Takže dobrý den, dneska se musíte spokojit se mnou místo pana Vlčka.
Tak snad to nebude takový velký problém a budeme dneska spolu cvičit nějaké příklady na Z-transformaci.
Zkusíme si jak se obecně takový příklad řeší, převedeme si nějakou obecnou soustavu do Z prostoru
tam ho vyřešíme a vrátíme se na zpátek do toho prostoru enek.
dál budeme, zkusíme 2 příklady a ukážem si něco na posloupnosti abychom prostě to (tak) :-D
Vy jste minule zkončili tzv. tabulkou nebo slovníkem
tzv tabulka Z transformace.
A začali jste si uvádět, že pro některý převody do a z toho Z prostoru
je výhodnější použít tzv. vzory a jejich obrazy.
Protože je zbytečný to pokaždé počítat, protože je to pořád stejný
tak na to existuje tabulka
těch tabulek existuje mnoho mají spoustu položek,
zkusíme si tady, jak se některý odvozujou,
zkusíme si první 2 až 3 odvodit a zbytek si jenom uvedeme.
Vy jste začali s tím, že jste přemýšleli,
jak vypadá taková delta funkce - jednotkový impuls a jeho obraz.
Takže, když vyjdeme z toho, že Z-transformace nějaký obecný funkce f(n)
je rovna sumě, která jde od nuly do nekonečna.
Jedná se teda o jednostranou transformaci
(není to od mínus nekonečna, je to od nuly)
z té naší funkce f(n) krát z na mínus n-tou.
To z je imaginární číslo,
obecně v podstatě nám to umožňuje tu funkci převézt
do jakéhosi Z-prostoru
Je tu takhle z na minus n-tou
to proto aby v podstatě ta transformace byla schopna
utlumit nějakou slušně vychovanou funkci, která je rostoucí.
To znamená je nějakého polynomálního růstu,
utlumit k nule v tom nekonečnu,
Jo, takže pro slušně fungující funkce jde udělat tahle transformace.
Tak.
Delta impuls to je něco, co jsou samý nuly.
A v nule je to jednička a pak to jsou zase samé nuly.
Takže pokud by jsme to dosadili do tohodle vzorečku,
tak by jsme dostali, že to je suma pro m jdoucí od nuly do nekonečna,
z tý naší delta(n) krát zet na minus m-tou,
což když rozepíšeme,
tak v nule je to jendička krát z na minus nultou
plus 0 krát z na -1 plus 0 krát na -2 druhou atd ... až do (zafunění)
protože tady v tomhle oboru je ta funkce vždycky jenom nulová
tak celý tohleto dozadu bude nula
zet na nultou je jedna, takže v podstatě obraz v rovině z
pro vzor delta(n) se rovná jedničce.
dav: Můžu se zeptat? Určitě.
dav: Proč je tam to emko? Proč tam není enko?
To je jedno, jo jojojo. No tak takhle, no, nebo enka.
Anebo naopak, omlouvám se, to jsem se přepsal.
Enko by tam spíš bylo, no jestli jste psali emko tak piště emko.
Zkusme teď nějakou obecnou posloupnost,
nějakou posloupnost f(n), kterou si vymyslím takovouhle:
1, a, a na druhou, a na 3, a na 4 a tak dál
Tak, takže pokud budeme mít nějakou takovoudle posloupnost
a dáme ji do tý naší sumy.
Tak, takže to f(n), když je takovádle posloupnost,
by asi šla přepsat na něco takovýho jako a na n-tou, ne?
Jo? Když tady to je nula, a .. tak to je a na n-tou
Takže to je něco takovýho jako
suma pro n od nuly do nekonečna z a na n-tou krát zet na minus n-tou
což můžu jenom z estetického důvodu přepsat takhle
a lomeno zet na entou, to celé na entou.
Tak, co s tím?
