Já vám přeji hezký májový den
zdá se že tedy venku je líp než tady
(a mi nepůjdem ven) mohli bychom ale takovou hospodu nenajdem
takže to né (studenti povídají) - tak velkou
takže minule jsme si začli říkat (říkat)
věci kolem původu transformace Z, jak transformace Z se odvyjí od pojetí
diskretizace spojitého, spojitého procesu, spojitého signálu,
jinými slovy jakým způsobem mi vlastně reprezentujem ty naše procesy
v podstatě v počítači a tak tedy prostě nalézt transformaci která
podobným způsobem jako Laplacova transformace algebraizuje diferenční rovnice
a podobně takto vlastně zjednodušuje vztah mezi vstupem a výstupem
Dneska si povíme o vlastnostech té Z-transformace ještě trošku dál, dokončíme si tabulky, které jsme začli malovat.
a ukážeme si použití transformace Z pro diferenční rovnice a dojdeme i k takovému konceptu
jakým způsobem dělat
jakým způsobem tedy prostě uděláme proces opačný to znamená jak nalezneme inverzní Z-transformaci z roviny
pomocné proměnné Z zpátky do toho našeho světa diskrétních událostí.
Takže dnešní přednáška je věnována Z-transformaci a jejímu použití.
My jsme skončili minulou, nebo před 14 dny přednášku tím, že jsem
začal říkat ano.
Ukáži vám jak vzniká v podstatě tabulka, která se týká našich posloupností a příslušných
obrazů to znamená vztahu mezi posloupností a obrazem pomocí transformace Z.
A začli jsme u toho nejjednoduššího co jsme měli začli, jsme v podstatě u příslušné delty,
která má tu vlastnost, že to je natolik jednoduchý diskrétní signál,
který říká, že tedy prostě pouze v počátku souřadnic je to jednička všude jinde je to prostě nula.
a tady takhle jak tečou n tak prostě je to přes celý svět jinak nulové.
A z principu téměř triviálních jsme dokázali, že i tahleta triviální posloupnost má také velmi jednoduchou transformaci Z.
Je to naprosto jednoduché, tohleto f(n) je jedna jenom v bodě nula
a tím pádem tedy za n dosadím nulu a dostanu že to je tedy právě jednička.
Podobně jsme říkali, že bude zajímavá naše,
náš jednotkový skok, který vypadá tak že tedy od té nuly je to takováto posloupnost jedniček
tady běhá n, tady je počátek n=0.
A říkali jsme si, že to celé vlastně se odvyjí od sčítání geometrické řady
a že nepotřebujeme nic jiného než umět sečíst prostě tedy Z na -n od nuly do nekonečna,
protože tady tu jedničku prostě jako vzásadě nepíšeme.
A ukazoval jsem vám jakým způsobem dospěju k výrazu, že tedy g na n-tou má součet 1/1-g
takže když za to g dosatím Z na -1 tak je to takto, čili ten další vzoreček, který jsme tam měli byl tento.
No a dneska si ukážeme trošku komplikovanější věci jak se vlastně ta tabulka vytváří,
jakým způsobem tedy můžeme operovat s posloupnostmi, které máme k dispozici
tak abychom věděli jaká poslopnost příslupší k jakému obrazu.
Takže první taková trošku komplikovanější věc je ta, že prostě tuto posloupnost
budeme si představovat, že má nějakou geometrickou váhu to znamená,
že tady je nějaké a na nultou, tady je a na 1, tady a na 2, tady a na 3,
a budeme říkat že ta naše posloupnost bude a na n-tou.
Když si dosadíme do naší definice pro f(z) to znamená dosadíme si tedy za f(n)
si dosadíme právě tuhle tu a na n-tou, to znamená že budeme říkat,
že ta posloupnost je právě tato.
Tak je také jasné, že to můžeme psát v tomto tvaru a tohle je tedy to naše nové g jinými slovy
celý ten výraz tedy končí takto.
Jinými slovy už umíme udělat transformaci posloupnosti, která má charakter, že to takto třeba klesá pokud¨
to a je menší než 1.
