Dobrý den,
Já bych Vás chtěl přivítat na dnešní přednášce,
která je poslední v tomto semestru,
protože příští týden touto dobou proběhne před termín z tohoto předmětu.
To, co vám budu povídat na dnešní přednášce v podstatě už znáte
jedná se o určité shrnutí věcí,
které jste slyšeli na posledních 3 přednáškách
a upozornění na některé zajímavé aspekty,
které jste ještě buďto neslyšeli nebo jste si je neuvědomili.
Přednáška bude rozdělena do dvou částí.
První část bude věnována stavovému popisu
diskrétních systémů.
Podíváme se na to,
jak z diferenční rovnice, kterou nadefinujeme,
můžeme najít stavový popis takového systému,
podíváme se na to, jak se z takového stavového popisu
se můžeme dostat na přenosovou funkci
a jak na základě parametru přenosové funkce rozhodneme o stabilitě.
V druhé části přednášky se podíváme na to,
jak je možné spojitý systém převést na diskrétní,
jaké matematické metody se k tomu používají,
co nám to přinese a k čemu je to dobré použít.
Začneme tedy stavovým popisem diskrétního systému
nadefinujeme si diferenční rovnici n-tého řádu,
která je zadaná
y(n)=b0*u(n)+.....
Převod do stavového popisu probíhá stejně,
jako v případě spojitých systémů
nejprve si zvolíte vhodný stavový vektor
a jeho dosazením do zadané diferenční rovnice
rovnici převedete do stavového popisu.
Podrobně to najdete ve skriptech "modelování systémů a procesů"
zhruba okolo str. 89.
Protože program dnešní přednášky je podstatně rozsáhlý,
tak tuto část přeskočím.
A budeme předpokládat, že pomocí metod,
které jste si nastudovali ve skriptech
jste zadanou diferenční rovnici převedli do tvaru
X(n+1)=A*x(n)+B*u(n)
tato rovnice v podstatě nám umožňuje pomocí stavového vektoru "x"
v okamžiku "n" vyjádřit stavový vektor "X" v okamžiku "n+1" rekurentně.
Druhá rovnice, rovnice výstupu, která je
y(n)=C*x(n)+D*u(n)
přičemž A,B,C a D jsou koeficienty stavového popisu
A je matice, B je sloupcový vektor, C je vektor, D je skalár,
jak už jsem říkal je stavový vektor,
který vypočítáváme rekurentně na základě předchozích hodnot toho vektoru
Matice A vypadá takto: .....
Podstatný je poslední řádek, kde jsou prvky -a en…
Sloupcový vektor B:
Vektor C obsahuje prvky:...
Skalár D: D=b0
Znovu zopakuji zápis,
kdy hodnotu stavového vektoru v okamžiku "n+1" vyjádříme jako:
X(n+1)=A*x(n)+B*u(n)
a vektor výstupu
y(n)=C*x(n)+D*u(n)
Pokud budeme znát stavový vektor v okamžiku nula,
tak pomocí rekurze můžeme vyjádřit všechny následující stavové vektory,
to znamená můžeme vyjádřit x(0) --- x(n), n>1
Předpokládejme tedy, že stavový vektor x(0) je známý, takže když:
n=0 tak známe stavový vektor x(0)
n = 1, tak x(1)=A*x(0)+B*u(0)
samozřejmě pokud n=2 tak stejným způsobem,
stejným dosazením do obecné rovnice stavového vektoru dostáváme:
x(2)=A*x(1)+B*u(1).....a dosadíme z první rovnice x(1), který jsme si vypočetli
a dostáváme tedy A*( A*x(0)...
Pro n=3 =>x(3)=A*x(2)+B*u(2)=......
stojí vektor odvozený v předchozím kroku, pak opět dosadili, roznásobili
a dostali výraz, pak bychom mohli pokračovat dál
V případě, že n=A tak by jsme dostali stavový vektor x(n),
který obecně můžeme zapsat x)n)=.....
kde Ana0 je jednotková matice.
Tento obecný vztah pro stavový vektor v okamžiku "n"
můžeme dosadit do stavové rovnice výstupu
a dostáváme : y(n)=...
n=0 je to zápis, který odpovídá počáteční podmínce,
že známe stavový vektor v okamžiku 0.
a pro ostatní případy pouhým dosazením
obecného zápisu do stavové rovnice výstupu.
Výstup dostáváme C*a…..
Tato rovnice na rozdíl od té první platí pokud n>0.