Součet řady, shodou okolností geometrické řady, ten umíme, ne? (mručení z davu)
Docela jo, takže je?
když tohle bude nějaký kvocient q
Co se dozvím?
dav: 1/(1-a/z)
což je ten součet teda,
což je zrovna ta naše Z(n),
tak ja to napíšu takhle za to to se rovná 1/(1-a/z)
Tak, velmi často se to píše takhle ... tak.
Takže tímhle tím máme další tabulkovou hodnotu pro a na n-tou
pro vzor a na n-tou je obraz v rovině z ...
někdy by jste mohli vidět z/(z-a)
jo to jenom vynásobený tím zetkem.
Tak takže to je odvození a na n-tou. Tak.
Speciální případ je, když to n bude 1 a to znamená na první, n=0,
takže pro n=0 bude a na n-tou posloupnost samých jedniček,
což je mimo jiné i ten náš známý jednotkový skok,
snap (asi nějkaký anglický termín ?????????????????)
Takže pokud to tam dosadím, dostanu i obraz pro jednotkový skok.
Což budu potřebovat, když budu zjišťovat přechodovou odezvu.
ten jednotkový skok je jenom speciální případ, ten jste si odvozovali.
Tak nějaký dotaz k tomuto? (překvapivě žádný)
Tak ta tabulka má další pokračování
a to zhruba v následující podobě:
Takže my jsme si tady uvedli odvození těch prvních třech členů,
další už odvozovat nebudu, nepovažuju to za prospěšný.
Tuhle tabulku by jste měli mít asi i ke zkoušce,
najdete ji jak ve skriptech tak i na našich stránkách fakulty.
Jsou tam další vzory a další obrazy pro Z-transformaci.
Takže namátkou, pokud máme jenom jednoduchou posloupnost n
tak je to ... (hledej n v tabulce, je to tam)
z davu: Můžeme mít ke zkoušce kromě tý tabulky i vlastnosti tý transofmace, ty pravidla?
Pravidla ke zkoušce zní, že můžete mít cokoliv, co máte sami psaný. Jako poznámky.
dav: I na tu písmeku teďka?
Na písemku na cvičení aha. Tu tabulku můžete mít určitě a zbytek se koukněte na web.
Tak tohle je zhruba to, co pořebujete, aby jste mohli uspěšně počítat se Z-transofmací
a další věc, kterou si napíšu sem, protože ji budeme v průběhu dneska potřebovat
je věta o posunutí.
Větu o posunutí jste si tady taky ukazovali,
takže pokud mě zajímá, že chci spočítat Z-transformaci z nějaké funkce f(n+m),
Tak a tohle mi řeknete z minulý přednášky, že jo.
A nebo začnem f(n-m), jo? Tak.
Překážím, zkusím to odsuď.
Tak věta o posunutí v Z-transformaci, jako to bude?
Minule jste si to říkali, takže víte, nemusíte tady mlčet.
To je skromnosti. No vidíte ...
(páčí to z publika a opravuje zet na minus em)
něco jako počáteční podmínky?
Plus takováhle nějaká suma,která půjde od jedničky do toho em,
suma z funkce f(-v)krát zet vé.
Takže tohleto je věta o posunutí vlevo, se záporným znamínkem.
Je to zet na minus emtou o kolik kroků (ukazuje na -m) se posunu, o tolik mám na začátku to zpoždění (ukazuje na Z na -m),
to zetko je jakýsi zpoždění.
pak je tam La Placeův obraz té původní funkce
a pak od 1 do m, tolik kolikrát se posouvám, tolik tam mám počátečních podmínek,
a každou z nich vynásobenou jinou mocninou toho zet.
Samozřejmě, to posunutí musí odpovídat těm podmínkám,
protože pokud mám něco, nějakou řadu a já ji posouvám tímhle směrem,
a tohle posunu až dozádu, tak prostě potřebuju vědět ty hodnoty, který tam byly. Bez toho bych to nemohl spočítat.
Takže pokud se šoupu, tak musím znát ty počáteční podmínky. Tak.