Velmi důležitým předpokladem tady je prosím to
že jsme si vždycky říkali ano ta geometrická řada konverguje, když toto je menší v absolutní hodnotě než jedna.
Že jo abychom dostali tento výsledek.
co to znamená.
Když to a pokud a je reálné číslo větší než nula tak to neznamená nic jiného než tedy
0<a</Z/ a to Z je obecně komplexní číslo jinými slovy to neznamená nic jiného
než že tady je nějaká kružnice o poloměru právě a, a všude na vnějšku té kružnice
platí tahleta nerovnost čili to Z konverguje tehdy, když v té rovině to je prostě na vnějšku té kružnice,
Ta řada prostě je v pořádku existuje oblast korvengence není problém zaručit takovouto záležitost.
Jestliže umíme si zdůvodnit proč platí toto tak také už jsme téměř na dalším takovém to kroku dalším,
kdybychom si řekli ano já mohu se ptát co to udělá, když ta posloupnost bude posloupnost tohoto typu.
Nebo bude posloupnost tohoto typu, aby bylo jasné co to asi znamená
tak ta cosínova by mohla vypadat nějakým takovým to způsobem.
Tady má v podstatě obalovou nějakou křivku, která přísluší a na n-tou, že jo.
A pak je tam vložena posloupnost, která prostě se podobá třeba cosínu.
Jo je to takováto alternující posloupnost, takhle by mohl vypadat a na n.-tou cosínus n-théta.
Podobně by vypadala ta sínusovka akorát s tím rozdílem, že tady by pravděpodobně měla takovouto
nulovou hodnotu respektive pro n=0, je to určitě nula a byla by to posloupnost, která zase sleduje
nějakou takovouto a na n-tou křivku a v zásadě by vypadala třeba takovým to způsobem.
Jo, tadyhle ještě pravděpodobně, by ještě bylo třeba nula.
A naše otázka zní?
Co s tím?
co když tadyhle prostě dosadím nejdeme tomu a na n-tou cosínus n-théta a budu
hledat příslušnou Z-transformaci.
Co s tím vším?
Tak nějaký život!!!
No zase pana Eulera použijem né.
Pravděpodobně použijeme, že cosínus n-théta je 1/2(e na i-théta + e na -i-théta).
A sinus je 1/2(e na i-théta - e na -i-théta).
To je prosím Euler.
No když použiji tyto vztahy tak pak už jenom říkám ano moje Z-transformace má tu vlastnost
že je lineární, to znamená že nějaké konstanty můžu celkem bez potíží z té transformace vyjmout.
a napíšu prostě ten cosínus tak že a na n ... a protože je také lineární tak celou tu transformaci takhle roztrhám.
Jo, prostě jsem tam dosadil, eulerovy vztahy a prostě transformovat cosínus je jako transformovat odděleně exponenciely
protože to je lineární transformace.
No a pak už je to jen takové povídání o témže, napíšu že to je 1/2....z výrazu + ....
no a je jasné že zas je to geometrická řada a s úspěchem použiji již to co umím a napíšu že to je 1- ...
no a protože mám ve jmenovateli komplexní čísla, musím s tím něco udělat tak abych měl tedy alspoň jmenovatele reálný
ale ono stačí když to jen vynásobím, protože je vydět že tento jmenovatel je komplexně sdužený k tomuto,
protože tady je z i uděláno -i, čili jinými slovy ta úprava je v podstatě jenom, že je vedena na společného jmenovatele.
čili vynásobím 1-a na e .....
Takže na konec to skončí celkem srozumitelně, tak že tady bude 1 ....
A to je prosím výsledek ke kterému jsme chtěli dojít.
Čili tady doplňujeme tabulku dále tím že říkám a na n-tou cos n théta má obraz 1-az na -1 cos theta/1-2az-1 cos theta .....
Je vám to jasné?
Pokud nevíte zkuste tedy stejný proces s tím sínusem, zkuste sami.
Tak co se změní?
Kdo to ví?
Tady bude mínus a tady bude i, že jo?.
takže to další počítání je schodné jenom s tímto drobným rozdílem.
Takže uvedení na společného jmenovatele je podobná hra.
no a v čitateli tam bude rozdíl s tím že bude .....vzorec.
a dostanu že a*z......