Může nastat i speciální případ a ten vypadá tak,
že stavový vektor v okamžiku nula je nulový,
potom je zřejmé, že první dva členy toho zápisu
stavového popisu výstupu vypadnou a dostaneme tedy zápis, že :y(n)=...
Pokud si vzpomenete na předchozí přednášky,
a vzpomenete si dobře, tak víte,
na to, jak se vyšetřovala stabilita spojitých systémů
že stabilitu spojitých systémů vyšetřujeme pomocí
přenosové funkce a proto se budeme snažit dostat
se z rovnice výstupu nějakým způsobem na rovnici,
která by nám popsala přenosovou funkci.
K přenosové funkci se dostaneme pomocí impulsní odezvy
a to tak, že nadefinujeme výstup v okamžiku nula
y(0)=h(0)=D*dirakův impluls.
kde " ". dirakův impuls v nule je roven jedné proto výsledek je D
a když se podíváte o půl stránky nahoru najdete, že
koeficient stavového popisu D je roven b0.
y(0)=h(0)=D*dirakův impuls=D=b0
Tak pokud tyto počáteční podmínky dosadíme do předpisu,
který jsme před chvílí získali,
tak dostáváme pouhým dosazením do této sumy y(n)=h(n)=C*A…..
protože ká je v prvním případě rovna nule
a za vstup jsme brali dirakův impuls v okamžiku nula.
Což je rozpis, který odpovídá prvnímu kroku koeficientu k=0.
stejným způsobem dál když k=1, dostáváme
…+ C*A^(n-2)*B*dirakův impulz v jedničce
+…..+až poslední člen D*dir.imp. v (n).
Pokud tuto řadu sečteme
tak dostáváme 2 možnosti,
v případě že n=0 tak potom součet té řady je roven D.
A v případě, že n>0 dostáváme součet C*A^(n-1)*B.
Předpis, který máme dán pro h(n) můžeme řešit pomocí "z-transformace".
Pokud bychom ji na tuto obecnou rovnici pomocí sumy
použili z-transformaci, dostáváte výsledek, že h(z)=C*...
kde "J" je jednotková matice;
(dotaz od studentů)
h(t) přenosovou funkci jsme řešili pomocí Laplaceovy transformace
a převedli jsme na H(p)
a na základě pólů ve jmenovateli přenosové funkce jsme rozhodovali o stabilitě.
To byl ale zápis, který byl dán diferenciální rovnicí.
V tomto případě, všechny kroky, které jsme prováděli před tím
vedli k tomu, že jsme diferenční rovnici druhého řádu
převedli do stavového popisu
a postupně jsme se dostali k vyjádření přenosové funkce,
který je dán takto.
Dostali jsme k tomu tak, že na ten zápis,
který tady byl uveden jsme použili z-transformaci a vyšel nám tento výsledek.
Můžete si to vyzkoušet vypočítat, každopádně to je uvedeno ve skriptech.
Důvod byl, nebo ten postup, který jsem uváděl před chvílí,
vede k tomu, že buď můžeme postupovat klasickým způsobem, že
by jsme tu diferenční rovnici, kterou jsme měli zadanou vyřešili,
dostali by jsme k přenosové funkci,
která by byla vyjádřená, nějakým čitatelem, jmenovatelem
a na základě 2 kořenů ve jmenovateli přenosové funkce a použitím kritéria
pro stabilitu diskrétních systémů
by jsme mohli rozhodnou o stabilitě.
Naznačený alternativní způsob umožňuje zadanou složitou rovnici
mechanickým postupem, v podstatě zadáním do vzorečku
přepíšeme do stavového popisu a
získáváme okamžitě koeficienty A, B, C a D,
na jejichž základě pak rozhodujeme o stabilitě systému,
zda je systém stabilní či nestabilní.
Tento způsob je výhodný zejména proto, že
pokud při vyhodnocování tohoto sytému máte možnost využít počítač,
máte nainstalovaný Matlab tak se velice rychle dostanete k přenosové funkci,
která má tedy nějaký čitatel a jmenovatel.
a v Matlabu použijete jednoduchý příkaz,
který se jmenuje >>tf2ss... (transfer).
Jako parametry zadáte vektor čitatele a jmenovatele
a Matlab Vám automaticky vrací parametry popisu A,B,C,D.