Jak to bude s posuntím vpravo, když tam bud mít (n+m)? Nějaký nápad?
Analogicky. Takže tady bude Z na +m, správně, posouvá se na druhou stranu, f(z) mi zůstane,tady bude mínus, počáteční podmínky budu odčítat,
ta suma bude s kladným v a to zpoždění se záporným, a ta suma nepujde od 1 ale od 0 do m-1.
Takže to jsou dvě věty o posunutí a v podstatě jsou to dva stěžejní vzorce, který potřebujete pro výpočet,
který se týká La Placeovy transformace a Z-transformace a rovnic.
Nějaký dotaz k tomu, co jsem říkal doposud?
Zkusme si teď načtnout řešení difereční rovnice nějakého druhého řádu obecný rovnice ... (píše zmateně příšerné zadání)
Tak začněme tím prvním členem.
Ta rovnice je lineární, La Placeova transformace je též lineární, takže můžeme této linearity využít.
Jednak tu konstantu a dáme dopředu a jednak obrazy, ty jednotlivý, po provedení Z-transformace budeme také sčítak tak jako v tý původí rovnici.
Takže si řeknu, že by mě zajímalo, jaký je obraz Z(y(n-2))
A ještě pro úplnost sem přidám počáteční podmínky, řeknu že jsou nulový.
Takže mi to zkuste nadiktovat.
(čeká a pak postupně píše)
dav: počáteční podmínka
Tak co?
Ja ji tam napíšu zatím obecně.
Zkusme ji tam napsat pro pořádek, ať na ni nezapomenem, protože se na to rádo zapomíná.
Takže já bych ten vzorec dopsal a tu sumu rozepsal.
Co takhle?
je to dobře? Jo, je to dobře.
Já jsem to tím zetkem zrovna roznásobil, ty členy posloupnosti, ale zhruba takhle nějak by to mělo vypadat.
Z(y(n-1)) bude podstatně jednodušší, takže to bude?
Všechno?
Jo? Tamto se roznasobením zruší. Z-transformace Y(z) je jasná, takže přepíšu.
Úplně stejně to bude pro ty účka, takže tu rovnici můžu přepsat,
takže můžu napsat, že
Takže jsem jenom dosadil, aplikoval jsem linearitu a aplikoval jsem větu o posunutí.
Vím, že ty počáteční podmínky jsou nulový, takže tam kde jsou, tak se nám to vynuluje.
Což je tady, tady, tady, tady a tady.
Takže, když to přepíšeme, tak na levé straně vyjádříme Y(z),
což se rovná ...
a to se rovná
tady vytknu U(z)
a dostanu ...
z toho můžu napsat, že moje hledaný Y(z)se rovná.....
Jsem ve stavu, kdy jsem si vyjádřil v Z-prostoru,
jak vypadá ta moje funkce Y(z), a já ji chci zpětně převést nazpátek,
pomocí tzv. inverzní Z-transformace (zet na mínus první).
To můžu udělat integrací pomocí křivky, která prochází nějakými póly a takový, v našem případě my budeme ty převody řešit
pomocí tabulky a pomocí rozkladu na parciální zlomky téhleté funkce,
vypočítáním koeficientů a nalezením příslušných obrazů,
k nim pak dané vzory nazpátek v tý naší běžný rovině.
Takže, tady uděláme rozklad. Řekneme, že chceme aby dole byl součin a ten součin bude vypadat ...
... ( používá pomocné z1 a z2)
Ten čitatel tam zůstane a píše ho.
Spočítáme z1 a z2 (a píše z1,2=), ty budou jak?
(čeká a pak doplňuje kořeny kvadratické rovnice podle diktátu studentky)
Tak, jednoduchá věc, já jsem zkoušel jestli ještě nespíte.
Takže spočítám klasicky, buď to odhadnu nebo pokud to nejde odhadnout, spočítám kořeny, tak zvané póly.