Takže když tu tabulku začneme takto kompletovat, budeme zde mít sínus théta .....
Jeden typ tedy transformací posloupností, kterých jsme tu měli namalované,
prostě vede k tomu že jenom více používáme součet geometrické řady.
Ta řada pokud konverguje tak má i takové dobré vlastnosti, jako že ji mohu derivovat
že s ní mohu dělat spoustu dalších operací.
A jedna z těch operací je taková, že prostě si vemu tu funkci, která vznikne v případě
sčítání tohoto typu, které vede k 1/... a řeknu si, proto se může ta řada konvergovat, prostě
celkem bez potíží můžu derivovat levou i pravou stranu.
Když to zderivuju na levé straně podle z tak je to suma ...
když to malinko upravím tak mohu psát, že to je suma ....
mám posloupnost, ktará vypadá asi nějak takto, prostě jedna bude lineární část a druhá bude ta tlumená část
a bude to vypadat asi takovým to způsobem, to je taková typická posloupnost, takhle naběhne a pak to zase začně padat.
Skrátka jakákoliv mocnina toho n se tam dostane takovouto derivací.
A tu derivaci samozřejmě mohu provést i na té straně druhé, kde to tedy bude docela zábavné, protože to tam bude mínus ....
tím jsem zderivoval toho jmenovatele a ještě tu vnitřní funkci takže tam bude -a.....
Takže dostanu že to je -z.....
a pak dostanu, že ta samotná posloupnost se transformuje tak, že tady bude a z na -1 ....
Já se vá pokusím teď ukázat jak se takováto tabulka chová.
Takže když se to schrne,
(opakuje, vysvětluje, studenti se ptali)
Tady je namalováno, to a mě někde chybí :-D. Jo je to dobře.
Podstatné je pokud této rovnici položíte a = 1 tak dostanete třeba transformaci posloupnosti n.
Jo, to znamená lineární posloupnost, rostoucí lineárně prostě s časem.
Pokud by jste chtěli udělat n na 2, tak to je jako dvakrát derivování a ještě to je posunutí, dostanete takovouto veličinu.
v těch tabulkách které se běžně vyskytují v učebnicích o laplacovy a z-transformaci, tak těch tabulek jsou
několik stránek, vždycky.
Já se vám tady snažím ukázat,že to není žádný zázrak odkud se berou ty vzorečky, ale
postatné je pokud vnímáte prostě že ten vztah je spočitatelný, že prostě je dokonce ve vašich schopnostech
to počítat tak skrátka a dobře tyhle ty 2 stránky vám ukazuji.
Tady jsou ještě stránky další, které se týkají třeba hyperbolických funkcí.
Případně se týkají dalších speciálních funkcí, které se nazývají třeba čebišovy polynomy.
Je to ze stejného prosím soudku.
Pokud neumíte hyperbolické funkce, tak veřte, že stačí že v těch trigonometrických dosadíte za
théta I, Fí, a dostanete toho vhodného cosínusu onen cosínus hyperbolický.Jo
A z toho sínu zase dostanete sínus hyperbolický.
Čili to jsou veličiny, které jsou kamarády formálně s těmito vzorečky.
a vzorečky tohoto typu se vyskytují prostě v tabulkách a běžně také je používáme v podstatě, když hledáme
onu zpětnou transformaci.
Když hledáme tedy od nějakého obrazu ke kterému dojdeme z nějakého důvodu,
jak se vrátit zpátky to toho původního světa našich posloupností to znamená
posloupností které nám vlastně definovali ten problém.
Takže pokud si chcete něco z tohoto opsat tak můžete, tak si to opište, já budu za chvilinku pokračovat dál.
V další části si povíme, jak používat transformaci Z na diferenční rovnice a její použití.
Když jsme si uváděli v podstatě nejjednoduší systém tak jsme si malovali variaci ceny.
A já jsem tehdy dospěl k rovnici která vypadala nějakým takovým to způsobem.
Tohodle toho typu.