Vyjádření h(n) je velice jednoduché pomocí z-transformace
za použití počátečních podmínek,
Matlab vám sám napožítá parametry A,B,C,D
a na základě těchto parametrů můžete na základě jednoduché metody
rozhodnout o tom jestli ten systém je stabilní, nebo není stabilní
bez dalšího složitého počítání.
Pro stabilitu systému má největší význam parametr A,
který v podstatě určuje stabilitu celého systému.
Pravděpodobně jste v algebře slyšeli o tzv. kurvicově kriteriu stability,
které říká, že pokud jsou všechny rohové determinanty
matice A jsou kladné, tak potom je systém stabilní.
To znamená, že pokud bych znova napsal matici A ....
tak pokud by všechny tyto determinanty byly kladné,
můžete ten systém označit jako stabilní.
Takže tím jsme v podstatě doplnili to, co už jste slyšeli
na předchozích přednáškách.
Jedná se o alternativní způsob vyšetřování stability systémů,
který je vhodný zejména v případě, kdy máme k ruce nějaké technické prostředky,
nebo vzorce, pomocí kterých můžeme rychle získat parametry stavového popisu.
Ve zbytku času se podíváme na to, jakými prostředky
jakými metodami, můžeme spojitý systém
převést na systém diskrétní a proč je to dobré provádět.
Většina systémů a signálů, se kterými se v životě setkáváme,
má jednak spojité vstupy a samozřejmě spojité výstupy
a my si ukážeme metody, které umožňují
takovýto spojitý systém převést na systém diskrétní,
kdy získáváme posloupnost vstupů a posloupnost výstupů
Důvod, proč to používat je v podstatě zřejmý
existuje velice málo signálů, které mají spojité
s diskrétními vstupy a výstupy
(např. meteorologická měření, ekonomické či burzovní informace, většina systémů je tedy spojitá)
Pokud se tedy bavíme o převodu spojitého systému na diskrétní systém
tak v podstatě se více méně bavíme o vzorkování,
kdy signál buďto vstupní nebo výstupní, který je v čase
spojitý tak zavedením vhodného vzorkování převádíme
na posloupnost vstupů nebo výstupů.
Nepracujeme tedy s celým signálem, ale pouze
s jeho hodnotami s předem definovaných časových okamžicích.
V dnešní přednášce pro jednoduchost budeme počítat s tím, že
ty časové okamžiky mají stejné rozestupy,
označíme "T" a nazveme jej vzorkovací periodou.
Nebudu tedy pracovat se spojitým signálem, ale pouze
s konkrétními hodnotami u1, u2, u3, u4, ...
Další důvod, proč takto postupujeme si můžete představit tím,
že v podstatě analogové počítače už neexistují,
nebo je nikdo nepoužívá, že využíváme digitální počítače
a tedy analogový signál, který získáváme na vstupu
musíme převést na číslicový diskrétní signál,
který můžeme na daném počítači dále zpracovávat.
To na co si musíme dát pozor při volbě vzorkovací periody
je frekvenční dynamika signálu, případně v případě,
že by ten signál měl v podstatě velkou dynamiku,
tak by se nám mohlo stát,
že pokud zvolíme nevhodnou vzorkovací periodu
zanášíme do vzorkovacích dat velkou chybu.
Je to mimo tuto přednášku a předpokládám, že jste to minimálně 10 už slyšeli
v předchozích předmětech.
O tom jak je dobré a jakým způsobem volíme vzorkovací periodu
abychom dostávali signál, který v podstatě odpovídá signálu, který máme zadaný.
Začneme jednoduchým příkladem,ten model jste určitě slyšeli na první přednášce,
možná i na cvičení, bude se jednat o R-C článek v té nejjednodušší variantě:
Ten RC článek vypadá tak, že bude mít rezistor a kondenzátor,
napětí na vstupu bude u1(t) a na výstupu uc(t).
Pokud byste nalistovali první přednášku, tak zjistíte,
že takovýto systém můžeme popsat pomocí diferenciální rovnice 1. řádu, RC...
Před chvilkou jsem tu měl takový ilustrativní obrázek,
který v podstatě ukazoval, co je to vzorkování zač, jak vypadá.
Musíme se zamyslet, pokud chceme spojitý systém, který
je popsaný diferenciální rovnicí převést na
diskrétní systém popsaný diferenční rovnicí,
tak musíme najít nějakou metodu, pomocí které
převedeme numericky derivaci na nějakou diferenci.
Nakreslíme obdobný obrázek, jako předtím:
Původní spojitý signál u(t)
a dejme tomu, že budeme mít dva body, ve kterých vzorkujeme.