Vy se v dalších přednáškách dozvíte jaký vliv a jaký význam to má co se týče stability toho systému a jak to souvisí s přenosovou funkcí.
Takže spočítám tyhle kořeny, dosadím je sem zpětně
a snažím se tenhleten velkej zlomek roztrhnout na dva, kde nahoře je nějakej koeficient k1 + k2 a ve jmenovateli je ...
Mám řešit tuhle rovnici a mám zjistit kolik jsou ty k1 a k2.
Takže buď přes limity nebo můžu roznásobit součinem těhle těch dvou závorek celou tuhletu rovnici,
to znamená, že (cituje vzorec, snad bude vidět později )
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin toho zetka dostanu soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v tomto konkrétním případě,
a z ní lehce spočítám to k1 a k2.
Dosadím nazpátek to k1 a k2, no a když na to podíváte, tak tohle to je v podstatě přesně obraz pro a na n-tou.
To znamena ta zpětná Z-transformace z tohodle mého Y(z) bude rovna
k1 krát (áčko je tady tohle z1) z1 na n-tou + k2 krát z2 na n-tou.
Jak spočítáte to z1 a z2 to jste mi tady řekli a jak spočítáte to k1 a k2 je jasny, jo?
A tohle by byl výsledek jakési obecné rovnice, v tomhle případě druhého řádu.
Takže nezapomenout na ty jednotlivé kroky, to znamená
převod do Z-prostoru, převedení na společného jmenovatele, rozklad na parciální zlomky,
dopočítání těch koeficientů a převod nazpátek.
Nějaký dotaz k tomuhle?
Zkusme nějaký konkrétnější příklad i s nějakým trošku úvodem.
Takže dejme tomu, že
Pan Fibonacci si vymyslel takzvaný zjednodušený model růstu populace králíků.
Já tady použiju takové znamení, kdy plným kolečkem budu značit dospělý pár králíků,
prázdným kolečkem pak nedospělý pár.
nedospělý pár dospěje za rok, ale není schopen zplodit dalšího jedince, kdežto dospělý ano.
Na začátku mám v prvním roce jednen takovýdle pár, v druhém roce mi ten pár dospěje,
ve třetím roce mi tenhle pár zůstane a zplodí jednoho nového jedince.
ve 4 roce zplodí dalšího a tenhleten dospěje
v 5 roce tenhleten dospěje, tenhle pár zplodí novýho jedince,
tenhleten taky zplodí novýho jedince nebo nový pár
tak tenhle už je v 6 roce nový pár, dospěje,
a takhle můžeme pokračovat.
Když se koukneme, kolik máme ty populace, tak tady máme 1, 1, 2, 3, 5, 8 co bude další číslo?
13, 21, 34, 55
Tak, my jsme dospěli k nějaký posloupnosti, dospěli jsme k hodně známé tzv. Fibonacciho posloupnosti
To je taková posloupnost, u které prvek posloupnosti se rovná součtu přechozích dvou.
Teď vám ukážu pana Leonarda z Pisy neboli pana Fibonacciho, ktery tuhle posloupnost vymyslel
a předvedl tenhle zjednodušený model růstu populace králíků.
Zjednodšený proto, že ty králíci nám nehynou a neumírájí.
Zajímavý je, že touhle posloupností se v přírodě řídí daleko víc věcí, a tahle posloupnost vede na tzv. fí číslo, protože
když vezmete libovolný dvě čísla tý posloupnosti, jak jdou za sebou,
a podělíte je mezi sebou dostanete číslo fí.
Samozřejmě, že pro tyhle malý čísla to není úplně přesný,
čím jdete dál a jste ve větších, tím víc a víc se blížíte tomu číslu fí,
což je nějaký 1.61 atd,
mimo jíné je to taky číslo, který souvisí se Zlatým Řezem.