říkal jsem že to je diferenční rovnice, zkoušeli jsme si ji řešit takže jsme si ji iterovali, takže jsme ji prostě
numericky zkoušeli krok po kroku a říkali jsme že odhadneme výsledek a možná že by to mohlo být dobře ten výsledek.
Teď jsme v situaci kdy umíme nářadí na diskrétní systémy tedy i na použití diferenční rovnice,
které musí mít určité vlastnosti.
Za 1. ta rovnice musí být lineární.
a ta rovnice je lineární protože tady se y(n) to známá ta neznámá ta cena nevyskytuje v žádným
součinu, pod odmocninou, žádné jiné funkci než sama o sobě.
Takže lineární je.
Tedy míněno vzhledem k neznámé. Ta neznámá posloupnost tam není v nějakém jiné vztahu.
Za 2. ta rovnice je s konstantními koeficienty.
tohle je konstanta, tady je jednička, tady je nějaké a, na pravé straně je pravděpodobně definovaná funkce
která může mít v sobě i nějakou konstantu.
není to rovnice s proměnnými koeficienty, to znamená že ty koeficienty sami o sobě nejsou závislé na tom časovém ukazovátku.
Pokud by byly tak ta rovnice jenom občas lze rešit pomocí transformací Z. Né vždycky to vede ke správnému cíli.
Jakmile jsou s konstantními koeficienty to znamená že to je systém, který je stacionární
a v tomto okamžiku prostě můžeme říct, že můžeme použít příslušnou transformaci Z.
A tu diferenční rovnici.
a teď tady máme pár takových, jakých si dodatečních podmínek.
Například si třeba řekneme, že y(n) = 0 pro všechny záporné n.
Jinými slovy je to posloupnost která zažíná až v nějaké nule a pak teprv bude pokračovat.
dál si můžeme říci, že třeba u(n)=1 (může být i s konstantou), je to tedy jednotkový skok.
A potom mohu celkem bez potíží psát že obraz toho U(z) v daným okamžiku což je tedy té jedničky
je Z na -n ........
A ono posunuté Y vzhledem pouze k této vlastnosti je pouze Z y(Z) ....
To jsme si ukazovali když posouváme posloupnosti.
No a když tam tedy dosadím tyto srozumitelné vlastnosti tak zjistím že tedy mohu psát tu rovnici ve tvaru Y(z)...
Nebo chceteli Y(z)...
Ještě jinak jsme schopni vyřešit tu rovnici vzhledem k tomu Y(z)
a napsat že to řešení je takováto funkce v proměnné Z.
Ta funkce je prosím toto řešení té algebraické rovnice.
Dostali jsme algebraickou rovnici a tu dokážeme vyřešit.
a teď bychom potřebovali odtud nalézt zpátky to y(n), protože platí toto, že jo.
Potřebuju tedy nalézt zpětnou transformaci k tomuto výrazu.
Když si vzpomenete, že jsme si říkali, že tedy suma z ...
a pak jsme si také říkali že a na n-tou je ....
tak je jasný, že tady něco takového v tom jmenovateli máme, že jo.
A to je ten hlavní důvod proč jsme schopni toho co jsme si říkali kolem
tabulek, proč jsme schopni dovodit scela obecnou vlastnost, že jsou ztrašně důležité
tyto kořenové činitelé ve jmenovateli příslušné funkce Y(z).
A díky tomu jsme schopni napsat to Y(z) ve tvaru .....
Tomuto tvaru se říká rozklad na parciální zlomky.
a protože jsme schopni to napsat tak musíme být ještě schopni nalézt ty příslušné k1 a k2,
kterým se v teorii komplexní proměnné říká rizidua
a nalezení těch k1 a k2 vlastně vede k celému řešení.
Hledání k1 a k2 je takový proces, který trošku, se pokusím říct v té obecnosti, protože si myslím
pokud se to dělá
na těch v tom obecném tvaru tak je to lepší k vnímání.
Prostě tento vztah říká že jsem rozložil takovouto funkci.
a já ten rozklad se snažím nalézt to k1 nějakou chytrou operací,
která říká že když vynásobím obě dvě strany rovnice jedna krát Z na -1
jinými slovy že jsem udělal výraz, že vemu Y(z) a vynásobím to jedním z těch členů to rozkládaného tvaru
a potom řeknu, že to Z běží k jedné, tato veličina se anuluje,tak dostávám, že tady se to takto zruší
toto vypadne, protože to je nulové a tady se to takto zruší.