Ten první bod bude v časovém okamžiku t(n-1),
ten druhý v časovém okamžiku t(n).
A potom těmto dvěma časovým okamžikům
odpovídají vzorkované hodnoty u(n-1) a u(n).
Když se na ten obrázek podíváte, tak vám určitě bude připomínat obrázek,
pomocí kterého se vysvětluje definice derivace
a protože derivaci chceme nějakým způsobem odvodit, nahradit,
tak použijeme tento přístup.
Derivace je definována jako směrnice tečny v bodě
a ta se rovná tangentě.
Tangenta je definována jako tato odvěsna ku této odvěsně,
to znamená že tato délka či vzdálenost je definována jako u(n)-u(n-1) .
a protože jsme již na začátku řekli, že použijeme konstantní vzorkování,
tak se nemusíme zabývat časovým okamžikem t(n) - t(n-1) protože víme,
že mezi vzorky je vzdálenost T
takže vydělíme téčkem:
Samozřejmě, že čím ta vzorkovací perioda bude menší,
tím víc ta aproximace derivace bude přesnější.
Souvisí to opět s vhodnou volbou vzorkovací frekvence.
Můžeme tedy napsat, že du c přibližně s určitou chybou,
můžeme napsat jako ....
A tím, že dosadíme do zadané diferenciální rovnice (R.C...),
převedeme v podstatě zadanou diferenciální rovnici
popisující spojitý systém na rovnici diferenční, popisující systém diskrétní:
RC*(....)
Pro jednoduchost opět předpokládejme,
že na vstupu u1(n) bude jednotková funkce.
R, C a T jsou konstanty, pro zjednodušení,
abychom nemuseli pořád opisovat, zavedeme substituci RC/T=alfa
a dostáváme tedy rovnici ...
uc(n) můžeme sloučit dohromady a dále upravíme na:
což je výsledná diferenční rovnice, která s určitou chybou
odpovídá zadané diferenciální rovnici.
Diferenční rovnici budeme řešit pomocí z-transformace
tedy standardní postup, standardní metody
a dostáváme jedna plus alfa ...
(opravuje znaménka)
na pravé straně "z-obraz" jednotkového skoku
Dále vyjádříme uc(z) jako...
Když vezmete tabulky z-transformace, tak tam najdete, že z-transformace (vzorec)...
Další krok, standardní postup, budeme se snažit pomocí
rozkladu na parciální zlomky rozložit tento složitý zlomek
na dva jednodušší a budeme se snažit získané zlomky nějakým způsobem
upravit na tabulkové vzorce.
Na první pohled je vidět, že ten první zlomek vede přímo na tabulkový vzorec:
ale budeme se snažit upravit i zlomek druhý, aby se opět podobal tabulkovému vzorci.
V tom tabulkovém vzorci je jednička tak, že bude dobré
když sem dostaneme jedničku.
Tu jedničku tam dostaneme pokud z celého zlomku vytkneme (1+alfa).
Nebo-li vytkneme 1/1+alfa což je konstanta a dál dostáváme ...
rozklad na parciální zlomky bude tedy ve tvaru A/1...
Koeficienty rozkladu A a B velice snadno získáte například pomocí zakrývací metody.
Zkuste si je dopočítat sami. Ty dvě jednoduché limity nejsou problém.
Výsledek tedy získáváme ve tvaru ...
Což je výsledek tohoto příkladu.
To, co byste si měli odnést, co byste si měli zapamatovat, je ten trik,
který se používá pro aproximace derivace,
říká se tomu také někdy zpětná diference
a využili jsme k tomu v podstatě Eulerovu metodu, která se běžně používá
při numerickém počítání derivace.
Existují samozřejmě i jiné transformace, složitější,
které umožňují převádět složité spojité systémy na systémy diskrétní,
nebo přímo body v "p" rovině na body v "z" rovině a naopak
a ve zbytku času se pokusíme odvodit bilineární transformaci.
V podstatě se dá říct, že způsobů pro odvození bilineární transformace je několik.
Na dnešní přednášce Vám ukážu dva způsoby.
Oba dva způsoby by měli být zřejmé,
protože vše co budu říkat jste slyšeli na některé z prvních přednášek.
Začneme tím způsobem, který je složitější.