To jest, pokud si vezmeme nějakou libovolnou úsečku ab já chci ji rozdělit,
aby (a+b)/a mělo stejný poměr jako a/b, takže hledám, kde to říznout,
aby mi tohle platilo, tedy hledám, kde součet těch dvou částí byl ve stejným poměru jako první část ke druhé.
Tak to když si napíšu a rozepíšu, dostanu se k rovnici ...
což je klasická kvadratická rovnice, kterou by jste měli umět lehce vyřešit,
i když vám to předtím chvíli trvalo, než jste mi ty kořeny řekli.
Takže z toho spočítám kořeny a vyjde mi p12= ... a ten kladný kořen (ten s tím s plusem) tako je to to velký Fí neboli Zlatý Řez
čili to číslo 1.61 a tak dál. (1.61803398874989 ...)
Ten záporný se někdy označuje malý fí a má taky význam, ale ne takový jako to velké.
Zajímavý je, že ve světě, v našem světě, je těhletěch Zlatých Řezů
nebo v podstatě tohoto poměru relativně hodně.
Projevuje se od pyramid nebo od dávnověku,
třeba Pantheon v Athénách, když na to kouknete,
tak tadyhle ta spodní hran vůči celé výšce je taky v tom poměru,
Tadyhle jsou nějaký další.
Hodně ze světa živočichů a rostlin. Zase to trošku souvisí s tím růstem,
tak jako vidíte jak to roste, že na ty dvoujnásobky a součty těch předchozích dvou,
že najdete, že ty úhly odpovídají číslu Fí,
lístečky v šišce, když prostě když budete počítat ty poměry,
tak dostanete zase Fibonacciho posloupnost,
týká se to i různých hlemejžďů a slimáků
no a já mám teď okno, protože jsem zapoměl, jak se tahle ta jmenuje,
ale vyznačuje se tím, že ona prostě roste od středu, je malinká, má kolem sebe tu ulitu, tu tvrdou.
A když jí nestačí, když vyroste, tak že jí je malá,
tak si popoleze do další vnější a vyrobí si kolem sebe novou.
A takhle to vyrábí pořád další a další.
Když se to pak spočítá jak roste, tak to zase vychází v tom poměru 1.61, jak ona světšuje ty ulity.
A taky na lidským těle najdete spoustu těhle poměrů,
jako že celková délka postavy ku břichu dolů,
koleno a lýtko a další a další takovýhle poměry.
Doporučuju knížku Davida Browna DaVinciho kód.
Asi to vypadá, že předběhne ten film, který má být dneska uvedenej.
Co? Kniha je lepší. Tak.
Tak to je jenom, co je to číslo Fí a co to je Fibonacciho posloupnost a jak to tedy spolu souvisí.
My si zkusíme tuhle rovnici poměrně spočítat pomocí Z-transformace.
Takže jsme si řekli, že y(n+2)= y(n+1) + y(n) .
A řeknem si, že y v nule bude 1 a y v 1 bude taky 1. y(0)=1 y(1)=1
Jo, tohle je matematický přepis Fibonacciho posloupnosti.
Zkusme si to převés do Z-prostoru pomocí věty o posunutí. Diktujte, ...
(dav se dohaduje)
.......,
Myslím, že to máme dobře, jenom je to roznásobený,
když sem dáme takhle tu závorku, tak tady budu mít zet na -1 a tady z na -2 . Jo? Jasný?
Dobře, tak to přepíšeme poctivě ...
Takže to je f v nule, zet na minus nultou je jedna a to psát nebudu, minus f v -1 krát zet na -1.
To se rovná? Co mám napsat? ...
tak co dál? plus y(z). Tak.
To si roznásobím a převedu si y(z) na levou stranu rovnice.
Takže tady bude ... se rovná ...
(dohadování s davem a oprava znaménka před z na pravé straně)
Vytkneme y(z) ...
(dav: oprava znaménka všude z -1 na +1)
dosadíme, ať to tady netaháme, všude jsou to jedničky,
...
Jo? Takže moje y(z) se bude rovnat ...
obě strany rovnice vydělím z na druhou a dostanu ...
