký výsledek v(k) X^k
a k běhá od nuly právě do toho N+M,
to už jsme si tady zapamatovali, že
teda tamten byl druhého stupně,
ten byl třetího stupně a byl to součet,
tak jak že tam budou vypadat ty jednotlivé v(k) z této tabulky?
Řekněme si, že třeba chceme v(4),
to znamená všechny koeficienty, které
se budou vyskytovat u čtvrté mocniny.
Které to budou?
No budou to podél té vedlejší diagonály tyto veličiny.
Bude tam g(0)f(4)+g(1)f(3)+g(2)f(2)+g(3)f(1)+g(4)f(0), je to vidět?
Je to zřejmé, podél vedlejší diagonály je to takovýto součet.
Když se na něj maličko zadíváme,
zkusme to napsat jako nějakou sumu.
Sčítáme přes nějaký index el,
který bude v tom "géčku"
a pak bude postupně snižovat index v tom "f"
od právě hodnoty toho nejvyššího.
Je to vidět?
Jedno klesá, druhé stoupá.
A teď když toto bude ne v(4), ale bude to nějaké strašně velké číslo "k"
u x^k tak jak to bude vypadat?
Tady bude nějaké v(k )
tady budu opět sčítat přes ty "l" do "k" g(l) f(k-l)
a tím jsem velmi blízký něčemu takovému jako je prosím toto,
tím jsem velmi blízký konvoluci
a dá se říci jednoznačně, že koeficienty u násobení nebo při
násobení polynomů jsou vlastně konvolucí těch dílčích koeficientů.
Čili konvoluce a násobení polynomů takto souvisí.
Jen tak mimochodem v Matlabu ne z jednoduchých důvodů
je násobení dvou polynomů označeno jako "konv" jako konvoluce.
To je prosím ten důvod
čili násobit polynomy a
dělat konvoluci v diskrétním světě je v podstatě totéž a jedno.
Akorát, že ta konvoluce se týká koeficientů těch polynomů,
zatímco násobení těch polynomů je v podstatě v téhleté oblasti .
Když bychom to zcela zobecnili,
kdybychom řekli,
kdybychom řekli, že tedy jdeme s tím "N"
nade všechny meze u toho FN(x) a pak ještě za to "x" dosadíme z^-1 ,
tak dostanu, že to je f(n) z^-n a "n" jde do nekonečna od nuly do nekonečna,
prostě ta limita příslušného polynomu je prostě jednoznačně Z transformací těch koeficientů,
ano?
Úplně stejně můžeme říci,
že i ten druhý polynom za podobných okolností je v podstatě Z transformací koeficientů, ano?
A celé toto vede k výsledku, který jsem tady naznačoval,
že pokud máte Y(z) jakožto Z transformaci ,
máte H(z) jakožto Z transformaci a máte U(z) jako příslušnou Z transformaci,
tak konvoluce těch koeficientů je ekvivalentní v součinu.
Čili tam, kde jsme konvolovali koeficienty polynomů bylo jejich násobení,
tak tady je to prosím také tak,
čili když prostě s těmi polynomy jdeme až nadevšechny meze, to znamená, že ty polynomy se změní
v nějaké nekonečné řady,
tak v tom okamžiku, v tom okamžiku prostě jsme schopni říci,
že celý tenhleten proces vede k důkazu, že tedy součin
se zobrazuje jako konvoluce a nebo naopak konvoluce těchto dvou veličin dává,
dává prostě takovýto, takovýto součin,
čili konvoluce dává součin.
Tím se chce říci, že Z transformace
také zjednodušuje vztah mezi vstupem a výstupem
toho lineárního časově invariantního systému v diskrétní oblasti.
My si časem řekneme, že ta H(z) se jmenuje také přenosová funkce
za určitých okolností a že tyto veličiny prostě mají dobrou,
dobrou interpretaci.
K tomu abychom mohli používat příslušnou Z transformaci
se zavádějí také tabulky,
takže si uděláme jakýsi úvod do tabulek, které
prostě si doděláme někdy v budoucí přednášce
a to bude konec dnešního povídání.
Ty tabulky mají opět charakter takový, že tedy zobrazujeme
původní posloupnost a její obraz
a začínáme u úplně té nejjednodušší posloupnosti, kterou máme k dispozici,
to znamená začneme u posloupnosti,
kterou jsme si nazvali jednotkovou, jednotkovým impulsem,
která nevypadá nijak jinak než, že je to tady prostě samý nuly,
v nule je to jednička a pak takto pokračuje to hezky nulama dále.