Jinými slovy já nedělám nic jiného nežli limitu Z jde k jedné z výrazu ....
Vydíte ten postup, je vám to srozumitelné!
Já jsem to nejdříve vynásobil tak aby se jeden z těch jmenovatelů zkrátil a osamostatní se mi tam to k1.
Kdežto toto utrhne do nuly,prostě,anuluje. A na té pravě straně, protože umím ten rozklad
na ty kořenové činitelé tak se prostě ten jeden koř.činitel zkrátí a to celé vede ktomu že umím nalézt k1.
Když bych dělal k2, tak se chovám podobně, tak k2 ....
a tady napíšu čím to budu násobit,
a vynásobím to tedy na obou stranách 1+a ....
a zase donutím to z jít k hodnotě která anuluje tento výraz, pokud bude z-a tak tato veličina a* ...
a toto je prostě celé nula.
čili jinými slovy tento výraz se takto zruší, tady se zkrátí čitatel proti jmenovateli
tady taky a dostanu limitu .... takže nakonec dostávám že to je a/1+a.
A protože toto už umím tak jsem skoro hotov.
A kdo vnímá jak dělám příslušná rizidua tak věřte že takto a né jinak je dělejte i do budoucna.
Pomocí limit.!
Ono se to samozřejmě dá dělat tak jako že se jaksi porovnají koeficienty, ale jakmile začnete mít
polynomy vyššího stupně než druhého (ukazuje 3) tak jste algebraicky v koncích tak to dopadne úplně špatně.
Takže žádný jaksi porovnávání koeficientů polynomů, které prostě takto vynásobíte, to prosím nedělejte
to nevede k cíly, v případě už třetího stupně, nebo to rezpektive může vést k velmi složitým počtům už u 3 stupně.
Pouze tenhle limitní proces je naprosto korektní a vůbec nic se tam nestane.
Pouze počítáte limity. Nic víc.
(Dotaz studentky)-opakuje.
Ještě nějaký dotaz, prosím?
Tak když tento rozklad tedy umíme tak ho napíšeme tedy ve tvaru
tu funkci jedna + a to je k1, tady bude mít 1-z ....
a když toto takto mám tak je jasné, protože platí tyto 2 vzorečky, že
zpětná transformace Z ktomu Y(z) je postupně zpětnou transformací z tohoto výrazu 1/1+a ...
no a protože i ta zpětná Z - transformace je lineární, tak píšu že to je tedy příslušné y(n)....
Teď tady za tuto veličinu bude jednička a tady bude a krát....
a to je prosím pro n>0 to platí takto.
A pokud chcete dá se to ještě upravit na jakoby velmi vzhledný tvar
že řešení této rovnice je y(z) .....
je pro n > 0 ..... to je jenom drobná úprava aby to vypadalo vzhledně.
Takto jsme si ukázali jak se vlastně k tomu řešení jak jsem říkal ano ono to takto dopadne.
Ono to má nějakou vzhlednou cenu, když jsem na maloval ten diagram.
Tak tato rovnovážná cena je 1/1+a, to je daný že to a<1 tak ten trh je stabilní
a ta cena skutečně skončí na nějaké rovnovážné hodnotě.
Celé toto povídání mělo za účel ukázat že tedy lze velmi úspěšně a stardantním způsobem
používat transformaci Z na řešení dif. rovnic.
My si ještě ukážeme několik dif. rovnic v budoucnosti nic mémě teď bych byl rád kdybychom
trošku pokročili dál, aby tento formalizmus zpětné transformace dostal trošku jako standartní rámec.
Takže doposut jsme vyděli,že zase celý to naše počítání pokud se vůbec začneme bavit o lineárních systémech
zkončí tak, že bude mít jako výsledek té algebry, vztah mezi obrazem té neznéme, budeme mít polynom ku
polynomu k proměnné Z.