Co s tím?
Rozklad na parciální zlomky.
1 minus nějaký pomocný z1 a pak s pomocným z2
...
Tak máme z1, z2. Já to tam zatím symbolicky nechám, ono se mi s tím bude líp počítat.
Rozložím na parciální zlomky. Tj. ...
Tak, co tím?
Vynásobím obě strany rovnice tím součinem (obou jmenovatelů). takže dostanu ...
Porovnám koeficienty u toho zet.
U zet na nultou dotanu 1= ...
Pro zet na -1 dostanu 0= ...
Můžeme vynásobit -1
Tady si vyjádřím k2 a dosadím do druhý rovnice
...
(dotaz z davu a odpověď, že koeficienty lze počítat pomocí limit)
Mám to přepsat na limity?
Oboje je možný.
Já to dopočítám a pak to zkusím i tím druhým.
Mně tohle přijde jednodušší, že to je jednoduchá metematika.
...
z toho k1= ...
a z toho k2= ...
Dotaz: jak jste na začátku přišel na 1=k1+k2 ?
Porovnávám koeficienty u zetek.
Takže u zet na nultou je jednička, tady je k1+k2 a tyhlety zahodim.
Tady porovnávám koeficienty z na -1, takže tady je nula.
Takže máme k1 a k2 a máme všechno, co potřebujeme.
Tak že.
Můžeme dosadit, já si tady vytknu 1/(z1-z2), y(z)= ...
Tak můžu udělat nějaký y(n), to bude moje zpětná Z-transformace z tohodle y(z)
tohle je konstanta, zase je to lineární a bude to 1/ ....
Omlouvám se, já to tady ještě nechám, aby to bylo jasnější.
Tady máme vzoreček z1 násobím a tady mám z1-z, což je
jako by to áčko bylo z1, to znamená, že dostanu z1 na n-tou ...
Takže, když to přepíšu, tak dostanu, že tu mám ...
Tak to se rovná?
... (dosazuje za z1 a z2)
a tohle je výsledek.
Takže n-tý prvek Fibonacciho posloupnosti spočítáte tak, že dosadíte do tohodle vzorce.
Věříte tomu, že to bude celý čísto?
Musí být, jestli to máme dobře. Důkaz je poměrně složitej, pokud sami jste nevěřící,
udělejte si v Excelu sloupeček, přidejte tuhle funkci a vyzkoušejte.
Důkaz na to, že to je celý číslo je, ale je poměrně složitej.
Důležitý pro nás je, že takovýmhle nějakým způsobem se řeší obecně Z-transformace,
to znamená převod do Z-prostoru, vyřešení kvadratické rovnice v našem případě,
rozklad na parciální zlomky, dopočítání těch koeficientů a
pak pomocí tabulky Z-transformace převod zpátky s využitím linearity.
To znamená, násobím koeficientem a bez problémů sčítám.
Dotaz k tomuhle?
Jo ty limity ještě.
Ještě půl hodiny.
Pokud máme nějakej ten obecnej polynom jako tady y(z)
Prostě zkusme najít limitu pro z jdoucí k z1
pro ...
krát ten náš polynom ...
což se rovná: tohle se mi zkrátí a dostanu
a dostanu limitu pro z jdoucí k z1 pro 1/(1-z2...)
A stejně tak dostanu limitu pro z jdoucí k z2 ...
A to je k1 a k2
Takže pokud jsou někomu milejší limity, dá se to dělat takto.
Spokojenej?
Tak ten vzorec jak tam byl, kdyby jsme to počítali na počítači,
tak je poměrně složitý, nebo spíš tam nastane nepřesnost pro ty větší n.
Pokud se to počítá skutečně, tak je potřeba počítat, že se sčítaj poslední dva prvky,
není to zase až tak náročný na paměť,
protože vám stačí si pamatovat ty poslední dva prvky v té posloupnosti.