Když si dosadíme do definice transformace takovouto delta funkci,
co asi dostaneme? Pro všechny n>0, menší než 0 je to nulové,
pouze v n=0 je to jednička, takže to bude prostě Z-0, že
a to není nic jiného než-li, než-li 1.
Takže když budete mít na pravé straně deltu,
tak samozřejmě tady potom se objeví 1, třeba.
Když ta posloupnost, bude právě takovýto jednotkový skok,
tak ta příslušná suma bude součet takovéto řady.
Té řadě se říká jak?
Takovéto řadě?
No tak součet takovéto řady získám jakým způsobem?
když je to mocninná řada, to číslo se nemění tam a je to prostě posloupně mocnina
vyšší a vyšší a sčítám.
No, geometrická posloupnost jste slyšeli slovo,
no, takže to je geometrická, jako součet, součet řady,
který prostě získám pomocí vlastně částečných součtů geometrické posloupnosti.
A umíte tedy sečíst geometrickou posloupnost?
To už je dlouho……
hledám součet, takhle jste to možná viděli, že jo že,
že jo, takhle jste to možná viděli… a co je to, to "q"?
[kvo] kvocient, tak a jak tedy získám,
získám ten částečný součet,
čemu že je roven?
No, je to něco takovéhoto, že jo.
A víte, proč? Víte proč? Mohli byste vědět.
Když tuhletu posloupnost každý člen té posloupnosti
v součtu geometrické posloupnosti vynásobím "q" tak co dostanu
dostanu q+q^2+q^3+q^4+ a tak dál, až to skončí q^(n+1), že.
A teď já neudělám nic jiného, než ty tyto dvě veličiny "q" "Sn" a "Sn" prostě odečtu od sebe,
prostě tohle odečtu od toho prvního řádku a dostanu, že to je
qSn-Sn= a teď tady bude q^(n+1) to se tam zachová
a všechny tyhlety se takto zruší
a zůstane tam akorát ta - 1, že jo.
Tak to namaluju takhle, že jo -1 + q^(n+1).
To je viditelné, no a pak to jenom malinko upravím,
prostě udělám něco takového jakože, že tady to napíšu v tomhletom tvaru
a tohle napíšu, vydělím q-1 a mám výsledek nebo,
nebo to napíšu i v tomto tvaru.
A teď: co se stane, když to "n" velké půjde do nekonečna?
Tak to bude právě ta příslušná řada, že?
A jak bude vypadat součet takovéto řady,
tedy řady, která prostě bude mít nekonečně, nekonečně mnoho.
No měli byste vědět, že součet řady je prostě limita částečných součtů,
to byste možná mohli vědět, že jo.
To není jen tak jako prostě proč se to říká, prostě moc přičítat neumím,
spíš už umím limitit a když umím limitit, tak tedy dělám limitu této veličiny.
A čemu bude rovna limita, takovéto, takovéhoto částečného součtu?
No, týká se to pouze mocniny, mocniny q^n, že jo,
tyhlety veličiny tou limitou nejsou dotčeny, že.
Takže jak to je s tím q^n? Když "q" bude menší než 1 v absolutní hodnotě,
tak ta limita q^n když "n" jde do nekonečna je 0, že.
Čili za předpokladu, že v absolutní hodnotě q<1,
tak vám vyjde 1/1-q a to je prosím součet geometrické řady,
takže tady bude napsáno co?
Co tam bude napsáno?
1/1… není to takhle náhodou? že jo, takže když tady bude jednička,
tedy jednotkový skok, tak příslušný obraz je 1 - z^(-1).
Takže k tomu abychom dokázali pochopit jak se takovéto tabulky plní,
tak potřebujeme znát součet geometrické řady, ano?
Tak jako jsme potřebovali pro Laplasovu transformaci umět integrál prostě s exponencieli,
tak tady potřebujeme toto,
všechno ostatní pak už je to jenom hra o témže
a to jak je to vlastně podobné si ukážeme,
ukážeme nikoliv příště, ale prostě za 14 dnů jestli se nepletu,
protože nám udělali takovou zábavu, že čtvrtého se neuvidíme….