A to tím, že zavedeme, jaký je vztah mezi spojitou funkcí
a ideálně vzorkovanou spojitou funkcí:
Teď se budu trochu opakovat, protože to co tady budu říkat,
psát, vám říkal pan profesor Vlček na začátku osmé přednášky, takže už to znáte.
Ale pro zopakování.
Vztah mezi spojitou funkcí, kterou označím f*(t) a
ideálně vzorkovanou spojitou funkcí je suma ...
Pokud spočítáme Laplaceovu transformaci této funkce,
tak z definice Laplaceovy transformace pro spojitou funkci vyplývá,
že je dána jako integrál od nuly do nekonečna ...
Pokud za f* dosadíme ten předpis pro ideálně
vzorkovanou spojitou funkci dostáváme ...(viz. výpočet)
První část té sumy i druhá část té sumy je stejná a dostáváme tedy ekvivalenci ...
Tuto rovnici dále řešíme tím, že ji zlogaritmujeme.
A dostáváme logaritmus p*T*lne=lnz=p=1/T*lnz, protože ln e = 1
Pro další zjednodušení výpočtu je vhodné ln z aproximovat pomocí nekonečné řady.
Když si vezmete nějakou vhodnou knížku, kde jsou aproximace uvedeny,
tak zjistíte, že logaritmus se dá aproximovat pomocí tří řad:
První možnost je, že použijete aproximaci, že
ln=((z-1)/1)+(1/2(z-1)^2)+(1/3(z-1)^3+...atd.
tato aproximace platí tehdy pokud 0<z<=2.
Druhá aproximace je z-1/z ... a platí pokud je z>1/2.
A třetí taková neuniverzálnější 2*((z-1)/ (z+1)... platí tehdy pokud z>0.
Když se na ty aproximace logaritmu podíváte,
tak na hodnotu logaritmu z bude mít určitě největší vliv ten první člen.
Ty další členy budou pouze tu aproximaci zpřesňovat.
Proto v dalších úvahách budeme pracovat pouze
s prvním členem jednotlivých aproximací a zbytek nebudeme používat.
Pokud tyto první členy aproximací dosadíme za ln
v tomto odvozeném vztahu, tak dostáváme tři druhy transformací,
které nám umožní na základě známé polohy bodu v z-rovině
spočítat odpovídající polohu bodu v p-rovině.
Té první z výše uvedených aproximací je v literatuře
označována jako FD (forward diference),
druhá je označována jako BD (backward diference)
a našim cílem bylo odvodit bilineární transformaci
a to je právě ta třetí, když se ln nahradí 2*z^-1*(z+1)
a to je bilineární transformace.
Tuto tedy dosadíme do vztahu...
Tato transformace nám tedy dovoluje pokud známé polohy bodu v z-rovině
můžeme pomocí tohoto vztahu určit polohu odpovídajícího bodu v p-rovině.
Samozřejmě se nám může hodit i inverzní operace,
tedy pokud budeme znát polohu bodu v p-rovině,
protože systém budeme mít zadaný pomocí diferencální rovnice,
tak nás bude zajímat při použití této transformace
jak bude vypadat poloha bodu v z-rovině.
Ten předpis získáme jednoduše p*T/2= ...
Opět, pokud známe polohu bodu v p-rovině,
pomocí tohoto vztahu (transformace) tak můžeme dopočítat polohu bodu v z-rovině.
Pokud jste neměli na přednášce, tak si určitě pamatujete ze cvičení,
kde jsme si říkali, že systém je spojitý tehdy,
pokud póly přenosové funkce leží v levé části p-roviny:
Pokud použijeme výše uvedené kriterium,
tak se nám levá část p-roviny v z-rovině transformuje do vnitřku jednotkové kružnice:
Můžete si to zkusit spočítat například z tohoto vztahu pomocí Z-transformace.
To znamená, že pokud znáte jedno kriterium, pak
této transformace si můžete napočítat kriterium, které platí pro diskrétní systémy.
Zajímavé je, jak se transformuje imaginární osa, která
v podstatě vymezuje mez stability systému.
Tato osa se transformuje do této části jednotkové kružnice,
stejně tak jako ta druhá část té osy.
Tedy toto byl první způsob jak odvodit binární transformaci,
tím, že jsme vyšli z definice nebo z toho jak si představujeme
ideálně vzorkovanou spojitou funkci.
Použili jsme Laplaceovu transformaci,
aproximovali jsme výsledný logaritmus rozvojem řady
nebo jeho prvním členem, protože je nejdůležitější, a odvodili jsme
bilineární transformaci z p-roviny do z-roviny a naopak ze z-roviny do p-roviny.