Nebo existuje maticový zápis, pokud by byla potřeba Fibonacciho posloupnost počítat.
Nějakej dotaz k tomuto.
Není tomu tak.
Zkusíme ještě další příklad. Zkusme Chebyshevovy (Čebyševovy) polynomy.
Ty jsou dány rekurentní rovnicí, který mají takový to tvar
...
A ty Chebyshevovy polynomy jsou dvojího druhu.
Pokud jsou prvního, tak mají počáteční podmínku
f v nule (x)=1 a f v jedný (x)=x
Pak jsou ještě Chebyshevovy polynomy druhýho druhu,
Ty mají počáteční podmínku
f v nule (x)=1 a f v jedný (x)=2x
Pokud se to rozepíše, pro vaši informaci, jak takový polynomy vypadají.
Prvního druhu ...
a my si tady odvodíme vzorec, jak počítat pro T(n).
Tak ty polynomy, pokud jsou, tak se nám dostanou do takovýchto křivek,
ale to jenom pro zajímavost, aby jsme věděli, co počítáme.
Takže dělám Z-obraz týhletý funkce, diktujte mi.
pro n+2 dva to bude z na druhou ...
tak mínus 2x zet ....
Jo? Souhlas?
Roznásobím, vytknu nebo zrovna doplním počáteční podmínky a roznásobím.
Takže tady bude ...
Vytknu f(z)...
A to je všechno.
Takže řeknu, že f(z)= ...
Můžu to celý vydělit z na druhou a dostanu ...
Což potřebuju rozložit na dva parciální zlomky
k1/... + k2/...
Zpočítám z1 a z2,
z1,2= ... což je ...
Může být? Nějaký dotaz?
Tak k1 a k2. Mám to počítat přes limitu nebo jak?
(dav: Jó, nó.)
Takže limita pro z jdoucí k z1
vynásobím (1-....) krát .../...
což je .../...
To není moc hezký.
k1=1/2 a k2=1/2
(opravují)
A když to dopočítáte, tak dostanete
k1=1/2 a k2=1/2
což, když sem dosadím a použiju zpětnou Z-transformaci
tak dostanu, k tomu, že T(x)= ta moje zpětná Z-transformace
z týhle mý funkce f(z), což se rovná ...
Touhle tou formulkou spočítáte pro libovolné n
ten n-tý Chebyshevův polynom prvního druhu, protože jsme za počáteční podmínku za f1(x) dosadili x.
Tak nějaký dotaz k tomuto příkladu?
Takže zase platí, obecně, to co jsme si ukázali na těch přechozích dvou příkladech.
Převedeme pomocí vlastnosti (linearita) do Z-prostoru, pomocí tabulek,
popřípadě pomocí té sumy, kterou jsme si ukázali tady na začátku,
velmi často v těch příkladech budete potřebovat větu o posunutí, takže
tyhlety dva vzorečku budete taky používat velmi často.
Tam spočítáte klasicky nějakou polynomální rovnici, doufejme nejčastěji druhého řádu,
tzn. kvadratickou rovnici, spočtete kořeny, koeficienty a vrátíte nazpátek pomocí tabulek.
Tak, co se týče stability, co s týče přenosu, se dozvíte na další přednášce.
Vy asi tušíte, že ten Z-obrazec bude asi souviset s přenosovou funkcí, protože
prostě pak, když dostaneme, že H(z)= obraz výstupu ku vstupu
takže, když tam tohle to budete mít, tušíte, že se tomu bude říkat přenosová funkce,
Bude to v tomhle případě přenosová funkce v diskrétním světě,
na základě těch pólů si pak povíte, jakej mají rozměr.
Obecně to jsou komplexní čísla, takže na základě polohy toho pólu v komplexní rovině
si povíte něco o stabilitě takového systému.
Tak to by asi bylo ode mne pro dnešek všechno, pokud nemáte nějakej dotaz.
Takže děkuju a hezký zbytek dne.