Je to úplně stejný výsledek jako v lineárních systémech spojitých,
tady akorát ta proměnná je z na -1.
Podstatné je že říkáme že ta racionální lomená funkce má nějaké nulové body
a že má nějaké póly a to jsou místa kde tento polynom je nulový respektive kde tento polynom je nulový.
ano,čili nuly jsou jasný,póly jsou tedy body ve kterých se anuluje jmenovatel tím pádem to všechno frčí někam do nekonečna.
Při té Z-transformaci samozřejmě velmi kritické může být počítání těchto
algebraických kořenů nějakého polynomu.
to je naprosto jasné.
říkali jsme si to už i laplacovy transformace hledání nulových bodů polynomů
3,4 stupně ještě jde jaksi v algebraické podobě od pátého stupně je to úloha neřešitelná.
Pomocí standartní algebry.
chci říci tolik že hledání v podstatě těchto kořenů polynomu ve jmenovateli té racionální lomené funkce
může být docela obtížná záležitost a to je prosím jediná obtíž v transformaci Z pokud
nepoužíváte nějaký numerický nářadí jako je například Matlab, kterým se kořeny polynomu se dají
dohledat celkem velmi snadno.
A jakmile máte tedy identifikovanou racionální lomenou funkci a umíte nalézt
póly té přenosové funkce, respetive té příslušné y funkce tak v zápětí jste chopni udělat rozklad
na kořenové činitelé a z rozkladu na kořenové čitinitele jste schopni dohledat rozklad na parciální zlomky.
to je prosím onen postup.
či pokud má ta funkce jednoduché póly tak lze nalézt tento jednoznačný rozklad polynomu
ve jmenovateli, prosím důsledně tady dodržuji tento formalizmus z toho prostého důvodu
že je prostě blízký tomu původu z-transformace.
a je jasné že když toto Z se blíží k nějakému Z nekonečno jedna tak tento výraz dává
právě jedničku a tento kořenový činitel se anuluje, takže to je jedno v jakém tvaru to píšu
ty kořenové činitelé.
čili já chci říci že takto důsledně když to napíšete tak vzásadě umíte nalézt rozklad na parciální zlomky
kde tyto veličiny k1 až kn se nazývají rizidua. A počítají se prostě algoritmem, který
jsem vám tady ukázal který vám za chvilku promítnu až si toto opíšete.
a to bude v podstatě finále tohoto dnešního našeho povídání.
Opakuje. Vyjádření k2.
Celý proces je takový že hledáte takovouto limitu, doporučuju to počítat s originálu té limity.
toto jsou jako formálně vztahy, který vedou k tomu že také můžete používat derivaci ale
myslím si že když opravdu počítáte tak méně se nadělá chyb v limitách než v derivacích.
A pokud umíte zpočítat všechna ta rezidua tak díky tomu že platí tato jenoduchá identita
můžete všechny ty parciální zlomky pomocí této identity
vrátit zpátky do roviny času diskrétního a tím pádem z liearity trans. Z
můžete napsat že tedy zpětná transf. ke každému z těchto členů je dána k...
Neni to o integrací je to prostě algebraický proces.
Jediné kritické místo je prosím umět všechny ty póly.
To může být někdy drobný problém.
Schrnutí přednášky.Víme jakým způsobem se tvoří tabulky, které
vztahují vzory a obrazy v transformaci Z
máme dobré důvody proč si myslíme že tedy zpětná transformace Z
je vlastně také založena na součtu geometrické řady a z těchto údajů, to znamená ze součtu geometrické
řady v podstatě konstruujeme zpětnou transformaci pro racionální lomenou funkci.
a to tak že ji rozložíme na parciální zlomky a v těch idntifikujem vlastně jednotlivé členy té transformace geometrické posloupnosti.
Tím pádem dokážeme tu zpětnou transformaci vypočítat.
a to si myslím že to je podstata této věci a pokud tomuto rozumíte proč takovouto věc děláme
tak vnímáte Z-trans. jako nářadí,jako prostředek k řešení diferenčních rovnic o které se pravděpodobně budeme zminovat v příští přednášce.
Takže vám přeji hezký den.
Nashledanou.