Druhý způsob, který je jednodušší, spočívá v tom, že se podíváme na to,
jak by se řešila diferenciální rovnice
a jí odpovídající numerická aproximace v diskrétní oblasti,
a velice rychle se dostaneme opět na vztah pro
bilineární transformaci s tím, že
tentokrát se nám ale nepodaří odvodit i ostatní transformace, jako zpětnou diferenci apod.
Vyjdeme z toho, že budeme mít diferenciální rovnici:
Tuto rovnici můžeme řešit např. pomocí integrace tím,
že zintegrujeme levou a pravou část té rovnice
a vhodně zvolíme integrační meze, protože to "d podle dt"
v podstatě vymezuje nějaký rozdíl hodnoty y(t) za časový okamžik dt,
tak pokud ten časový okamžik vhodně zvolíme,
tedy tak, aby odpovídal tomu předchozímu odvození,
tedy dolní mez toho integrálu bude (n-1)T a horní mez nT.
A budeme tedy integrovat derivaci ypsilonu d podle dt*y(t)dt,
což je y(t). A tomu bude odpovídat integrace od (n-1)T do nT z x(t)dt.
Pokud bychom tuto rovnici numericky řešili,
můžeme použít buďto Eulerovu metodu, jako v případě RC článku,
nebo přesnější metodu lichoběžníkovou, numerickou metodu pro řešení integrálu.
Tak dostáváme předpis:
Y(nT)-y((n-1)T) což je ta diference, rozdíl dvou hodnot,
které jsou od sebe odděleny tou vzorkovací periodou T.
Pravá strana odpovídá té lichoběžníkové metodě: T*[x(nT)+x((n-1)T)]/2
Takže zatím shrnu ten postup.
Máme diferenciální rovnici, spočítáme nebo vyjádříme integrál její levé a pravé části.
Tomu odpovídá numerické řešení. které je uvedeno na pravé straně.
Takovouto rovnici, pokud byste ji dostali, pravděpodobně byste jí řešili pomocí Laplaceovy transformace,
což je v tomto případě velice snadné p*Y(p)=...
Naopak rovnici, kterou máme napsanou zde, je to diferenční rovnice
bychom řešili pomocí z-transformace.
Mechanicky vyjádříme y(z)...
Když vytkneme Y(z) tak dostáváme tento výraz,
T/2 je konstanta a vytýkáme před z-transformaci
x(z) opět vytkneme a dostáváme (1+z)^(-1)
a ekvivalentní zápis, který máme na pravé straně tabule v případě diferenční rovnice
....
Tedy toto je ekvivalentní odvození bilineární transformace,
při němž jsme nevycházeli z definic, ale
ze zadání jednoduché diferenciální rovnice,
kterou jsme převedli na její numerickou aproximaci s určitou chybou,
danou vzorkovací periodou T.
Tuto rovnici řešíme pomocí standardní metody
Laplaceova transformace, a tuto rovnici pomocí z-transformace.
Podíl vstupu ku výstupu v p-rovině předpokládáme, že bude
ekvivalentní v z-rovině.
Opět je to podíl vstupu ku výstupu.
A porovnáním x(p)/y(p) a x(z)/y(z) pak získáváme výsledek, že
Tedy vztah, který nám umožňuje převádět body ze z-roviny do p-roviny.
Odvození inverzního vztahu je stejné jako jsme odvozovali předtím.
Takže to, co jsem vám měl ukázat, jsem vám ukázal,
takže dnešní přednáška tím končí.
Pokud budete mít nějaké dotazy buď teď - ticho - můžu se pokusit je zodpovědět,
nebo před zkouškou, až začnete listovat poznámkami,
není problém mě kontaktovat na mail a domluvit si schůzku.
Ještě bych rád připomněl, že příští týden budeme
psát zápočtové testy na Laplaceovu transformaci a z-transformaci.
K tomu jsou na www stránkách předmětu 4 soubory PDF,
kde jsou typové příklady s postupem včetně řešení,
příklady v testu budou obdobné,
pouze s modifikací počátečních podmínek a koeficientů v zadání.
Takže pokud si osvojíte postupy pro řešení těch rovnic, které
jsou uvedeny na webu, neměl by pro vás být problém zápočet získat.
Pokud nejsou žádné dotazy, tak vám děkuji za pozornost
a budu se těšit na cvičení příští týden.